1
珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三
摸底测试 数学 2020.9
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．
A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名
医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有
A．280 种 B．350 种 C．70 种 D．80 种
4．一球 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形 ，过 作与球 相切的平面 ，则
直线 与平面 所成的角为
A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，
5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学
的概率是
A． B． C． D．
6．若定义在 上的奇函数 f(x)在 单调递增，且 ，则满足 的解集
是
A． B．
C． D．
7．已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则 的最大值是
A． B．2 C． D．
{ }2| 4A x x= > { }2| 30B x x x= − < A B =
( 5, 2) (2,6)− − ( 2, 2)−
( , 5) (6, )−∞ − +∞ ( , 2) (2, )−∞ − +∞
2
7
(1 )i
i
− =
O ABC C O α
AC α
1
4
1
2
3
8
5
8
R (0, )+∞ ( 5) 0f − = 0)(xf x <
( , 5) (5, )−∞ − +∞ ( , 5) (0,5)−∞ −
( 5,0) (5, )− +∞ ( 5,0) (0,5)−
AP BP⋅
1
4 1 1
22
8．直线 是曲线 和曲线 的公切线，则
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的
离心率为
A． B． C． D．
10．如图是函数 的部分图象，则
(第 10 题图)
A． B．
C． D．
11．已知 ，则
A． B． C． D．
12．已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数，它的概率分布列为
…
…
其中 满足 ，且 ．定义由 生成的
函数 ， 为函数 的导函数，
为随机变量 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，
:l y kx b= + ( ) ln( 1)f x x= + 2( ) ln( )g x e x= b =
1
2 ln 2
e ln(2 )e
E 2y x= ± E
5
2
5 5 3
3
3 5
5
( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( 0)ω >
1( ) 2sin( )2 4f x x
π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x
π= +
1( ) 2sin( )2 2f x x
π= − − 1( ) 2cos( )2f x x=
0ab <
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ < ( ) 0a a b− > 2b a
a b
+ ≥
X ( )n n N ∗∈
X 0 1 2 3 n
p
0p 1p 2p 3p np
( 0,1,2,3, , )ip i n= [0,1]ip ∈ 0 1 2 1np p p p+ + + + = X
2 3
0 1 2 3( ) i n
i nf x p p x p x p x p x p x= + + + + + + + ( )g x ( )f x
( )E X X3
3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为 ，此时由 生成的函数为 ，
则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过原点的直线 与 交于 A，B 两
点， 、 都与 轴垂直，则 =________．
14．将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前 10 项和为
________（用数字作答）．
15 ． 已 知 、 为 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 ， ， ， 则
．
16．一半径为 的球的表面积为 ，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则
该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在① ， ② ， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中
的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角 ，它的内角 的对边分别为 ，
且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12 分）
已知数列 是正项等比数列，满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
X X 1( )f x
( ) (2)E X g= 1
15(2) 2f = ( ) (1)E X g= 1
225(2) 4f =
2 2
: 14 3
x yE + = 1F 2F l E
1AF 2BF x | |AB
{ }2n { }2n
α β 4 3sin 7
α = 5 3sin( ) 14
α β+ =
cos 2β =
R 64π
1cos 2B = 1cos 2C = 2cos 2C =
c
ABC△ , ,A B C , ,a b c
sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = + 1b =
{ }na 3 4 52a a a+ = 1 2 1a a+ =
{ }na4
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
19．（12分）如图，三棱锥 中， ， ，平面
PBC⊥底面ABC， ， 分别是 ， 的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABC；
（2）求二面角 的正切值．
(第19题图)
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了
100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在 内的产品为优等品，
每件售价240元；质量指标值落在 和 内的为一等品，每件售价为180元；质
量指标值落在 内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每
件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产
