人教版九年级数学上册单元测试题全套（附答案）

人教版九年级数学上册单元测试题全套（附答案） 第二十一章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是(　　) A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋1 x ＝3 C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1) 2．如果 2 是方程 x2－3x＋k＝0 的一个根，那么常数 k 的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 3．用配方法解方程 x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　) A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3 C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5 4．方程 x2－4 2x＋9＝0 的根的情况是(　　) A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 5．等腰三角形的两边长为方程 x2－7x＋10＝0 的两根，则它的周长为(　　) A．12 B．12 或 9 C．9 D．7 6．某校进行体操队列训练，原有 8 行 10 列，后增加 40 人，使得队伍增加的行数、 列数相同，你知道增加了多少行(或列)吗？设增加了 x 行(或列)，则列方程得 (　　) A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40 C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40 7．如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AE＝EB＝EC＝a，且 a 是一元二次方程 x2 ＋2x－3＝0 的根，则▱ABCD 的周长为(　　) A．4＋2 2 B．12＋6 2 C．2＋2 2 D．4＋2 2或 12＋6 2 8．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋kb＋1＝0 有两个不相等的实数根，则一次 函数 y＝kx＋b 的大致图象可能是(　　) 9．在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(m，n)，m，n 满足(m2＋1＋n2) (m2＋3＋n2)＝8，则 OP 的长为(　　) A. 5 B．1 C．5 D. 5或 1 10．如图，某小区规划在一个长为 40 m，宽为 26 m 的矩形场地 ABCD 上修建三 条同样宽的路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种植草 坪，若使每块草坪(阴影部分)的面积都为 144 m2，则路的宽为(　　) A．3 m B．4 m C．2 m D．5 m 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．方程(x－3)2＋5＝6x 化成一般形式是__________________，其中一次项系数 是________． 12．三角形的每条边的长都是方程 x2－6x＋8＝0 的根，则三角形的周长为 ________________． 13．已知 x＝1 是一元二次方程 x 2＋ax＋b＝0 的一个根，则(a＋b) 2 023 的值为 ________． 14．若关于 x 的一元二次方程 2x2－5x＋k＝0 无实数根，则 k 的最小整数值为 ________． 15．已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－5x＋a＝0 的两个实数根，且 x21－ x22＝10，则 a＝________． 16．对于任意实数 a，b，定义 f(a，b)＝a2＋5a－b，如 f(2，3)＝22＋5×2－3，若 f(x，2)＝4，则实数 x 的值是________．17．下面是某同学在一次测试中解答的填空题：①若 x2＝a2，则 x＝a；②方程 2x(x－2)＝x－2 的解为 x＝ 1 2 ；③已知 x1，x2 是方程 2x2＋3x－4＝0 的两根， 则 x1＋x2＝3 2 ，x1x2＝－2.其中解答错误的序号是__________． 18．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c＝0 有两个相等 的实数根，则△ABC 是______三角形． 19．若 x2－3x＋1＝0，则 x2 x4＋x2＋1 的值为________． 20．如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃 ABCD，一面利用墙，其余三面用篱笆围， 墙可利用的最大长度为 15 m，篱笆长为 24 m．当围成的花圃面积为 40 m2 时， 平行于墙的边 BC 的长为________m. 三、解答题(21，26 题每题 12 分，22，23 题每题 8 分，其余每题 10 分，共 60 分) 21．用适当的方法解下列方程： (1)x(x－4)＋5(x－4)＝0；　　　　(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0； (3)x2－2x－2＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.22.已知关于 x 的一元二次方程 x2－(t－1)x＋t－2＝0. (1)求证：对于任意实数 t，方程都有实数根； (2)当 t 为何值时，方程的两个根互为倒数？请说明理由． 23．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0. (1)当 b＝a＋2 时，利用根的判别式判断方程根的情况； (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b 的值，并求此时方 程的根．24．关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0 有两个不相等的实数根 x1， x2. (1)求实数 k 的取值范围； (2)若方程的两个实数根 x1，x2 满足|x1|＋|x2|＝x1·x2，求 k 的值． 25．为了贯彻党中央、国务院关于倡导开展全民阅读的重要部署，落实《关于实 施中华优秀传统文化传承发展工程的意见》，某社区鼓励居民到社区阅览室借 阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在 2017 年图书借阅总量是 7 500 本，2019 年图书借阅总量是 10 800 本． (1)求该社区从 2017 年至 2019 年图书借阅总量的年平均增长率； (2)已知 2019 年该社区居民借阅图书人数有 1 350 人，预计 2020 年达到 1 440 人．