黑龙江省 2020-2021 学年高三（上）开学
数学试卷（理科）
一、选择题：
1．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．￢p：∀x∈R，sinx≥1 B．￢p：∀x∈R，sinx＞1
C．￢p：∃x0∈R，sinx0≥1 D．￢p：∃x0∈R，sinx0＞1
2．（5 分）若集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则 A∩B＝（ ）
A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|0＜x≤2} C．{x|1≤x≤2} D．{x|x≤﹣1 或 x＞2}
3．（5 分）已知集合 M＝{x∈R|ax2+2x﹣1＝0}，若 M 中只有一个元素，则 a 的值是（ ）
A．﹣1 B．0 或﹣1 C．1 D．0 或 1
4．（5 分）设 f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是减函数，f（﹣2）＝0，且 x•f（x）＞0
的解集为（ ）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）
5．（5 分）已知 a＝log20.3，b＝20.1，c＝0.21.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
6．（5 分）函数 f（x）＝log2x﹣ 的零点所在区间（ ）
A．（1，2） B．（2，3） C．（0， ） D．（ ，1）
7．（5 分）设 x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）已知函数 f（x）是 R 上的偶函数，且 f（1﹣x）＝f（1+x），当 x∈[0，1]时，f（x）＝
x2，则函数 y＝f（x）﹣log5x 的零点个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5 分）若函数 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．（5 分）若函数 f（x）＝ 的值域为[0，+∞），则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．2≤a≤3 B．a＞2 C．a≥2 D．2≤a＜3
11．（5 分）设函数 是定义在 R 上的函数，其中 f（x）的导函数 f'（x）满足 f'
（x）＜f（x）对于 x∈R 恒成立，则（ ）
A．f（2）＞e2f（0），f（2020）＞e2020f（0）
B．f（2）＜e2f（0），f（2020）＞e2020f（0）
C．f（2）＜e2f（0），f（2020）＜e2020f（0）
D．f（2）＞e2f（0），f（2020）＜e2020f（0）
12．（5 分）定义在（1，+∞）上的函数 f（x）满足 x2f′（x）+1＞0（f′（x）为函数 f（x）
的导函数），f（3）＝ ，则关于 x 的不等式 f（log2x）﹣1＞logx2 的解集为（ ）
A．（1，8） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（8，+∞）
二、填空题：
13 ．（ 5 分 ） 若 幂 函 数 f （ x ） ＝ （ m2 ﹣ 5m+7 ） xm 在 R 上 为 增 函 数 ， 则 logm
＝ ．
14．（5 分）若函数 f（x）＝lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，则 f′（1）＝ ．
15．（5 分）若函数 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围
是 ．
16．（5 分）定义在 R 上函数 f（x）满足 f（x+y）＝f（x）+f（y），f（x+2）＝﹣f（x）且 f
（x）在[﹣1，0]上是增函数，给出下列几个命题：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于 x＝1 对称；
③f（x）在[1，2]上是增函数；
④f（2）＝f（0）．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：17．（10 分）已知集合 A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若 B⊆A，求实数 m 的
取值范围．
18．（12 分）已知 a＞0，设命题 p：函数 y＝lg（ax 2﹣x+ ）的定义域为 R；命题 q：当
x∈[ ，2]时，函数 y＝x+ ＞ 恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为
假命题，求 a 的取值范围．
19．（12 分）已知函数 f（x）＝3x+λ•3﹣x（λ∈R）．
（1）若 f（x）为奇函数，求 λ 的值和此时不等式 f（x）＞1 的解集；
（2）若不等式 f（x）≤6 对 x∈[0，2]恒成立，求实数 λ 的取值范围．
20．（12 分）设 f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且 f（x+2）＝﹣f（x），当 0≤x≤1 时，f
（x）＝x．
（1）求 f（3）的值；
（2）当﹣4≤x≤4 时，求 f（x）的图象与 x 轴围成图形的面积．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝ + ﹣lnx﹣ ，其中 a∈R，且曲线 y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线 y＝ x．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求函数 f（x）的单调区间与极值．
22．（12 分）已知函数 f（x）＝（2﹣a）lnx+ +2ax（a∈R）．
