人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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人大附中 2020-2021 学年度高三年级八月练习
数 学
2020 年 08 月 18 日
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1．已知集合 1}{ 0|A x x −= ， {0 1 2}B = ， ， ，则 AB= （ ）
A．{0} B．{1} C．{1 2}， D．{0 1 2}， ，
2．已知i 为虚数单位，若 1iz i= − + ，则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”． 某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ）
A．1 B． 2
C． 2 D． 22
4．
6
3
12x
x
−
展开式中 2x 项的系数为（ ）
A． 160− B． 20− C． 20 D．160
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻
的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变
化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而
复始．则下列说法不正确的是（ ）
A．立春和立冬的晷长相同
B．立夏和立秋的晷长相同
C．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长
D．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长
注：“相差”是指差的绝对值
6．点 P 在曲线 2 4yx= 上，过 P 分别作直线 1x =− 及 3yx=+的垂线，垂足分别为 G，H，
则 PG PH+ 的最小值为（ ）
A． 32
2
B． 22 C． 32
2 1+ D． 22+
2
1 11
左视图
俯视图
主视图人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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7．“ sin 0xx+”是“ sin 0xx−”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．以 Ox 为始边作钝角 α，角 α 的终边与单位圆交于点 11)(P x y， ，将角 α 的终边顺时针旋
转 π
3
得到角 β．角 β 的终边与单位圆相交于点 22)(Q x y， ，则 21xx− 的取值范围为（ ）
A． 31( )22− ， B． 13( )22
， C． 1( 1)2
， D． 1( 1]2
，
9．若圆 P 的半径为 1，且经过坐标原点，过圆心 P 作圆 22( 4) ( 3) 4xy− + − = 的切线，切点
为 Q，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 3 B． 23 C．2 D．4
10．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续 5 天的日平均温度均不低于 22℃．现有甲乙
丙三地连续 5 天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下：
①甲地 5 个数据的中位数为 26，众数为 22；
②乙地 5 个数据的平均数为 26，方差为 5.2；
③丙地 5 个数据的中位数为 26，平均数为 26.4，极差为 8.
则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．双曲线 C：
22
19 16
yx−=的焦距是__________．
12．已知{}na 是等差数列，{}nnab+ 是公比为 c 的等比数列， 1 1a = ， 1 0b = ， 3 5a = ，则数
列 的前 10 项和为__________，数列{}nb 的前 10 项和为__________（用 c 表示）．
13．已知 AOB△ 为等腰直角三角形， 1OA = ，OC 为斜边的高．
（Ⅰ）若 P 为线段OC 的中点，则 AP OP=__________．
（Ⅱ）若 P 为线段OC 上的动点，则 AP OP 的取值范围为__________．
14．不等式 2 0t at− 对所有的 [ 1 1]a−， 都成立，则t 的取值范围是__________．
15．在实数集 R 中定义一种运算“”，具有以下三条性质：
（1）对任意 0a a a =R， ； （2）对任意 a b a b b a =R， ， ；
（3）对任意 ( ) ( ) ( ) ( ) 2a b c a b c c ab a c b c c = + + −R， ， ， ．
给出下列四个结论：
① 2 (0 2) 0 = ； ② (2 0) (2 0) 8 = ；
③对任意 ( ) ( )a b c a b c b c a = R， ， ， ；
④存在 ( ) ( ) ( )a b c a b c a c b c + + R， ， ， ．
其中，所有正确结论的序号是__________．
注：本题全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13 分）如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， AB ⊥ 平面 11BB C C ，点 E 是棱 1C C 的
中点，已知 1 1 1 1 1 125A B B C C C B E= = = =， ．
（Ⅰ）求证： 1B B ABC⊥ 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 11A EB A−−的余弦值．
17．（本小题 13 分）在 ABC△ 中，sin 3sinAB= ， π
6C = ，再从条件①，条件②，条件③
这三个条件中选择一个作为已知，使 ABC△ 存在，求 c 的值及 的面积．
条件①： 3cb= ； 条件②： 3ac = ； 条件③： sin 3cA= ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题 14 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个
人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过 10 分钟，如果 10 分钟内不能
完成任务则撤出，再派下一个人；如果 10 分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只
有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 1 2 3
2 1 3
3 2 4p p p= = =， ， ．假定
各人能否完成任务相互独立．
（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数 X 的分布列和数学期望 ()EX ．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数 X 的数学期望尽可能小，你认
为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
C1C
B1
B
A A1
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19．（本小题 15 分）已知函数 32( ) 2 3 2f x x ax= − + .
