北师大版八上第7章平行线的证明测试卷（2）含解析

第七章 章末测试卷 一、填空题（18 分） 1．命题“任意两个直角都相等”的条件是  ，结论是  ，它是  （真或假） 命题． 2．已知，如图，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠BOD 且∠AOE=150°，∠AOC 的度数为  ． 3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=  ． 4．如图，直线 l1、l2 分别与直线 l3、l4 相交，∠1 与∠3 互余，∠3 的余角与∠2 互补，∠4=125°，则∠3=  ． 5．如图，已知 AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E 的度数为  度． 6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明 AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4=∠   （   ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠  （   ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（   ） 即∠   =∠   （   ） ∴∠3=∠    ∴AD∥BE（   ）． 二、选择题（12 分） 7．如图，平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交，图中的同旁内角共有（  ） A．4 对 B．8 对 C．12 对 D．16 对 8．如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，OF 平分∠AOE，∠1=15°30′， 则下列结论中不正确的是（  ） A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD 与∠1 互为补角 D．∠1 的余角等于 75°30′ 9．下列语言是命题的是（  ） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段 AO 到 C，使 OC=OA D．两直线平行，内错角相等． 10．下列命题是假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．﹣4 是有理数 C．内错角相等 D．两个等腰直角三角形相似 三、解答题（70 分） 11．（4 分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正． （1）∵∠1 和∠2 是内错角，∴∠1=∠2， （2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等） 12．（6 分）已知：如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF 的 平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P．求证：∠P=90°． 13．（6 分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问 EF 是否与 GH 平行？ 14．（6 分）如图写出能使 AB∥CD 成立的各种条件． 15．（6 分）如图，已知 AB∥CD，∠1=∠3，试说明 AC∥BD． 16．（6 分）已知：如图，∠1=∠2，且 BD 平分∠ABC．求证：AB∥CD． 17．（6 分）如图，已知直线 a，b，c 被直线 d 所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°， 求证：a∥c．   18．（6 分）如图，已知 BE∥CF，BE、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD，求证：AB∥ CD． 19．（6 分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D 的度数．   20．（6 分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE． 21．（6 分）如图，已知 AB∥CD，∠A=100°，CB 平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC 的度数． 22．（6 分）如图，已知：DE⊥AO 于点 E，BO⊥AO 于点 O，∠CFB=∠EDO， 证明：CF∥DO． 参考答案 一、填空题（18 分） 1．命题“任意两个直角都相等”的条件是 两个角都是直角 ，结论是 相等 ， 它是 真 （真或假）命题． 【考点】命题与定理． 【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成． 【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相 等． 它是真命题． 【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．   2．已知，如图，直线 AB、CD 相交于 O，OE 平分∠BOD 且∠AOE=150°，∠AOC 的度数为 60° ． 【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义． 【分析】根据两直线相交，对顶角相等，可推出∠AOC=∠DOB，又根据 OE 平分∠ BOD，∠AOE=150°，可求∠BOE，从而可求∠BOD． 【解答】解：∵AB、CD 相交于 O， ∴∠AOC 与∠DOB 是对顶角，即∠AOC=∠DOB， ∵∠AOE=150°， ∴∠BOE=180°﹣∠AOE=30°， 又∵OE 平分∠BOD，∠AOE=30°， ∴∠BOD=2∠BOE=2×30°=60°， ∴∠BOD=∠AOC=60°， 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查对顶角的性质以及角平分线的定义、邻补角，解决本题的 关键是求出∠BOE．   3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D= 50° ． 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】根据平行线的判定得出 AD∥BC，根据平行线的性质得出∠D=∠1，代 入求出即可． 【解答】解：∵∠B=∠2=50°， ∴AD∥BC， ∴∠D=∠1， ∵∠1=50°， ∴∠D=50°． 故答案为：50°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出 AD∥BC 是解此题的关 键．   4．如图，直线 l1、l2 分别与直线 l3、l4 相交，∠1 与∠3 互余，∠3 的余角与∠2 互补，∠4=125°，则∠3= 55° ． 【考点】平行线的判定与性质；余角和补角． 【分析】求出∠5 的度数，根据∠1 与∠3 互余和∠3 的余角与∠2 互补求出∠1+ ∠2=180°，根据平行线的判定得出 l1∥l2，根据平行线的性质求出即可． 【解答】解：∵∠4=125°， ∴∠5=180°﹣125°=55°， ∵∠1 与∠3 互余，∠3 的余角与∠2 互补， ∴∠1+∠2=180°， ∴l1∥l2， ∴∠3=∠5=55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能求出 l1∥l2 是解此题的关键， 注意：两直线平行，内错角相等．   5．如图，已知 AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E 的度数为 50 度． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【专题】计算题． 【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻 的两内角之和作答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BFE=∠C=75°， 又∠A=25°， ∴∠E=75°﹣∠A=50°． 【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形的外角性质，是一道较为简单的 题目．   