高三六校联考数学试题（理） 第 1 页 共 4 页
安徽六校教育研究会 2021 届高三第一次素质测试
理科数学试题
命题：
注意事项：
1. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共 4 页，“答题卷”共 6 页；
请务必在“答题卷．．．”上答题，在“试题卷．．．”上答题无效。
2. 请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。
3. 回答选择题时，务必使用 2B 铅笔把你所选的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
4. 回答非选择题时，须在与题号对应的答题框内作答，否则答题无效，注意字迹清楚，
卷面整洁。
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分.
1. 已知集合 }032|{ 2 −−= xxxA ，集合 }0)1(log|{ 2 −= xxB ，则 AB= （ ）
A. 32 xx B. 32 xx C. 31 xx D. 21 − xx
2. 设
i
iz −
+= 1
)1( 2
，复数 z 的共轭复数 z =（ ）
A. i+1 B. i−1 C. i+−1 D. i−−1
3. 已知非零向量 a ， b
满足| | | |,ab= 则 baba
2332 −=+ 是 ab⊥ 的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水
位情况.
河流水位表（1）
第 x 日 第 1 日 第 2 日 第 3 日 第 4 日 第 5 日 第 6 日 第 7 日
水位 y （米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当
水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必
要措施，确保堤防等工程的安全，并根据"有限保证、无限负责"的精神，对于可能出现超过
保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.
水位预警分级表（2）
水位 4.7 5.1 5.6
水位分类 设防水位 警戒水位 保证水位
预警颜色 黄色 橙色 红色
现已根据上表得到水位 y 的回归直线方程为 ˆ 0.21 3.217yx=+，据上表估计 （ ）
A.第 8 日将要启动洪水橙色预警 B.第 10 日将要启动洪水红色预警
C.第 11 日将要启动洪水红色预警 D.第 12 日将要启动洪水红色预警 高三六校联考数学试题（理） 第 2 页 共 4 页
5. 已知 x y R， ，且满足
0
2 0( 0)
2
y ax
y ax a
x
−
−
，若由不等式组确定的可行域的面积为 1，则目
标函数 z x ay=+ 的最大值为（ ）
A. 3
2 B. 2 C.3 D.4
6. 已知直线 l ： 2y k x x=−与曲线 sin 1x
xy e=−在 0x = 处的切线平行，则实数 k 值为（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
7 . 已知双 曲 线
22
22:1xyC ab−=( )0, 0ab的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F ， 2F ，
圆O ： 22220x y a b+ − − = 与双曲线的一个交点为 P ，若 122PF PF= ，则双曲线的离心
率为（ ）
A. 36 + B. 36
2
+ C. 16 − D. 61
2
+
8. 已知 nS 为数列{}na 的前 n 项和，且满足 1 2a = ， 2*
1 4( 1) ( )n n na a a n N+− = − ，则 20S =（ ）
A. 0 B. 4 C.74 D.80
9. 已知 3log 2=a ， 2
1
2
1）（=b ， 3
1
3
1）（=c ，则a b c， ， 的大小关系是（ ）
A. a b c B. a c b C. b c a D.c b a
10. 2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔
伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p ，使得 2+p 是
素数，素数对 2pp+（ ， ）称为孪生素数．在不超过 32 的素数中，随机选取两个不同的数，
能够组成孪生素数的概率是 ( )
A.
22
1 B.
11
1 C.
22
3 D.
11
2
11. 如图.在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，已知 90=ABC ，
P 为侧棱 1CC 上任意一点，Q 为棱 AB 上任意一点，
PQ 与 AB 所成角为 ， 与平面 ABC 所成的角为 ，
则 与 的大小关系为（ ）
A.= B. C. D.不能确定
12. 已知函数 ()y f x= 在 R 上可导且 (0) 2f = ，其导函数 ()fx 满足 ( ) ( ) 02
f x f x
x
− − ，对于
函数 ()() x
fxgx e= ，下列结论错误．．的是（ ）
A. 函数 ()gx在 (2, )+ 上为单调递增函数 B. 2x = 是函数 ()gx的极小值点
C. 0x 时，不等式 ( ) 2 xf x e 恒成立 D. 函数 ()gx至多有两个零点
B1
C1A1
C
B
A
Q
P
第 11 题图 高三六校联考数学试题（理） 第 3 页 共 4 页
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分.
