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课后提升作业 二十七
圆与圆的位置关系
(45 分钟 70 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1.两圆 x2+y2-1=0 和 x2+y2-4x+2y-4=0 的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
【解析】选 B.将两圆化成标准方程分别为 x2+y2=1，
(x-2)2+(y+1)2=9，
可知圆心距 d= ，
由于 20)截直线 x+y=0 所得线
段的长度是 2 ,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
【解析】选 B.圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+ =a2,由题意,d=
,所以有,a 2= +2,解得 a=2.所以圆 M:x 2+ =22,圆心距= ,半
径和=3,半径差=1,所以二者相交.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
9.(2016·大连高一检测)若点 A(a，b)在圆 x2+y2=4 上，则圆(x-a)2+y2=1
与圆 x2+(y-b)2=1 的位置关系是________.
【解析】因为点 A(a，b)在圆 x2+y2=4 上，
所以 a2+b2=4.
又圆 x2+(y-b)2=1 的圆心 C1 (0，b)，半径 r1=1，
圆(x-a)2+y2=1 的圆心 C2(a，0)，半径 r2=1，
则 d=|C1C2|= = =2，
所以 d=r1+r2，
所以两圆外切.
答案：外切
10.(2016 · 北 京 高 一 检 测 ) 已 知 圆 C1 ： x2+y2-6x-7=0 与 圆 C2 ：
x2+y2-6y-27=0 相 交 于 A ， B 两 点 ， 则 线 段 AB 的 中 垂 线 方 程 为
____________.
【解题指南】利用圆的几何性质求解本题.
【解析】AB 的中垂线即为圆 C1，圆 C2 的连心线 C1C2 所在的直线，
又 C1(3，0)，C2(0，3)，C1C2 的方程为 x+y-3=0，
即线段 AB 的中垂线方程为 x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
11.求过点 A(4，-1)且与圆 C：(x+1)2+(y-3)2=5 相切于点 B(1，2)的圆
的方程.
【解析】设所求圆的圆心 M(a，b)，半径为 r，
已知圆的圆心为 C(-1，3)，
因为切点 B 在连心线上，
即 C，B，M 三点共线，
所以 = ，
即 a+2b-5=0.①
由于 AB 的垂直平分线为 x-y-2=0，
圆心 M 在 AB 的垂直平分线上，
所以 a-b-2=0.②.Com]
联立①②解得
故圆心坐标为 M(3，1)，r=|MB|= ，
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
12.(2016 · 舟 山 高 一 检 测 ) 已 知 两 圆 x2+y2-10x-10y=0 ，
x2+y2+6x-2y-40=0.
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程.
(2)公共弦长.
【解析】(1)x2+y2-10x-10y=0①；
x2+y2+6x-2y-40=0②；
②-①得：2x+y-5=0 为公共弦所在直线的方程.
(2)将圆 x2+y2-10x-10y=0，
化为标准方程为(x-5)2+(y-5)2=50，
该圆圆心为(5，5)，
则此圆心到直线 2x+y-5=0 的距离
d= =2 ，
故弦长为 2 =2 .
【能力挑战题】
已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l：x-y+10=0 上.
(1)若动圆 C 过点(-5，0)，求圆 C 的方程.
(2)是否存在正实数 r，使得动圆 C 中满足与圆 O：x2+y2=r2 相外切的圆
有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)依题意，可设动圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=25，
其中圆心(a，b)满足 a-b+10=0.
又因为动圆过点(-5，0)，
所以(-5-a)2+(0-b)2=25.
解方程组
可得
或
故所求圆 C 的方程为(x+10)2+y2=25 或(x+5)2+(y-5)2=25.
(2)圆 O 的圆心(0，0)到直线 l 的距离 d= =5 .
当 r 满足 r+5d 时，r 每取一个数值，
动圆 C 中存在两个圆与圆 O：x2+y2=r2 相外切；
当 r 满足 r+5=d 时，
即 r=5 -5 时，
动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O：x2+y2=r2 相外切.
故当动圆 C 中与圆 O 相外切的圆仅有一个时，r=5 -5.
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