如果 2019 年至 2020 年图书借阅总量的增长率不低于 2017 年至 2019 年的年平均增长率，那么 2020 年的人均借阅量比 2019 年增长 a%， 则 a 的值至少是多少？26．如图，已知 A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到 点 B 为止，点 Q 以 2 cm/s 的速度向点 D 移动．问： (1)P，Q 两点出发多长时间后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2? (2)P，Q 两点出发多长时间后，点 P 与点 Q 之间的距离是 10 cm? 答案 一、1．D　2．B　3．A　4．C　5．A　6．D 7．A　8．B　9．B　10．C　 二、11．x2－12x＋14＝0；－12 12．6 或 10 或 12 13．－1　：将 x＝1 代入方程 x2＋ax＋b＝0，得 1＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1，∴(a ＋b)2 023＝－1. 14．4 15．21 4 　：由根与系数的关系，得 x1＋x2＝5，x1·x2＝a.由 x21－x22＝10 得， (x1＋x2)(x1－x2)＝10，∴x1－x2＝2，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝25－4a＝ 4，∴a＝21 4 . 16．－6 或 1　17．①②③　18．直角 19．1 8 　：由 x2－3x＋1＝0，得 x 2＝3x－1，则 x2 x4＋x2＋1 ＝ x2 （3x－1）2＋x2＋1 ＝ x2 10x2－6x＋2 ＝ 3x－1 10（3x－1）－6x＋2 ＝ 3x－1 24x－8 ＝ 3x－1 8（3x－1）＝1 8. 20．4 三、21．解：(1)原方程可化为(x－4)(x＋5)＝0，∴x－4＝0 或 x＋5＝0， 解得 x＝4 或 x＝－5. (2)原方程可化为(2x＋1＋2)2＝0， 即(2x＋3)2＝0， 解得 x1＝x2＝－3 2. (3)∵a＝1，b＝－2，c＝－2， ∴Δ＝4－4×1×(－2)＝12＞0， ∴x＝2 ± 12 2 ＝2 ± 2 3 2 ＝1± 3. ∴x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3. (4)原方程化为一般形式为 y2－2y＝0. 因式分解，得 y(y－2)＝0. ∴y1＝2，y2＝0. 22．(1)证明：在关于 x 的一元二次方程 x2－(t－1)x＋t－2＝0 中， Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0， ∴对于任意实数 t，方程都有实数根． (2)解：设方程的两根分别为 m，n，则 mn＝t－2. ∵方程的两个根互为倒数， ∴mn＝t－2＝1，解得 t＝3. ∴当 t＝3 时，方程的两个根互为倒数． 23．解：(1)a≠0， Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4. ∵a2＞0，∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4a＝0， 若 b＝2，a＝1，则方程为 x2＋2x＋1＝0，解得 x1＝x2＝－1.(答案不唯一) 24．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0， 解得 k＞3 4. (2)∵k＞3 4 ，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0. 又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0， ∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1. ∵|x1|＋|x2|＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，解得 k1＝0，k2＝2. 又∵k＞3 4 ， ∴k＝2. 25．解：(1)设该社区从 2017 年至 2019 年图书借阅总量的年平均增长率为 x， 根据题意，得 7 500(1＋x)2＝10 800， 即(1＋x)2＝1.44， 解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)． 因此该社区从 2017 年至 2019 年图书借阅总量的年平均增长率为 20%. (2)10 800×(1＋0.2)＝12 960(本)， 10 800÷1 350＝8(本)，12 960÷1 440＝9(本)． (9－8)÷8×100%＝12.5%. 故 a 的值至少是 12.5. 26．解：(1)设 P，Q 两点出发 x s 后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2，则由题意 得(16－3x＋2x)×6×1 2 ＝33，解得 x＝5.即 P，Q 两点出发 5 s 后，四边形 PBCQ 的面积是 33 cm2. (2)设 P，Q 两点出发 t s 后，点 P 与点 Q 之间的距离是 10 cm，过点 Q 作 QH ⊥AB 于点 H.在 Rt△PQH 中，有(16－5t)2＋62＝102，解得 t1＝1.6，t2＝4.8.即 P，Q 两点出发 1.6 s 或 4.8 s 后，点 P 与点 Q 之间的距离是 10 cm. 第二十二章测试卷一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列函数是二次函数的是(　　) A．y＝3x2＋9 B．y＝mx2＋2x－3 C．y＝2x2＋1 x －2 D．y＝4 x2 2．抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的顶点坐标是(　　) A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4) 3．二次函数 y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则 a＋b＋1 的值是(　　) A．－3 B．－1 C．2 D．3 4．将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后，得 到的抛物线解析式是(　　) A．y＝(x－1)2＋1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝2(x－1)2＋1 D．y＝2(x＋1)2＋1 5．已知 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使 y≥1 成 立的 x 的取值范围是(　　) A．－1≤x≤3 B．