（Ⅰ）若 0a = ，求过曲线 ()y fx= 上一点 ( 1 0)− ， 的切线方程；
（Ⅱ）若 0 < < 3a ， ()fx在区间[0 1]， 的最大值为 M，最小值为 m，求 Mm− 的最小值．
20．（本小题 15 分）已知椭圆 C：
22
221( 0)xy ab
ab
+ = 的左右顶点分别为 A，B，上顶点为
T，离心率为 22
3
， 8AT TB=．点 M，N 为椭圆 C 上异于 A，B 的两点，直线 AM，
BN 相交于点 P．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若点 P 在直线 9
2x = 上，求证：直线 MN 过定点．
21．（本小题 15 分）已知 m n k， ， 为正整数， 4n ， 3k ，A 是由 mn 个不超过 k 的正整
数组成的 m 行 n 列的数表，其第 i 行第 j 列为 ,ijx ，1 im ，1 jn，满足：
①对任意1 im ， 21jn − ，均有 , 1 , , 1i j i j i jx x x−+， ， 互不相等；
②对任意1 im ，不存在1 a b c d n ，使得 ,,i a i cxx= 且 ,,i b i dxx= ；
③当 2m 时，对任意1 i j m ，存在1 kn，使得 ,,i k j kxx ．
记 ()kS m n， 为所有这样的数表构成的集合．
（Ⅰ）写出 3(2 4)S ， 中的一个元素；
（Ⅱ）若 4 ()S m n ， ，则当 n 最大时，求 m 的最大值；
（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．如选择问题（一），本题满分改为 14 分．
问题（一）：求集合 **
4( ) 4S m n m n n NN， ， ， 的元素个数．
问题（二）：求集合 11(3 21)S ， 的元素个数．
注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分．
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数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）C （2）A （3）C （4）A （5） D
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11）10 （12） 10
90 1
100 1100 0 11
c
c cc
−= −− + −
，当 时，
，当 ， 时
（13） 11[ 0]88−−， （14） ( 1] {0} [1 )− − + ， ，
（15）②③④
注：第 14 题仅漏掉“0”的得 3 分．
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）依题意，在 11B C E△ 中， 11 2BC = ， 1 5BE= ， 11
1 12C E C C==，
所以 2 2 2
1 1 1 1B C C E B E+=．
所以 11 90B C E=．
又因为三棱锥 1 1 1ABC A B C− 中，四边形 11BB C C 为平行四边形，
所以四边形 为矩形．
所以 1B B BC⊥ ． …………… 2 分
因为 11BB CA BC⊥ 平面 ， 1 1 1BB BB C C 平面 ，
所以 1BB AB⊥ ．
又因为 AB BC ABC， 平面 ， AB BC B= ，
所以 1 BB AB C⊥ 平面 ． …………… 4 分
（Ⅱ）因为 ， 11BC BB C C 平面 ，
所以 AB BC⊥ ．
如图建立空间直角坐标系 B xyz− ， …………… 5 分
则 (0 0 2)A ，， ， (2 1 0)E ，， ， 1(0 2 0)B ，， ， 1(0 2 2)A ，， ， 1 (2 1 0)BE=−， ， ，
1 (0 2 )2BA=−， ， ， 11 2(0 0 )BA= ，， ． …………… 7 分
设平面 1AEB 的法向量为 ()x y z= ，，n ，则
1
1
0
0
BE
BA
= =
，
，
n
n
即 20
2 2 0
xy
yz
−=
− + = ．
，
令 1x = ，则 2y = ， 2z = ．
于是 (1 2 2)= ，，n ． …………… 9 分
z
y
x C1C
B1
B
A A1
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设平面 11A EB 的法向量为 ()x y z= ，，m ，则
1
11
0
0
BE
BA
= =
，
，
m
m
即 20
20
xy
z
−=
= ．
，
令 1x = ，则 2y = ， 0z = ．
于是 (1 2 0)= ，，m ． ……………11 分
