第三章 概率的进一步认识测试卷（2）
一、选择题
1．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和 2 个绿球，随机从
中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概
率是（ ）
A． B．
C． D．
2．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则
三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆
的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印
有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出
一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红
球的概率是 ．
5．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能
打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率
是 ．
6．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水
镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩
的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第
一站的概率是 ．
7．从 1，2，3 这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是
奇数的概率是 ．
8．在一个不透明的口袋中，有 3 个完全相同的小球，他们的标号分别是 2，3，
4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取
的小球标号之和为 5 的概率是 ．
9．已知 a、b 可以取﹣2、﹣1、1、2 中任意一个值（a≠b），则直线 y=ax+b 的
图象不经过第四象限的概率是 ．
三、解答题
10．在一只不透明的袋中，装着标有数字 3，4，5，7 的质地、大小均相同的小
球，小明和小东同时从袋中随机各摸出 1 个球，并计算这两个球上的数字之和，
当和小于 9 时小明获胜，反之小东获胜．
（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
11．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，
3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；
又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如
果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的
情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
12．现有一个六面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正方形骰子，
另有三张正面分别标有数字 1，2，3 的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先
由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上
放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与
卡片上的数字之积为 6 的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡
片上的数字之积大于 7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字
之积小于 7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
13．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1﹣4 的四个
球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一
个球，记下数字．若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对
双方公平吗？请说明理由．
14．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相
同），其中有红球 2 个，蓝球 1 个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球
的概率为 ．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状
图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得 5 分，摸到黄球得 3 分，摸到蓝球得 2 分（每次摸后
放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到
一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的概
率．
15．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其
中白球、黄球各 1 个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，
求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
16．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额
在 300 元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透
明的袋子中装有四个标号分别为 1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小、质地
等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若
两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
17．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各 1 个．这些
球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出 1 个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸
出 1 个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有 6 道选择题，每道题所给出的 4 个选项中，恰有一个是正确
的．如果小明从每道题的 4 个选项中随机地选择 1 个，那么他 6 道选择题全部正
确的概率是 ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣ ．
18．算式：1△1△1=□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，
“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为 1 的概率．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院
为老人服务，准备从初三（1）班中的 3 名男生小亮、小明、小伟和 2 名女生小
丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表
法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
20．一只不透明的袋子中装有白球 2 个和黄球 1 个，这些球除颜色外都相同，搅
匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出 1 个球，
请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜
色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
22．某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一
名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现
在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来
确定谁去参赛（胜者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的
点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平
局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分
别刻有 1，2，3，4，5，6 个小圆点的小正方体）
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有 A、B、C
三种型号，乙品牌有 D、E 两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一
种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么 A 型器材被
选中的概率是多少？
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为
3， ， ．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是 3 的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，
再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形
图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
25．甲、乙、丙 3 人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面
的东西只有颜色不同），将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件 A），请列出事件