－3≤x≤1 C．x≥－3 D．x≤－1 或 x≥3 6．已知二次函数 y＝x2－2mx－3，下列结论不一定成立的是(　　) A．它的图象与 x 轴有两个交点 B．方程 x2－2mx＝3 的两根之积为－3 C．它的图象的对称轴在 y 轴的右侧 D．当 x＜m 时，y 随 x 的增大而减小 7．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax2＋bx 与 y＝bx＋a 的图象可能是(　　) 8．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 上部分点的横坐标 x、纵坐标 y 的对应值如下表所示：x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中错误的是(　　) A．抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(－2，0) B．抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线 x＝0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 9．向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则在下列 时间中炮弹所在高度最高的是(　　) A．第 8 秒 B．第 10 秒 C．第 12 秒 D．第 14 秒 10．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四 象限，设 P＝a＋b＋c，则 P 的取值范围是(　　) A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11 ． 二 次 函 数 y ＝ 1 2x2 － 6x ＋ 21 的 图 象 的 开 口 向 ________ ， 顶 点 坐 标 为 ________． 12．二次函数 y1＝mx2，y2＝nx2 的图象如图所示，则 m________n(填“＞”或 “＜”)． 13．将一条长为 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一 个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是________cm2. 14．如图，二次函数 y＝x2－x－6 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，则 △ABC 的面积为________．15．已知抛物线 y＝ax2－2ax＋c 与 x 轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则方程 ax2－2ax＋c＝0 的根为________． 16．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________． 17．如图是一座抛物线形拱桥，当水面宽 4 m 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，当水面下降 1 m 时，水面的宽度为________． 18．如图，将抛物线 y＝－1 2x2 平移得到抛物线 m.抛物线 m 经过点 A(6，0)和原点 O，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y＝－1 2x2 交于点 Q，则图中阴影部 分的面积为________． 19．若二次函数 y＝2x2－4x－1 的图象与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则 1 x1 ＋1 x2 的值为________． 20．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，有下列结 论： ①二次三项式 ax2＋bx＋c 的最大值为 4； ②4a＋2b＋c＜0； ③一元二次方程 ax2＋bx＋c＝1 的两根之和为－1； ④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0. 其中正确的有________个． 三、解答题(21 题 8 分，22～25 题每题 10 分，26 题 12 分，共 60 分) 21．如图是抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象，其中 A(1，0)，B(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图象，写出当 y＜3 时 x 的取值范围(作适当说明)． 22．已知二次函数 y＝x2＋bx－c 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为(m，0)， (－3m，0)(m≠0)． (1)求证：4c＝3b2； (2)若该函数图象的对称轴为直线 x＝1，试求二次函数的最小值． 23．如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴负半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，若 OA＝1，OB＝3，抛物线的对称轴为直线 x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使它到点 A 的距离与到点 B 的距离 之和最小？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．24．如图，二次函数 y＝(x＋2)2＋m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上， 且与点 C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该二 次函数图象上的点 A(－1，0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围． 25．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为 1 000 m2 的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为 x(m2)， 种 草 所 需 费 用 y1( 元 ) 与 x(m2) 的 函 数 解 析 式 为 y1 ＝ {k1x（0 ≤ x＜600）， k2x＋b（600 ≤ x ≤ 1 000），其图象如图所示；栽花所需费用 y2(元)与 x(m2) 的函数解析式为 y2＝－0.01x2－20x＋30 000(0≤x≤1 000)． (1)请直接写出 k1，k2 和 b 的值； (2)设这块 1 000 m2 空地的绿化总费用为 W(元)，请利用 W 与 x 的函数解析式， 求出 W 的最大值； (3)若种草部分的面积不少于 700 m2，栽花部分的面积不少于 100 m2，请求出 W 的最小值．