13. 已知圆 1C ： 222 2 3 0x y x y+ − − − = 与圆 2C ： 222 4 0x y ax y+ − − = ，若圆 1C 关于一
条直线 l 对称的圆是圆 2C ，则 a = .
14. 已知点 A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上， 31AB BC==， ， 2AC = ，当四面体 ABCD
的体积的最大值为 23
3
时，这个球的表面积为 .
15. 在 93
2020 )11)(1 +++ x
x
x（ 展开式中， 3x 的系数为 .（用数字作答）.
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3AB（1，0）， （1， ），动点 P 满足 +OP xOA yOB= ，
且 1xy+=，则动点 P 形成的轨迹长度为 .
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~22 题均为必考
题，每个试题考生都必须作答.
17.（本小题 10 分）已知数列 na 满足
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2n
n na a a a+ + + + =− − − − ， *nN .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令
1
1
( 2) ( 2)n
nn
b aa+
= −−，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 1nT .
18.（本小题 12 分）已知函数 2( ) 2 3sin cos 2cos 1 (0 )f x x x x x = + − ， ， ， ABC 中，
角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ， 的面积为 223
5 a
（Ⅰ）求函数 ()fx的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ( ) 1fC= ,求 b
c
的值.
19.（本小题 12 分） 在平面 内的四边形 ABCD（如图 1）， ABC 和 ACD 均为等腰三角
形，其中 2AC = ， 3AB BC==， 6== CDAD ，现将 和 均沿 AC 边向上折
起（如图 2），使得 B ， D 两点到平面 的距离分别为 1 和 2.
（Ⅰ）求证： ACBD ⊥ ；
（Ⅱ）求二面角 CBDA −− 余弦值.
高三六校联考数学试题（理） 第 4 页 共 4 页
附：
20.（本小题 12 分）随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究。在传染
病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现
该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000 名患者
的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） ]20[ ， ]42( ， ]64( ， ]86( ， ]108( ， ]1210( ， ]4112( ，
人数 80 200 320 250 100 30 20
（Ⅰ）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表) ；
（Ⅱ）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期
为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 100 人，得到如下列联表：
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
60岁以上（含60岁） 50
60 岁以下 35
100
请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为传染病潜伏期与患者年
龄有关;
（III）在条件（Ⅱ）得到的 100 人样本中，从潜伏期超过 10 天的人中，随机选取 3 人进行
抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过 12 天的概率？
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−= ，其中 dcban +++=
21.（本小题 12 分）已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
=+ ba
b
y
a
xC 的离心率为
2
2 ，长轴长为 24 .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，若点 P 到点 20（ ，）的距离与点 P 到定直线
( 0)x t t=的距离之比为定值 ，求 与 t 的值；
（III）若直线 :l ( 0)y kx m k= + 与椭圆C 交于不同的两点 M , N ，且线段 MN 的垂直平
分线过定点(1, 0) ，求实数 k 的取值范围．
22.（本小题 12 分） 已知函数 ( ) ( 1)xf x e ax=+
（Ⅰ）讨论函数 ()fx的单调性；
（Ⅱ）当 1a = 时，若 P 为直线 3yx=+与函数 ()fx图像的一个公共点，其横坐标为 t ，且
( , 1)t m m+，求整数m 的所有可能的值.
)( 0
2 kKP 0.05 0.025 0.010
0k 3.841 5.024 6.635 高三六校联考数学试题（理） 第 1 页 共 8 页
安徽六校教育研究会 2021 届高三第一次素质测试
理科数学试题答案
命题：
注意事项：
1. 本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共 4 页，“答题卷”共 6 页；
请务必在“答题卷．．．”上答题，在“试题卷．．．”上答题无效。
2. 请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。
3. 回答选择题时，务必使用 2B 铅笔把你所选的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
4. 回答非选择题时，须在与题号对应的答题框内作答，否则答题无效，注意字迹清楚，
卷面整洁。
一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，满分 60 分.
