北师八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列各数 、π、 、 、0. 中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．下面二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． = B． =6 C． D．
4．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1.5，2，3 D． ， ，3
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数都均为 8.8
环，方差分别为 S 甲 2=0.63，S 乙 2=0.51，S 丙 2=0.48，S 丁 2=0.42，则四人中成绩最
稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1=∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果 x2＞0，那么 x＞0．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．如图，下列条件中，能判定 AB∥CD 的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠4=∠6 C．∠4=∠5 D．∠1+∠3=180°
8．已知方程组 ，则 2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
9．若定义：f（a，b）=（﹣a，b），g（m，n）=（m，﹣n），例如 f（1，2）=
（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）=（﹣4，5），则 g（f（2，﹣3））=（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
10．已知函数 y=kx+b 的图象如图所示，则函数 y=﹣bx+k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．计算： = ．
12．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均
数作为总成绩．小明笔试成绩为 90 分．面试成绩为 85 分，那么小明的总成绩为
分．
13．在△ABC 中，若三条边的长度分别为 9，12、15，则以两个这样的三角形所
拼成的四边形的面积是 ．
14．已知点 A（0，2m）和点 B（﹣1，m+1），直线 AB∥x 轴，则 m= ．
15．如图，AB⊥BC，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少 15°，求出这两个角
的 度 数 ？ 设 ∠ ABD 和 ∠ DBC 的 度 数 分 别 为 x° ， y° ， 根 据 题 意 所 列 方 程 组
是 ．
16．如图，直线 y=﹣ x+3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x 交于点 C，线
段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运
动时间为 t 秒，连接 CQ．若△OQC 是等腰直角三角形，则 t 的值为 ．
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
17．（6 分）计算：（2﹣ ）（2+ ）+（2﹣ ）2﹣ ．
18．（6 分）解方程组： ．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点 A（﹣1，3），B（2，
0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
点 A 关于 x 轴对称的点坐标为
点 B 关于 y 轴对称的点坐标为
点 C 关于原点对称的点坐标为
（2）若网格上的每个小正方形的边长为 1，则△ABC 的面积是 ．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
20．（7 分）甲、乙两位同学 5 次数学成绩统计如表，他们的 5 次总成绩相同，
小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．
第 1
次
第 2
次
第 3
次
第 4
次
第 5
次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a= ， = ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S 甲 2=360，乙成绩的方差是 ，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或
“乙”）．从平均数和方差的角度分析， 将被选中．
21．（7 分）已知：如图，∠1+∠D=90°，BE∥FC，且 DF⊥BE 与点 G，并分别与
AB、CD 交于点 F、D．求证：AB∥CD．（完成证明并写出推理依据）
证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+ ∠ =90°（ ），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴ = （等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（ ），
∴∠1= （ ），
∴AB∥CD（ ）．
22．（7 分）已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨； 用
1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，
计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货
物．根据以上信息，解答下列问题：
①1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
23．（9 分）如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F 分别是 AB，CD 上的点，
且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AD 的长．
24．（9 分）甲、乙两列火车分别从 A、B 两城同时匀速驶出，甲车开往 B 城，乙
车开往 A 城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距 B 城的路程 S 甲（千米）、S 乙
（千米）与行驶时间 t（时）的函数图象的一部分．
（1）分别求出 S 甲、S 乙与 t 的函数关系式（不必写出 t 的取值范围）；
（2）求 A、B 两城之间的距离，及 t 为何值时两车相遇；
（3）当两车相距 300 千米时，求 t 的值．
25．（9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y= x+1 的图象与 x
轴，y 轴分别交于 A，B 两点，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求边 AB 的长；
（2）求点 C，D 的坐标；
（3）在 x 轴上是否存在点 M，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点 M 的
坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．下列各数 、π、 、 、0. 中，无理数的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理
数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 、π 是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下面二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次
根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 A 错误；
B、被开方数含分母，故 B 错误；
C、被开方数含分母，故 C 错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故 D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开