6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明 AD∥BE 解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4=∠ EAB （ 两直线平行，同位角相等 ） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠ EAB （ 等量代换 ） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ 等式的性质 ） 即∠ BAE =∠ CAD （ 角的和差 ） ∴∠3=∠ CAD  ∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】推理填空题． 【分析】由平行线的性质可得到∠4=∠EAB，由∠3=∠4 可得到∠3=∠EAB，由等 式的性质可知∠BAE=∠CAD，从而得到∠3=∠CAD 由平行线的判定定理可得到 AD∥BE． 【解答】解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4=∠EAB（两直线平行，同位角相等） ∵∠3=∠4（已知） ∴∠3=∠EAB（等量代换） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）． 即∠BAE=∠CAD（角的和差） ∴∠3=∠CAD． ∴AD∥BE （内错角相等，两直线平行）． 【点评】本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定，掌握平行线的性质和 判定定理是解题的关键．   二、选择题（12 分） 7．如图，平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交，图中的同旁内角共有（  ） A．4 对 B．8 对 C．12 对 D．16 对 【考点】同位角、内错角、同旁内角． 【专题】几何图形问题． 【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入 手可知同旁内角共有对数． 【解答】解：直线 AB、CD 被 EF 所截有 2 对同旁内角； 直线 AB、CD 被 GH 所截有 2 对同旁内角； 直线 CD、EF 被 GH 所截有 2 对同旁内角； 直线 CD、GH 被 EF 所截有 2 对同旁内角； 直线 GH、EF 被 CD 所截有 2 对同旁内角； 直线 AB、EF 被 GH 所截有 2 对同旁内角； 直线 AB、GH 被 EF 所截有 2 对同旁内角； 直线 EF、GH 被 AB 所截有 2 对同旁内角． 共有 16 对同旁内角． 故选 D． 【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图 形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中， 有两对同旁内角．   8．如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，OF 平分∠AOE，∠1=15°30′， 则下列结论中不正确的是（  ） A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD 与∠1 互为补角 D．∠1 的余角等于 75°30′ 【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角． 【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断． 【解答】解：A、由 OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF 平分∠AOE，则∠2=45°，正 确； B、∠1 与∠3 互为对顶角，因而相等，正确； C、∠AOD 与∠1 互为邻补角，正确； D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°， ∴∠1 的余角等于 75°30′，不成立． 故选 D． 【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为 180°的两角互补，和为 90° 的两角互余．   9．下列语言是命题的是（  ） A．画两条相等的线段 B．等于同一个角的两个角相等吗？ C．延长线段 AO 到 C，使 OC=OA D．两直线平行，内错角相等． 【考点】命题与定理． 【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫 做命题，分别判断得出答案即可． 【解答】解：根据命题的定义： 只有答案 D、两直线平行，内错角相等．对事情做出正确或不正确的判断，故此 选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了命题的定义，利用定义得出是解题关键．   10．下列命题是假命题的是（  ） A．对顶角相等 B．﹣4 是有理数 C．内错角相等 D．两个等腰直角三角形相似 【考点】命题与定理． 【分析】根据对顶角的性质对 A 进行判断；根据有理数的分类对 B 进行判断； 根据平行线的性质对 C 进行判断；根据等腰直角三角形的性质和相似的判定方法 对 D 进行判断． 【解答】解：A、对顶角相等，所以 A 选项的命题为真命题； B、﹣4 是有理数，所以 B 选项的命题为真命题； C、两直线平行，内错角相等，所以 C 选项的命题为假命题； D、两个等腰直角三角形相似，所以 D 选项的命题为真命题． 故选 C． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都 是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这 样的真命题叫做定理．   三、解答题（70 分） 11．（4 分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正． （1）∵∠1 和∠2 是内错角，∴∠1=∠2， （2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等） 【考点】平行线的判定． 【分析】（1）内错角不一定相等，只有在平行线中才能推出相等； （2）根据平行线的判定得出此推理正确． 【解答】解：（1）错误：内错角不一定相等， 改正：∵∠1 和∠2 是内错角，DC∥AB， ∴∠1=∠2； （2）正确，∵∠1=∠2， ∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）． 【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推 理是解此题的关键，注意：内错角相等，两直线平行．   12．（6 分）已知：如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF 的 平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P．求证：∠P=90°． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 【专题】证明题． 【分析】由 AB∥CD，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠ PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°． 又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点 P， ∴∠PEF= ∠BEF，∠PFE= ∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE= （∠BEF+∠DFE）=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°， ∴∠P=90°． 【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解 决问题的能力．   13．（6 分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问 EF 是否与 GH 平行？ 