宝安区 2020-2021 学年第一学期期末调研测试卷
高三 数学
2020.09
全卷共三道大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 = 1A x y x ， 1 2B x x ＜ ＜ ，则 A B （ ）
A． 1,1 B． 1,1 C． 1,2 D． 1,2
2.设函数 ,f x x 则
0
1 1
x
f x f
xlim
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－1
3. 在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=3，AC=4，点 M 满足 2BM MC ，则 AB AM 等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．已知函数 f x 与 f x 图象如图所示，则不等式组
0 3
f x f x
x
的解集为（ ）
A. 0,1 B. 1,3
C. 1,2 D. 1,4
第 4 题
5.设0 1a ，离散型随机变量 X 的分布列是如下，则当 a 在 20, 3
内增大时（ ）
X 0 1 2
P 1
2
a 1
2 2
a
A． D X 增大 B． D X 减小
C． D X 先减小后增大 D． D X 先增大后减小
6. 如 果 函 数 f x 对 任 意 的 实 数 x ， 都 有 1 ( )f x f x ， 且 当 1
2x 时 ，
2log 3 1f x x ，那么函数 f x 在 2,0 上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2 B．3 C． 4 D．－1
7.函数 ( )f x x g x 的图象在 2x 点处的切线方程是 1y x ，则 2 2g g （ ）
A.7 B.4 C.0 D.－4
8. 如图， 1111 DCBAABCD 为正方体，下面结论：① //BD 平面 11DCB ；② BDAC 1 ；③
1AC 平面 11DCB .其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9.已知点 P 在双曲线 C：
2 2
116 9
x y 上，F1，F2 是双曲线 C 的左、右焦点，若 1 2PF F 的面
积为 20，则下列说法正确的有（ ）
A．点 P 到 x 轴的距离为 20
3
B. 1 2
50| |+| |= 3PF PF
C． 1 2PF F 为钝角三角形 D. 1 2 = 3F PF
10.已知正项等比数列 na 满足 1 2a ， 4 2 32a a a ，若设其公比为 q，前 n 项和为 nS ，
则（ ）
A． 2q B. 2n
na C. 10 =2047S D. 1 2n n na a a
11.已知函数 ( ) sin(3 )( )2 2f x x 的图象关于直线
4x 对称，则（ ）
A．函数 ( + )12f x 为奇函数
B．函数 ( )f x 在[ , ]12 3
上单调递增
C．若 1 2| ( ) ( )| 2f x f x ，则 1 2| |x x 的最小值为
3
D．函数 ( )f x 的图象向右平移
4
个单位长度得到函数 cos3y x 的图象
12.如图，正方体 1111 DCBAABCD 的棱长为１，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 1= 2EF ，
则下列结论中正确的是（ ）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面 ABCD
C． AEF 的面积与 BEF 的面积相等
D．三棱锥 A-BEF 的体积为定值
三、填空题：每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上。
13.如果复数 2, ,2 ,a i bi a b R 成等差数列，则 a b _____________.
14.某车队有 6 辆车，现要调出 4 辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，
且甲车要先于乙车开出，则共有_____________种不同的调度方法.（用数字填写答案）
15.设函数 2
1, 0
0, 0 , 1
1, 0
x
f x x g x x f x
x
,则函数 g x 的递减区间是__________.
16.已 知定 义在 R 上 的奇 函数 f x ， 设其 导函 数为 '( )f x ， 当 ( ,0)x 时 ，恒 有
( ) ( )xf x f x ，令 f xF x x
，则满足 2 1F x F x 的实数 x 的取值范围为_______.
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本题 10 分）已知函数 2π( ) 2 sin( )cos( )2 3f x a x x ，且 π( ) 13f .
（1）求 a 的值及 ( )f x 的最小正周期；
（2）若 1( ) 3f ， (0, )2
，求 sin 2α．
18. （ 本 小 题 12 分 ） 已 知 数 列 { }na 的 前 n 项 和 为 nS ， 且 2 ,nS n n 数 列 { }nb 满 足
1 2
22 1 2 1 2 1
n
n n
bb ba ．
（1）求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式；
（2）若 ,4
n n
n
a bc n 求数列{ }nc 的前 n 项和 nT .