所以 55cos 335
= = =nmn, m nm ．
由题知二面角 11A EB A−−为锐角，所以其余弦值为 5
3
． ……………13 分
（17）（共 13 分）
解：法一 选择条件②． …………… 1 分
因为在 ABC△ 中，sin 3sinAB= ，
sin sin
ab
AB= ，
所以 3ab= ． …………… 4 分
又因为 π
6C = ，
所以由余弦定理，
2 2 2 2 2 32 cos 3 2 3 02c a b ab C b b b b= + − = + − = ， …………… 7 分
又因为 3ac = ，
所以 233b = ， 1 1( )b =−或 舍 ．
所以 3a = ， 1c = ． ……………10 分
所以 的面积为 11π 3sin 3sin2 2 6 4S ab C= = = ． ……………13 分
法二 选择条件③． …………… 1 分
因为在 中， sin 3cA= ，
sin sin
ac
AC= ， ，
所以 sin 3 6πsin sin 6
cAa C= = = ． …………… 4 分
因为在 中， ， ，
所以 23
3
ab == ． …………… 7 分
所以由余弦定理，
22 32 cos 36 12 2 6 2 3 2 32c a b ab C= + − = + − = ，……………10 分
所以 的面积为 1 1 1sin 6 2 3 3 32 2 2S ab C= = = ．……………13 分 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件 A． …………… 1 分
因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为 1 2 3
2 1 3
3 2 4p p p= = =， ， ，
各人能否完成任务相互独立．
所以 1 1 2 1 2 3
23( ) (1 ) (1 )(1 ) 24P A p p p p p p= + − + − − = ． …………… 4 分
或 P(A) =1−(1−p1) (1−p2) (1−p3) = 23
24 . …………… 4 分
依题意， X 的所有可能取值为1 2 3， ， ．
1
2( 1) 3P X p= = = ， 12
1( 2) (1 ) 6P X p p= = − = ， 12
1( 3) (1 )(1 ) 6P X p p= = − − = ．
所以 X 的分布列为
X 1 2 3
P 2
3 1
6 1
6
故 X 的期望 2 1 1 3( ) 1 2 33 6 6 2EX = + + = ． ……………10 分
（Ⅱ）依次派出丙甲乙． ……………14 分
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）当 0a = 时， 3( ) 2 2f x x=+， xR ．
所以 2( ) 6f x x = ．
设切点为 3( 2 2)tt+， ，
所以切线方程为 236 ( ) 2 2y t x t t= − + + ． …………… 3 分
当切线过 ( 1 0)− ， 时， 236 ( 1 ) 2 2 0t t t− − + + = ，
所以 22 2 23 ( 1 ) ( 1)( 1) ( 1)(2 ( 1) (2 1)1) 0t t t t t t t ttt− − + + − + = − + +− −+ − = = ，
所以 11 2t =− 或 ．
所求切线方程为 66yx=+或 33
22yx=+． …………… 6 分
（Ⅱ）因为 32( ) 2 3 2f x x ax= − + ， 0 < < 3a ， xR ，
所以 2( ) 6 6 6 ( )f x x ax x x a = − = − ．
令 ( ) 0fx = ，得 0xa= 或 ．
x ( 0)−， 0 (0 )a， a ( )a +，
()fx + 0 −
()fx
所以 ()fx的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ． ……………10 分 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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① 当13a时， ()fx在[0 1]， 上单调递减．
所以依题意， (0) 2Mf==， (1) 4 3m f a= = − ．
所以， 3 2 [1 7)M m a− = − ， ． ……………11 分
② 当 01a时， 在[0 ]a， 上单调递减，在[ 1]a， 上单调递增．
又因为 (0) 2f = ， (1) 4 3fa=− ， 3( ) 2f a a= − + ．
（1） 当 2 13 a时， 4 3 2a−，
