浙江省新高考名校交流模拟卷
数学（二） 命题学校：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间为 120 分钟
参考公式：柱体的体积公式： （其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）
锥体的体积公式： （其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）
台体的体积公式： （其中 ， 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的
高）
球的表面积公式： ，球的体积公式： （其中 R 表示球的半径）
如果事件 A、B 互斥，那么
如果事件 A、B 相互独立，那么
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中时间 A 恰好发生 k 次的概率
（ ）
第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.双曲线 的渐近方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 可能是（ ）
A.0 B. C. D.
4.若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A.2 B.3 C. D.
V Sh=
1
3V Sh=
( )1 1 2 2
1
3V h S S S S= + + 1S 2S
24S Rπ=
34
3
RV
π=
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = +
( ) ( ) ( )P A B P A P B⋅ = ⋅
( ) ( )1 n kk k
n nP K C p p −= − 0,1,2, ,k n=
6 ,5A x xx
= ∈ ∈ − N Z { }2 3 4 0B y y y= − − ≤ A B∩ =
{ }2,3 { }2,3,4 { }1,2,3− { }1,2,3,4−
2 22 2 0x y− − =
2
2y x= ± 2y x= ± 1
2y x= ± 2y x= ±
( ) ( )sin sinx xϕ ϕ+ = − + ϕ
2
π π 2π
3
2 2
x y
x y
+ ≤
− ≤ 2z x y= +
13
3
14
3
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为 ，乙、丙打中的概率均为 （ ），若甲、乙、丙
都打中的概率是 ，设 表示甲、乙两人中中靶的人数，则 的数学期望是（ ）
A. B. C.1 D.
8.正项等比数列 中， ， ，则 的值是（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
9.如图已知矩形 ， ，将 沿着 翻折成一个空间四边形（A，B，C，D 不共
面），E，F，M，N，P 分别为 ， ， ， ， 的中点，设二面角 的平面角为 .
下面判断错误的是（ ）
A. 平面 B.存在 ，使得 与 垂直
C.当平面 平面 时， D.当平面 平面 时，
10.若关于 x 的不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
a ∈ R sin 2cosα α= 2sin 2 4 10
πα + =
1
3 4
t 0 4t< <
9
48
ξ ξ
1
4
2
5
13
12
{ }na 2 1a = 3 5 16a a⋅ = 2 4
1 3
a a
a a
+
+
ABCD 2 2AB AD= = DBC△ DB
AB CD AC BD CB C BD A− − θ
MN ⊥ EFP θ MN DC
ADB ⊥ DCB 2cos 5CDA∠ = ADB ⊥ ACB tan 15θ =
26 6 4ax x ax+ + − − ≥
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11.已知复数 ，其中 i 是虚数单位，则 ______.
12.已知 ，则 ______； ______.
13.已知 的展开式共有 6 项，则 n 的值是______；其中常数项为______.
14.已知两个单位向量 ， ，若 ， ______； 的最小值是______.
15.存在第一象限的点 在椭圆 （ ）上，使得过点 M 且与椭圆在此点的切线
垂直的直线经过点 （c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是______.
16.设正数 a，b 满足 ，则 ______； ______.
17.已知函数 ， ，t 为常数，它的最大值为 ，则 t 的取值范围为______.
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本题满分 14 分）设 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 ， ， .
（1）求 c 的值；
（2）求 的值.
19. （ 本 题 满 分 15 分 ） 在 数 列 ， 中 ， 已 知 ， ， 且
，（ ）.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 .
20.（本题满分 15 分）设三棱柱 ， ， 平面 ，M、D 分别为 、
的中点， ， .
