新高三(普通班)暑期作业理科数学(2)(PDF版，含详解)

试卷第 1 页，总 4 页 2021 届四川省成都市新都一中新高三(普通班)暑期作业 理科数学(2) 一、单选题 1．已知集合  2 2 3 0A x Z x x     ， 21 12 2 yBy  ，则 AB中的元素个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个 2．若复数  12 aiaRi   在复平面内对应的点在直线 yx 上，则 a （ ） A．1 B． 3 C． 1 D． 1 3 3．命题“ xR ， 2 2 4 0xx   ”的否定为（ ） A． 0xR， 2 002 4 0xx   B． ， 2 2 4 0xx   C． xR ， D． 0xR， 4．已知 na 是公差为 2 的等差数列，且 2 1 53a a a，则 8a  （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．在极坐标系中，曲线 s=4co围成的图形面积为（ ） A．4 B．16 C． D． 4 6．在 ΔABC 中，若 sin sin cos cos AB BA ，则 ΔABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的 大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小灯，大灯共 360 个，小灯共 1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A． 119 1077 B． 160 359 C． 958 1077 D． 289 359 8．执行如图的程序框图，最后输出结果为 8.若判断框填入的条件是 sa ，则实数 a 的取值范围是( ) A． 21,28 B． 21,28 C． 28,36 D． 28,36 试卷第 2 页，总 4 页 9．已知 A，B，C 为直线 l 上的不同三点，O 为 l 外一点，存在实数  , 0, 0m n m n，使得OC  94mOA nOB 成立，则 49 mn 的最小值为（ ） A．36 B．72 C．144 D．169 10．已知 m，n 为两条不同的直线， ，  ， 为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） ①若 //m  ， //，则 //m  ； ②若 ， m ， n ，则 //mn； ③若 n  ， m  ，则 mn ； ④若直线 m 用与平面 内的无数条直线垂直，则 m  . A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 11．已知双曲线C ：   22 221 0, 0xy abab    的左右焦点分别为 1F 、 2F ，且抛物线 E ：  2 20y px p 的焦点与双曲线 的右焦点 重合，点 P 为 与 的一个交点，且直线 1PF 的倾斜角为 45°则双曲线的 离心率为（ ） A． 51 2  B． 21 C． 3 D． 35 2  12．函数 2 1 2 log ,0 2 () 3log ( ), 22 xx fx xx      ，若实数 ,,abc满足0 abc   ，且 ( ) ( ) ( )f a f b f c，则下列 结论不恒成立的是（ ） A． 1ab  B． 3 2ca C． 2 40b ac D． 2a c b 二、填空题 13．已知  fx是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时，   2log 1f x x，则 2 2f  ______． 14．已知四面体 P﹣ABC 的外接球的球心 O 在 AB 上，且 PO⊥平面 ABC，2AC 3 AB，若四面体 P﹣ABC 的体积为 3 2 ，则该球的体积为_____． 15．设 F1，F2 是双曲线 C: 2 2 12 x y的左、右焦点，M 是 C 上的第一象限的一点，若△MF1F2 为直角三 角形，则 M 的坐标为_____________. 试卷第 3 页，总 4 页 16．已知对任意 (0, )x  ，都有   11 1 ln 0kxk e xx     ，则实数 k 的取值范围为_________． 三、解答题 17．设等差数列 na 的前 n 项的和为 nS ，且 4 62S  ， 6 75S  ，求： （1）求 的通项公式 na ； （2）求数列 na 的前 14 项和. 18． ABC 中，角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c，    cos 2cos 2 cosb A C c a B   . （1）求 c a 的值； （2）若 1cos 4B  ， 4b  ，求△ ABC 的面积. 19．《中华人民共和国民法总则》（以下简称《民法总则》）自 2017 年 10 月 1 日起施行.