（Ⅰ）当 a＜0 时，求 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当﹣3＜a＜﹣2 时，若∃λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3
成立，求 m 的取值范围．参考答案与试题解析
一、选择题：
1．【分析】利用“￢p”即可得出．
【解答】解：∵命题 p：∀x∈R，sinx≤1，∴￢p：∃x0∈R，sinx0＞1．
故选：D．
2．【分析】可解出集合 B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：B＝{x|0＜x≤3}；
∴A∩B＝{x|0＜x≤2}．
故选：B．
3．【分析】集合 M 只含有一个元素，说明方程 ax2+2x﹣1＝0 只有一个解．a＝0 时，方程为
一元一次方程，只有一个解，符合条件；a≠0 时，方程为一元二次方程，若方程只有一
个解，需判别式△＝4+4a＝0，所以解出 a 即可，这样 a 的值就都求出来了．
【解答】解：集合 M 中只含有一个元素，也就意味着方程 ax2+2x﹣1＝0 只有一个解；
（1）当 a＝0 时，方程化为 2x﹣1＝0，只有一个解 ；
（2）当 a≠0 时，若 ax2+2x﹣1＝0 只有一个解，只需△＝4+4a＝0，即 a＝﹣1；
综上所述，可知 a 的值为 a＝0 或 a＝﹣1．
故选：B．
4．【分析】先由题意判断 f（x）在（0，+∞）上的单调性及特殊点，然后作出函数的草图，
根据图象可解不等式．
【解答】解：∵f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）内是减函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
由 f（﹣2）＝0，得 f（2）＝﹣f（﹣2）＝0，
作出函数 f（x）的草图，如图所示：
由图象可得，x•f（x）＞0⇔ 或 ⇔0＜x＜2 或﹣2＜x＜0，
∴x•f（x）＞0 的解集为（﹣2，0）∪（0，2），
故选：D．5．【分析】看清对数的底数，底数大于 1，对数是一个增函数，0.3 的对数小于 1 的对数，
得到 a 小于 0，根据指数函数的性质，得到 b 大于 1，而 c 小于 1 大于 0，根据三个数字
与 0，1 之间的关系，得到它们的大小关系．
【解答】解：由对数和指数的性质可知，
∵a＝log20.3＜0
b＝20.1＞20＝1
0＜c＝0.21.3＜0.20＝1，
∴a＜c＜b
故选：D．
6．【分析】根据函数零点的判定定理即可得到结论．
【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+∞），且函数 f（x）单调递增，
∵f（1）＝log21﹣1＝﹣1＜0，f（2）＝log22﹣ ，
∴在（1，2）内函数 f（x）存在零点，
故选：A．
7．【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，
∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵0＜x＜5 推不出 0＜x＜2，
0＜x＜2⇒0＜x＜5，
∴0＜x＜5 是 0＜x＜2 的必要不充分条件，
即 x2﹣5x＜0 是|x﹣1|＜1 的必要不充分条件．
故选：B．
8．【分析】由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为 2，故可以研究出一个周期上的函
数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数【解答】解：函数 f（x）是 R 上的偶函数，可得 f（﹣x）＝f（x），
又 f（1﹣x）＝f（1+x），可得 f（2﹣x）＝f（x），
故可得 f（﹣x）＝f（2﹣x），即 f（x）＝f（x﹣2），即函数的周期是 2
又 x∈[0，1]时，f（x）＝x2，要研究函数 y＝f（x）﹣log5x 在区间[0，5]零点个数，可将
问题转化为 y＝f（x）与 y＝log5x 在区间[0，5]有几个交点
如图，由图知，有四个交点．
故选：B．
9．【分析】由题意求导 f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；从而化函数 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1
有极大值和极小值为△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．
【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；
又∵函数 f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，
∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；
故 a＞6 或 a＜﹣3；
故选：B．
10．【分析】先可求得 x≤0 时，0≤f（x）＜1，从而根据 f（x）的值域[0，+∞）即可得到 x
＞0 时，f（x）的值域 B 满足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），并求出 x＞0 时，f′（x）＝3（x2
﹣1），根据导数符号便可求出 x＝1 时，f（x）取到最小值 a﹣2，这样即可得出关于 a 的
不等式，进而得出实数 a 的取值范围．
【解答】解：x≤0 时，0＜2x≤1；
∴0≤1﹣2x＜1；
∴x＞0 时，f（x）＝x3﹣3x+a 的值域 B 满足[1，+∞）⊆B⊆[0，+∞），f′（x）＝3（x2﹣1）；
∴0＜x＜1 时，f′（x）＜0，x＞1 时，f′（x）＞0；
∴x＝1 时，f（x）取最小值 a﹣2；
∴0≤a﹣2≤1；
∴2≤a≤3；
∴实数 a 的取值范围是[2，3]．
故选：A．
11．【分析】对 F（x）求导得 F'（x）＝ ，可证得 F（x）在 R 上单调递减，
于是有 F（2）＜F（0）和 F（2020）＜F（0），从而得解．
【解答】解：∵ ，∴F'（x）＝ ＜0，
∴F（x）在 R 上单调递减，
∴F（2）＜F（0），即 ＜ ，f（2）＜e2f（0）；
F（2020）＜F（0），即 ＜ ，f（2020）＜e2020f（0）．
