北师大版九上第1章特殊平行四边形测试卷（2）含解析

第一章 特殊平行四边形 总分 120 分 120 分钟 一．选择题（共 8 小题，每题 3 分） 1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（  ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 2．（2018•上海）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的 是（  ） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 3．（2018•日照）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AO＝CO，BO＝ DO．添加下列条件，不能判定四边形 ABCD 是菱形的是（  ） A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 4．（2018•梧州）如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1， 0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（  ） A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 5.（2018•贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF ＝3，那么菱形 ABCD 的周长为（  ） A．24 B．18 C．12 D．9 6．如图，在矩形 ABCD 中有两个一条边长为 1 的平行四边形，则它们的公共部分（即阴影 部分）的面积是（  ） A．大于 1 B．等于 1 C．小于 1 D．小于或等于 1 7．在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自 D 作 DH⊥AB 于 H，则 DH 的长是（  ） A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5 8. （2018•宜昌）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点，EG ⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中阴影部分的面积 等于 （  ） A．1 B． C． D． 二．填空题（共 6 小题，每题 3 分） 9．如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O 且 AC=8，如果∠AOD=60°，那么 AD=  4 ． 10．四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：①AB=AD；②∠ DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形 ABCD；⑤菱形 ABCD，⑥正方形 ABCD，则 在下列推理不成立的是 _________  A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④ 11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2，3），则点 C 的坐标为   ． 12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 72cm2， 则菱形的边长为 2  ．（结果中如有根号保留根号） 13．（2018•南通）如图，在△ABC 中，AD，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE∥CD，CE∥ AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件， 则能使四边形 ADCE 为菱形的是  （填序号）． 14．（2018•武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是  ． 三．解答题（共 11 小题） 15．（6 分）（2018•舟山）如图，等边△AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上， 且∠CEF＝45°．求证：矩形 ABCD 是正方形． 16．（6 分）（2018•广西）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE ＝DF． （1）求证：▱ABCD 是菱形； （2）若 AB＝5，AC＝6，求▱ABCD 的面积． 17．（6 分）（2018•湘西州）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长． 18．（6 分）已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平 分线，DE∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形． 19．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求 四边形 ABCD 的面积． 20．（8 分）如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且 AD∥BC．过点 C 作 CG⊥ AD，垂足为 G，AF 是 BC 边上的中线，连接 FG． （1）求证：AC=FG． （2）当 AC⊥FG 时，△ABC 应是怎样的三角形？为什么？ 21．（8 分）如图，E 是等边△ABC 的 BC 边上一点，以 AE 为边作等边△AEF，连接 CF， 在 CF 延长线取一点 D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结 论． 22．（8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC 相交于点 E．试说明：四边形 OBEC 是菱形． 23．（8 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC=4，判断四边形 CODE 的形状，并计算其周长． 24．（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BC 相交于 N，连接 MN，DN． （1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若 AB=6，BC=8，求 MD 的长． 25．（8 分）如图所示，有四个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿 着 AB，BC，CD，DA 以同样速度向 B，C，D，A 各点移动． （1）试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明； （2）PE 是否总过某一定点，并说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（  ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断； 【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相 等， 故选：B． 【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题． 2.（2018•上海）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的 是（  ） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A＝∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形 的性质以及判定． 3．（2018•日照）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AO＝CO，BO＝ DO．添加下列条件，不能判定四边形 ABCD 是菱形的是（  ） A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， 当 AB＝AD 或 AC⊥BD 时，均可判定四边形 ABCD 是菱形； 当∠ABO＝∠CBO 时， 由 AD∥BC 知∠CBO＝∠ADO， ∴∠ABO＝∠ADO， ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形； 当 AC＝BD 时，可判定四边形 ABCD 是矩形； 故选：B． 【点评】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判 定． 4．