品的利润 (元)的期望的估计值．
质 量
指 标
值
频数
2log (3 )n nt a=
1 2
1
n nt t+ +
n nT
P ABC− 2AC BC PC PB= = = = 120ACB∠ =
D E BC AB
P CE B− −
[25,30)
[20, 25) [30,35)
[35, 40)
X
[15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45)
2 18 48 14 16 2
P
E
DC B
A5
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费
用为 (单位：元)，求 (元)的分布列．
21．（12分）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）讨论 的零点的个数．
22．（12分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 到直线 的距
离 为 ， 为 直 线 上 的 点 ，过 作 抛 物 线 的 切 线 、 ，切点 为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 若 ，求直线 的方程;
(3)若 为直线 上的动点，求 的最小值．
ξ ξ
2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + 0a ≥
( )f x
( )f x
E (0, )2
pF ( 0)p > : 2l y x= −
3 2
2 0 0( , )P x y l P E PM PN
M N、
E
(3,1)P MN
P l | | | |MF NF⋅6
珠海市 2020-2021 学年度第一学期高三摸底测试
数学 2020.9 解析及评分参考
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则 A
A． B． C．
D．
2． B
A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名
医生，其中医生 a 不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B
A．280 种 B．350 种 C．70 种 D．80 种
4．一球 内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形 ，过 作与球 相切的平面 ，则
直线 与 所成的角为 D
A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，
5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学
的概率是 A
A． B． C． D．
6．若定义在 上的奇函数 f(x)在 单调递增，且 ，则满足 的解集
是 D
A ． B ． C ．
D．
7．已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 边上或正方形内的一点，则 的最大值是 C
A． B．2 C． D．
{ }2| 4A x x= > { }2| 30B x x x= − < A B =
( 5, 2) (2,6)− − ( 2, 2)− ( , 5) (6, )−∞ − +∞
( , 2) (2, )−∞ − +∞
2
7
(1 )i
i
− =
O ABC C O α
AC α
1
4
1
2
3
8
5
8
R (0, )+∞ ( 5) 0f − = 0)(xf x <
( , 5) (5, )−∞ − +∞ ( , 5) (0,5)−∞ − ( 5,0) (5, )− +∞
( 5,0) (0,5)−
AP BP⋅
1
4 1 1
27
8．直线 是曲线 和曲线 的公切线，则 C
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9．已知双曲线 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为 ，则双曲线 的
离心率为 AB
A． B． C． D．
10．如图是函数 的部分图象，则 BCD
A． B．
C． D．
11．已知 ，则 ACD
A． B． C． D．
12．已知随机变量 的取值为不大于 的非负整数，它的概率分布列为
…
…
其中 满足 ，且 ．定义由 生成的
函数 ， 为函数 的导函数，
为随机变量 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，
3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为 ，此时由 生成的函数为 ，
则 CD
:l y kx b= + ( ) ln( 1)f x x= + 2( ) ln( )g x e x= b =
1
2 ln 2
e ln(2 )e
E 2y x= ± E
5
2
5 5 3
3
3 5
5
( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( 0)ω >
1( ) 2sin( )2 4f x x
π= + 1( ) 2sin( )2 2f x x
π= +
1( ) 2sin( )2 2f x x
π= − − 1( ) 2cos( )2f x x=
0ab <
2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ < ( ) 0a a b− > 2b a
a b
+ ≥
X ( )n n N ∗∈
X 0 1 2 3 n
p
0p 1p 2p 3p np
( 0,1,2,3, , )ip i n= [0,1]ip ∈ 0 1 2 1np p p p+ + + + = X
2 3
0 1 2 3( ) i n
i nf x p p x p x p x p x p x= + + + + + + + ( )g x ( )f x
( )E X X
X X 1( )f x8
A． B． C． D．
提示：
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过原点的直线 与 交于 A，B 两
点， 、 都与 轴垂直，则 =________．
14．将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前 10 项和为
________（用数字作答）． 2046
15 ． 已 知 、 为 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角 ， ， ， 则
．
16．一半径为 的球的表面积为 ，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则
该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
在① ， ② ， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中
的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角 ，它的内角 的对边分别为 ，
( ) (2)E X g= 1
