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课时提升作业(十五)
抛物线及其标准方程
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.(2014·安徽高考)抛物线 y= x2 的准线方程是( )
A.y=-1 B.y=-2
C.x=-1 D.x=-2
【解析】选 A.y= x2⇔x2=4y，所以抛物线的准线方程是 y=-1.
2.(2015·大连高二检测)点 M(5，3)到抛物线 y=ax2 准线的距离为 6，那么抛物线的方程是
( )
A.y=12x2 B.y=12x2 或 y=-36x2
C.y=-36x2 D.y= x2 或 y=- x2
【解析】选 D.分两类 a>0，a0),则抛物线过点(40,30),302=2p×40,2p=
,所以抛物线的方程应为 y2= x,所给选项中没有 y2= x,但方程 x2=- y 中的“2p”的值
为 ,所以选项 C 符合题意.
5.(2015·重庆高二检测)O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2=4 x 的焦点，P 为 C 上一点，
若|PF|=4 ，则△POF 的面积为 ( )
A.2 B.2 C.2 D.4
【解题指南】由|PF|=4 及抛物线的定义求出点 P 的坐标，进而求出面积.
【解析】选 C.抛物线 C 的准线方程为 x=- ，焦点 F( ，0)，由|PF|=4 及抛物线的
定义知，P 点的横坐标 xP=3 ，从而 yP=±2 ，
所以 = |OF|·|yP|= × ×2 =2 .
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.(2015·邢台高二检测)若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0，3)的距离小 2，则点 P 的
轨迹方程是________.
【解析】由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0，3)的距离，故点 P 的轨迹是以
点(0，3)为焦点，以 y=-3 为准线的抛物线，且 p=6，所以其标准方程为 x2=12y.
答案：x2=12y
7.若抛物线 y2=-2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为-9，它到焦点的距离为 10，则点 M 的坐
标为________.
【解析】由抛物线方程 y2=-2px(p>0)，得其焦点坐标为 F(- ，0)，准线方程为 x= ，设点 M
到准线的距离为 d，则 d=|MF|=10，即 -(-9)=10，
所以 p=2，故抛物线方程为 y2=-4x.
将 M(-9，y)代入抛物线方程，得 y=±6，
所以 M(-9，6)或 M(-9，-6).
答案：(-9，-6)或(-9，6)
【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线 y2=2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为 ，
则点 M 到抛物线焦点的距离为________.
【解析】设 M(x，y)，则由
得 x2+2x-3=0.
解得 x=1 或 x=-3(舍).
所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1- = .
答案：
8.已知 F 是抛物线 y= x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是
________.
【解析】由 y= x2 得 x2=4y，所以 F(0，1).设线段 PF 的中点 M(x，y)，P(x 0，y0)，则
即 又 P(x0，y0)在 x2=4y 上，
故 4x2=4(2y-1)，得 x2=2y-1.
答案：x2=2y-1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.(2015·吉林高二检测)已知动圆 M 与直线 y=2 相切，且与定圆 C：x2+(y+3)2=1 外切，求
动圆圆心 M 的轨迹方程.
【解题指南】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直
线 y=3 的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求.
【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，
则由题意可得 M 到 C(0，-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等，
则动圆圆心的轨迹是以 C(0，-3)为焦点，y=3 为准线的一条抛物线，其方程为 x2=-12y.
10.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽 8 米.一木船宽 4 米，高 2
米，载货的木船露在水面上的部分为 0.75 米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始
不能通航？
【解题指南】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与 y 轴
重合，问题转化为求出 x=2 时的 y 值.
【解析】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为 y 轴建立直角坐标系(如图).
设抛物线的方程是 x2=-2py(p>0)，
由题意知(4，-5)在抛物线上，
故：16=-2p×(-5)⇒p= ，
则抛物线的方程是 x2=- y(-4≤x≤4)，
设水面上涨，木船两侧面与抛物线形拱桥接触于 B，B′时，木船开始不能通航.
设 B(2，y′)，所以 22=- y′⇒y′=- ，即水面与拱顶相距为 0.75+ =2(米)，
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距 2 米时，木船开始不能通航.
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·武汉高二检测)若点 P 到点 F(0，2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，则点 P
的轨迹方程为 ( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
【解析】选 C.由题意知点 P 到点 F(0，2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，因此点 P 到
点 F(0，2)的距离与到直线 y+2=0 的距离相等，故点 P 的轨迹是以 F 为焦点，y=-2 为准线的
抛物线，其方程为 x2=8y.
2.已知点 A(2，0)，抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准
线相交于点 N，则|FM|∶|MN|= ( )
A.2∶ B. 1∶2 C.1∶ D.1∶3
【解题指南】利用射线 FA 的斜率和抛物线的定义求解.
【解析】选 C.射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x≥0).
由条件知 tanα= ，所以 sinα= ，
由抛物线的定义知|MF|=|MG|，
所以 = =sinα= = .故选 C.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.边长为 1 的等边三角形 AOB,O 为原点,AB⊥x 轴,以 O 为顶点,且过 A,B 的抛物线方程是
________.
【解析】根据题意可知抛物线以 x 轴为对称轴,当开口向右时,A( , ),设抛物线方程为
y2=2px,则有 =2p· ,所以 p= .
抛物线方程为 y2= x,同理可得,当开口向左时,抛物线方程为 y2=- x.
答案:y2=± x
4.(2015·上饶高二检测)已知 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到直线 l:2x-y+3=0 和 y
轴的距离之和的最小值是________.
【解析】由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0).设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛物线的定义可
知,点 P 到 y 轴的距离为|PF|-1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d+|PF|-1.
易知 d+|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d+|PF|的最小值为 = ,所以
d+|PF|-1 的最小值为 -1.
答案: -1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.(2015·温州高二检测)已知点 A(0，4)和抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F，若线段 FA 的中点
B 在抛物线上，求 B 到该抛物线准线的距离.
【解析】依题意可知 F 的坐标为( ，0)，
所以 B 的坐标为( ，2)代入抛物线方程得 p=2 ，
所以抛物线准线方程为 x=- ，
所以点 B 到抛物线准线的距离为 + = .
6.抛物线 y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程
为 y=2x，斜边长为 5 ，求此抛物线方程.
【解析】设抛物线 y2=2px(p>0)的内接直角三角形为 AOB，直角边 OA 所在直线方程为 y=2x，
另一直角边所在直线方程为 y=- x.
解方程组 可得点 A 的坐标为( ，p)；
解方程组 可得点 B 的坐标为(8p，-4p).
因为|OA|2+|OB|2=|AB|2，且|AB|=5 ，
所以( +p2)+(64p2+16p2)=325.
所以 p=2，所以所求的抛物线方程为 y2=4x.
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