（2018•梧州）如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1， 0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（  ） A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2） 【分析】首先根据正方形的性质求出 D 点坐标，再将 D 点横坐标加上 3，纵坐标不变即 可． 【解答】解：∵在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣ 3，0）， ∴D（﹣3，2）， ∴将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（0，2）， 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单． 5.（2018•贵阳）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EF∥CB，交 AB 于点 F，如果 EF ＝3，那么菱形 ABCD 的周长为（  ） A．24 B．18 C．12 D．9 【分析】易得 BC 长为 EF 长的 2 倍，那么菱形 ABCD 的周长＝4BC 问题得解． 【解答】解：∵E 是 AC 中点， ∵EF∥BC，交 AB 于点 F， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF＝ BC， ∴BC＝6， ∴菱形 ABCD 的周长是 4×6＝24． 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单． 6．已知如图，在矩形 ABCD 中有两个一条边长为 1 的平行四边形．则它们的公共部分（即 阴影部分）的面积是（  ） A． 大于 1 B．等于 1 C．小于 1 D． 小于或等于 1 解：如图所示：作 EN∥AB，FM∥CD，过点 E 作 EG⊥MN 于点 G， 可得阴影部分面等于四边形 EFMN 的面积， 则四边形 EFMN 是平行四边形，且 EN=FM=1， ∵EN=1， ∴EG＜1， ∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于 1． 故选：C． 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分 面等于四边形 EFMN 的面积是解题关键． 7．在四边形 ABCD 中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自 D 作 DH⊥AB 于 H，则 DH 的长是（  ） A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5 分析：过 C 作 DH 的垂线 CE 交 DH 于 E，证明四边形 BCEH 是矩形．所以求出 HE 的长； 再求出∠DCE=30°，又因为 CD=11，所以求出 DE，进而求出 DH 的长． 解：过 C 作 DH 的垂线 CE 交 DH 于 E， ∵DH⊥AB，CB⊥AB， ∴CB∥DH 又 CE⊥DH， ∴四边形 BCEH 是矩形． ∵HE=BC=2，在 Rt△AHD 中，∠A=60°， ∴∠ADH=30°， 又∵∠ADC=90° ∴∠CDE=60°， ∴∠DCE=30°， ∴在 Rt△CED 中，DE= CD=5.5， ∴DH=2+5.5=7.5． 故选 A． 点评： 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所 对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用． 8. （2018•宜昌）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E，F 分别是对角线 AC 上的两点，EG ⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J．则图中阴影部分的面积 等于 （  ） A．1 B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为 G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等， ∴S 阴＝ S 正方形 ABCD＝ ， 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考 题型． 二．填空题（共 6 小题） 9．如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O 且 AC=8，如果∠AOD=60°，那么 AD=  4 ． 【考点】矩形的性质． 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得 OA=OD= AC，然后判断出△AOD 是等边三 角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可． 【解答】解：在矩形 ABCD 中，OA=OD= AC= ×8=4， ∵∠AOD=60°， ∴△AOD 是等边三角形， ∴AD=OA=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较 简单，熟记性质是解题的关键． 10．四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，设有下列条件：①AB=AD；②∠ DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形 ABCD；⑤菱形 ABCD，⑥正方形 ABCD，则 在下列推理不成立的是 C  A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④ 分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由 邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而 得到最后的答案． 解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确； B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确； C、由①②不能判断四边形是正方形； D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正 确． 故选 C． 点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是 正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角 的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键． 11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的标为（2，3），则点 C 的坐标为 （2，﹣3） ． 【分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 OABC 是菱形， ∴A、C 关于直线 OB 对称， ∵A（2，3）， ∴C（2，﹣3）， 故答案为（2，﹣3）． 【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性 质，利用菱形是轴对称图形解决问题． 12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形 ABCD 的面积为 120cm2，正方形 AECF 的面积为 72cm2， 则菱形的边长为 2  ．（结果中如有根号保留根号） 【分析】连接 AC、BD，由正方形的面积，可计算出正方形的边长和对角线 AC 的长，再根 据菱形的面积，计算出菱形的对角线 BD 的长，在直角△AOB 中，求出菱形的边长． 【解答】解：连接 AC、BD，AC、BD 相交于点 O． ∵正方形 AECF 的面积为 72cm2， ∴AE＝ ＝6 ， AC＝6 × ＝12． ∵菱形 ABCD 的面积为 120cm2， 即 AC×BD＝120 ∵AC＝12， ∴BD＝20 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AO＝ AC＝6，BO＝ BD＝10， ∴AB＝ ＝ ＝2 故答案为：2 【点评】本题考查了菱形的性质、面积，正方形的面积及勾股定理．解决本题的关键是根据 面积，求出菱形对角线的长． 13．（2018•南通）如图，在△ABC 中，AD，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB，AE∥CD，CE∥ AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC 中，选择一个作为已知条件，则 能使四边形 ADCE 为菱形的是 ② （填序号）． 