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课时提升作业(十三)
双曲线的简单几何性质
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=±2x，则实数 m 等于 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】选 D.由题意，得双曲线焦点在 x 轴上，
且 a2=8，b2=m，所以 a=2 ，b= .
又渐近线方程为 y=±2x，所以 =4.所以 m=32.
2.(2015·全国卷Ⅱ)已知 A，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，△ABM 为等腰三角
形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
【解析】选 D.设双曲线方程为 - =1(a>0，b>0)，如图所示，
|AB|=|BM|，∠ABM=120°，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N，
在 Rt△BMN 中，|BN|=a，|MN|= a，故点 M 的坐标为 M(2a， a)，代入双曲线方程得
a2=b2=c2-a2，即 c2=2a2，所以 e= .
【补偿训练】已知 00)的左、右焦点分别是 F1，F2，其一条渐
近线方程为 y=x，点 P( ，y0)在双曲线上，则 · = ( )
A.-12 B. -2 C.0 D.4
【解题指南】由渐近线方程求出 b，得到双曲线方程，进而求出 F1，F2 及 P 的坐标即可.
【解析】选 C.由渐近线方程为 y=x 知， =1，
所以 b= ，
因为点 P( ，y0)在双曲线上，
所以 y0=±1，
y0=1 时，P( ，1)，F1(-2，0)，F2(2，0)，
所以 · =0，
y0=-1 时，P( ，-1)， · =0.
5.设 P 是双曲线 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线
的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|= ( )
A.1 或 5 B.6 C.7 D.9
【解析】选 C.因为双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,所以 = ,因为 b=3,所以 a=2.
又||PF1|-|PF2||=2a=4,所以|3-|PF2||=4.
所以|PF2|=7 或|PF2|=-1(舍去).
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为 y=± x，则该双曲线的标
准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为 y=± x，可设双曲线的方程为 -y2=m，把
(4， )代入 -y2=m，得 m=1.
答案： -y2=1
7.(2015·揭阳高二检测)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A，B 为椭圆的顶点，
当 FB⊥AB 时，其离心率为 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算
出“黄金双曲线”的离心率 e 等于________.
【解析】设中心在坐标原点的双曲线左焦点 F，实轴右端点 A，虚轴端点 B，
FB⊥AB，则|AF|2=|AB|2+|BF|2，
因为|AF|2=(a+c)2，|AB|2=a2+b2，|BF|2=b2+c2，
所以 c2-a2-ac=0，
因为 e= ，所以 e2-e-1=0，
因为 e>1，所以 e= .
答案：
【补偿训练】已知双曲线 C： - =1 的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数 m 的取值
范围是____________.
【解析】因为等轴双曲线的离心率为 ，且双曲线 C 的开口比等轴双曲线更开阔，所以双
曲线 C： - =1 的离心率 e> ，
即 >2.所以 m>4.
答案：(4，+∞)
8.(2015·孝感高二检测)双曲线 - =1 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上，若 PF1⊥
PF2，则点 P 到 x 轴的距离为________.
【解析】设|PF1|=m，|PF2|=n(m>n)，所以 a=3，b=4，c=5.由双曲线的定义知，m-n=2a=6，
又 PF1⊥PF2.所以△PF1F2 为直角三角形.
即 m2+n2=(2c)2=100.
由 m-n=6，得 m2+n2-2mn=36，
所以 2mn=m2+n2-36=64，mn=32.
设点 P 到 x 轴的距离为 d，
= d|F1F2|= |PF1|·|PF2|，
即 d·2c= mn.所以 d= = =3.2，
即点 P 到 x 轴的距离为 3.2.
答案：3.2
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.(1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x，求双曲线的离心率.
(2)双曲线的离心率为 ，求双曲线的两条渐近线的夹角.
(3)双曲线与圆 x2+y2=17 有公共点 A(4，-1)，圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平行，求双
曲线的标准方程.
【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为 y=± x，
所以 = 或 = .
当 = 时，e= ；当 = 时，e= .
(2)因为 e= = ，所以 = ，即 a=b，
所以双曲线渐近线方程为 y=±x.
所以双曲线两条渐近线的夹角为 90°.
(3)因为点 A 与圆心 O 连线的斜率为- ，
所以过 A 的切线的斜率为 4.
所以双曲线的渐近线方程为 y=±4x.
设双曲线方程为 x2- =λ.
因为点 A(4，-1)在双曲线上，
所以 16- =λ，λ= .
所以双曲线的标准方程为 - =1.
10. 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 一 椭 圆 与 一 双 曲 线 有 共 同 的 焦 点 F1 ， F2 ， 且
|F1F2|=2 ，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为 4，离心率之比为
3∶7.
(1)求这两曲线方程.