26．已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 分别为坐标轴上的三个点， 且 OA＝1，OB＝3，OC＝4. (1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系 xOy 中是否存在一点 P，使得以点 A，B，C，P 为顶点 的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点 M 为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM－AM|最大时 点 M 的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．答案 一、1．A　2．A　3．D　4．C　5．D　6．C　 7．C　8.C　9.B　 10．B　解析：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)， ∴0＝a－b＋c，－3＝c， ∴b＝a－3. ∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6. ∵抛物线的顶点在第四象限，a＞0， ∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3， ∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0. 故选 B. 二、11．上；(6，3)　12．＞ 13．12.5　解析：设其中一段铁丝的长度为 x cm，两个正方形的面积之和为 S cm2，则另一段铁丝的长度为(20－x)cm，∴S＝ 1 16x2＋ 1 16(20－x)2＝1 8(x－10)2＋ 12.5，∴当 x＝10 时，S 有最小值，最小值为 12.5. 14．15 15．x1＝－1，x2＝3　解析：由题意，得 a＋2a＋c＝0，∴c＝－3a， ∴ax2－2ax－3a＝0.∵a≠0，∴x2－2x－3＝0.解得 x1＝－1，x2＝3. 16．－1＜x＜3　17．2 6 m 18．27 2 　解析：连接 OP，OQ，设平移后的抛物线 m 的函数解析式为 y＝－ 1 2x2＋bx＋c，将点 A(6，0)和原点 O(0，0)的坐标分别代入，可得抛物线 m 的 函数解析式为 y＝－1 2x2＋3x，所以 P(3，9 2)，Q(3，－9 2)，所以点 P，Q 关于 x 轴对称，所以 S 阴影部分＝S△POQ＝3 × 9 2 ＝27 2 . 19．－420．2　解析：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数 y＝ax2＋ bx＋c 的最大值为 4；当 x＝2 时，对应的点在 x 轴下方，故 4a＋2b＋c＜0； 二次函数的图象与 x 轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的解析式为 y＝a(x ＋3)(x－1)，将点(0，3)的坐标代入可得 a＝－1，令－(x＋3)(x－1)＝1，化简 可得 x2＋2x－2＝0，它的两根之和为－2；当 y≤3 时，x 的取值范围为 x≤－2 或 x≥0.综上所述，结论①②正确． 三、21．解：(1)∵函数的图象过 A(1，0)，B(0，3)， 故抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3. (2)抛物线的对称轴为直线 x＝－1，且当 x＝0 时，y＝3，∴当 x＝－2 时， y＝3，故当 y＜3 时，x 的取值范围是 x＜－2 或 x＞0. 22．(1)证明：由题意，知 m，－3m 是一元二次方程 x2＋bx－c＝0 的两根，根据 一元二次方程根与系数的关系，得 m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c， ∴b＝2m，c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2. (2)解：由题意得－b 2 ＝1，∴b＝－2，由(1)得 c＝3 4b2＝3 4×(－2)2＝3，∴y＝x2－ 2x－3＝(x－1)2－4，∴二次函数的最小值为－4. 23．解：(1)根据题意，得点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标为(0，－3)． 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， 故抛物线的解析式是 y＝x2－2x－3. (2)存在．如图，设抛物线与 x 轴的另一个交点是 C，由抛物线的对称性可知 点 A 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，连接 BC，则 BC 与对称轴的交点即 为点 P.∵点 A 的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴点 C 的坐标为(3，0)． 设直线 BC 的解析式是 y＝kx－3， 将点 C(3，0)的坐标代入，得 3k－3＝0，解得 k＝ 1. ∴直线 BC 的解析式是 y＝x－3. 当 x＝1 时，y＝－2， ∴点 P 的坐标为(1，－2)． 24．解：(1)∵抛物线 y＝(x＋2)2＋m 经过点 A(－1，0)， ∴0＝1＋m， ∴m＝－1， ∴二次函数的解析式为 y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3， ∴点 C 的坐标为(0，3)， 又∵抛物线的对称轴为直线 x＝－2， 点 B，C 关于抛物线的对称轴对称， ∴点 B 的坐标为(－4，3)． ∵直线 y＝kx＋b 经过点 A，B， ∴一次函数的解析式为 y＝－x－1. (2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围为 x≤－4 或 x≥－1. 25．解：(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000. (2)当 0≤x＜600 时， W＝30x＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2 ＋32 500， ∵－0.01＜0，∴当 x＝500 时，W 取得最大值， 最大值为 32 500. 当 600≤x≤1 000 时， W＝20x＋6 000＋(－0.01x2－20x＋30 000)＝－0.01x2＋36 000. ∵－0.01＜0， ∴当 600≤x≤1 000 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝600 时，W 取得最大值， 为 32 400. ∵32 400＜32 500， ∴W 的最大值为 32 500. (3)由题意，得 1 000－x≥100， 解得 x≤900. 