北师大版九上第1章特殊平行四边形测试卷（1）含解析

第一章 特殊平行四边形 一、选择题 1．矩形具有而菱形不具有的性质是(  ) A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 2．如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于 E，F，那么阴影部分的 面积是矩形 ABCD 面积的(  ) A.1 5 B.1 4 C.1 3 D. 3 10 第 2 题图 第 3 题图 3．如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC 等于(  ) A．40° B．50° C．80° D．100° 4．正方形 ABCD 的面积为 36，则对角线 AC 的长为(  ) A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 5．下列命题中，真命题是(  ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6．四边形 ABCD 的对角线 AC＝BD，AC⊥BD，分别过 A，B，C，D 作对角线的平行线，所 成的四边形 EFMN 是(  ) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 7．如图，菱形 ABCD 中，∠A＝60°，周长是 16，则菱形的面积是(  ) A．16 B．16 2 C．16 3 D．8 3 第 7 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有(  ) ①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD. A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 9．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC＝4，则四边 形 CODE 的周长为(  ) A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在边 BC，AB，CA 上，且 DE∥CA，DF∥AB.下列 四种说法：①四边形 AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形 AEDF 是矩形； ③如果 AD 平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形；④如果 AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边 形 AEDF 是菱形．其中，正确的有(  ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________． 12．如图，延长正方形 ABCD 的边 BC 至 E，使 CE＝AC，则∠AFC＝________． 第 12 题图 第 14 题图 13．已知▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件____________使 其成为一个菱形(只添加一个即可)． 14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α 也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α 为________度时，两条对角线长度相 等． 15．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC＝45°，则点 D 的坐标为____________． 第 15 题图 第 16 题图 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD，CB 为边作平行四边形 CDEB，当 AD＝________时，平行四边形 CDEB 为菱形． 17．如图，已知双曲线 y＝k x(x＞0)经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F，交 BC 于点 E，且四边 形 OEBF 的面积为 6，则 k＝________． 第 17 题图 第 18 题图 18．如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△ABE 沿直线 BE 折叠后得到△GBE，延长 BG 交 CD 于点 F.若 AB＝6，BC＝10，则 FD 的长为________． 三、解答题 19．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为 M，AN⊥DC，垂足为 N，若∠BAD ＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形 ABCD 是菱形． 20.如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线． (1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD，BC 于点 E，F(保留作图痕迹，不写 作法和证明)； (2)连接 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由． 21．如图，点 E 是正方形 ABCD 外一点，点 F 是线段 AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形， 其中∠EBF＝90°，连接 CE，CF. (1)求证：△ABF≌△CBE； (2)判断△CEF 的形状，并说明理由． 22．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， CE⊥AN，垂足为点 E. (1)求证：四边形 ADCE 为矩形； (2)当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明． 23．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝4，点 E 为 BC 的中点，AE⊥BC，AF⊥CD 于点 F， CG∥AE，CG 交 AF 于点 H，交 AD 于点 G. (1)求菱形 ABCD 的面积； (2)求∠CHA 的度数． 24．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点，点 E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线 交 CE 的延长线于点 F，且 AF＝BD，连接 BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜 边的一半) (1)试判断线段 BD 与 CD 的大小关系； (2)如果 AB＝AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论； (3)若△ABC 为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形 AFBD 的形状，并说明理由. 参考答案 一、选择题 1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10．D 解析：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形 AEDF 是平行四边形，故①正确；若∠BAC＝ 90°，则平行四边形 AEDF 为矩形，故②正确；若 AD 平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形 AEDF 为菱形，故③正确；若 AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 平分∠BAC，同理可得平行四边形 AEDF 为 菱形，故④正确，则其中正确的个数有 4 个．故选 D. 二、填空题 11．菱形 12.112.5° 13.AC⊥BD(答案不唯一) 14．90 15.(2＋ 2， 2) 16.7 5 17．6 解析：设 F(a，k a )，则 B(a，2k a )，因为 S 矩形 ABCO＝S△OCE＋S△AOF＋S 四边形 OEBF， 所以 1 2k＋1 2k＋6＝a·2k a ，解得 k＝6. 18.25 6  解析：连接 EF，∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. ∵△ABE 沿 BE 折叠后得到△GBE， ∴AE＝EG，BG＝AB＝6，∴ED＝EG. ∵在矩形 ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°. 在 Rt△EDF 和 Rt△EGF 中，{ED＝EG， EF＝EF， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF＝FG.设 DF＝x，则 BF＝BG＋GF＝6＋x，CF＝CD－DF＝6 －x. 在 Rt△BCF 中，BC2＋CF2＝BF2，即 102＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得 x＝25 6 .即 DF＝25 6 . 三、解答题 19．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°. ∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°. 在△ABM 与△ADN 中， {∠AMB＝∠AND， ∠B＝∠D， AM＝AN， ∴△ABM≌△ADN， ∴AB＝AD，∴四边形 ABCD 是菱形． 20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线． (2)四边形 BEDF 为菱形．理由如下： ∵EF 垂直平分 BD，∴BF＝DF，BE＝DE，∠DEF＝∠BEF. ∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF. ∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形 BEDF 为菱形． 21.(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°. ∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠EBC＋∠FBC＝90°. 又∵∠ABF＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE. 在△ABF 和△CBE 中，有{AB＝CB， ∠ABF＝∠CBE， BF＝BE， ∴△ABF≌△CBE(SAS)． (2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下： ∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°. 又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形． 22．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC.∵AE 平分∠CAM， ∴∠CAE＝∠EAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝1 2(∠BAC＋∠CAM)＝90°. ∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形 ADCE 为矩形． (2)解：当△ABC 满足∠BAC＝90°时，四边形 ADCE 为正方形．证明如下 ∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD. 又∵四边形 ADCE 为矩形，∴四边形 ADCE 为正方形． 23．解：(1)连接 AC，BD，并且 AC 和 BD 相交于点 O. ∵AE⊥BC 且 E 为 BC 的中点，∴AC＝AB.∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB＝BC＝AD＝DC， AC⊥BD∴△ABC 和△ADC 都是正三角形，∴AB＝AC＝4. ∴AO＝1 2AC＝2，∴BO＝ AB2－AO2＝2 3， ∴BD＝4 3，∴菱形 ABCD 的面积是 1 2AC·BD＝8 3. (2)∵△ADC 是正三角形，AF⊥CD，∴∠DAF＝30°.∵CG∥AE，BC∥AD，AE⊥BC， ∴四边形 AECG 为矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°. 24．解：(1)BD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠CDE.∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE. 在△AEF 和△DEC 中， {∠FAE＝∠CDE， AE＝DE， ∠AEF＝∠CED， ∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF＝CD. ∵AF＝BD，∴BD＝CD. (2)四边形 AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形 AFBD 是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形 AFBD 是矩形． (3)四边形 AFBD 为菱形，理由如下： ∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD. 同(2)可得四边形 AFBD 是平行四边形， ∴四边形 AFBD 是菱形．