1. 已知集合 }032|{ 2 −−= xxxA ，集合 }0)1(log|{ 2 −= xxB ，则 AB= （ ）
A. 32 xx B. 32 xx C. 31 xx D. 21 − xx
答案： A .
2. 设
i
iz −
+= 1
)1( 2
，复数 z 的共轭复数 z =（ ）
A. i+1 B. i−1 C. i+−1 D. i−−1
答案： D .
3. 已知非零向量 a ， b
满足| | | |,ab= 则 baba
2332 −=+ 是 ab⊥ 的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案： B .
4. 某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水
位情况.
河流水位表（1）
第 x 日 第 1 日 第 2 日 第 3 日 第 4 日 第 5 日 第 6 日 第 7 日
水位 y （米） 3.5 3.7 3.8 3.9 4.3 4.4 4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当
水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必
要措施，确保堤防等工程的安全，并根据"有限保证、无限负责"的精神，对于可能出现超过
保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.
水位预警分级表（2）
水位 4.7 5.1 5.6
水位分类 设防水位 警戒水位 保证水位
预警颜色 黄色 橙色 红色
现已根据上表得到水位 y 的回归直线方程为 ˆ 0.21 3.217yx=+，据上表估计 （ ）
A.第 8 日将要启动洪水橙色预警 B.第 10 日将要启动洪水红色预警
C.第 11 日将要启动洪水红色预警 D.第 12 日将要启动洪水红色预警
答案： D . 高三六校联考数学试题（理） 第 2 页 共 8 页
5. 已知 x y R， ，且满足
0
2 0( 0)
2
y ax
y ax a
x
−
−
，若由不等式组确定的可行域的面积为 1，则目
标函数 z x ay=+ 的最大值为（ ）
A. 3
2 B. 2 C.3 D. 4
答案：C .
6.已知直线 l ： 2y k x x=−与曲线 sin 1x
xy e=−在 0x = 处的切线平行，则实数 k 值为（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
答案： B .
7.已知双曲线
22
22:1xyC ab−=( )0, 0ab的 左 、 右 焦 点 分 别 为 1F ， 2F ，
圆O ： 22220x y a b+ − − = 与双曲线的一个交点为 P ，若 122PF PF= ，则双曲线的离心
率为（ ）
A. 36 + B. 36
2
+ C. 16 − D. 61
2
+
答案： A .
8. 已知 nS 为数列 na 的前 n 项和，且满足 1 2a = ， 2*
1 4( 1) ( )n n na a a n N+− = − ，则 20S =（ ）
A. 0 B. 4 C.74 D.80
答案：C .
9. 已知 3log 2=a ， 2
1
2
1）（=b ， 3
1
3
1）（=c ，则a b c， ， 的大小关系是（ ）
A. a b c B. a c b C.b c a D. c b a
答案： D .
10. 2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔
伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p ，使得 2+p 是
素数，素数对 2pp+（ ， ）称为孪生素数．在不超过 32 的素数中，随机选取两个不同的数，
能够组成孪生素数的概率是 ( )
A. 22
1 B. 11
1 C. 22
3 D. 11
2
答案： B .
11. 如图.在直三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，已知 90=ABC ，
P 为侧棱 1CC 上任意一点，Q 为棱 AB 上任意一点，
PQ 与 AB 所成角为 ， PQ 与平面 ABC 所成的角为 ，
则 与 的大小关系为（ ）
A.= B. C. D.不能确定
B1
C1A1
C
B
A
Q
P
第 11 题图 高三六校联考数学试题（理） 第 3 页 共 8 页
答案：C .
法一：由斜线与平面所成角是这条斜线与平面内任一直线所成角中的最小值，易得答案C .
法二：连接 PB ，易知，cos QC
QP = ，cos QB
QP = ，
QC QB ， cos cos ， 答案C .