又 x≥700， ∴700≤x≤900. ∵当 700≤x≤900 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x＝900 时，W 取得最小值，最小值为 27 900. 26．解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c， 由题易知 A 的坐标为(1，0)，B 的坐标为(0，3)，C 的坐标为(－4，0)， ∴经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式为 y＝－3 4x2－9 4x＋3. (2)存在．以 CA，CB 为邻边时，如图，∵OB＝3，OC＝4，OA＝1，∴BC＝AC ＝5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，∴BP＝AC＝5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB 的长，∴点 P 的坐标为(5，3)；以 AB，AC 为邻边时， AC≠AB，∴不存在点 P 使四边形 ABPC 为菱形；以 BA，BC 为邻边时，BA≠BC， ∴不存在点 P 使四边形 ABCP 为菱形．故符合题意的点 P 的坐标为(5，3)． (3)设直线 PA 的函数解析式为 y＝kx＋m(k≠0)， ∵A(1，0)，P(5，3)， ∴直线 PA 的函数解析式为 y＝3 4x－3 4 ，当点 M 与点 P，A 不在同一直线上时， 根据三角形的三边关系知|PM－AM|＜PA，当点 M 与点 P，A 在同一直线上时， |PM－AM|＝PA，∴当点 M 与点 P，A 在同一直线上时，|PM－AM|的值最大， 即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，解方程组 得 ∴当点 M 的坐标为(1，0)或(－5，－9 2)时，|PM－AM|的 值最大，|PM－AM|的最大值为 5. 第二十三章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列 A，B，C，D 四幅图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转 180°得到的是(　　)2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 3．正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为(　　) A．30° B．60° C．120° D．180° 4．如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 75°到△OCD 的位置，已知∠AOB＝40°，则∠ AOD 等于(　　) A．55° B．45° C．40° D．35° 5．如图，△ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°后到达了△CDE 的位置，下列说 法中不正确的是(　　) A．线段 AB 与线段 CD 互相垂直 B．线段 AC 与线段 CE 互相垂直 C．点 A 与点 E 是两个三角形的对应点 D．线段 BC 与线段 DE 互相垂直 6．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图 中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转， 使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B，D 两点间的距离 为(　　) A. 10 B．2 2 C．3 D．2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，点 B，C，E 在 y 轴上，Rt△ABC 经过变换得到 Rt△ODE.若点 C 的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(　　) A．△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，再向下平移 3 个单位长度 B．△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°，再向下平移 1 个单位长度 C．△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，再向下平移 1 个单位长度 D．△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°，再向下平移 3 个单位长度 　　　　　　 9．如图，直线 y＝ 3x＋ 3与 y 轴交于点 P，将它绕着点 P 旋转 90°所得的直线对 应的函数解析式为(　　) A．y＝ 3 3 x＋ 3 B．y＝－ 3 3 x＋ 3 C．y＝1 3x＋ 3 D．y＝－1 3x＋ 3 10．如图，将斜边长为 4 的直角三角板放在直角坐标系 xOy 中，两条直角边分别 与坐标轴重合，P 为斜边的中点，现将此三角板绕点 O 顺时针旋转 120°后， 点 P 的对应点的坐标是(　　) A．( 3，1) B．(1，－ 3) C．(2 3，－2) D．(2，－2 3) 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：__________________． 12．如图，将△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 45°后得到△COD.若∠AOB＝15°， 则∠AOD 的度数是________．13．在平面直角坐标系中，若点 P(m，m－n)与点 Q(－2，3)关于原点对称，则点 M(m，n)在第________象限． 14．如图，将△OAB 绕着点 O 逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角 度都是 50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________． 15．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm.若以 AC 的中点 O 为旋转中 心，将这个三角形旋转 180°后，点 B 落在 B′处，则 BB′＝________cm. 16．已知点 P(3，1－b)关于原点的对称点 Q 的坐标是(a，－1)，则 ab 的值是 ________． 17．如图，已知抛物线 C1，抛物线 C2 关于原点中心对称．如果抛物线 C1 的解析 式为 y＝3 4(x＋2)2－1，那么抛物线 C2 的解析式为____________________． 18．