作为民法典的开篇 之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取 50 人，他们的年龄都在区间[25,85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的入数如下表： 年龄 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) 频数 5 5 10 15 5 10 了解《民法总则》 1 2 8 12 4 5 （1）填写下面 22 列联表，并判断是否有99%的把握认为以 45 岁为分界点对了解《民法总则》政策有 差异； 年龄低于 45 岁的人数 年龄不低于 45 岁的人数 合计 了解 a  c  不了解 b  d  合计 （2）若对年龄在 ， 的被调研人中各随机选取 2 人进行深入调研，记选中的 4 人中不了解 《民法总则》的人数为 X ，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式和数据： 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      试卷第 4 页，总 4 页  2P K k 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长均为 2， 1 π 3B BA. （1）证明： 11B C AC ； （2）若平面 11ABB A 平面 ABC ， M 为 11AC 的中点，求 1BC与平面 1AB M 所成角的余弦值. 21．已知椭圆C ：   22 2210xy abab    的左，右焦点分别为 12,FF， 上顶点为 B .Q 为抛物线 2 12yx 的焦点，且 1 0F B QB， 1 2 120F F QF. （1）求椭圆 的标准方程； （2）过定点  0,2P 的直线l 与椭圆 交于 ,MN两点（ 在 ,PN之间），设直线 的斜率为  0kk ，在 x 轴上是否存在 点  ,0Am ，使得以 AM ， AN 为邻边的平行四边形为菱形？ 若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 2 cos sin xt yt        （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标 方程为 2cos ，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B. （1）求曲线 C 的参数方程； （2）若点 P 为直线与 x 轴的交点，求 2 11 ||2|PA| PB 的取值范围. 答案第 1 页，总 10 页 2021 届四川省成都市新都一中新高三(普通班)暑期作业 理科数学(2)详解 1．D 解不等式 2 2 3 0,x x x Z    ，可得 { 1,0,1,2,3}A  . 解不等式 21 12 2 y  ，可得  0,B   . {0,1,2,3}AB   ，含有 4 个元素． 故选： D . 2．B   12 2 2 1 1 2 5 5 5 a i ia i a a ii      ， 因为  12 aiaRi   在复平面内对应的点 2 2 1( , )55 aa， 该点在直线 yx 上，所以 2 2 1 55 aa ，所以 3a  ， 故选：B. 3．A 命题“ xR ， 2 2 4 0xx   ”的否定为： 0xR， 2 002 4 0xx   故选： A 4．C  na 是公差为 2 的等差数列， 2 1 53a a a， 11 1)3( 4d a a da     ，即 1 2ad， 8a 1 7 2 2 14 16a      ， 故选：C. 5．D 由题得 2 2 2 2 24 cos , 4 , ( 2) 4x y x x y          ， 它表示圆心为（2,0）半径为 2 的圆，所以图形的面积为 224 .故答案为：D 6．D 因为sin cos sin cosA A B B ，所以 11sin2 sin222AB ，因此sin 2 sin 2AB ， 答案第 2 页，总 10 页 又因为 A 和 B 是三角形内角，所以 22AB 或者 22AB，即 AB 或 2AB， 所以 ABC 是等腰或直角三角形.故选 D. 7．C 设一大二小与一大四小的灯球数分别为 ,xy，则 360 2 4 1200 xy xy    ，解得 120 240 x y    ，若随机选取两个灯球， 则至少有一个灯球是一大四小的概率为 2 120 2 360 9581 1077 C C . 故选 C 8．A 1k  ， 0s  ， ①条件不满足， 1s  ， 2k  ；②条件不满足， 3s  ， 3k  ； ③条件不满足， 6s  ， 4k  ；④条件不满足， 10s  ， 5k  ； ⑤条件不满足， 15s  ， 6k  ；⑥条件不满足， 21s  ， 7k  ； ⑦条件不满足， 28s  ， 8k = ；满足条件，退出循环. 21 28a   . 故选：A. 9．C 由已知 AB OA OB， (9 1) 4AC OC OA m OA nOB     ， 因为 ,,A B C 共线，即 ,AB AC 共线，所以存在实数 使得 AC AB ， 即 (9 1) 4 ( )m OA nOB k OA OB kOA kOB      ， 又 ,OA OB 不共线． 所以 91 4 mk nk    ，所以9 1 4 0mn   ，即9 4 1mn， 所以 4 9 4 9 81 16(9 4 ) 72 mnmnm n m n n m        81 1672 2 144mn nm    ，当且仅当 81 16mn nm ， 即 11,18 8mn时等号成立． 故选：C． 10．B 答案第 3 页，总 10 页 ①若 //m  ， //，则可能 //m  ，也有可能 m  ，所以①错误； ②若 ， m ， n ，则 //mn，这是面面平行的性质定理，所以②正确； ③若 n  ，则 n 垂直于 内的任意直线， m  ，则 mn ，所以③正确； ④若直线 m 用与平面 内的无数条直线垂直，而这些直线都互相平行，不能确定 m  ，所以④错误. 所以正确命题有②③， 故选：B. 11．