故选：C．
12．【分析】构造函数 F（x），由已知条件可得 F'（x）＞0 在（1，+∞）上恒成立，所以函
数 F（x）在（1，+∞）上单调递增，再利用 F（x）单调性即可解出不等式．
【解答】解：构造函数 F（x）＝f（x）﹣ ，x∈（1，+∞），
∴F'（x）＝f'（x） ＝ ，
∵函数 f（x）在（1，+∞）上满足 x2f′（x）+1＞0，
∴F'（x）＞0 在（1，+∞）上恒成立，
∴函数 F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵不等式 f（log2x）﹣1＞logx2，∴f（log2x）﹣logx2＞1，即 f（log2x）﹣ ＞1，
又∵F（3）＝f（3）﹣ ＝ ﹣ ＝1，∴不等式可转化为 F（log2x）＞F（3），
又∵函数 F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴log2x＞3，解得：x＞8，
故选：D．
二、填空题：
13．【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出 m 的值，代入代数式计算即可．
【解答】解：由题意得：
m2﹣5m+7＝1，
解得：m＝2 或 m＝3，
若 f（x）在 R 递增，
故 f（x）＝x3，m＝3，
logm
＝log3 +2lg10+
＝ +2+ ＝4，
故答案为：4．
14．【分析】求函数的导数，先求出 f′（﹣1）得值，令 x＝1，即可．
【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，
∴f′（x）＝ ﹣2f′（﹣1）x+3，
令 x＝﹣1，
则 f′（﹣1）＝﹣1+2f′（﹣1）+3，
则 f′（﹣1）＝﹣2，
则 f′（x）＝ +4x+3，
即 f′（1）＝1+4+3＝8，
故答案为：8
15．【分析】根据题意，由函数的单调性的性质可得 ，解可得 a 的取
值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数 在 R 上单调递减，
必有 ，化简可得 ，
解可得 ≤a＜1，
即 a 的取值范围是 ；
故答案为： ．
16．【分析】令 x+2 替换 x 即可得出 f（x）的周期为 4；计算 f（0）＝0，再令 y＝﹣x 得出 f
（x）为奇函数，用 x﹣1 替换 x 可得 f（x）的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得
出 f（x）在[1，2]上的单调性；根据 f（0）＝0 和 f（x+2）＝﹣f（x）即可得出 f（2）＝f
（0）．
【解答】解：由 f（x+2）＝﹣f（x）可得 f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故 f（x）的周期为 4，故①正确；
由 f（x+y）＝f（x）+f（y）可知 f（0）＝2f（0），故 f（0）＝0，
再令 y＝﹣x 可得：f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），
∴f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，
∴f（x）是奇函数，
由 f（x+2）＝﹣f（x）可得 f（x+1）＝﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），
故 f（x）的图象关于 x＝1 对称，故②正确；
∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，且 f（x）是奇函数，
∴f（x）在[0，1]上是增函数，
又 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，
∴f（x）得图象在[1，2]上是减函数，故③错误；
由 f（x+2）＝﹣f（x）可知 f（2）＝﹣f（0），又 f（0）＝0，
故 f（2）＝f（0），故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题：
17．【分析】分两种情况考虑：当集合 B 不为空集时，得到 m+1 小于 2m﹣1 列出不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，由 B 为 A 的子集，列出关于 m 的不等式，求出不等式
的解集，找出 m 范围的交集得到 m 的取值范围；当集合 B 为空集时，符合题意，得出 m+1
大于 2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到 m 的范围，综上，得到所有满足题意
的 m 范围．
【解答】解：分两种情况考虑：
（i）若 B 不为空集，可得 m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，
∵B⊆A，A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，
∴m+1≥﹣2，且 2m﹣1≤7，解得：﹣3≤m≤4，
此时 m 的范围为 2≤m≤4；
（ii）若 B 为空集，符合题意，可得 m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，
综上，实数 m 的范围为 m≤4．
18．【分析】分别求出 p，q 为真时的 a 的范围，通过讨论 p，q 的真假，求出 a 的范围即
可．
【解答】解：由 a＞0，命题 p：函数 y＝lg（ax2﹣x+ ）的定义域为 R，
可知，△＝1﹣ ＜0，解得 a＞2．
因此，命题 p 为真时，a＞2．
对于命题 q：当 x∈[ ，2]时，函数 y＝x+ ＞ 恒成立，
即函数 y＝x+ 在 x∈[ ，2]时的最小值 ymin＞ ，
∵ymin＝2，∴ ＜2．又 a＞0，∴a＞ ．
因此，命题 q 为真时，a＞ ．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题 p 与 q 中一个是真命题，一个是假命题．
当 p 真 q 假时，可得 a∈∅；