如图，直线 y＝－3 2x＋3 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，把△AOB 绕点 A 旋转 90°后得到△AO′B′，则点 B′的坐标是____________． 19．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°到正方形 AB′C′D′的位 置，则图中阴影部分的面积为________． 　　　　　 20．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点 A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置， 点 B，O 分别落在点 B1，C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将△AB1C1 绕着 B1 顺时针 旋转到△A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到 △A2B2C2 的位置，点 A2 在 x 轴上，依次进行下去……若点 A(3 2 ，0)，B(0，2)，则点 B2 022 的坐标为________． 三、解答题(21，22 题每题 8 分，23，24 题每题 10 分，25，26 题每题 12 分，共 60 分) 21．如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线，△ABC 经过旋转后到达△AEF 的位 置． (1)指出它的旋转中心； (2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度； (3)分别写出点 A，B，C 的对应点． 22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)试在图中作出△ABC 以点 A 为旋转中心，按顺时针方向旋转 90°后得到的△AB1C1； (2)若点 B 的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并写出 A，C 两点的 坐标； (3)根据(2)中的直角坐标系作出与△ABC 关于原点对称的△A2B2C2，并写出 B2， C2 两点的坐标． 23．如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，且 PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC 绕点 A 逆时针旋转后得到△P′AB. (1)求点 P 与点 P′之间的距离； (2)求∠APB 的度数． 24．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝BC，将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 按逆时 针方向旋转角 α 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F. (1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α 时，判定四边形 A1BCE 的形状并说明理由． 25．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段 BC 绕点 B 逆时针 旋转 60°得到线段 BD. (1)如图①，直接写出∠ABD 的大小；(用含 α 的式子表示) (2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值． 26．已知∠DAC＝90°，△ABC 是等边三角形，点 P 为射线 AD 上任意一点(点 P 不与点 A 重合)，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ， 连接 QB 并延长交直线 AD 于点 E. (1)如图①，猜想∠QEP＝________°；(2)如图②和图③，若当∠DAC 是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想∠QEP 的度数，并选取一种情况加以证明； (3)如图③，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且 AC＝4，求 BQ 的长．答案 一、1．B　2．A　3．B　4．D　5．C　6．B　 7．A　8．A　9．B　10．B　 二、11．平行四边形(答案不唯一) 12．60° 13．一　14.20°　15.4 5　 16．1　17．y＝－3 4(x－2)2＋1 18．(5，2)或(－1，－2) 19．1－ 3 3 　20．(6 066，2) 三、21．解：(1)它的旋转中心为点 A. (2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是 45 度．(答案不唯一) (3)点 A，B，C 的对应点分别为点 A，E，F. 22．解：(1)△AB1C1 如图所示． (2)直角坐标系如图所示，点 A 的坐标为(0，1)，点 C 的坐标为(－3，1)． (3)△A2B2C2 如图所示，点 B2 的坐标为(3，－5)，点 C2 的坐标为(3，－1)． 23．解：(1)连接 PP′.由旋转的性质知 AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC， ∴∠P′AP＝∠BAC＝60°. ∴△P′AP 是等边三角形． ∴PP′＝PA＝6. (2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，PP′＝6， ∴P′B2＝P′P2＋PB2.∴△P′PB 为直角三角形，且∠P′PB＝90°. 由(1)知△P′AP 是等边三角形， ∴∠APP′＝60°. ∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°. 24．(1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵将等腰三角形 ABC 绕顶点 B 按逆时针 方向旋转角 α 到△A1BC1 的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A1＝∠A＝∠C， ∠A1BD＝∠CBF. 在△BCF 与△BA1D 中， ∴△BCF≌△BA1D. (2)解：四边形 A1BCE 是菱形．理由：由题意知，∠A1BD＝α.∵∠A1＝∠A，∠ ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1 ＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1BC＝∠A1EC.又 ∵∠A1＝∠C，∴四边形 A1BCE 是平行四边形．又∵A1B＝BC，∴四边形 A1BCE 是菱形． 25．