所以 (0)Mf= ， ()m f a= ， 3 8[ 1)27M m a− = ， ．
……………12 分
（2） 当 20 3a时， 4 3 2a−，
所以 (1)Mf= ， ， 3 32M m a a− = − + ．
设 3( ) 3 2g x x x=−+，当 20 3x时， 2( ) 3 3 0g x x = − ．
所以 ()gx在 2(0 )3
， 单调递减．
又因为 (0) 2g = ， 28()3 27g = ，
所以 8( ) ( 2)27M m g a− = ， ． ……………14 分
所以，当且仅当 2
3a = 时， Mm− 取得最小值 8
27
． ……………15 分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）依题意， ( 0)Aa− ， ， ( 0)Ba， ， (0 )Tb， ， ()AT a b= ， ， ( )TB a b=−， ，
22
2 2 2
22
3
8
0
c
a
ab
a b c
ab
=
−=
=+
，
，
，
，
解得
3
1
22
a
b
c
=
=
= ．
，
，
所以椭圆 C 的方程为
2
2 19
x y+=． …………… 5 分
（Ⅱ）设 11()M x y， ， 22()N x y， ，则 2299iixy+=， 3ix ， 0iy （ 1 2i = ， ）．
…………… 6 分
① 当直线 MN 垂直于 y 轴时，
由对称性，直线 AM ， BN 交于 轴，不合题意，舍．…………… 7 分
② 当直线 不垂直于 轴时，设其方程为 x ty m=+．
联立
2299
x ty m
xy
=+ +=
，
， 得 2 2 2( 9) 2 9 0t y tmy m+ + + − = ． …………… 9 分 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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依题意， 2 90t +， 0 ， 122
2
9
tmyy
t
−+=
+
，
2
12 2
9 0
9
myy
t
−=
+
．
所以 3m ．
因为 ( 3 0)A − ， ， (3 0)B ， ，
所以直线 AM 方程为 1
1
( 3)3
yyxx=++
，直线 BN 方程为 2
2
( 3)3
yyxx=−−
．
依题意，设 9()2Pp， ，因为 P 为直线 ， 的交点，
所以 12
12
99( 3) ( 3)3 2 3 2
yypxx+ = = −+−
． ……………11 分
所以 1 2 2 2 2 2 2
22
1 2 222
5 ( 3) ( 3) 3=3 3 999
y y y x y x x
x x yxy
+ + += = =+ − −−−
．
所以 1 2 1 2 1 245 3( ) 9 0y y x x x x+ + + + = ．
所以 1 2 1 2 1 245 ( )( ) 3( ) 9 0y y ty m ty m ty m ty m+ + + + + + + + = ．
所以 22
1 2 1 2( 45) ( 3)( ) ( 3) 0t y y t m y y m+ + + + + + = ．
所以
2
22
22
92( 45) ( 3) ( 3) 0
99
m tmt t m m
tt
−−+ + + + + =
++
． ……………13 分
因为 ，所以 2 2 2( 45)( 3) 2 ( 3)( 9) 0t m t m m t+ − − + + + = ．
所以54 108 0m −=， 2m = ，直线 MN 方程为 2x ty=+．
所以直线 MN 过定点 (2 0)， ． ……………15 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ）答案不唯一， a b c a
d e f d
中 ()abc， ()d e f 为 (1 2 3) 的不同排
列即可，例如 1 2 3 1
1 3 2 1
． …………… 4 分
（Ⅱ）依题意，设表 4 ()B S m n ， ，设 ()a b c d 为 (1 2 3 4) 的某个排列，
设 B 某行为 12()nX x x x= … ， {1 2 3 4}ix ， ， ， ( 1 2 )in= ， ，… ， ．
一．当 ()abcB d b a= 时， 4 (1 6)BS ， ，所以 6n = 符合题意．
二．当 6n 时，由①设 4()nX a b c x x= … ， 4x a d= 或 ．
1． 当 ()nX a b c a x= … 时，
由① 56x x a， ，故由② 56x x d==，与①矛盾．
2． 当 ()nX a b c d x= … 时，由① 5x a b= 或 ．
（1）当 ()nX a b c d a x= … 时，