当 p 假 q 真时，可得 ＜a≤2．
综上所述，a 的取值范围为（ ，2]．
19．【分析】（1）直接由 f（﹣x）+f（x）＝0 求得 λ 值．把求得的 λ 值代入 f（x），由 f（x）＞1 求得 3x 的范围，进一步求解指数不等式得答案；
（2）由题意可得 3x+ ≤6，令 t＝3x∈[1，9]，原不等式等价于 λ≤6t﹣t2 在 t∈[1，9]上
恒成立，令 g（t）＝6t﹣t2，t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝3x+λ•3﹣x 为奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）＝3﹣x+λ•3x+3x+λ•3﹣x＝（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）＝（λ+1）（3x+3﹣x）＝
0，
∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1＝0，即 λ＝﹣1．
此时 f（x）＝3x﹣3﹣x，
由 f（x）＞1，得 3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0，
解得： （舍），或 3x＞ ，即 x＞ ．
∴不等式 f（x）＞1 的解集为（ ）；
（2）由 f（x）≤6 得 3x+λ3﹣x≤6，即 3x+ ≤6，
令 t＝3x∈[1，9]，
原不等式等价于 t+ ≤6 在 t∈[1，9]上恒成立，
亦即 λ≤6t﹣t2 在 t∈[1，9]上恒成立，
令 g（t）＝6t﹣t2，t∈[1，9]，
当 t＝9 时，g（t）有最小值 g（9）＝﹣27，
∴λ≤﹣27．
20．【分析】（1）由已知的等式 f（x+2）＝﹣f （x）结合函数的奇偶性求得函数的周期，把
f（3）转化为 f（1）结合当 0≤x≤1 时，f（x）＝x 求得 f（3）的值；
（2）由已知等式求得函数的对称轴方程，结合（1）进一步得到函数的图象，再由三角
形的面积公式求得 f（x）的图象与 x 轴围成图形的面积．
【解答】解：（1）∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且 f（x+2）＝﹣f （x），
则 f（x+2+2）＝﹣f （x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
∴f（x）的周期为 4．
∴f（3）＝f（﹣4+3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）．
∵0≤x≤1 时，f（x）＝x，∴f（3）＝﹣f（1）＝﹣1；
（2）由 f（x+2）＝﹣f （x），得 f（x+2）＝f（﹣x）．
∴函数 f（x）的对称轴方程为 x＝1．
结合（1）可知，f（x）的图象如图：
∴当﹣4≤x≤4 时，f（x）的图象与 x 轴围成图形的面积为 4× ＝4．
21．【分析】（Ⅰ）由曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线 y＝ x 可得 f′
（1）＝﹣2，可求出 a 的值；
（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函
数 f（x）的单调区间与极值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ + ﹣lnx﹣ ，
∴f′（x）＝ ﹣ ﹣ ，
∵曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线 y＝ x．
∴f′（1）＝ ﹣a﹣1＝﹣2，
解得：a＝ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）＝ + ﹣lnx﹣ ，
f′（x）＝ ﹣ ﹣ ＝ （x＞0），
令 f′（x）＝0，
解得 x＝5，或 x＝﹣1（舍），∵当 x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当 x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，
故函数 f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；
单调递减区间为（0，5）；
当 x＝5 时，函数取极小值﹣ln5．
22．【分析】（Ⅰ）求出 f′（x），根据 a 的值得情况分类讨论，令 f′（x）＞0，f′（x）＜
0，分别求出函数的增区间和减区间；
（Ⅱ）∀λ1，λ2∈[1，3]，使得|f（λ1）﹣f（λ2）|＞（m+ln3）a﹣2ln3 成立，等价于|f（λ1）﹣
f（λ2）|max＞（m+ln3）a﹣2ln3，而|f（λ 1）﹣f（λ 2）|max＝f（x） max﹣f（x） min，由
（Ⅰ）利用单调性可求得 f（x）的最大值、最小值，再根据 a 的范围即可求得 m 的范围
【 解 答 】 解 ： （ Ⅰ ） 依 题 意 ， f ′ （ x ） ＝ ﹣ +2a ＝ ＝
，（x＞0），
当﹣2＜a＜0 时，﹣ ＞ ，令 f′（x）＜0，得 0＜x 或 x＞ ，令 f′（x）＞0，
得 ＜x＜﹣ ；
当 a＝﹣2 时，f′（x）＝﹣ ≤0．
当 a＜﹣2 时，﹣ ＜ ，令 f′（x）＜0，得 x＜﹣ 或 a＞ ，令 f′（x）＞0，得﹣
＜x＜ ；
综上所述：
当﹣2＜a＜0 时时，f（x）的单调递减区间是（0， ），（﹣ ，+∞），单调递增区间是
（ ，﹣ ）；
当 a＜﹣2 时，f（x）的单调递减区间是（0，﹣ ），（ ，+∞），单调递增区间是（﹣
， ）；
当 a＝﹣2 时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞））
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当﹣3＜a＜﹣2 时时，f（x）在 x∈[1，3]单调递减．
f（x）max＝f（1）＝﹣1；，
，
∴ ，
得
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