12. 已知函数 ()y f x= 在 R 上可导且 (0) 2f = ，其导函数 ()fx 满足 ( ) ( ) 02
f x f x
x
− − ，对于
函数 ()() x
fxgx e= ，下列结论错误．．的是（ ）
A. 函数 ()gx在 (2, )+ 上为单调递增函数 B. 2x = 是函数 ()gx的极小值点
C. 0x 时，不等式 ( ) 2 xf x e 恒成立 D. 函数 ()gx至多有两个零点
解：因为 xe
xfxfxg )()()( −=
所以当 2x 时， 0)( xg ， )(xg 在 ( )+，2 上单调递增， A 选项正确
当 2x 时， 0)( xg ， )(xg 在 ( )2- ， 上单调递减， )2()( gxg = 极小 B 选项正确
若 0)2( g ，且 (0) 2 0g =，则 )(xgy = 有一个或两个零点，
若 0)2( =g ，则 )(xgy = 有 1 个零点
若 0)2( g ，则 )(xgy = 有没有零点 所以 D 选项正确
)(xg 在 ( )2- ， 上单调递减， )(xg 在 ( 0- ， 上单调递减，
2)0()0()( 0 ==
e
fgxg x
x exf
e
xf 2)(2)( ，C 选项错误，故答案为:C
二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分.
13. 已知圆 1C ： 222 2 3 0x y x y+ − − − = 与圆 2C ： 222 4 0x y ax y+ − − = ，若圆 1C 关于一条
直线 l 对称的圆是圆 2C ，则 a = .
答案： 1 .
14. 已知点 A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上， 31AB BC==， ， 2AC = ，当四面体 ABCD
的体积的最大值为 23
3
时，这个球的表面积为__________．
答案： 289
16
.
15. 在 93
2020 )11)(1 +++ x
x
x（ 展开式中， 3x 的系数为 （用数字作答）.
略解： 93
2020 )11( ++ x
x
展开式中 32, xx 的项出现在( ) 931 x+ 展开式中.
( ) 931 x+ 展开式的通项为 rr
r xC )(T 3
91 =+
令 3323 == rr 或 ，解得： 6=r 和 9=r ，所求系数为 85CC 9
9
6
9 =+ .故答案为 85. 高三六校联考数学试题（理） 第 4 页 共 8 页
16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 3AB（1，0）， （1， ），动点 P 满足 +OP xOA yOB= ，
且 1xy+=，则动点 P 形成的轨迹长度为 .
答案： 2 3 2 7+
解：当 0,0 yx 时，由已知得： 1=+ yx
P 点的轨迹为线段 AB
同理可得：当 1xy+=时，P 点的轨迹为平行四边形 ABCD
（如图）
易求： 73 == BCAB ， ，
故动点 P 形成的轨迹长度为： 2 3 2 7+
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~22 题均为必考
题，每个试题考生都必须作答.
17.（本小题 10 分）已知数列 na 满足
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2n
n na a a a+ + + + =− − − − ， *nN .
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）令
1
1
( 2)( 2)n
nn
b aa+
= −−，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 1nT .
解：（Ⅰ）因为
1 2 3
1 2 3
2 2 2 2n
n na a a a+ + + + =− − − − …① 当 1n = 时， 1 3a = ，
当 2n 时，
1 2 3 1
1 2 3 1 12 2 2 2n
n na a a a −
−+ + + + = −− − − − …………②
由①-② 得： 2nan=+， 因为 1 3a = 适合上式，所以 2nan=+（ *nN ）
………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )( ) ( ) ( )1
1 1 1 1
2 2 1 1n
nn
b a a n n n n+
= = = −− − + +
( )
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 11 2 2 3 1 1n nT nn= − + − + + − = −+ +
1 01n + ，即 1nT . ……………………………………………………………（10 分）
高三六校联考数学试题（理） 第 5 页 共 8 页
18.（本小题 12 分）已知函数 2( ) 2 3sin cos 2cos 1 (0 )f x x x x x = + − ， ， ， ABC 中，
角 A B C， ， 所对的边分别为 a b c， ， ， ABC 的面积为 223
5 a
（Ⅰ）求函数 ()fx的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ( ) 1fC= ,求 b
c
的值.