【考点】平行线的判定． 【分析】求出∠1=∠5，根据平行线的判定得出 AB∥CD，根据平行线的性质得出 ∠AEG=∠CGN，求出∠FEG=∠HGN，根据平行线的判定得出即可． 【解答】解：EF∥GH， 理由是：∵∠1=∠2，∠2=∠5， ∴∠1=∠5， ∴AB∥CD， ∴∠AEG=∠CGN， ∵∠3=∠4， ∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4， ∴∠FEG=∠HGN， ∴EF∥GH． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解 此题的关键．   14．（6 分）如图写出能使 AB∥CD 成立的各种条件． 【考点】平行线的判定． 【分析】根据平行线的判定（平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行， ②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）得出即可． 【解答】解：AB∥CD 的条件为∠7=∠8 或∠3=∠4 或∠BAD+∠ADC=180°或∠ ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC 或∠EDC=∠EAB． 【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的 关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等， 两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．   15．（6 分）如图，已知 AB∥CD，∠1=∠3，试说明 AC∥BD． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】推理填空题． 【分析】首先根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠2，再根据∠1=∠3 得到∠3= ∠2，从而判定 AC∥BD． 【解答】证明：因为 AB∥CD， 所以∠1=∠2， 又因为∠1=∠3， 所以∠3=∠2． 所以 AC∥BD． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是牢记平行线的判定与性 质定理．   16．（6 分）已知：如图，∠1=∠2，且 BD 平分∠ABC．求证：AB∥CD． 【考点】平行线的判定． 【专题】证明题． 【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠DBA 的位置关系即可得出答案． 【解答】证明：∵BD 平分∠ABC， ∴∠2=∠DBA， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠DBA， ∴AB∥CD． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定得出角之间的关 系是解题关键．   17．（6 分）如图，已知直线 a，b，c 被直线 d 所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°， 求证：a∥c． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】求出∠2=∠7，根据平行线的判定推出 a∥b，b∥c，即可得出答案． 【解答】证明：∵∠1=∠2， ∴a∥b， ∵∠2+∠3=180°，∠3+∠7=180°， ∴∠2=∠7， ∴b∥c， ∴a∥c． 【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推 理是解此题的关键，注意：平行于同一直线的两直线平行．   18．（6 分）如图，已知 BE∥CF，BE、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD，求证：AB∥ CD． 【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义． 【专题】证明题． 【分析】根据 BE∥CF，得∠1=∠2，根据 BE、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD，得∠ ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明 AB∥CD． 【解答】证明：∵BE∥CF， ∴∠1=∠2． ∵BE、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD， ∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2， 即∠ABC=∠BCD， ∴AB∥CD． 【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．   19．（6 分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D 的度数． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B=70°， ∵BC∥DE， ∠C+∠D=180°， ∴∠D=110° 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角 的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量 关系．   20．（6 分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】根据平行线的性质证得同位角∠E=∠1；然后由等量代换知同位角∠B= ∠1；最后根据平行线的判定定理证得结论． 【解答】证明：∵BC∥EF， ∴∠E=∠1． 又∵∠B=∠E， ∴∠B=∠1， ∴AB∥DE． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断 两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．   21．（6 分）如图，已知 AB∥CD，∠A=100°，CB 平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC 的度数． 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出∠1、∠2，根据 平行线的性质即可求出∠ABC． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A=100°， ∴∠ACD=180°﹣∠A=80°， ∵CB 平分∠ACD， ∴∠1=∠2= ∠ACD=40°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠2=40°． 【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，两直 线平行，同旁内角互补．   22．（6 分）如图，已知：DE⊥AO 于点 E，BO⊥AO 于点 O，∠CFB=∠EDO， 证明：CF∥DO． 【考点】平行线的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】先由垂直的定义可得：∠AED=∠AOB=90°，然后根据同位角相等，两条 直线平行，可得：DE∥BO，进而根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDO=∠ BOD，然后由等量代换可得：∠BOD=∠CFB，进而由同位角相等，两条直线平行 可得：CF∥DO． 【解答】证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO， ∴∠AED=∠AOB=90°， ∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行）， ∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EDO=∠CFB， ∴∠BOD=∠CFB， ∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进 行推理是解此题的关键，难度适中．