(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求△F1PF2 的面积.
【解析】(1)设椭圆方程为 + =1，双曲线方程为 - =1(a，b，m，n>0，且 a>b)，则
解得：a=7，m=3，所以 b=6，n=2，
所以椭圆方程为 + =1，双曲线方程为 - =1.
(2)不妨设 F1，F2 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|+|PF2|=14，
|PF1|-|PF2|=6，所以|PF1|=10，|PF2|=4，
所以 cos∠F1PF2= = ，所以 sin∠F1PF2= .
所以 = |PF1|·|PF2|sin∠F1PF2= ·10·4· =12.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为
(0，2)，则双曲线的标准方程为( )
A. - =1 B. - =1
C. - =1 D. - =1
【解析】选 A.2a+2b= ·2c，即 a+b= c，
所以 a2+2ab+b2=2(a2+b2)，
所以(a-b)2=0，即 a=b.
因为一个顶点坐标为(0，2)，
所以 a2=b2=4，
所以 y2-x2=4，即 - =1.
【补偿训练】渐近线方程为 3x±4y=0，焦点为椭圆 + =1 的短轴端点的双曲线方程为
________.
【解析】双曲线的焦点为椭圆的短轴端点，即(0， )，(0，- )，所求双曲线方程可
设为 - =1(λ>0)，
所以 5=9λ+16λ，λ= .
故所求的双曲线方程为 - =1.
答案： - =1
2.已知实数 4，m，9 构成一个等比数列，m 为等比中项，则圆锥曲线 +y 2=1 的离心率为
( )
A. B. C. 或 D. 或 7
【解析】选 C.因为 4，m，9 成等比数列，所以 m2=36，所以 m=±6.当 m=6 时，圆锥曲线方
程为 +y2=1，其离心率为 ；当 m=-6 时，圆锥曲线方程为 y2- =1，其离心率为 .
【补偿训练】两个正数 a，b 的等差中项是 ，等比中项是 2 ，且 a>b，则双曲线 - =1
的离心率为________.
【解析】因为两个正数 a，b 的等差中项是 ，等比中项是 2 ，且 a>b，
所以 解得 a=5，b=4，
所以双曲线方程为 - =1，
所以 c= = ，
所以双曲线 - =1 的离心率 e= = .
答案：
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·广州高二检测)若双曲线 - =1 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为
________.
【解析】双曲线的离心率 e= = = = ，所以 = ，其渐近线的方程
为 y=± x，其斜率为± .
答案：±
4.(2015·郑州高二检测)设双曲线 - =1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 平行于双曲
线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则△AFB 的面积为_____.
【解题指南】利用双曲线方程和直线方程求出 B 点的坐标，可得三角形的高.
【解析】双曲线 - =1 的右顶点为 A(3，0)，右焦点为 F(5，0)(由于两渐近线关于 x 轴
对称，因此设与任何一条渐近线平行的直线均可)，
一条渐近线为 y=- x，
则 BF 所在直线为 y=- (x-5)，
由 得 B ，
所以 S△AFB= ·|AF|·|yB|= .
答案：
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.(2015·青岛高二检测)已知 F1，F2 是椭圆 C1： +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分
别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点，若四边形 AF1BF2 为矩形，求 C2 的离心率.
【解析】设双曲线 C2 的标准方程为 - =1(a>0，b>0)，|AF1|=m，|AF2|=n，
因为 A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点，所以 m+n=4，n-m=2a，所以 m=2-a，
n=2+a.因为四边形 AF1BF2 为矩形，所以 AF1⊥AF2.因为|F 1F2|=2 ，所以 m2+n2=12，即
8+2a2=12，所以 a= ，所以 e= = = .
6.(2015·衡阳高二检测)过双曲线 - =1(a>0，b>0)的右焦点 F(2 ，0)作双曲线的一
条渐近线的垂线，与该渐近线交于点 P，且 · =-6，求双曲线的方程.
【解析】设双曲线的一条渐近线方程为 y= x，
则过 F 且与其垂直的直线方程为 y=- (x-2 ).
由
可得点 P 的坐标为 .
所以 = ，
· =(2 ，0)· =-6.
解得 a2=2，所以 b2=c2-a2=(2 )2-2=6，
所以双曲线方程为 - =1.
【一题多解】设双曲线的一条渐近线方程为 y= x，
因为点 P 在双曲线的渐近线上，故设其坐标为
所以 = ， =(2 ，0).
由 · =-6 得 2 (x-2 )=-6，即 x= .
又由 · =0，得 x(x-2 )+ =0，
代入 x= ，得 =3.
而 a2+b2=(2 )2=8，
所以 a2=2，b2=6.
所以双曲线方程为 - =1.
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