( ],1−∞ [ ]1,1−
[ )1,− +∞ ( ] [ ), 1 1,−∞ − +∞
1
iz i
= − z z⋅ =
sin 2cos 0α α+ = tanα = 2 2sin 2cosα α− =
2
3
1
3
n
x x
−
1e
2e
1 2
1
2e e⋅ =
1 2e e− =
1 2 1 2e e e eλ+ + −
( )0 0,M x y
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> >
0 0
2 2 1x x y y
a b
+ = ,02
cN
2 2 14 4a b ab
+ + = a = b =
( ) 12 2xf x x t t= − + − [ ]0,1x∈ 3
2
ABC△ 2a = 1b = 2C A=
sin cos6 3C C
π π − + −
{ }na { }nb 1 1a = 1
1
2n na a+ =
( )( )1 2
12 1 4 16nb b nb n n n+ + + = + −
*n∈N
{ }na { }nb
{ }n na b nT
1 1 1ABC A B C− AB BC CA= = 1A A ⊥ ABC AB
1BB 1 2AA = 1AC =
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 的角的正弦值；
（3）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
21.（本题满分 15 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 C： （ ）过点 ，
离心率为 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M 是椭圆 C 上一点，且 M 点不在坐标轴上，点 ， ，已知直线 与 y 轴交于点
P，直线 与 x 轴交于点 Q.求证： 为定值，并求出该定值.
22.（本题满分 15 分）已知 ， .
（1）若 在 上恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）若 m， ， ，求证： .
浙江省新高考名校交流模拟卷·数学（二）参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1.D【解析】 ， ，所以
.
2.A【解析】 ， ， ，所以渐近线方程为 .
3.B【解析】可带入检验，左式 ，右式 .
CM ⊥ 1A B
1C D 1A B
1ADC ABC
xOy
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 13, 2
3
2
( ),0A a ( )0,B b MA
MB AQ BP⋅
( ) lnf x x= ( )g x x=
( ) ( ) ( )af x g xg x
+ ≥ ( ]0,1x∈
0n > 1m n+ = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1
4f m f n g m g n− <
{ }6 , 1,2,3,45A x xx
= ∈ ∈ = − − N Z { } { }2 3 4 0 1 4B y y y y y= − − ≤ = − ≤ ≤
{ }1,2,3,4A B = −
2
2 12
x y− = 2a = 1b = 2
2y x= ±
sin cos2x x
π = + = sin cos2x x
π = − + =
4.D【解析】由约束条件确定的可行域如图所示.由 得 ，显然当 经过点
时，在 y 轴上的截距 z 取最大值，此时 ，所以 z 的最大值为 .
5.C【解析】还原成立体图形，一个长方体，截去两个三棱锥.
6.A【解析】① 为第一象限， ， ， ，② 为第三象限，
， ， ， 反 之 ， 时 ，
， 即 或 ，
“ ”是 的充分不必要条件.
7.D【解析】 ， 列出分布列，利用期望公式计算.
8.A【解析】 ， ， ， .
9.B【解析】逐项分析
【 选 项 A 解 析 】 如 图 ① 易 知 是 菱 形 ， 所 以 ， 如 图 ② ， 连 接 ， ， 知
，所以 是等腰三角形，得 ，易知中位线 ，故 ，
2z x y= + 2y x z= − + 2y x z= − +
5 4,3 3A
5 4 142 3 3 3z = × + = 14
3
α 2sin
5
α = 1cos
5
α = 2sin 2 4 10
πα + =
α
2sin
5
α −= 1cos
5
α −= 2sin 2 4 10
πα + =
2sin 2 4 10
πα + =
2 2
2 2
2sin cos cos sin 1
cos sin 5
α α α α
α α
+ − =+
2
2
2tan 1 tan 1 tan 21 tan 5
α α αα
+ − = ⇒ =+
1tan 3
α = − ∴
tan 2α = 2sin 2 4 10
πα + =
9 1
48 3 4 4
t t= × × 3t =
2 1a = 2
3 5 4 16a a a⋅ = = 4 4a = 2 4
1 3
2a a qa a
+ = =+
ENFM MN EF⊥ NC NA
5
2NC NA= = ANC△ MN AC⊥ PE AC∥ MN PE⊥
由（1）（2）可得， 平面 .
【选项B解析】由A解析可知， 平面 ，可得 ，易知中位线 ，故有 .
若选项 B 成立，存在 ，使得 与 垂直 面 ，与右图 等腰矛
盾.
