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课时提升作业(十九)
导数的几何意义
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.曲线 y=x3-3x 在点(2,2)的切线斜率是 ( )
A.9 B.6 C.-3 D.-1
【解析】选 A.Δy=(2+Δx)3-3(2+Δx)-23+6=9Δx+6(Δx)2+(Δx)3,
=9+6Δx+(Δx)2,
= (9+6Δx+(Δx)2)=9,
由导数的几何意义可知,曲线 y=x3-3x 在点(2,2)处的切线斜率是 9.
2.曲线 f(x)=3x+x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=5x-1 B.y=-5x+1
C.y= x+1 D.y=- x-1
【解析】选 A.k= =5.
f(1)=4.由点斜式得 y-4=5(x-1),即 y=5x-1.
3.下面说法正确的是 ( )
A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在
C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在
【解析】选 C.f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直
于 x 轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.
【补偿训练】曲线 y= x3-2 在点 处切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45° C.135° D.60°
【解析】选 B.Δy= (-1+Δx)3-2- ×(-1)3+2=Δx-(Δx)2+ (Δx)3,
=1-Δx+ (Δx)2,
= =1,
所以曲线 y= x3-2 在点 处切线的斜率是 1,倾斜角为 45°.
4.(2015·武汉高二检测)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 ,
则直线 l 的方程为 ( )
A.4x-y+9=0
B.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0
C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0
D.以上均不对
【解析】选 C.y′= =-4,所以 k=-4,所以切线方程为 y-4=-4(x-1),即 4x+y-8=0,
设 l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意 = ,
所以 c=9 或-25.
5.(2015·丽水高二检测)已知曲线 y= x2-2 上一点 P ,则在点 P 处的切线的倾斜角
为 ( )
A.30° B.45° C.135° D.150°
【解析】选 B.在点 P 处的切线的斜率 k=f′(1)
= =
= = =1.
设切线的倾斜角为α,则 tanα=1,
又 0°≤α≤180°,所以α=45°.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.若抛物线 y=x2 与直线 2x+y+m=0 相切,则 m=________.
【解析】设切点为 P(x0,y0),易知,y′=2x.
由 得 即 P(-1,1).
又 P(-1,1)在直线 2x+y+m=0 上,
故 2×(-1)+1+m=0,即 m=1.
答案:1
7.曲线 y=x2-3x 的一条切线的斜率为 1,则切点坐标为________.
【解析】设 f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),
f′(x0)= = =2x0-3=1,
故 x0=2,y0= -3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
答案:(2,-2)
8.(2015 ·惠州高二检测) 如图, 函数 y=f(x) 的图象在点 P 处的切线方程是
y=-x+8, 则 f(5)+f′(5)=________.
【解析】因为点 P 在切线上,所以 f(5)=-5+8=3,
又因为 f′(5)=k=-1,
所以 f(5)+f′(5)=3-1=2.
答案:2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.在曲线 E:y=x2 上求出满足下列条件的点 P 的坐标.
(1)在点 P 处与曲线 E 相切的直线平行于直线 y=4x-5.
(2)在点 P 处与曲线 E 相切的直线与 x 轴成 135°的倾斜角.
【解析】f′(x)=
= =2x,设 P(x0,y0)为所求的点.
(1)因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4).
(2)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角,所以其斜率为-1,即 2x0=-1,得 x0=- ,
即 y0= ,即 P .
10.(2015·天水高二检测)已知曲线 C:y= 经过点 P(2,-1),求
(1)曲线在点 P 处的切线的斜率.
(2)曲线在点 P 处的切线的方程.
(3)过点 O(0,0)的曲线 C 的切线方程.
【解析】(1)将 P(2,-1)代入 y= 中得 t=1,
所以 y= .所以 = = = ,
所以 = ,
所以曲线在点 P(2,-1)处切线的斜率为 k= =1.
(2)曲线在点 P 处的切线方程为 y+1=x-2,即 x-y-3=0.
(3)因为点 O(0,0)不在曲线 C 上,设过点 O 的曲线 C 的切线与曲线 C 相切于点 M(x 0,y0),则
切线斜率 k= = ,
由于 y0= ,所以 x0= ,所以切点 M ,切线斜率 k=4,切线方程为 y-2=4 ,即
y=4x.
【补偿训练】试求过点 P(1,-3)且与曲线 y=x2 相切的直线的斜率.
【解析】设切点坐标为(x0,y0),则有 y0= .
因为 y′= 了 = =2x.
所以 k=2x0.
所以切线方程为 y- =2x0(x-x0),
将点(1,-3)代入,得:-3- =2x0-2 ,
所以 -2x0-3=0,所以 x0=-1 或 x0=3.
当 x0=-1 时,k=-2;当 x0=3 时,k=6.
所以所求直线的斜率为-2 或 6.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.设 f(x)为可导函数且满足 =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1))处的切
线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
【解析】选 B.
= =
=f′(1)=-1.
【补偿训练】(2015·聊城高二检测)设函数 f(x)满足 =-1,则曲线 y=f(x)
在点(1,f(1))处的切线的斜率是 ( )
A.2 B.-1 C. D.-2
【解析】选 B.因为 = =f′(1)=k=-1,所以 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线
的斜率是-1.
2.(2015·贵阳高二检测)已知函数 y=f(x)的图象如图,f′(x A)与 f′(x B)的大小关系是
( )
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)0
【解析】选 B.f′(xA)和 f′(x B)分别表示函数图象在点 A,B 处的
切线斜率,故
f′(xA)
f′(xB).
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.函数 y=f(x)= 在 x=1 处的切线方程为________.
【解析】f(1)= =1,f′(1)= = = =-1,
则切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.
答案:x+y-2=0
4.(2015·南京高二检测)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),
f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为________.
【解题指南】由导数的定义,先求出 f′(0)的值,从而求出 的表达式,再利用“对于任意
实数 x,有 f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.
【解析】由导数的定义,得 f′(0)= =
= =b.
又因为对于任意实数 x,有 f(x)≥0,
则 所以 ac≥ ,所以 c>0.
所以 = ≥ ≥ =2.
答案:2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
5.直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x3-x2+1 相切.
(1)求切点的坐标.
(2)求 a 的值.
【解析】(1)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0)点,则
f′(x)=
=
=3x2-2x.
由题意知,k=1,即 3 -2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1.
于是切点的坐标为 或(1,1).
(2)当切点为 时, =- +a,a= ;
当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去).
所以 a 的值为 .
【补偿训练】设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a
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