15(2) 2f = ( ) (1)E X g= 1
225(2) 4f =
X 2 3 4 5 6 7 8
p
1
16
2
16
3
16
4
16
3
16
2
16
1
16
2 3 4 5 6 7 8
1
1 2 3 4 3 2 1( ) 16 16 16 16 16 16 16f x x x x x x x x= + + + + + +
2 3 4 5 6 7 8
1
1 2 3 4 3 2 1(2) 2 2 2 2 2 2 216 16 16 16 16 16 16f = × + × + × + × + × + × + ×
225
4
=
2 2
: 14 3
x yE + = 1F 2F l E
1AF 2BF x | |AB 13
{ }2n { }2n
α β 4 3sin 7
α = 5 3sin( ) 14
α β+ =
cos 2β = 1
2
−
R 64π
64 2
1cos 2B = 1cos 2C = 2cos 2C =
c
ABC△ , ,A B C , ,a b c9
且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解： 中，由
得
……………………………………………………………
…………1 分
∴ ………………………………………………………………………
2 分
∵ 不是直角三角形
∴
∴ ………………………………………………………………………3 分
即 ………………………………………………………………………4 分
∵
∴ ………………………………………………………………………6 分
选①：由 ，及 得 …………………………………………………7
分
由 得 ……………………………………………………9 分
不合理，故 不存在．………………………………………………………………………
10 分
选②：由
得
……………………………………………………………………
…8 分
∴ ………………………………………………………………………9 分
∴ 为直角，不合题设，故 不存在．…………………………………………………10
分
选③：由
sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = + 1b =
ABC△ sin (1 2cos ) 2sin cos cos sinB C A C A C+ = +
sin 2sin cos sin cos cos sin sin cosB B C A C A C A C+ = + +
sin sin cosB A C= +
(2sin sin )cos 0B A C− =
ABC△
cos 0C ≠
2sin sinB A=
2a b=
1b =
2a =
1cos 2B = 0 B π< <
3B
π=
sin sin
b a
B A
= sin 3 1A= >
ABC△
1cos 2C =
2 2 2 cos 3c a b ab C= + − =
2 2 2b c a+ =
A ABC△
2cos 2C =10
得 ．………………………………………………………
10 分
18．（12 分）
已知数列 是正项等比数列，满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
解：（1）设正项等比数列 的公比为
由 得 解得 ………………………………2 分
所以 的通项公式 ……………………………………………………………
4 分
（2） ………………………………………………6 分
故 ………………………………………………………………8
分
所以 的前 项和:
．……………………………………
………12 分
19 ．（12 分）如图，三棱锥 中， ，
2 2 2 cos 5 2 2c a b ab C= + − = −
{ }na 3 4 52a a a+ = 1 2 1a a+ =
{ }na
2log (3 )n nt a=
1 2
1
n nt t+ +
n nT
{ }na 0q >
3 4 5
1 2
2
1
a a a
a a
+ =
+ =
2 3 4
1 1 1
1 1
2
1
a q a q a q
a a q
+ =
+ =
1
1
3
2
a
q
=
=
{ }na
12
3
n
na
−
= n N ∗∈
1
2 2log (3 ) log 2 1n
n nt a n−= = = −
1 2
1 1 1 1
( 1) 1n nt t n n n n+ +
= = −+ +
1 2
1
n nt t+ +
n
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 4 1 1n
nT n n n
= − + − + − + + − =+ +
P ABC− 2AC BC PC PB= = = =
P
E
DC B
A11
，平面PBC⊥底面ABC， ， 分别是 ， 的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABC；
（2）求二面角 的正切值．
（1）证明：∵ ， 是 中点
∴PD⊥BC…………………………………………1分
∵平面PBC⊥底面ABC，PD 平面PBC，平面PBC 底面ABC
∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分
（2）解：如图，取 中点 ，连接 ，
则 ………………………………………………5 分
∵ ， 是 的中点，
∴ ，……………………………………………………6 分
，
∴ ，…………………………………………………………7 分
∵PD⊥平面 ABC
∴ ，
∴ 平面 ………………………………………………………………………8 分
∴ ………………………………………………………………………9 分
∴ 为二面角 的平面角.……………………………………………………10
分
在 中， …………………………………………11 分
∴二面角 的正切值为 2．……………………………………………………………
12 分
120ACB∠ = D E BC AB
P CE B− −
PC PB= D BC
⊂ BC=
CE F DF PF
//DF AB
2AC BC PC PB= = = = E AB 120ACB∠ =
CE AB⊥
3BE = 3PD =
DF CE⊥
3
2DF =
CE PD⊥ PD DF D=
CE ⊥ PDF
CE FP⊥
PFD∠ P CE B− −
Rt PDF∆
3tan 2
3
2
PDPFD DF
∠ = = =
P CE B− −
P
F
E
DC B
A12
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了
100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在 内的产品为优等品，
每件售价240元；质量指标值落在 和 内的为一等品，每件售价为180元；质
量指标值落在 内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每
件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产
品的利润 (元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费
用为 (单位：元)，求 (元)的分布列．
解：(1)由题设知， ………………………………………1分
的分布列为