A 的所有可能的结果，并求事件 A 的概率．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的
箱子中有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？
（要求画树状图或列表求解）
27．把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别标有数字 、
、 、 、 的五个小球放入 B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，
A、B 两个袋子不透明、
（1）小明分别从 A、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互
为倒数的概率；
（2）当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 时（填写所有结果），（1）中的概
率为 ．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余
都相同），其中黄球 2 个，篮球 1 个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率
是 ．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或
画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
29．一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外
均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出
一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
30．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考察，
公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应
数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的 10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统
计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张
（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的
车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：
“每人从不透明袋子中摸出分别标有 1、2、3、4 的四个球中摸出一球（球除数字
不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给
小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公
平？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的 3 个红球和 2 个绿球，随机从
中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所
求的概率．
【解答】解：列表如下：
红 红 红 绿 绿
红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣
得到所有可能的情况数为 20 种，其中两次都为红球的情况有 6 种，
则 P 两次红= = ．
故选 A
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
2．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则
三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有 8 种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有 3 种，
则 P= ．
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
3．在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆
的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取两张，则抽到卡片上印
有的图案都是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；轴对称图形．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到
卡片上印有的图案都是轴对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答
案．
【解答】解：分别用 A、B、C、D 表示等腰三角形、平行四边形、菱形、圆，
画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的有 6 种情
况，
∴抽到卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为： = ．
故选 D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
4．袋中装有一个红球和一个白球，他们除了颜色外其它都相同，随机从中摸出
一个球，记录下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到红
球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次
都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有 4 种等可能的结果，两次都摸到红球的有 1 种情况，
∴两次都摸到红球的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状
图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能
打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与任意
取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的情况，再利用概率公式求解即
可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有 6 种等可能的结果，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁
的有 3 种情况，
∴任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水
镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩
的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第
一站的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】图表型．
【分析】可以看做是李老师先选择第一站，然后儿子再进行选择，画出树状图，
再根据概率公式解答．
【解答】解：李老师先选择，然后儿子选择，
画出树状图如下：
一共有 9 种情况，都选择古隆中为第一站的有 1 种情况，
所以，P（都选择古隆中为第一站）= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
7．从 1，2，3 这三个数字中任意取出两个不同的数字，则取出的两个数字都是
奇数的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】压轴题．
【分析】首先列出树状图，可以直观的看出总共有几种情况，再找出都是奇数的
情况，根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：如图所示：
取出的两个数字都是奇数的概率是： = ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了画树状图，以及概率公式，关键是正确画出树状图．
8．在一个不透明的口袋中，有 3 个完全相同的小球，他们的标号分别是 2，3，
4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机的摸取一个小球，则两次摸取
的小球标号之和为 5 的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】列表得出所有可能的情况数，找出之和为 5 的情况数，即可求出所求的
概率．
【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 （2，2） （3，2） （4，2）
3 （2，3） （3，3） （4，3）
4 （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的结果有 9 种，其中之和为 5 的情况有 2 种，
则 P 之和为 5= ．
故答案为：
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
9．已知 a、b 可以取﹣2、﹣1、1、2 中任意一个值（a≠b），则直线 y=ax+b 的
图象不经过第四象限的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出 a 与 b 都为正数，即为直线 y=ax+b
不经过第四象限的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：列表如下：
﹣2 ﹣1 1 2
﹣2 （﹣1，﹣2） （1，﹣2） （2，﹣2）
﹣1 （﹣2，﹣1） （1，﹣1） （2，﹣1）
1 （﹣2，1） （﹣1，1） （2，1）
2 （﹣2，2） （﹣1，2） （1，2）
所有等可能的情况数有 12 种，其中直线 y=ax+b 不经过第四象限情况数有 2 种，
则 P= = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到
的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
10．在一只不透明的袋中，装着标有数字 3，4，5，7 的质地、大小均相同的小
球，小明和小东同时从袋中随机各摸出 1 个球，并计算这两个球上的数字之和，
当和小于 9 时小明获胜，反之小东获胜．
（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
