中学2021届高三上学期第一次月考（8月）数学（理）试题 含答案详解

高三 2020 年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.函数 的最小值是（ ） A.1 B. C. D.2 2.函数 的最小值是（ ） A.5 B. 4 C.3 D.2 3.函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 4.函数 满足 ，则函数 等于（ ） A. B. C. D. 5.函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 6.函数 是 R 上的增函数，则实数 的范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知函数 的值域是 ，则 的值域是（ ） xxy 412 −+= 2 1 4 1 )1(4 2 ≥+= xxxy )12( −xf ]2,1[ )1( +xf ]3,1[ ]42[ ， ]10[ ， ]2,0[ )(xf xxfxf =−− )1(2)( )(xf 3 2−x 3 2+x 1−x 1+− x ),3[,12 23)( +∞∈+ += xx xxf ),7 11[ +∞ ),2 3[ +∞ )2,7 11[ ]7 11,2 3（    ≥ 1a = ( ) 4f x > ( ) 4 2f x x> − [ ]3, 1x∈ − − a18. （12 分）已知函数 是 上的奇函数. （1）求 的值；（2）判断并证明 的单调性； （3）若对任意实数，不等式 恒成立，求 的取值范围. 19．（12 分）已知不等式 的解集为 M. （1）求集合 M； （2）设集合 M 中元素的最大值为 t.若 ， ， ，满足 ， 求 的最小值. 2 1( ) 1 2 x x af x ⋅ −= + R a ( )f x [ ]( ) (3 ) 0f f x f m+ − > m 1 5| 2 | 2 2x x− + + ≤ 0a > 0b > 0c > 1 1 1 22 3 ta b c + + = 2 9 9 3 a b c+ +20．（12 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参 数），在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值. 21．（12 分）已知函数 . （1）若函数 在 上具有单调性，求实数 的取值范围； （2）若在区间 上，函数 的图象恒在 图象上方，求实数 的 范围 22．（12 分）已知函数 ． xOy C 3cos 3sin x y α α = = α O x l 2sin( )4 2 πρ θ − = C l ( 1,0)P − l C ,A B PA PB+ ( ) ( )2 1 7g x x m x m= − − + − ( )g x [ ]2,4 m [ ]1,1− ( )y g x= 2 9y x= − m 21( ) ( 1) (1 2 )ln ( 0)2f x ax a x a x a= + − + − >（1）若 是函数的极值点，求 的值及函数 的极值； （2）讨论函数的单调性． 高三 2020 年秋期第一次月考数学学科试卷 一：选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1---5：B C D A D 6----10：A C C D B 11--12：B D 二：填空题 13 ： :14 ： :15 ： :16 ： 三：解答题 17．已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. 【详解】 2x = a ( )f x { }101 ≠≠−> xxxx 且且 { ≤≤≥ 9 101 aaa 或 )4,(−∞ { | 0 1}a a< < ( ) ( )2 1 0f x x a x a= + + − > 1a = ( ) 4f x > ( ) 4 2f x x> − [ ]3, 1x∈ − − a（1）当 时， ， 故 等价于 或 或 ，解得 或 . 故不等式 的解集为 . （2）当 时，由 得 ， 即 ，即 或 对任意的 恒成立. 又 ， ，故 的取值范围为 . 又 ，所以 ， 综上， 的取值范围为 . 18.已知函数 是 上的奇函数. （1）求 的值；（2）判断并证明 的单调性；（3）若对任意实数，不等式 恒成立，求 的 取值范围. 解：（Ⅰ）∵ 为 上的奇函数，∴ ，即 ，由此得 ;经检验 符合题意，故 （Ⅱ）由（1）知 ∴ 为 上的增函数. 