………………………………………………………………………3分
质 量
指 标
值
频数
[25,30)
[20, 25) [30,35)
[35, 40)
X
ξ ξ
50,70,130,190X = −
X
X 50− 70 130 190
P 0.14 0.18 0.28 0.4
[15, 20) [20, 25) [25,30) [30,35) [35, 40) [40, 45)
2 18 48 14 16 213
设备升级前利润的期望值为
……………………4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分
(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为 (元)
则 ………………………………………………………………………6分
患者购买一件合格品的费用 的分布列为
……………………………8分
则 ………………………………………………10分
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
………………………………………………………………………12分
21．（12分）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）讨论 的零点的个数．
解：（1）∵
∴ …………………………………………………1分
( ) 0.14 ( 50) 0.18 70 0.28 130 0.4 190 118E X = × − + × + × + × =
η
120,180,240η =
η
240,300,360,420,480ξ =
1 1 1( 240) 6 6 36P ξ = = × =
1 1 1( 300) 3 3 9P ξ = = × =
1 1 1 1 5( 360) 2 2 6 3 3 18P ξ = = × × + × =
1 1 1( 420) 2 3 2 3P ξ = = × × =
1 1 1( 480) 2 2 4P ξ = = × =
ξ 240 300 360 420 480
P 1
36
1
9
5
18
1
3
1
4
2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + + 0a ≥
( )f x
( )f x
2( ) e 2( )x xf x x ax e ax a= + − + +
( ) ( 1)(e 2 )xf x x a′ = − +
η 120 180 240
P 1
6
1
3
1
214
时 时 ， 时 .……………………………3分
∴ 时， 的减区间是 ，增区间是 ．………………………4分
（2）① 时，∵ 且 的减区间是 ，增区间是
∴ 是 的极小值，也是最小值…………………………………5分
，………………………………6分
取 且 ……………………………7分
则
…………………………
8分
∴ 在 和 上各一个零点………………………………………9分
② 时， 只一个零点 …………………………………10分
综上， 时， 有两个零点；…………………………………………11分
时， 一个零点．………………………………………………………………………
12分
22．（12分）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 到直线 的距
离 为 ， 为 直 线 上 的 点 ，过 作 抛 物 线 的 切 线 、 ，切点 为
．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 若 ，求直线 的方程;
(3)若 为直线 上的动点，求 的最小值．
解：(1)由 到直线 的距离为
得
0a ≥ 1x < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ >
0a ≥ ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
0a > (1) 0f ′ = ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞
(1) 0f e= − < ( )f x
(2) 0f a= >
0b < ln 2
ab <
2 2( ) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) (2 3) 02 2
b a af b b e a b b a b b b= − + − > − + − = − >
( )f x ( ,1)b (1,2)
0a = ( ) ( 2) xf x x e= − 2x =
0a > ( )f x
0a = ( )f x
E (0, )2
pF ( 0)p > : 2l y x= −
3 2
2 0 0( , )P x y l P E PM PN
M N、
E
(3,1)P MN
P l | | | |MF NF⋅
(0, )2
pF : 2 0l x y− − = 3 2
2
| 2 | 3 22
22
p +
=15
得 或 ………………………………………………………2分
∵
∴ …………………………………………………………………3分
∴抛物线 .……………………………………………………4分
(2) 由 知
∴ …………………………………………………………………5分
设切点 ，
则
即
……………………………………………………6分
∵ ，
∴ 即 ………………………………7分
∴ ．………………8分
(3)若 为直线 上的动点，设 ，则
由(2)知
∵ ，
∴
∴ 与 联立消 得
…………“＊” ……………………………………9分
2p = 10p = −
0p >
2p =
2: 4E x y=
2: 4E x y= 21
4y x=
2
xy′ =
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2
1 1 1 1
1 1 1: ( ) 22 2 2 2
x x x xPM y y x x x x y− = − = − = −
1
1: 2
xPM y x y= −
2
2: 2
xPN y x y= −
P PM∈ P PN∈
1 1
2 2
3 1 02
3 1 02
x y
x y
− − =
− − =
1 1
2 2
3 2 2 0
3 2 2 0
x y
x y
− − =
− − =
:3 2 2 0MN x y− − =
P l 0 0( , )P x y 0 0 2x y= +
P PM∈ P PN∈
0
1 1 0
0
2 2 0
02
02
x x y y
x x y y
− − =
− − =
0
0: 02
xMN x y y− − = 2: 4E x y= x
2 2 2
0 0 0( 2 4) 0y y y y y− + + + =16
则 ， 是“＊”的二根
∴ ………………………………………………………………………
10分
………………………………………………………………………11分
当 时， 得到最小值为 ．…………………………12分
1y 2y
2
1 2 0 0
2
1 2 0
2 4y y y y
y y y
+ = + +
=
1 2 1 2 1 2| | | | ( 1)( 1) 1MF NF y y y y y y⋅ = + + = + + +
2
0 02 2 5y y= + +
0
1
2y = − | | | |MF NF⋅ 9
2
微信/支付宝扫码支付