解. （Ⅰ）依题 ( ) 3sin 2 cos2 2sin(2 )6f x x x x = + = + 又 (0 )x ，
故函数 ()fx的单调递减区间为： 2[]63
， ………………………………………（4 分）
（Ⅱ）由 ( ) 1fC= 12sin(2 ) 1 sin(2 )6 6 2CC + = + = ，又 0C （ ， ），故
3C =
依题 21 3 2 3 8sinC=2 4 5 5ABCS ab a b a b a = = =
在 ABC 中，由余弦定理得： 2 2 2 2 28 8 49 7()5 5 25 5c a a a a c a= + − = =
故 8
7
b
c = ………………………………………………………………………………………（12 分）
19.（本小题 12 分） 在平面 内的四边形 ABCD（如图 1）， ABC 和 ACD 均为等腰三
角形，其中 2AC = ， 3AB BC==， 6== CDAD ，现将 ABC 和 ACD 均沿 AC 边向
上折起（如图 2），使得 B ， D 两点到平面 的距离分别为 1 和 2.
（Ⅰ）求证： ACBD ⊥ ；
（Ⅱ）求二面角 CBDA −− 余弦值.
解：（Ⅰ）取线段 AC 的中点O ，连接 DOBO， ，
因为 ABC 是等腰三角形， BCAB = ，
所以 ACBO ⊥ ，
同理可证 ACDO ⊥ ，又 ODOBO = ，
所以 BDOAC 平面⊥
且 BDOBD 平面 ，所以 ACBD ⊥
………………………………………………………………（5 分）
高三六校联考数学试题（理） 第 6 页 共 8 页
附：
（Ⅱ）分别过 DB， 作平面 的垂线，垂足分别为 FE， ，由已知易证 FOE ，， 三点共线，
以OA所在直线为 x 轴，以OE 所在直线为 y 轴，如图建立空间直角坐标系 xyzO − ，
易求 (1,0,0)A , (0,1,1)B , ( 1,0,0)C − , ），（ 2,10 −D ，
令平面 ABD的一个法向量为： ）（ zyxm ,,=
由
−−=
−=
)2,1,1(
1,1,1
AD
AB ）（ 故
=+−−
=++−
02
0
zyx
zyx 可取 ）（ 2,1,3=m
同理可得平面 BCD 的一个法向量为: ）（ 2,1,3 −−=n
7
2
1414
419cos =
−−= nm ，
所求二面角 CBDA −− 余弦值为
7
2 .……………………………………（12 分）
20.（本小题 12 分）随着新冠肺炎疫情的爆发和蔓延，国家加强了传染病学的研究。在传染
病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现
该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 1000 名患者
的相关信息，得到如下表格：
潜伏期（单位：天） ]20[ ， ]42( ， ]64( ， ]86( ， ]108( ， ]1210( ， ]4112( ，
人数 80 200 320 250 100 30 20
（Ⅰ）求这 1000 名患者的潜伏期的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表) ；
（Ⅱ）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期
为标准进行分层抽样，从上述 1000 名患者中抽取 100 人，得到如下列联表：
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
60岁以上（含60岁） 50
60 岁以下 35
100
请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
（III）在条件（Ⅱ）得到的 100 人样本中，从潜伏期超过 10 天的人中，随机选取 3 人进行
抽血化验，问恰好有一人潜伏期超过 12 天的概率？
)( 0
2 kKP 0.05 0.025 0.010
0k 3.841 5.024 6.635 高三六校联考数学试题（理） 第 7 页 共 8 页
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadnK ++++
−= ，其中 dcban +++=
解：（Ⅰ） 52.51000132011309100725053203200180 =++++++= ）（x
..............................................................................................................3 分
（Ⅱ）根据题意，补充完成的列联表如下：
167.440605050
)25351525(100 2
2
−=K .....................................................................7 分
经查表，得 841.3167.42 =K ，所以有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.........8 分
（III）由（Ⅱ）知 100 人样本中 ]1210( ， 中有 3 人， ]4112( ， 有 2 人.