∵从表中可以看出所有可能结果共有 12 种，其中数字之和小于 9 的有 4 种，
∴P（小明获胜）= = ；
（2）∵P（小明获胜）= ，
∴P（小东获胜）=1﹣ = ，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的
概率，概率相等就公平，否则就不公平．
11．甲乙两人玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，
3，现将标有数字的一面朝下，洗匀后甲从中任意抽取一张，记下数字后放回；
又将卡片洗匀，乙也从中任意抽取一张，计算甲乙两人抽得的两个数字之积，如
果积为奇数则甲胜，若积为偶数则乙胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的
情况；
（2）请判断该游戏对甲乙双方是否公平？并说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出甲乙两人抽得的数字之积所有
可能出现的情况即可；
（2）分别求出甲乙两人获胜的概率，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3
1 （1，1） （2，1） （3，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
所有等可能的情况有 9 种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（2，1）；（2，
2）；（2，3）；（3，1）；（3，2）；（3，3），
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有 1，2，3，2，4，6，3，6，
9，共 9 种；
（2）该游戏对甲乙双方不公平，理由为：
其中积为奇数的情况有 4 种，偶数有 5 种，
∴P（甲）＜P（乙），
则该游戏对甲乙双方不公平．
【点评】此题考查了游戏的公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就
要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
12．现有一个六面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正方形骰子，
另有三张正面分别标有数字 1，2，3 的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先
由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上
放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．
（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与
卡片上的数字之积为 6 的概率；
（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡
片上的数字之积大于 7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字
之积小于 7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为 6
的情况数占总情况数的多少即可．
（2）概率问题中的公平性问题，解题的关键是计算出各种情况的概率，然后比
较即可．
【解答】解：（1）如图所示：
共 18 种情况，数字之积为 6 的情况数有 3 种，P（数字之积为 6）= = ．
（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共 18 种，其中骰子向上一面出现的数
字与卡片上的数字之积大于 7 的有 7 种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数
字之积小于 7 的有 11 种，所以小明赢的概率= ，小王赢的概率= ，故小王
赢的可能性更大．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者
取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情
况数与总情况数之比．
13．小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1﹣4 的四个
球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一
个球，记下数字．若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对
双方公平吗？请说明理由．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于 5 的情况数，分别求
出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：这个游戏对双方不公平．
理由：列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和大于 5 的情况有（2，4），（3，3），
（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）共 6 种，
故小颖获胜的概率为： = ，则小丽获胜的概率为： ，
∵ ＜ ，∴这个游戏对双方不公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要
计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
14．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相
同），其中有红球 2 个，蓝球 1 个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球
的概率为 ．
（1）求口袋中黄球的个数；
（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状
图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；
（3）现规定：摸到红球得 5 分，摸到黄球得 3 分，摸到蓝球得 2 分（每次摸后
放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到
一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的概
率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为 x 个，根据题意得： = ，解此
方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸
出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的有 3
种情况，且共有 4 种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）设口袋中黄球的个数为 x 个，
根据题意得： = ，
解得：x=1，
经检验：x=1 是原分式方程的解；
∴口袋中黄球的个数为 1 个；
（2）画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，两次摸出都是红球的有 2 种情况，
∴两次摸出都是红球的概率为： = ；
（3）∵摸到红球得 5 分，摸到蓝球得 2 分，摸到黄球得 3 分，而乙同学在一次
摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，
∴乙同学已经得了 7 分，
∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的有 3 种情况，
且共有 4 种等可能的结果；
∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于 10 分的概率为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
15．在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同）．其
中白球、黄球各 1 个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是 ．
（1）求暗箱中红球的个数．
（2）先从暗箱中任意摸出一个球记下颜色后放回，再从暗箱中任意摸出一个球，
求两次摸到的球颜色不同的概率（用树形图或列表法求解）．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】图表型．
【分析】（1）设红球有 x 个，根据概率的意义列式计算即可得解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）设红球有 x 个，
根据题意得， = ，
解得 x=1，
经检验 x=1 是原方程的解，
所以红球有 1 个；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有 9 种情况，两次摸到的球颜色不同的有 6 种情况，
所以，P（两次摸到的球颜色不同）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
16．今年“五•一”节期间，红星商场举行抽奖促销活动，凡在本商场购物总金额
在 300 元以上者，均可抽一次奖，奖品为精美小礼品．抽奖办法是：在一个不透
明的袋子中装有四个标号分别为 1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小、质地
等完全相同．抽奖者第一次摸出一个小球，不放回，第二次再摸出一个小球，若
两次摸出的小球中有一个小球标号为“1”，则获奖．
（1）请你用树形图或列表法表示出抽奖所有可能出现的结果；
（2）求抽奖人员获奖的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据列表法与画树状图的方法画出即可；
（2）根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）列表法表示如下：
第 1 次
第 2 次
1 2 3 4
1 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3）
或树状图：
（2）由表格或树形图可知，抽奖所有可能出现的结果共有 12 种，
这些结果出现的可能性相等，其中有一个小球标号为“1”的有 6 种，
所以抽奖人员的获奖概率为 P= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