【分析】当 BA＝BC 时，四边形 ADCE 是菱形．只要证明四边形 ADCE 是平行四边形，DA ＝DC 即可解决问题． 【解答】解：当 BA＝BC 时，四边形 ADCE 是菱形． 理由：∵AE∥CD，CE∥AD， ∴四边形 ADCE 是平行四边形， ∵BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵AD，CD 分别平分∠BAC 和∠ACB， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC， ∴四边形 ADCE 是菱形． 故答案为② 【点评】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14．（2018•武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是 30°或 150 ° ． 【考点】KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质． 【分析】分等边△ADE 在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得． 【解答】解：如图 1， ∵四边形 ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE ＝∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又 AB＝AE，DC＝DE， ∴∠AEB＝∠CED＝15°， 则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°． 如图 2， ∵△ADE 是等边三角形， ∴AD＝DE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝DC， ∴DE＝DC， ∴∠CED＝∠ECD， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CED＝∠ECD＝ （180°﹣30°）＝75°， ∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°． 故答案为：30°或 150°． 【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各 性质并准确识图是解题的关键． 三．解答题（共 11 小题） 15．（2018•舟山）如图，等边△AEF 的顶点 E，F 在矩形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠CEF ＝45°．求证：矩形 ABCD 是正方形． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LB：矩形的性质；LF： 正方形的判定． 【分析】先判断出 AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进 而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°， ∴△AEB≌△AFD（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形 ABCD 是正方形． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方 形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB 是解本题的关键． 16．（2018•广西）如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F，且 BE＝ DF． （1）求证：▱ABCD 是菱形； （2）若 AB＝5，AC＝6，求▱ABCD 的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质． 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明 AB＝AD 即可解决问题； （2）连接 BD 交 AC 于 O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵BE＝DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB＝AD， ∴四边形 ABCD 是菱形． （2）连接 BD 交 AC 于 O． ∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD， AO＝OC＝ AC＝ ×6＝3， ∵AB＝5，AO＝3， ∴BO＝ ＝ ＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴S 平行四边形 ABCD＝ ×AC×BD＝24． 【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的 关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 17.（2018•湘西州）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE、CE． （1）求证：△ADE≌△BCE； （2）若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质． 【分析】（1）由全等三角形的判定定理 SAS 证得结论； （2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段 DE 的长度，结合三角形的周 长公式解答． 【解答】（1）证明：在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°． ∵E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE． 在△ADE 与△BCE 中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）； （2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则 DE＝EC． 在直角△ADE 中，AE＝4，AE＝ AB＝3， 由勾股定理知，DE＝ ＝ ＝5， ∴△CDE 的周长＝2DE+AD＝2DE+AB＝2×5+6＝16． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合 全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰 当的判定条件． 18．已知：如图，△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，AE 是△BAC 的外角平分线，DE ∥AB 交 AE 于点 E，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE 是∠BAC 的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四边形 AEDB 是平行四边形， ∴AE 平行且等于 BD， 又∵BD=DC，∴AE 平行且等于 DC， 故四边形 ADCE 是平行四边形， 又∵∠ADC=90°， ∴平行四边形 ADCE 是矩形． 即四边形 ADCE 是矩形． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四 边形的判定得出四边形 AEDB 是平行四边形是解题关键． 19．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形 ABCD 的面积． 考点：矩形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析：如上图所示，延长 AB，延长 DC，相交于 E 点．△ADE 是等腰直角三角形， AD=DE=2，则可以求出△ADE 的面积；∠C=∠AED=45 度，所以△CBE 是等腰直角三角形， BE=CB=4 厘米，则可以求出△CBE 的面积；那么四边形 ABCD 的面积是两个三角形的面积 之差． 解：延长 AB，延长 DC，相交于 E 点，得到两个等腰直角三角形△ADE 和△CBE， 由等腰直角三角形的性质得： DE=AD=2， BE=CB=4， 那么四边形 ABCD 的面积是： 4×4÷2﹣2×2÷2 =8﹣2 =6． 答：四边形 ABCD 的面积是 6． 点评：此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延 长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键． 20．