所以恰好有一人潜伏期超过 12 天的概率
5
3
3
5
1
2
2
3 ==
C
CCP .......................................12 分
21.（本小题 12 分）已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
=+ ba
b
y
a
xC 的离心率为
2
2 ，长轴长为 24 .
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，若点 P 到点 ），（ 02 的距离与点 P 到定直线
( 0)x t t=的距离之比为定值 ，求 与 t 的值.
（III）若直线 :l ( 0)y kx m k= + 与椭圆C 交于不同的两点 M , N ，且线段 MN 的垂直平
分线过定点 )0,1( ，求实数 k 的取值范围．
【详解】（Ⅰ）由题意易得，椭圆C 的标准方程为 148
22
=+ yx . ...................................3 分
（Ⅱ）设 ）（ 00 , yxP ，依题意得：
22
00
0
2xy
xt −+=−
（ ） ，
所以
2
2 2 20
002 4(1 ) ( )8
xx x t− + − = −（ ）
所以 2 2 2 2 2
00
1 (2 4) 8 02 x t x t − + − + − =（ ） 恒成立，
可得 02
1 2 =− 且 22 4 0t −=且 2280t −=，
解得： 24, 2t ==....................................................................................7 分
潜伏期 6 天 潜伏期 6 天 总计
60岁以上（含60岁） 25 25 50
60 岁以下 35 15 50
60 40 100 高三六校联考数学试题（理） 第 8 页 共 8 页
（III）设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，将 mkxy += 代入椭圆方程，
消去 y 得， 082421 222 =−+++ mkm ）（ ，所以由 0 ，得 48 22 + km …………① .
由根与系数关系得 221 21
4
k
kmxx
+
−=+ ，则 221 21
2
k
myy
+
=+ ，
所以线段 MN 的中点 P 的坐标为 )
2121
2
22 k
m
k
km
++
− ，（ ．又线段 MN 的垂直平分线 l 的方程为
)1(1 −−= xky ，由点 P 在直线 l 上，得 )1
21
2(1
21 22 −
+
−−=
+ k
km
kk
m ，
所以
k
km
221+−= …………② .....................................................................10 分
由①②得，
2
12 k ，即
2
2k 或
2
2−k ，
所以实数 k 的取值范围是 ),2
2()2
2,( +−− ．.....................................................12 分
22.（本小题 12 分） 已知函数 ( ) ( 1)xf x e ax=+
（Ⅰ）讨论函数 ()fx的单调性；
（Ⅱ）当 1a = 时，若 P 为直线 3yx=+与函数 ()fx图像的一个公共点，其横坐标为 t ，且
( , 1)t m m+，求整数m 的所有可能的值.
解：（Ⅰ）由 ( ) ( 1)xf x e ax=+得 / ( ) ( 1)xf x e ax a= + +
①当 0a = 时， / ( ) 0fx ， ()fx在 ( , )− + 为增
②当 0a 时，由 / 1( ) 0 af x x a
+ − ，
故 ()fx在 1( , )a
a
+− + 为增，在 1( , )a
a
+− − 为减
③当 0a 时，由 / 1( ) 0 af x x a
+ − ，
故 ()fx在 1( , )a
a
+− − 为增，在 1( , )a
a
+− + 为减 ................................................6 分
（Ⅱ）当 1a = 时， ( ) ( 1)xf x e x=+，由 3( 1) 3 1
xxxe x x e x
++ = + = +
（ 1x − ）
由图像观察可知它们有两个交点，记 3() 1
x xg x e x
+=−+
（ 1x − ）
注意到 /
2
2( ) 0( 1)
xg x e x= + +
，故 ()gx在( , 1)− − 为增，在( 1, )− + 也为增，
而 431( 4) 0, ( 3) 03g e g e−−− = − − = ，故 43t− −
又 (0) 1 3 0, (1) 2 0g g e= − = − 又得01t
整数 m 的所有可能的值为 4,0− .........................................................................12 分
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