【 选 项 C 解 析 】 当 平 面 平 面 时 ， 如 右 图 做 ， 连 接 ， 易 知 ，
，由 ，其中 ，得 ，因为
是直角三角形，所以 ，故 .
【选项 D 解析】当平面 平面 时，因为 ，所以 面 故 ，易得
， 为 . 由 ， 得 ，
， 易 证 ， 则 面 所 以 ， 易 知 ， 故
MN ⊥ EFP
MN ⊥ EFP MN FP⊥ FP BD∥ MN BD⊥
θ MN DC MN⇒ ⊥ BCD MN NC⇒ ⊥ ACN△
ADB ⊥ DCB CG BD⊥ AG 2
5
CG =
1
5
BG = 2 2 2 2 cosAG AB BG AB BG ABG= + − ⋅ ∠ 2cos
5
ABG∠ = 13
5
AG =
ACG△ 17
5
AC =
2 2 2 2cos 2 5
AD CD ACCDA AD CD
+ −∠ = =⋅
ADB ⊥ ACB AD AB⊥ AD ⊥ ABC AD AC⊥
3AC = ABC△ Rt△ CDT HBT△ ≌△
1
15
2 4 5 2 5
5 5
HT BT HT HTCT DT
= ⇒ = ⇒ =
1
2BH = CH AB⊥ CH ⊥ ABD CH HT⊥ 3
2CH =
.
10.B【解析】（1）当 或 时，
，不等式 为 ，
若不等式 恒成立，
必需 所以 .
（ 2 ） 当 时 ， ， 不 等 式 为 即
（i）当 时，不等式 对任意 a 恒成立，（ii）当
时，不等式 恒成立即 恒成立，所以 ，解得
，（iii）当“ 时，不等式 恒成立，即 恒成立，所以
，解得 ，综上，实数 a 的取值范围是 .
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11. 【解析】 ， .
12. ； 【 解 析 】 由 ， 得 ， 即 ；
.
tan tan 15CHCTH HT
θ = ∠ = =
2 24
2
a ax
+ +≥
2 24
2
a ax
− +≤
2 6 0x ax− − ≥ 26 6 4ax x ax+ + − − ≥ 2 4x ≥
26 6 4ax x ax+ + − − ≥
2
2
24 2 12
124 22
a a
a
aa a
+ + ≥ ≥ − ⇒ ≤− + ≤ −
1 1a− ≤ ≤
2 224 24
2 2
a a a ax
− + + +< < 2 6 0x ax− − < ( )26 6 4ax x ax+ − − − ≥
2 2 8 0x ax− − ≤ 0x = 2 2 8 0x ax− − ≤
2 240 2
a ax
+ +< <
2 2 8 0x ax− − ≤ 4
2
xa x
≥ −
2
2
24 8
4 24
a aa
a a
+ +≥ −
+ +
1a ≥ −
2 24 02
a a x
− + < < 2 2 8 0x ax− − ≤ 4
2
xa x
≤ −
2
2
24 8
4 24
a aa
a a
− +≤ −
− + 1a ≤ [ ]1,1−
1
2
( )
2
1 1
1 1 2
i ii iz i i
+ −= = =− −
21 1 1 1
2 2 4 2
i i iz z
− − − −⋅ = ⋅ = =
2− 2
5 sin 2cos 0α α+ = sin 2cos
α
α = − tan 2α = −
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
sin 2cos sin 2cos tan 2 2sin 2cos 1 sin cos tan 1 5
α α α α αα α α α α
− − −− = = = =+ +
13.5； 【解析】 的展开式有 6 项，易知 n 为 5，即
，
其中常数项为第三项，即 .
14.1； 【解析】由数量积的定义得 ， ，如下图所示，得到一个正三角形，
就是 ，故 ，平移 ，可得 ，且 ， ，所
以 ，故 ，由上图可知，设 ，则 ，易知当 时，
有 的最小值为 ，故 的最小值是 .
15. 【解析】本题考查椭圆的离心率，由题可得 ，切线的斜率 ；因为两直线
垂直，所以 ，即有 ，因为 在第一象限，所以
，解得 ，所以离心率 ，因为 ，所以 .