如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC，且 AD∥BC．过点 C 作 CG⊥AD， 垂足为 G，AF 是 BC 边上的中线，连接 FG． （1）求证：AC=FG． （2）当 AC⊥FG 时，△ABC 应是怎样的三角形？为什么？ 考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 分析：先根据题意推理出四边形 AFCG 是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由 第一问的结论和 AC⊥FG 得到四边形 AFCG 是正方形，然后即可得到△ABC 是等腰直角三 角形． 解答：（1）证明：∵AD 平分∠EAC，且 AD∥BC， ∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB， ∴AB=AC； AF 是 BC 边上的中线， ∴AF⊥BC， ∵CG⊥AD，AD∥BC， ∴CG⊥BC， ∴AF∥CG， ∴四边形 AFCG 是平行四边形， ∵∠AFC=90°， ∴四边形 AFCG 是矩形； ∴AC=FG． （2）解：当 AC⊥FG 时，△ABC 是等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形 AFCG 是矩形， ∴四边形 AFCG 是正方形，∠ACB=45°， ∵AB=AC， ∴△ABC 是等腰直角三角形． 点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质， 知识点比较多，注意解答的思路要清晰． 21．如图，E 是等边△ABC 的 BC 边上一点，以 AE 为边作等边△AEF，连接 CF，在 CF 延 长线取一点 D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论． 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 分析：在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD 和△ABC 都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定． 解：四边形 ABCD 是菱形． 证明：在△ABE、△ACF 中 ∵AB=AC，AE=AF ∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC ∴∠BAE=∠CAF ∴△BAE≌△CAF ∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60° ∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60° ∴∠EAC=∠CFE ∵∠DAF=∠CFE ∴∠EAC=∠DAF ∵AE=AF，∠AEC=∠AFD ∴△AEC≌△AFD ∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60° ∴△ACD 和△ABC 都是等边三角形 ∴四边形 ABCD 是菱形． 点评：本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中 多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论． 22．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC 相交 于点 E．试说明：四边形 OBEC 是菱形． 考点：菱形的判定；矩形的性质． 分析：在矩形 ABCD 中，可得 OB=OC，由 BE∥AC，EC∥BD，所以四边形 OBEC 是平行 四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形． 证明：在矩形 ABCD 中，AC=BD，∴OB=OC， ∵BE∥AC，EC∥BD， ∴四边形 OBEC 是平行四边形， ∴四边形 OBEC 是菱形． 点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理． 23．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CE∥BD，DE∥AC，若 AC=4，判 断四边形 CODE 的形状，并计算其周长． 考点：菱形的判定与性质；矩形的性质． 分析：首先由 CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形 CODE 是平行四边形，又由四边形 ABCD 是矩形，根据矩形的性质，易得 OC=OD=2，即可判定四边形 CODE 是菱形，继而求得答 案． 解：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形 CODE 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC= AC=2， ∴四边形 CODE 是菱形， ∴四边形 CODE 的周长为：4OC=4×2=8． 故答案为：8． 点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形 CODE 是菱形是解此题的关键． 24．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相 交于点 O，与 BC 相交于 N，连接 MN，DN． （1）求证：四边形 BMDN 是菱形； （2）若 AB=6，BC=8，求 MD 的长． 考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 分析：（1）根据矩形性质求出 AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO ≌△BNO，推出 OM=ON，得出平行四边形 BMDN，推出菱形 BMDN； （2）根据菱形性质求出 DM=BM，在 Rt△AMB 中，根据勾股定理得出 BM2=AM2+AB2，推 出 x2=（8﹣x）2+62，求出即可． 解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠A=90°， ∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO， 在△DMO 和△BNO 中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴OM=ON， ∵OB=OD， ∴四边形 BMDN 是平行四边形， ∵MN⊥BD， ∴平行四边形 BMDN 是菱形． （2）解：∵四边形 BMDN 是菱形， ∴MB=MD， 设 MD 长为 x，则 MB=DM=x， 在 Rt△AMB 中，BM2=AM2+AB2 即 x2=（8﹣x）2+62， 解得：x= ． 答：MD 长为 ． 点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等 知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形 是菱形． 25．如图所示，有四个动点 P，Q，E，F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点出发，沿着 AB， BC，CD，DA 以同样速度向 B，C，D，A 各点移动． （1）试判断四边形 PQEF 是否是正方形，并证明； （2）PE 是否总过某一定点，并说明理由． 考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题：动点型． 分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形， 故可根据正方形的定义证明四边形 PQEF 是否使正方形． （2）证 PE 是否过定点时，可连接 AC，证明四边形 APCE 为平行四边形，即可证明 PE 过 定点． 解：（1）在正方形 ABCD 中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA， ∴BP=QC=ED=FA． 又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， ∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF． ∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB． ∴四边形 PQEF 是菱形， ∵∠FPQ=90°， ∴四边形 PQEF 为正方形． （2）连接 AC 交 PE 于 O， ∵AP 平行且等于 EC， ∴四边形 APCE 为平行四边形． ∵O 为对角线 AC 的中点， ∴对角线 PE 总过 AC 的中点． 点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过 程中，可适当加入辅助线．