17．（1）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、绿的球各 1 个．这些
球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出 1 个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出 1 个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸
出 1 个球，两次都是红球；
（2）某次考试共有 6 道选择题，每道题所给出的 4 个选项中，恰有一个是正确
的．如果小明从每道题的 4 个选项中随机地选择 1 个，那么他 6 道选择题全部正
确的概率是 B ．
A. B. C.1﹣ D.1﹣ ．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）①搅匀后从 4 个球中任意摸出 1 个球，求出恰好是红球的概率即可；
②列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的
概率；
（2）求出每一道题选择正确的概率，利用乘法法则即可求出全部正确的概率．
【解答】解：（1）①搅匀后从中任意摸出 1 个球，恰好是红球的概率为 ；
②列表如下：
红 黄 蓝 绿
红 （红，红） （黄，红） （蓝，红） （绿，红）
黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄） （绿，黄）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝） （绿，蓝）
绿 （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿） （绿，绿）
所有等可能的情况数有 16 种，其中两次都为红球的情况数有 1 种，
则 P= ；
（2）每道题所给出的 4 个选项中，恰有一个是正确的概率为 ，
则他 6 道选择题全部正确的概率是（ ）6．
故选 B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
18．算式：1△1△1=□，在每一个“△”中添加运算符号“+”或“﹣”后，通过计算，
“□”中可得到不同的运算结果．求运算结果为 1 的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】根据题意得到添加运算符合的所有情况，计算得到结果，即可求出所求
的概率．
【解答】解：添加运算符合的情况有：“+”，“+”；“+”，“﹣”；“﹣”，“+”；
“﹣”“﹣”，共 4 种情况，
算式分别为 1+1+1=3；1+1﹣1=1；1﹣1+1=1；1﹣1﹣1=﹣1，其中结果为 1 的情
况有 2 种，
则 P 运算结果为 1= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
19．在重阳节敬老爱老活动中，某校计划组织志愿者服务小组到“夕阳红”敬老院
为老人服务，准备从初三（1）班中的 3 名男生小亮、小明、小伟和 2 名女生小
丽、小敏中选取一名男生和一名女生参加学校志愿者服务小组．
（1）若随机选取一名男生和一名女生参加志愿者服务小组，请用树状图或列表
法写出所有可能出现的结果；
（2）求出恰好选中男生小明与女生小丽的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）用列表的方法将所有情况一一列举出来即可；
（2）确定共有 6 种情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，根据概率公式求
解即可．
【解答】解：（1）列表为：
小亮 小明 小伟
小丽 小丽，小亮 小丽，小明 小丽，小伟
小敏 小敏，小亮 小敏，小明 小敏，小伟
（2）∵共有 6 种等可能的情况，而正好是小丽和小明的有一种情况，
∴正好抽到小丽与小明的概率是 ．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有 n 种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P
（A）= ．
20．一只不透明的袋子中装有白球 2 个和黄球 1 个，这些球除颜色外都相同，搅
匀后从中任意摸出 1 个球，记下颜色后不放回，搅匀后再从中任意摸出 1 个球，
请用列表或画树状图的方法求两次都摸出白球的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出
所求的概率．
【解答】解：列表如下：
白 白 黄
白 ﹣﹣﹣ （白，白） （黄，白）
白 （白，白） ﹣﹣﹣ （黄，白）
黄 （白，黄） （白，黄） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况数为 6 种，其中两次都是白球的情况数有 2 种，
则 P 两次都为白球= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
21．小明从家到学校上学，沿途需经过三个路口，每个路口都设有红、绿两种颜
色的信号灯，在信号灯正常情况下：
（1）请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况；
（2）小明遇到两次绿色信号的概率有多大？
（3）小明红绿色两种信号都遇到的概率有多大？
【考点】列表法与树状图法．
【专题】图表型．
【分析】（1）分红灯、绿灯两种等可能情况画出树状图即可；
（2）根据树状图得到总情况数和两次绿灯的情况数，然后利用概率公式列式计
算即可得解；
（3）根据红、绿色两种信号都遇到的情况数，利用概率公式列式计算即可得
解．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有 8 种情况；
（2）两次绿色信号的情况数是 3 种，
所以，P（两次绿色信号）= ；
（3）红绿色两种信号的情况有 6 种，
所以，P（红绿色两种信号）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
22．某中学要在全校学生中举办“中国梦•我的梦”主题演讲比赛，要求每班选一
名代表参赛．九年级（1）班经过投票初选，小亮和小丽票数并列班级第一，现
在他们都想代表本班参赛．经班长与他们协商决定，用他们学过的掷骰子游戏来
确定谁去参赛（胜者参赛）．
规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的
点数都是奇数，则小亮胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平
局，若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
如果小亮和小丽按上述规则各掷一次骰子，那么请你解答下列问题：
（1）小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少？
（2）该游戏是否公平？请用列表或树状图等方法说明理由．（骰子：六个面上分
别刻有 1，2，3，4，5，6 个小圆点的小正方体）
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先判断出向上一面的点数为奇数有 3 种情况，然后根据概率公式，
求出小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少即可．
（2）首先应用列表法，列举出所有可能的结果，然后分别判断出小亮、小丽获
胜的概率是多少，再比较它们的大小，判断出该游戏是否公平即可．
【解答】解：（1）∵向上一面的点数为奇数有 3 种情况，
∴小亮掷得向上一面的点数为奇数的概率是： ．
（2）填表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由上表可知，一共有 36 种等可能的结果，其中小亮、小丽获胜各有 9 种结果．
∴P（小亮胜）= ，P（小丽胜）= = ，
∴游戏是公平的．
【点评】（1）此题主要考查了判断游戏公平性问题，要熟练掌握，首先计算每个
事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）此题主要考查了列举法（树形图法）求概率问题，解答此类问题的关键在
于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，
为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
23．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有 A、B、C
三种型号，乙品牌有 D、E 两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一
种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么 A 型器材被
选中的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【专题】压轴题．
【分析】（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有 6 种情况，选中 A 的情况有 2 种，进而得
到概率．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有 6 种，
A 型器材被选中情况有 2 中，概率是 = ．
【点评】本题考查概率公式，即如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能
性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ．
24．在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为
3， ， ．（卡片除了实数不同外，其余均相同）
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是 3 的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，
再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形
图）法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，
分别为 3， ， ，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两
次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答
案．
【解答】解：（1）∵在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一
个实数，分别为 3， ， ．
∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是 3 的概率是： ；
（2）画树状图得：
∵共有 6 种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有 2 种情
况，
∴两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： = ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
25．甲、乙、丙 3 人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面
的东西只有颜色不同），将 3 件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
A、乙抽到一件礼物
B、乙恰好抽到自己带来的礼物
C、乙没有抽到自己带来的礼物
D、只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙 3 人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件 A），请列出事件
A 的所有可能的结果，并求事件 A 的概率．
【考点】列表法与树状图法；随机事件．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据必然事件、随机事件的定义对各选项分析判断后利用排除法求
解；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）A、乙抽到一件礼物是必然事件；
B、乙恰好抽到自己带来的礼物是随机事件；
C、乙没有抽到自己带来的礼物是随机事件；
D、只有乙抽到自己带来的礼物是随机事件；
故选 A；
（2）设甲、乙、丙三人的礼物分别记为 a、b、c，
根据题意画出树状图如下：
一共有 6 种等可能的情况，三人抽到的礼物分别为（abc）、（acb）、（bac）、
（bca）、（cab）、（cba），
3 人抽到的都不是自己带来的礼物的情况有（bca）、（cab）有 2 种，
所以，P（A）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
26．在某校举行的“中国学生营养日”活动中，设计了抽奖环节：在一只不透明的
箱子中有 3 个球，其中 2 个红球，1 个白球，它们除颜色外均相同．
（1）随机摸出一个球，恰好是红球就能中奖，则中奖的概率是多少？
（2）同时摸出两个球，都是红球 就能中特别奖，则中特别奖的概率是多少？
（要求画树状图或列表求解）
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据概率的意义解答即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵2 个红球，1 个白球，∴中奖的概率为 ；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有 6 种情况，都是红球的有 2 种情况，
所以，P（都是红球）= = ，
即中特别奖的概率是 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率的意义，用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
27．把分别标有数字 2、3、4、5 的四个小球放入 A 袋内，把分别标有数字 、
、 、 、 的五个小球放入 B 袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，
A、B 两个袋子不透明、
（1）小明分别从 A、B 两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互
为倒数的概率；
（2）当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 或 或 或 时（填写所有结
果），（1）中的概率为 ．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与
这两个小球上的数字互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率为 ，可得这两个小球上的数字互为倒数的有 5 种情况，继而可求
得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有 20 种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有 4 种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ；
（2）∵当 B 袋中标有 的小球上的数字变为 或 或 或 时，
∴这两个小球上的数字互为倒数的有 5 种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ．
故答案为： 或 或 或 ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法
适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
28．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余
都相同），其中黄球 2 个，篮球 1 个．若从中随机摸出一个球，摸到篮球的概率
是 ．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或
画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）设口袋里红球的个数为 x，根据题意列出方程，求出方程的解得到
x 的值即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况数，
即可求出所求概率．
【解答】解：（1）设红球有 x 个，
根据题意得： = ，解得：x=1，
经检验 x=1 是原方程的根．
则口袋中红球有 1 个；
（2）列表如下：
红 黄 黄 蓝
红 ﹣﹣﹣ （黄，红） （黄，红） （蓝，红）
黄 （红，黄） ﹣﹣﹣ （黄，黄） （蓝，黄）
黄 （红，黄） （黄，黄） ﹣﹣﹣ （蓝，黄）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （黄，蓝） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有 12 种，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有 4 种，
则 P= = ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
29．一只不透明的箱子里共有 3 个球，其中 2 个白球，1 个红球，它们除颜色外
均相同．
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出
一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】（1）根据概率的意义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵共有 3 个球，2 个白球，
∴随机摸出一个球是白球的概率为 ；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有 6 种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有 2 种，
所以，P（两次摸出的球都是白球）= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
30． “五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考
察，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和
相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的 10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统
计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张
（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的
车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：
“每人从不透明袋子中摸出分别标有 1、2、3、4 的四个球中摸出一球（球除数字
不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给
小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公
平？
【考点】列表法与树状图法；条形统计图；概率公式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，
用甲，乙，丙车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统
计图即可；
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为 20 张，即可求出所求的概
率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与
否．
【解答】解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）=100（张），
则 D 地车票数为 100﹣（20+40+30）=10（张），补全图形，如图所示：
（2）总票数为 100 张，甲地票数为 20 张，
则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为 = ；
（3）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况数有 16 种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有 6 种：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴P 小王掷得的数字比小李小= = ，则 P 小王掷得的数字不小于小李=1﹣ = ，则这个规则不
公平．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与
总情况数之比．
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