1a = ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 4f x > 1 3 1 4 x x ≤ − − + > 1 1 3 4 x x − < ≤ − + > 1 3 1 4 x x >  − > 1x < − 5 3x > ( ) 4f x > 5| 1 3xx x > < −  或 [ ]3, 1x∈ − − ( ) 4 2f x x> − 2 2 2 4 0x a x x+ + − + − > 2x a+ > 2a x> − 2a x< − − [ ]3, 1x∈ − − ( )max2 5x− = ( )min2 1x− − = − a ( ) ( ), 1 5,−∞ − +∞ 0a > 5a > a ( )5,+∞ 2 1( ) 1 2 x x af x ⋅ −= + R a ( )f x [ ]( ) (3 ) 0f f x f m+ − > m ( )f x R ( )0 0f = 1 02 a − = 1a = 1a = ( ) 2 1 212 1 2 1 x x xf x −= = −+ + ( )f x R证明，设 ，则 ∵ ，∴ ，∴ ∴ 为 上的增函数. 法二： ∴ 为 上的增函数. （Ⅲ）∵ 为 上的奇函数 ∴原不等式可化为 ，即 又∵ 为 上的增函数，∴ ， 由此可得不等式 对任意实数 恒成立 由 ∴ .即 19．已知不等式 的解集为 M. （1）求集合 M； （2）设集合 M 中元素的最大值为 t.若 ， ， ，满足 ， 1 2x x< ( ) ( ) 1 2 2 11 2 2 2 2 21 12 1 2 1 2 1 2 1x x x xf x f x  − = − − − = − + + + +  1 2x x< 2 1 2 2 02 1 2 1x x − + ⋅=′ x x xf ( )f x R ( )f x R ( ) ( )3f f x f m  > − −  ( ) ( )3f f x f m  > −  ( )f x R ( ) 3f x m> − ( ) 23 4 2 1xm f x< + = − + x 22 0 2 1 1 0 22 1 x x x > ⇒ + > ⇒ < < ⇒+ 2 22 0 2 4 42 1 2 1x x − < − < ⇒ < − 0b > 0c > 1 1 1 22 3 ta b c + + =求 的最小值. 【详解】 （1） ， 又因为 ， 所以 ， 当 时， 舍去， 当 时， 成立， 当 时， 舍去， 则 （2）设集合 M 中元素的最大值为 ，即 . 又因为 2 9 9 3 a b c+ + 1 1 5| 2 | ( 2)2 2 2x x x x − + + ≥ − − + ≥   1 5| 2 | 2 2x x− + + ≤ 1 5| 2 | 2 2x x− + + = 2 1x < − ( ) 1 3 5 12 2 ,2 2 2 2x x x x − − − + = − + = = −   1 22 x− ≤ ≤ ( ) 1 52 2 2x x − − + + =   2x > ( ) 1 3 52 2 , 22 2 2x x x x − + + = − = =   1 22M x x  = − ≤ ≤    2t = 1 1 1 42 3a b c + + = 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1·9 9 3 4 9 9 3 2 3 4 3 3 42 3 3 a b c a b c a b c a b c a b c    + + = + + + + ≥ + ⋅ + ⋅ =       所以即 的最小值 ，当且仅当 ， ， 时取等号. 20．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在 以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值. 解：（Ⅰ）由 ,所以曲线的普通方程为 由 所以直线的直角坐标方程 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,点 在直线 上, 可设直线 的参数方程为 （ 为参数）, 代入 得 设 两点对应的参数分别是 ,则 2 9 9 3 a b c+ + 1 4 3 4a = 3 8b = 1 4c = xOy C 3cos 3sin x y α α = = α O x l 2sin( )4 2 πρ θ − = C l ( 1,0)P − l C ,A B PA PB+ 2 23cos 19 33sin x x y y α α = ⇒ + = = 2 2 19 3 x y+ = 2 2sin( ) sin cos cos sin 14 2 4 4 2 y x π π πρ θ ρ θ ρ θ− = ⇒ − = ⇒ − = 1y x= + -1,0P（ ） l l 21 2 2 2 x t y t  = − +  = t 2 2 19 3 x y+ = 22 2 8 0, 2 64 0t t− − = ∆ = + > ,A B 1 2,t t 1 2 1 2 2 , 42t t t t+ = = −由参数的几何意义得 , 所以 21．已知函数 . （1）若函数 在 上具有单调性，求实数 的取值范围； （2）若在区间 上，函数 的图象恒在 图象上方，求实数 的 取值范围. 