由② 6xa= ，与①矛盾．
（2）当 ()nX a b c d b x= … 时，
由① 6xb ，故由② 6xa= ．
假若 7n ，则由② 7xa= ，与①矛盾． 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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综上， n 的最大值为 6． …………… 8 分
且当 6n = 时， ()X a b c d b a= ，这样的 X 共 4
4A 24= 个．
由③，当 最大时， m 的最大值为 24． ……………10 分
（Ⅲ）选择问题（一）．
若表 4 ()B S m n ， ，设 ()a b c d 为 (1 2 3 4) 的某个排列，
一．当 4n = 时，
由（Ⅱ） ()X a b c d= 或 ()a b c a ．
这样的 X 共 43
44A Α 48+=个．
所以 1 2 48m = ， ，… ， 时， 4 ( 4)Sm ， ； 48m 时， 4 ( 4)Sm =， ．
二．当 5n = 时，
由（Ⅱ） ()X a b c a d= 或 ()a b c d a 或 ()a b c d b ．
这样的 共 4
4A 3 72= 个．
所以 1 2 72m = ， ，… ， 时， 4 ( 5)Sm ， ； 72m 时， 4 ( 5)Sm =， ．
三．当 6n = 时，
由（Ⅱ） ，这样的 共 4
4A 24= 个．
所以 1 2 24m = ， ，… ， 时， 4 ( 6)Sm ， ； 24m 时， 4 ( 6)Sm =， ．
四．当 7n 时，
由（Ⅱ） 4 ()S m n =， ．
综上，集合 **
4( ) 4S m n m n n NN， ， ， 的元素个数为
48 72 24 1 145+ + + = ．
……………14 分
（Ⅲ）选择问题（二）．
若 12()nY y y y= … 满足②，则将Y 删除若干项仍满足②．
设 12()(1 )kn SnY y y y = … ， ， {1 2 }iyk ， ，…， ( 1 2 )in= ， ，… ， ．
一．当 3k = 时，假若 5n ，设 ()abc为 (1 2 3) 的某个排列，
设 4()nY a b c y y= … ，则由① 4ya= ，由①②， 5y 无解，矛盾．
所以 4 2 2nk = − ．
二．假设存在 n，使得 21nk−，设满足此条件的最小的 k 为u ．
所以 12()(1 )un SnY y y y = … ， ， 21nu−．
由一， 4u ．
若 1(1 )uSZ v− ， ，则 2( 1) 2 2 4 3v u u n − − = − − ．
不妨设 iy 中， 出现的次数 m 最小．
1． 当 0m = 时， 12 1 )( (1 )n uYySy ny −= ，… ，矛盾．
2． 当 1m = 时，设 tyu= ，
（1）当 1tn= 或 时，将Y 去掉 ty 这一项得 Z ，
则 1(1 1)uZ Sn−−， ，矛盾． 人大附中 2020-2021 学年度高三年级数学练习
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（2）当 2t = 时，将Y 去掉前两项得 Z ，则 1(1 2)uZ Sn−−， ，矛盾．
当 1tn=−时，同理将 去掉后两项得 1(1 2)uZ Sn−−， ，矛盾．
（3）当 1 2 1t n n−， ， ， 时，记 ()Y e f u g h= … … ．
若 eg 且 fh ，将 去掉u 这一项得 ，
则 1(1 1)uZ Sn−−， ，矛盾．
若 eg= 且 ，将 去掉 ， g 这两项得 ，
则 1(1 2)uZ Sn−−， ，矛盾．
若 eg 且 fh= ，将 去掉 f ，u 这两项得 ，
则 1(1 2)uZ Sn−−， ，矛盾．
若 eg= 且 ，由②，矛盾．
3． 当 2m 时， iy ( 1 2i = ， ，…，n)中，1，2，…，u 均至少出现 2 次．
因为 12()(1 )un SnY y y y = … ， ，
由①，前两个 1 之间必有其它数，不妨设为 2．
由②，所有的 2 均在这两个 1 之间．
同理，不妨设所有的 3 全在前两个 2 之间，所有的 4 全在前两个 3
之间，……
这与 iyu ( 1 2 )in= ， ，… ， 矛盾．
4． 综上，假设不成立，必有 22nk−．
三．从 11(3 21)S ， 中任取一行W ，则 11(1 21)SW ， ．
因为 2 11 2 20 21 − = ，所以 不存在， 11(3 21)S =， ．
所以 11(3 21)S ， 的元素个数为 0 ． ……………15 分
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