B 设双曲线焦点 2( ,0)Fc ，则抛物线 E 的准线l 方程为 xc ， 过 P 做 PM l ，垂足为 M ，则 2| | | |PM PF ， 1 2 1 2 1 1, 45 , 45 ,| | |PM F F PF F MPF MP MF       ， 1 2 2 1 2 2 1 1| | | |, , | | | | 2 ,| | 2 2MF PF PF F F PF F F c PF c       ， 又点 在双曲线上， 12| | | | 2 2( 2 1)PF PF a c     ， 1 21 21 ce a     . 故选：B. 12．D 函数   2 1 2 log ,0 2 3log , 22 xx fx xx       的图象如下：    f a f b 可得 2log a = 2log b 即 22log logab =0,所以 2log ab =0, 1,ab  故 A 对；     f a f c 可得 2 1 2 2 33log a log log22cc               ,即 22 3log log a2c ，所以 3 a2c ， 答案第 4 页，总 10 页 3 2ca ，故 B 对；由图象可知      f a f b f c  0,1 ，所以 151,1 2,222a b c      ，所 以 1< ac < 5 2 , 214b,故 2 40b ac，故 C 对；通过选项排除可知 D 不恒成立. 故选 D. 13． 3 2 ∵f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=log2x﹣1， ∴f（﹣ 2 2 ）=﹣f（ ）=﹣（log2 ﹣1）=﹣（﹣ 1 2 ﹣1）= ， 故答案为： 14． 43 设该球的半径为 R，则 AB＝2R，2AC 3 AB 32R， ∴AC R， 由于 AB 是球的直径，所以△ABC 在大圆所在平面内且有 AC⊥BC， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得：BC2＝AB2﹣AC2＝R2， 所以 Rt△ABC 面积 S 1 2BC×AC 3 2 R2， 又 PO⊥平面 ABC，且 PO＝R，四面体 P﹣ABC 的体积为 3 2 ， ∴VP﹣ABC 1 3R 3 2R2 3 2 ，即 3 R3＝9，R3＝3 ， 所以：球的体积 V 4 3πR3 π×3 3 4 π． 故答案为： 43 . 15． 2 6 3,33   或 23, 2   设 0 0 0 0( )( 0 0)M x y x y， ， ，当 M 是 12MF F△ 的直角顶点时， 联立 22 003xy与 2 20 0 12 x y，解得 00 2 6 3 33xy， ； 当 2F 是 的直角顶点时， 2MF x 轴， 0 3xc 代入 解得 0 2 2y  ， 答案第 5 页，总 10 页 所以 M 的坐标是 2 6 3 33   ， 或 23 2   ， . 故答案为: 或 . 16． 1,e  因为  1 ( 1)lnkxkx e x x   ， 所以 1 ln ( 1)lnkx kxe e x x   ①， 令 ( ) ( 1)lnf x x x ，则 1( ) 1 lnf x xx     ， 所以 22 1 1 1() xfx x x x      ， 当 01x时， ( ) 0fx  ，当 1x  时， ( ) 0fx  ， 所以 ()fx 在 (0,1) 单调递减，在(1, ) 单调递增， 所以 ( ) (1) 2f x f， 所以 ()fx在 (0, ) 单调递增， 因为①式可化为   ()kxf e f x ， 所以 kxex ，所以 ln xk x ， 令 ln() xhx x ， 所以可求得 ()hx 在(0, )e 单调递增，在 ( , )e  单调递减， 所以 max 1()hx e ，所以 1k e ， 故答案为： 1( , )e  . 17．解：（1）设等差数列 na 的公差为 d，依题意得 1 1 434 622 656 752 ad ad         ， 解得 1 20, 3ad   ， ∴  20 1 3 3 23na n n       ； 答案第 6 页，总 10 页 （2）∵ 3 23nan， ∴由 0na  得 8n  ， 2 2( 20 3 23) 3 43 3 43 2 2 2 2n n n n nS n n       ∴ 1 2 3 14 1 2 7 8 14 14 72a a a a a a a a a S S              223 43 3 4314 14 7 72 2 2 2            7 42 43 7 21 43 147     . 18．（1）由正弦定理，    cos 2cos 2 cosb A C c a B   可化为 sin cos 2sin cos 2cos sin cos sinB A B C B C B A sin cos cos sin 2cos sin 2sin cosB A B A B C B C      sin 2sinA B B C   ， 根据内角和有    sin 2sin sin 2sinC A C A     . 根据正弦定理有 2ca ，即 2c a  . （2）由余弦定理有 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 由（1） ，代入 1cos 4B  ， 4b  ， 即 2 2 2 116 4 4 24a a a a      ，故 4c  . 又因为  0,B  ， 2 15sin 1 cos 4BB   . 故 21 15sin sin 4 1524S ac B a B= = = ? . 19．