19.（本小题 12 分）如图， AB 为圆O的直径，点 E ，F 在圆O 上， / /AB EF ，矩形 ABCD
和圆O所在的平面互相垂直，已知 2AB ， 1EF ．
（Ⅰ）求证：平面 DAF 平面CBF ；
（Ⅱ）当 AD 的长为何值时，二面角 - -D CF B 的大小为 60？
20. （本小题 12 分）已知抛物线的方程为 2 4x y ，过点 4,2P 作斜率为 k 的直线l 与抛物
线交于不同的两点 M ， N ．
（1）求 k 的取值范围；
（2）若 OMN 为直角三角形，且OM ON ，求 k 的值．
21. （本小题 12 分）2020 年寒假是个特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网
上在线学习，为了研究学生在线网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上
教育进行调查，男生与女生的人数之比为 11:13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生
15 名表示对线上教育不满意.
（1）完成 2 2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”
满意 不满意 总计
男生 30
女生 15
合计 120
（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中
抽取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 ，求出 的分布列及期望
值.
参考公式：附
2
2 n ad bcK a b a c b d c d
2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 10.828
22. （本小题 12 分）已知函数 3 2 , lnf x x x b g x a x .
（1）若函数 f x 在区间 1 ,12
上的最大值为 3
8
，求实数b的值；
（2）对任意的 1,x e ，都有 2 2g x x a x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
数学答案
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D B D C A D
二．多选题
9 10 11 12
BC ABD AC ABD
三. 填空题 13. 4 14. 72 15. 0,1 16. 1 1 1, ,13 2 2
三．解答题
17. 解：（1）由已知 π( ) 13f ，得 1 12 12 2a ，解得 2a .(1 分)
所以 3 1( ) 4cos ( sin cos )2 2f x x x x 22 3sin cos 2cosx x x
3sin 2 cos2 1x x π2sin(2 ) 16x .
所以 π( ) 2sin(2 ) 16f x x 的最小正周期为 π .（5 分））
（2） 1( ) 3f ， π 1 π 12sin(2 ) 1 ,sin(2 )6 3 6 3
，
因为 (0, )2
，所以 π 52 ( , )6 6 6
，又 π 1 1sin(2 )6 3 2
，所以 π2 (0, )6 6
.
所以 π 2 2cos(2 )6 3
.（7 分））
则 π π π π π πsin 2 =sin[(2 ) ] sin(2 )cos cos(2 )sin6 6 6 6 6 6
1 3 2 2 1 3 2 2
3 2 3 2 6
.（10 分）
18. 解：（1）因为 2
nS n n ，所以当 1n 时， 1 1 2a S ，
当 2n 时 2 2
1, ( 1) ( 1) 2n n na S S n n n n n ，（2 分）
又 1 2a 也满足上式，所以 2 ( )na n n N .