方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．下列计算正确的是（ ）
A． = B． =6 C． D．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=2 ﹣ = ，正确；
B、原式= = ，错误；
C、 + 为最简结果，错误；
D、原式= =2，错误，
故选 A
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．1.5，2，3 D． ， ，3
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，
即可解答．
【解答】解：A、62+82=102，能构成直角三角形，不符合题意；
B、52+122=132，能构成直角三角形，不符合题意；
C、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，符合题意；
D、（ ）2+32=（ ）2，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已
知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数都均为 8.8
环，方差分别为 S 甲 2=0.63，S 乙 2=0.51，S 丙 2=0.48，S 丁 2=0.42，则四人中成绩最
稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，
数据越稳定．
【解答】解：∵S 甲 2=0.63，S 乙 2=0.51，S 丙 2=0.48，S 丁 2=0.42，
∴S 甲 2＞S 乙 2＞S 丙 2＞S 丁 2，
故选 D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越
小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越
稳定．
6．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1=∠2．
③三角形的一个外角大于任何一个内角．
④如果 x2＞0，那么 x＞0．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行线的性质对①进行判断；
根据对顶角的性质对②进行判断；
根据三角形外角性质对③进行判断；
根据非负数的性质对④进行判断．
【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；
如果 x2＞0，那么 x≠0，所以④错误．
故选 A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都
是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这
样的真命题叫做定理．
7．如图，下列条件中，能判定 AB∥CD 的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠4=∠6 C．∠4=∠5 D．∠1+∠3=180°
【考点】平行线的判定．
【分析】根据平行线的判定定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A．∠1 与∠2 是对顶角，不能判定 AB∥CD，故 A 错误；
B．当∠4=∠6 时，根据内错角相等，两直线平行，可判定 AB∥CD，故 B 正确；
C．∠4 与∠5 不是同位角、内错角，不能判定 AB∥CD，故 C 错误；
D．当∠1+∠3=180°时，∠1+∠2=180°，可得 EF∥GH，不能判定 AB∥CD，故 D
错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错
角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平
行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平
行．
8．已知方程组 ，则 2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】解二元一次方程组．
【分析】将 x﹣y，3x+2y 的值整体代入即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴2（x﹣y）﹣3（3x+2y）
=2×5﹣3×（﹣1）
=10+3
=13．
答：2（x﹣y）﹣3（3x+2y）的值为 13．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，本题不需要解方程，只需要整体思想的
应用求解．
9．若定义：f（a，b）=（﹣a，b），g（m，n）=（m，﹣n），例如 f（1，2）=
（﹣1，2），g（﹣4，﹣5）=（﹣4，5），则 g（f（2，﹣3））=（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】点的坐标．
【专题】新定义．
【分析】根据新定义先求出 f（2，﹣3），然后根据 g 的定义解答即可．
【解答】解：根据定义，f（2，﹣3）=（﹣2，﹣3），
所以，g（f（2，﹣3））=g（﹣2，﹣3）=（﹣2，3）．
故选 B．
【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的
关键．
10．已知函数 y=kx+b 的图象如图所示，则函数 y=﹣bx+k 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】数形结合．
【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数 y=kx+b 的图象位置可得 k＞0，b＞
0，然后根据系数的正负判断函数 y=﹣bx+k 的图象位置．
【解答】解：∵函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴函数 y=﹣bx+k 的图象经过第一、二、四象限．
故选 C．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系：由于 y=kx+b 与 y 轴交于（0，b），
当 b＞0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时，
（0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b 的图象
在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b 的图象经过一、三、四象限；k＜0，b
＞0⇔y=kx+b 的图象经过一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b 的图象经过二、
三、四象限．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．计算： = 30 ．
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】系数和被开方数分别相乘，最后化成最简二次根式即可．
【解答】解：3 ×2 =6 =30 ，
故答案为：30 ．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，主要考查学生的计算能力．
12．某招聘考试分笔试和面试两种．其中笔试按 60%、面试按 40%计算加权平均
数作为总成绩．小明笔试成绩为 90 分．面试成绩为 85 分，那么小明的总成绩为
88 分．
【考点】加权平均数．
【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行
计算即可．
【解答】解：∵笔试按 60%、面试按 40%，
∴总成绩是（90×60%+85×40%）=88（分）；
故答案为：88．
【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，
用到的知识点是加权平均数．
13．在△ABC 中，若三条边的长度分别为 9，12、15，则以两个这样的三角形所
拼成的四边形的面积是 108 ．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的
面积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可．
【解答】解：∵92+122=225，152=225，
∴92+122=152，
这个三角形为直角三角形，且 9 和 12 是两条直角边；
∴拼成的四边形的面积= ×9×12×2=108．
故答案为：108．