16.1 ； 【 解 析 】 ， 当 且 仅 当 且
，即 ， 时，“ ”成立.所以 ， .
17. 【解析】当 ， ，①当 时， ，符合题意，②
10
9
2
3
1
3
n
x x
−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1 2 3 4 5
5 4 3 2 12 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5
5 5 5 5 5 53 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3x C x C x C x C x C x Cx x x x x x
− = + − + − + − + − + −
( ) 2 2
32 2
5 3
1 5 4 1 10
3 1 2 3 9C x x
× − = × − = ×
3 3
2 1 2
1cos 2e e θ⋅ = 60θ = °
1 2e e− BA
1 2 1e e− =
1e
1 2CB e e= + 60BOA A∠ = ∠ = ° 30BCA∠ = °
90CBA∠ = ° 1 2 3e e+ =
2OD eλ=
1 2DA e eλ= − AD OD⊥
1 2e eλ− 3
2 1 2 1 2e e e eλ+ + − 3 3 33 2 2
+ =
1 ,12
0
0 2
MN
yk cx
=
−
2
0
2
0
b xk a y
−=
2
0 0
2
0
0
1
2
y b x
c a yx
⋅ − = −
− ( )
2 2
0 2 2 22
a c ax ca b
= =
−
( )0 0,M x y
2
2
a ac
< 2a c< 1
2
ce a
= > 0 1e< < 1 12 e< <
1
2
( )22 2 1 1 14 2 4 2 4 4a b a b ab abab ab ab
+ + = − + + ≥ ⋅ = 2 0a b− =
2 1ab = 1a = 1
2b = = 1a = 1
2b =
1
4t ≥ − [ ]0,1x∈ 1 32 1,2 2xm x = − ∈ − 1t ≥ ( ) 1 32 2 2xf x x= − ≤
当 时 ， ， （ 舍 去 ）， ③ 当 时 ， 若
， 即 ， ， ， 若
，即 ， ， ，所以 时，最大值为 .
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）
18. （ 14 分 ） 解 ： （ 1 ） 由 ， 知 ， 由 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 得
， ， ，
（ 2 ） 由 余 弦 定 理 得 ， 由 于 ， 所 以
，故 .
19.（15 分）解：（1）由已知得数列 是首项为 1，公比为 的等比数列， ，当 时，
， ，
， ，（ ），当 时， ， .
（ 2 ） 因 为 ， 即 ， 则
， ，
.
20.（15 分）解：（1）证明：
平面 .
3
2t ≤ − ( ) 1 32 2 1 22 2xf x x t t = − − − ≤ − =
1
4t = − 3 12 t− < <
31 2t t t t− + − ≥ + − 1
4t ≤ − ( )max
31 1 2 2f x t t t= − + − = − = 1
4t = −
31 2t t t t− + − ≤ + − 1
4t ≥ − ( )max
3 3
2 2f x t t= + − = 1
4t ≥ − 1
4t ≥ − 3
2
2C A= sin sin 2 2sin cosC A A A= =
2 2 2sin 2 cos 2sin 2
a C b c ac a A aA bc
+ −= = = ⋅ 2a = 1b = 6c∴ =
2 2 2 4 1 6 1cos 2 4 4
a b cC ab
+ − + −= = = − 0 C π< <
2 1 15sin 1 cos 1 16 4C C= − = − = 3 5sin cos 3sin6 3 4C C C
π π − + − = =
{ }na 1
2
11
2
n
na
− ∴ = 2n ≥
( ) ( ) ( )1 2 1
12 1 1 4 56nb b n b n n n−+ + + − = − − ( )( ) ( ) ( )1 11 4 1 1 4 56 6nnb n n n n n n∴ = + − − − −
( )2 1nnb n n∴ = − 2 1nb n∴ = − 2n ≥ 1n = 1 1b = 2 1nb n∴ = −
1 1 2 2 3 3n n nT a b a b a b a b= + + + ( )2 1
1 1 11 1 3 5 2 12 2 2n nT n −= × + × + × + + − ⋅
( )2 3
1 1 1 1 11 3 5 2 12 2 2 2 2n nT n= × + × + × + + − ⋅ ( )2 3 1
1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2n n nT n−
∴ = + + + + − − ⋅
( ) ( )2 3 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 2 32 22 4 2 1 2 4 2 1 612 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n n n
nT n n− − − −
− + ∴ = + + + + − − ⋅ = + ⋅ − − ⋅ = − −
1
1
1
AA ABC AA CM
CM ABC
CM AB CM
AA AB A
⊥ ⇒ ⊥ ⊂ ⊥ ⇒ ⊥
=
平面
平面
1A B
（2）取 中点 E，连 ， .因为 ，所以由（1）得， 平面 ，于是
为所求角，在 中， .