【详解】(1) 的对称轴的方程为 ，若函数 在 上具有单调性， 所以 或 ，所以实数 的取值范围是 或 . （2）若在区间 上，函数 的图象恒在 图象上方， 则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，设 ，则 ， 当 ，即 时， ，此时 无解， 当 ，即 时， ， 此时 ，当 ，即 时， ，此时 ， 2 1 2 1 2 2 2 66( ) 4 2PA PB t t t t t t+ = − = + − = 66 2PA PB+ = ( ) ( )2 1 7g x x m x m= − − + − ( )g x [ ]2,4 m [ ]1,1− ( )y g x= 2 9y x= − m ( )g x 1 2 mx −= ( )g x [ ]2,4 1 22 m − ≤ 1 42 m − ≥ m 5m ≤ 9m ≥ [ ]1,1− ( )y g x= 2 9y x= − ( )2 1 7 2 9x m x m x− − + − > − [ ]1,1− ( )2 1 2 0x m x m− + + + > [ ]1,1− ( ) ( )2 1 2f x x m x m= − + + + ( )min 0f x > 1 12 m − ≤ − 3m ≤ − ( ) ( )min 1 2 4 0f x f m= − = + > m 11 12 m −− < < 3 1m− < < ( ) 2 min 1 1 7 02 4 2 4 m mf x f m + = = − + + >   1 2 2 1m− < < 1 12 m − ≥ 1m ≥ ( ) ( )min 1 2 0f x f= = > 1m ≥综上 . 22．已知函数 ． （1）若 是函数的极值点，求 的值及函数 的极值； （2）讨论函数的单调性． 详解：（1）∵ ， ∴ ， 由已知 ，解得 ， 此时 ， ， 当 和 时， ， 是增函数， 当 时， ， 是减函数， 所以函数 在 和 处分别取得极大值和极小值， 的极大值为 ，极小值为 . （2）由题意得 1 2 2m ≥ − 21( ) ( 1) (1 2 )ln ( 0)2f x ax a x a x a= + − + − > 2x = a ( )f x ( ) ( )21 12f x ax a= + − ( )1 2 lnx a x+ − ( ) ( ) ( )1 21 0af x ax a xx −= + +′ − > ( ) ( ) 1 22 2 1 2 af a a −= + − +′ 12 02a= − = 1 4a = ( ) 21 3 1 ln8 4 2f x x x x= − + ( ) 1 3 1 4 4 2f x x x = − +′ ( )( )1 2 4 x x x − −= 0 1x< < 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2x< < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 1x = 2x = ( )f x ( ) 1 3 51 8 4 8f = − = − ( ) 1 3 1 12 ln2 ln2 12 2 2 2f = − + = − ( ) ( ) 1 21 af x ax a x −= + − +′ ( ) ( )2 1 1 2ax a x a x + − + −=， ①当 ，即 时，则当 时, , 单调递减； 当 时 , , 单调递增． ②当 ，即 时，则当 和 时, ， 单调递增；当 时, , 单调递减． ③当 ，即 时，则当 和 时， , 单调递增；当 时， ， 单调递减． ④当 ，即 时， ， 在定义域 上单调递 增． 综上：①当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；②当 时， 在定义域 上单调递增；③ 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 和 上单调递增；④当 时 在区间 上单调递减，在区间（ ） 上单调递增． ( ) ( ) 1 21 0 aa x x a xx − − −  = > 1 2 0a a − ≤ 1 2a ≥ 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 20 1a a −< < 1 1 3 2a< < 1 20 ax a −< < 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x 1 2 1a xa − < < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2 1a a − > 10 3a< < 0 1x< < 1 2ax a −> ( ) 0f x′ > ( )f x 1 21 ax a −< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 2 1a a − = 1 3a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞ 10 3a< < ( )f x 1 21, a a −     ( )0,1 1 2 ,a a − +∞   1 3a = ( )f x ( )0,+∞ 1 1 3 2a< < ( )f x 1 2 ,1a a −     1 20, a a −     ( )1,+∞ 1 2a ≥ ( )f x ( )0,1 1,+∞