【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
14．已知点 A（0，2m）和点 B（﹣1，m+1），直线 AB∥x 轴，则 m= 1 ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相同，列出方程求解即可．
【解答】解：∵A（0，2m）和点 B（﹣1，m+1），直线 AB∥x 轴，
∴m+1=2m，
解得 m=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相
同是解题的关键．
15．如图，AB⊥BC，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少 15°，求出这两个角
的度数？设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为 x°，y°，根据题意所列方程组是
．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据两角互余和题目所给的关系，列出方程组．
【解答】解：设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为 x°、y°，
由题意得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是根据
题意找出合适的等量关系列方程组．
16．如图，直线 y=﹣ x+3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x 交于点 C，线
段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运
动时间为 t 秒，连接 CQ．若△OQC 是等腰直角三角形，则 t 的值为 2 或
4 ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．
【专题】分类讨论．
【分析】分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵由 ，得 ，
∴C（2，2）；
如图 1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2，
②如图 2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过 C 作 CM⊥OA 于 M，
∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即 t 的值为 2 或 4，
故答案为：2 或 4；
【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，等腰直角三角形等知识
点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
17．（6 分）计算：（2﹣ ）（2+ ）+（2﹣ ）2﹣ ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=4﹣5+4﹣4 +2﹣ =5﹣ ．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
18．（6 分）解方程组： ．
【考点】解二元一次方程组．
【分析】根据方程组的特点采用相应的方法求解，用加减法较简单．
【解答】解：①×2+②，得 11x=22，
x=2，
代入①，得 y=﹣1．
所以方程组的解为 ．
【点评】这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元
法．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点 A（﹣1，3），B（2，
0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
点 A 关于 x 轴对称的点坐标为 （﹣1，﹣3）
点 B 关于 y 轴对称的点坐标为 （﹣2，0）
点 C 关于原点对称的点坐标为 （3，1）
（2）若网格上的每个小正方形的边长为 1，则△ABC 的面积是 9 ．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）直接利用关于坐标轴对称点的性质得出各对应点位置即可；
（2）利用△ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）点 A 关于 x 轴对称的点坐标为 （﹣1，﹣3）；
点 B 关于 y 轴对称的点坐标为：（﹣2，0）；
点 C 关于原点对称的点坐标为：（3，1）；
故答案为：（﹣1，﹣3），（﹣2，0），（3，1）；
（2）△ABC 的面积是：4×5﹣ ×2×4﹣ ×3×3﹣ ×1×5=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，根据题意得出对应点
位置是解题关键．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
20．（7 分）甲、乙两位同学 5 次数学成绩统计如表，他们的 5 次总成绩相同，
小明根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，请同学们完成下列问题．
第 1
次
第 2
次
第 3
次
第 4
次
第 5
次
甲成绩 90 40 70 40 60
乙成绩 70 50 70 a 70
甲、乙两人的数学成绩统计表
（1）a= 40 ， = 60 ；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）S甲 2=360，乙成绩的方差是 160 ，可看出 乙 的成绩比较稳定（填“甲”
或“乙”）．从平均数和方差的角度分析， 乙 将被选中．
【考点】方差；折线统计图；算术平均数．
【分析】（1）根据题意和平均数的计算公式计算即可；
（2）根据求出的 a 的值，完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）根据方差的计算公式计算，根据方差的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵他们的 5 次总成绩相同，
∴90+40+70+40+60=70+50+70+a+70，
解得 a=40，
（70+50+70+40+70）=60，
故答案为：40；60；
（2）如图所示：
（3）S2 乙= [（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）
2]=160．
∵S2 乙＜S 甲 2，
∴乙的成绩稳定，
从平均数和方差的角度分析，乙将被选中，
故答案为：160；乙；乙．
【点评】本题考查的是条形统计图、方差的计算和性质，读懂条形统计图、获取
正确的信息、掌握方差的计算公式是解题的关键．
21．（7 分）已知：如图，∠1+∠D=90°，BE∥FC，且 DF⊥BE 与点 G，并分别与
AB、CD 交于点 F、D．求证：AB∥CD．（完成证明并写出推理依据）
证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+ ∠D =90°（ 三角形内角和定理 ），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴ ∠1 = ∠2 （等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（ 两直线平行，同位角相等 ），
∴∠1= ∠C （ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据 DF⊥BE 利用垂直的定义以及三角形内角和定理即可得出∠2+∠
D=90°，利用等量代换即可得出∠1=∠2，再根据平行线的性质可得出∠2=∠C，
进而可得出∠1=∠C，利用平行线的判定定理即可得出 AB∥CD．
【解答】证明：∵DF⊥BE（已知），
∴∠2+∠D=90°（三角形内角和定理），
∵∠1+∠D=90°（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∵BE∥CF（已知），
∴∠2=∠C（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠C（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠D；三角形内角和定理；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠
C；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行
线的判定与性质定理是解题的关键．