（3）延长 ， 交于点 G，连接 ，因为 ， ， ，所以 .又
， 所 以 平 面 ， 所 以 ， 所 以 为 所 求 角 . 在 中 ，
.
21.（15 分）解：（1）由 可得 ，可设椭圆 C 的方程为 ，又点 在椭圆 C
上，得 ，因此，椭圆 C 的方程为 .
（2）设椭圆上点 ，则 ，由于 M 点不在坐标轴上，直线 和直线 都存在斜率，
则 直 线 ： ， 令 ， 得 ， ， 直 线 ：
， 令 ， 得 ， ， 所 以
，
1 1A B ED 1C E 1C E CM∥ 1C E ⊥ 1A B 1C DE∠
1Rt C DE△ 1
1
1
6sin 4
C EC DE C D
∠ = =
1C D CB AG 2CG = 1AC = 60ACG∠ = ° CA AG⊥
1AA AG⊥ AG ⊥ 1AC 1AG AC⊥ 1C AC∠ 1Rt C AC△
1
1
5cos 5
CACAC C A
∠ = =
3
2
c
a
= 2a b=
2 2
2 2 14
x y
b b
+ = 13, 2
1b =
2
2 14
x y+ =
( )0 0,M x y
2
20
0 14
x y+ = MA MB
MA ( )0
0
22
yy xx
= −− 0x = 0
0
2
2P
yy x
−= −
0
0
21 2
yBP x
∴ = + − MB
0
0
1 1yy xx
−= + 0y = 0
0 1Q
xx y
−= −
0
0
2 1
xAQ y
∴ = + −
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 4 4 4 4 82 11 2 1 2 2 2
x y x y x y x y x y x yAQ BP y x y x x y y x
+ − + − + + + − −⋅ = + ⋅ + = ⋅ =− − − − − − +
， 代入上式得
，故 为定值 4.
22.（15 分）解：（1）法一：变量分离，转求最值
， ，令 ， ， ， ，
令 ， ， ， ， 恒成立，即 单调
递减，所以 恒成立 单调递增 ，所以 .
法二：先猜后证，令 ，再证充分性.
（2）即证 ，由 ，
， 同 理 ， 从 而
， ， ，得证.
2
20
0 14
x y+ =
2 2
0 04 4x y∴ + =
( )0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 24 4 8 8 42 2 2 2
x y x yx y x yAQ BP x y x y x y x y
− − +− − +⋅ = = =− − + − − + AQ BP⋅
( ]0,1x∀ ∈ lna x x x≥ − ⋅ ( ) lnh x x x x= − ⋅ ( ]0,1x∈ ( ) 2 ln 2
2
x xh x
x
− −′ = ( ]0,1x∈
( ) 2 ln 2u x x x= − − ( ]0,1x∈ ( ) 1xu x x
−′ = ( ]0,1x∈ ( ) 0u x′∴ ≤ ( )u x
( ) ( ) ( )1 0 0u x u h x′≥ = ⇒ ≥ ( )h x⇒ ( ) ( )1 1h x h⇒ ≤ = 1a ≥
1 1x a= ⇒ ≥
1ln ln 4m n mn⋅ − < 1ln x x
x
> −
( ) 10,1 ln 0 lnn nxt m m m
m m m
−⇒ > − = ⇒ < − < 0 ln mn
n
< − <
ln lnm n mn mn mn⋅ − < − 10, 2mn ∈
21 1 1
2 4 4mn mn mn ∴ − = − − + ≤
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