又 1 2
2 22 1 2 1 2 1
n
nn
bb b a n ，
所以 11 2
2 1 2 2( 2, )2 1 2 1 2 1
n
n
bb b n n n
N ，
两式作差得， 22 1
n
n
b ，所以 12 2( 2, )n
nb n n N ，（5 分）
当 1n 时 1
1, 2, 63
b b ，又 1 6b 满足上式，所以 12 2( )n
nb n N .（6 分）
（2）因为 2 ,4
nn n
n
a bc n n 所以 2 31 2 2 2 3 2 2n
nT n ，
2 3 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n
nT n n ，
两式相减，得 2 3 12 2 2 2 2n n
nT n ，即 1 12 2 2n n
nT n ，
所以 1( 1) 2 2n
nT n .（12 分）
19. 解：（1）∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，CB⊥AB，平面 ABCD∩平面 ABEF=AB，
∴CB⊥平面 ABEF，（3 分）
∵AF平面 ABEF，∴AF⊥CB，
又因为 AB 为圆 O 的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面 CBF，
∵AF平面 ADF，∴平面 DAF⊥平面 CBF.（6 分）
（Ⅱ）设 EF 中点为G ，以O为坐标原点，OA OG AD、 、 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴方
向建立空间直角坐标系（如图）．设 ( 0)AD t t ，则点 D 的坐标为 1,0,t ，则 1,0,C t ，
又 1 31,0,0 , 1,0,0 , , ,02 2A B F
，所以 1 32,0,0 , , ,2 2CD FD t
，
设平面 DCF 的法向量为 1 , ,n x y z
,则 1 0n CD ， 1 0n FD ，即
2 0
3 02
x
y tz
，
令 3z ，解得 0x ， 2y t ，∴ 1 0,2 , 3n t
.（8 分）
由（1）可知 AF⊥平面 CFB，取平面 CFB 的一个法向量为 2
1 3, ,02 2n AF
，
∴ 1 2
1 2
cos60
| | | |
n n
n n
，即
2
1 | 3 |
2 4 3
t
t
，解得 6
4t ，
因此，当 AD 的长为 6
4
时，平面 DFC 与平面 FCB所成的锐二面角的大小为 60°.（12 分）
20. 解：（1）直线l 的方程可设为 ( 4) 2y k x ，1 分
联立方程组得
2
( 4) 2
4
k x
y
y
x
，
消元得 2 4 16 8 0x kx k 3 分
216 4 16 8 0k k ，解得 2 2 2 2k k 或 5 分
（2）设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，因为OM ON ，所以 0OM ONk k ，7 分
所以 1 2 1 2 0x x y y ， 1 2 1 24 2 4 2 0x x k x k x ，9 分
22
1 2 1 21 2 4 2 4 0k x x k k x x k ，
22 21 16 8 4 2 4 2 4 0k k k k k 11 分
解之得 1
2k 当 1
2k 时，点O和点 M 重合，所以 1
2k ，故 1
2k 12 分.
21. 解：（1）因为男生人数为： 11120 5511 13
，所以女生人数为120 55 65 ，于是可完
成 2 2 列联表，如下：
满意 不满意 合计
男生 30 25 55
女生 50 15 65
合计 80 40 120
3 分
根据列联表中的数据，得到 2K 的观测值
2
2 120 30 15 25 50 960 6.713 6.63555 65 80 40 143K
，
所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”。 6 分
（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 7 分
依题意可知 的可能取值为 0，1，2，3，并且 服从超几何分布，
3
3 5
3
8
0,1,2,3 ,
k kC CP k kC
即
0 3 1 2
3 5 3 5
3 3
8 8
5 150 , 128 28
C C C CP PC C
，
2 1 3 0
3 5 3 5
3 3
8 8
15 12 , 356 56
C C C CP PC C
10 分
所以 的分布列为：
0 1 2 3
P 5
28
15
28
15
56
1
56
11 分
5 15 15 1 90 1 2 328 28 56 56 8E 12 分
22. 解：（1） 23 2 3 2f x x x x x 1 分
令 0f x ，得 0x 或 2
3x 2 分
当 1 ,02x
时，函数 f x 为减函数，
当 20, 3x
时，函数 f x 为增函数，
当 2 ,13x
时，函数 f x 为减函数3 分
1 3 2 4,2 8 3 27f b f b ， 1 2
2 3f f
，4 分
1 3 3
2 8 8f b
， 0b .5 分
(2)由 2 2 ,g x x a x 得 2ln 2x x a x x
1, , ln 1 ,x e x x 由于不能同时取等号，
ln ,x x 即ln 0,x x
2 2
ln
x xa x x
在 1,x e 上恒成立7 分
令
2 2
ln
x xh x x x
， 1,x e ，则
2
1 2 2ln ,
ln
x x xh x
x x
8 分
当 1,x e 时， 1 0,x 2 2ln 2 1 ln 0,x x x x 从而 0h x ，
函数
2 2
ln
x xh x x x
在 1,e 上为增函数10 分
函数 min 1 1,h x h 1a
故实数 a的取值范围为 , 1 12 分
微信/支付宝扫码支付