22．（7 分）已知：用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨； 用
1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨．某物流公司现有 31 吨货物，
计划同时租用 A 型车 a 辆，B 型车 b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货
物．根据以上信息，解答下列问题：
①1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
②请你帮该物流公司设计租车方案．
【考点】二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用．
【分析】（1）根据“用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车载满货物一次可运货 10 吨；”“用
1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车载满货物一次可运货 11 吨”，分别得出等式方程，组成
方程组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种
租车方案．
【解答】解：（1）设每辆 A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货 x 吨、y
吨，
依题意列方程组得：
，
解得： ．
答：1 辆 A 型车装满货物一次可运 3 吨，1 辆 B 型车装满货物一次可运 4 吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a= ，
∵a、b 都是正整数，
∴ 或 或 ．
答：有 3 种租车方案：
方案一：A 型车 9 辆，B 型车 1 辆；
方案二：A 型车 5 辆，B 型车 4 辆；
方案三：A 型车 1 辆，B 型车 7 辆．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是
各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
23．（9 分）如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F 分别是 AB，CD 上的点，
且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AD 的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）通过证明△ODF 与△OBE 全等即可求得．
（2）由△ADB 是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为 EF⊥AB，得出∠G=45°，
所以△ODG 与△DFG 都是等腰直角三角形，从而求得 DG 的长和 EF=2，然后等腰
直角三角形的性质即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，
在△ODF 与△OBE 中
∴△ODF≌△OBE（AAS）
∴BO=DO；
（2）解：∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=45°，
∴∠DBA=∠A=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠G=∠A=45°，
∴△ODG 是等腰直角三角形，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴DF⊥OG，
∴OF=FG，△DFG 是等腰直角三角形，
∵△ODF≌△OBE（AAS）
∴OE=OF，
∴GF=OF=OE，
即 2FG=EF，
∵△DFG 是等腰直角三角形，
∴DF=FG=1，∴DG= =DO，
∴在等腰 RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD
∴AD=2 ，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
平行线的性质以及平行线分行段定理．
24．（9 分）甲、乙两列火车分别从 A、B 两城同时匀速驶出，甲车开往 B 城，乙
车开往 A 城．由于墨迹遮盖，图中提供的是两车距 B 城的路程 S 甲（千米）、S 乙
（千米）与行驶时间 t（时）的函数图象的一部分．
（1）分别求出 S 甲、S 乙与 t 的函数关系式（不必写出 t 的取值范围）；
（2）求 A、B 两城之间的距离，及 t 为何值时两车相遇；
（3）当两车相距 300 千米时，求 t 的值．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象可以分别求得 S甲、S 乙与 t 的函数关系式；
（2）将 t=0 代入 S 甲=﹣180t+600，即可求得 A、B 两城之间的距离，然后将（1）
中的两个函数相等，即可求得 t 为何值时两车相遇；
（3）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得 t 的值．
【解答】解：（1）设 S 甲与 t 的函数关系式是 S 甲=kt+b，
，得 ，
即 S 甲与 t 的函数关系式是 S 甲=﹣180t+600，
设 S 乙与 t 的函数关系式是 S 甲=at，
则 120=a×1，得 a=120，
即 S 乙与 t 的函数关系式是 S 甲=120t；
（2）将 t=0 代入 S 甲=﹣180t+600，得
S 甲=﹣180×0+600，得 S 甲=600，
令﹣180t+600=120t，
解得，t=2，
即 A、B 两城之间的距离是 600 千米，t 为 2 时两车相遇；
（3）由题意可得，
|﹣180t+600﹣120t|=300，
解得，t1=1，t3=3，
即当两车相距 300 千米时，t 的值是 1 或 3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
25．（9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y= x+1 的图象与 x
轴，y 轴分别交于 A，B 两点，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求边 AB 的长；
（2）求点 C，D 的坐标；
（3）在 x 轴上是否存在点 M，使△MDB 的周长最小？若存在，请求出点 M 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题；一次函数及其应用．
【分析】（1）在直角三角形 AOB 中，由 OA 与 OB 的长，利用勾股定理求出 AB
的长即可；
（2）过 C 作 y 轴垂线，过 D 作 x 轴垂线，分别交于点 E，F，可得三角形 CBE 与
三角形 ADF 与三角形 AOB 全等，利用全等三角形对应边相等，确定出 C 与 D 坐
标即可；
（3）作出 B 关于 x 轴的对称点 B′，连接 B′D，与 x 轴交于点 M，连接 BD，BM，
此时△MDB 周长最小，求出此时 M 的坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线 y= x+1，令 x=0，得到 y=1；令 y=0，得到 x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
在 Rt△AOB 中，OA=2，OB=1，
根据勾股定理得：AB= = ；
（2）作 CE⊥y 轴，DF⊥x 轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，
∵正方形 ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；
（3）找出 B 关于 x 轴的对称点 B′，连接 B′D，与 x 轴交于点 M，此时△BMD 周
长最小，
∵B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
设直线 B′D 的解析式为 y=kx+b，
把 B′与 D 坐标代入得： ，
解得： ，即直线 B′D 的解析式为 y=﹣x﹣1，
令 y=0，得到 x=﹣1，即 M（﹣1，0）．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解
析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾
股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
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