(1)2×2 列联表 年龄低于 45 岁的人数 年龄不低于 45 岁的人数 合计 了解 a=3 c=29 32 不了解 b=7 d=11 18 合计 10 40 50 答案第 7 页，总 10 页 没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． ( 2 ) X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 22 84 22 10 5 84( 0) 225 CCPX CC   ; 1 1 1 4 2 8 22 84 22 10 5 104( 1) 22 + 5 CCPX C C C CC   ; 1 1 1 2 2 2 2 484 22 10 5 ( 2) + 3 225 5CCPX CC C C C   ; 12 4 22 10 5 2 2( 3) 225 CCPX CC   ; 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 84 225 104 225 35 225 2 225 所以 X 的期望值是 104 70 6 40 225 225 225 5EX      . 20．证明：（1）取 AB 中点 D ，连接 1BD，CD ， 1BC .如图， ∵三棱柱的所有棱长均为 2， 1 π 3B BA， ∴ ABC 和 1ABB△ 是边长为 2 的等边三角形，且 11B C BC . ∴ 1B D AB ，CD AB . ∵ ，CD 平面 1B CD ， 1 B D CD D ，∴ AB 平面 . ∵ 1BC 平面 ，∴ 1AB B C . ∵ ， 1BC  平面 1ABC ， 1AB BC B ， ∴ 1BC 平面 ，∴ 11B C AC . （2）∵平面 11ABB A 平面 ABC ，且交线为 ， 答案第 8 页，总 10 页 由（1）知 1B D AB ，∴ 1BD 平面 ABC . 则 DB ， 1DB ， DC 两两垂直，则以 D 为原点， 为 x 轴， 为 y 轴， 为 z 轴， 建立空间直角坐标系. 则  0,0,0D ，  1,0,0A  ，  1 0,0, 3B ，  0, 3,0C ，  1 1, 3, 3C  ，  1 2,0, 3A  ∵ M 为 11AC 的中点，∴ 33, , 322M  ， ∴  1 0, 3, 3BC，  1 1,0, 3AB  ， 13, , 322AM  ， 设平面 1AB M 的法向量为  ,,n x y z ， 则 1 30 133022 AB n x z AM n x y z            ，取 1z  ，得  3, 3,1n    . 设 1BC与平面 所成的角为 ，则 1 1 4 3 2 26sin 136 13 B C n B C n       . ∴ 与平面 所成角的余弦为 65 13 . 21．（1）由已知  3,0Q ，设 12( ,0), ( ,0)F c F c ， 1 2 120F F QF， 2F 为线段 1FQ的中点， 1 43QF c c   ，所以 1c  . 1 0F B QB， 1F B QB， 在 1Rt F BQ△ 中， 2 22BF a c   ， 答案第 9 页，总 10 页 所以 2 2 2 3b a c   ， 于是椭圆C 的标准方程为 22 143 xy. （2）设  : 2 0l y kx k   ，  11,M x y ，  22,N x y ， 取 MN 的中点为  00,E x y . 假设存在点  ,0Am 使得以 ,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形， 则 AE MN . 联立 22 2 143 y kx xy   ，整理得 224 3 16 4 0k x kx    ，    2 224 4 3 4 48(4 1) 0k k k       = 16 ， 2 1 4k，又 0k  ，所以 1 2k  . 因为 12 2 16 43 kxx k    ，所以 0 2 8 43 kx k  ， 00 2 62 43y kx k    ，即 22 86( , )4 3 4 3 kE kk  ， 因为 ，所以 1 AEk k ，即 2 2 6 0 143 8 43 k k kmk    ， 整理得 2 22 3434 km k k k      . 因为 时， 34 4 3k k ，当且仅当 3 2k  等号成立， 130,3 124k k   ，所以 3 ,06m    . 22．解：（1） 2cos 等价于 2 2 cos   ， 将 2 2 2xy ， cos x 代入上式， 可得曲线 C 的直角坐标方程为 2220  y y x ，即 2 211xy   ， 答案第 10 页，总 10 页 所以曲线 C 的参数方程为 1 cos sin x y      （ 为参数）. （2）将 2 cos sin xt yt        代入曲线 C 的直角坐标方程，整理得； 2 6 cos 8 0  tt ， 由题意得 236cos 32 0    ，故 2 8cos 9 ，又 2cos 1 ，∴ 2 8cos ,19    ， 设方程 的两个实根分别为 1t ， 2t ，则 126costt  ， 12 8tt  ， 所以 与 同号，由参数t 的几何意义，可得 1 2 1 2| | | | 6 | cos |     PA PB t t t t  ， 12| | | | 8  PA PB t t ， ∴     222 1 2 1 2 22 2 2 2 12 21 1 (| | | |) 2 | | | | 9cos 4 | | | | | | | | 16        t t t tPA PB PA PB PA PB PA PB tt  ， ∵ ， ∴ 29cos 4 1 5,16 4 16     ，所以 22 11 | | | |PA PB 的取值范围是 15,4 16    .