解：(1)∠ABD＝30°－1 2α. (2)△ABE 为等边三角形．证明如下：连接 AD，CD， ∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到线段 BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°，∴ △BCD 为等边三角形．∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝1 2 ∠BAC＝1 2α. ∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠EBC＝∠ABD＝30°－1 2α.又∵∠BCE＝150°，∴ ∠BEC＝180°－(30°－1 2α)－150°＝1 2α.∴∠BAD＝∠BEC.又 BC＝BD， ∴△EBC≌△ABD(AAS)．∴AB＝BE. 又∵∠ABE＝60°，∴△ABE 为等边三角形． (3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝ 45°，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴CE＝DC＝BC.∴∠EBC＝∠BEC.∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝180°－150° 2 ＝15°. ∴30°－1 2α＝15°.∴α＝30°. 26．解：(1)60 点拨：如图①，连接 PQ.设 QE 与 PC 交于点 M. ∵线段 CP 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CQ，∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°，∵ △ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC， ∴∠PCQ＝∠ACB， ∴∠PCQ－∠PCB＝∠ACB－∠PCB，即∠BCQ＝∠ACP. 在△CQB 和△CPA 中， ∴△CQB≌△CPA， ∴∠CQB＝∠CPA. 又∵在△PEM 和△CQM 中， ∠EMP＝∠CMQ， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°. (2)∠QEP＝60°. 以∠DAC 是锐角为例进行证明． 证明如下：如图②，易知 CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ， 即∠ACP＝∠BCQ. 在△CQB 和△CPA 中， ∴△CQB≌△CPA，∴∠Q＝∠CPA. ∵∠1＝∠2， ∴∠QEP＝∠QCP＝60°. (3)如图③，过点 C 作 CH⊥AD 交射线 AD 的反向延长线于点 H，易证△CQB≌△CPA， ∴BQ＝AP. ∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°， ∴∠APC＝30°，∠CAH＝45°， ∴△ACH 为等腰直角三角形， ∴AH＝CH＝ 2 2 AC＝ 2 2 ×4＝2 2. ∵∠CPH＝30°，∴CP＝2CH＝4 2. 由勾股定理可得，PH＝ PC2－CH2＝ （4 2）2－（2 2）2＝2 6， ∴PA＝PH－AH＝2 6－2 2， ∴BQ＝2 6－2 2. 第二十四章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列说法中不正确的是(　　) A．圆是轴对称图形 B．三点确定一个圆 C．半径相等的两个圆是等圆 D．每个圆都有无数条对称轴 2．若⊙O 的面积为 25π，在同一平面内有一个点 P，且点 P 到圆心 O 的距离为 4.9，则点 P 与⊙O 的位置关系为(　　) A．点 P 在⊙O 外 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 内 D．无法确定3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC 的度数是(　　) A．70° B．60° C．50° D．30° 4．如图，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON＝ (　　) A．5 B．7 C．9 D．11 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点 D 在边 BC 上，CD＝ 3，⊙A 的半径长为 3，⊙D 与⊙A 相交，且点 B 在⊙D 外，那么⊙D 的半径 长 r 的取值范围是(　　) A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8 6．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵ 上一点，且DF ︵ ＝BC ︵ ，连接 CF 并延 长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的 度数为(　　) A．45° B．50° C．55° D．60° 7．如图，⊙O 与矩形 ABCD 的边相切于点 E，F，G，点 P 是EFG ︵ 上一点，则∠P 的度数是(　　) A．45° B．60° C．30° D．无法确定8．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得△A′B′C，则点 B 转过的路径长为(　　) A．π 3 B． 3π 3 C．2π 3 D．π 9．若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角 的度数为(　　) A．60° B．90° C．120° D．180° 10．如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2 的外接圆 与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3 的外接圆与正 六边形 A2B2C2D2E2F2 的各边相切……按这样的规律进行下去，正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长为(　　) A．243 29 B．81 3 29 C．81 29 D．81 3 28 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A，∠B，∠C 的度数之比为 435， 则∠D 的度数是________． 12．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A，B，若 OA＝2，∠P＝60°，则 AB ︵ 的长为________． 13．如图，⊙O 中，AB ︵ ＝AC ︵ ，∠BAC＝50°，则∠AEC 的度数为________．14．如图，AB 是⊙O 的直径，BD，CD 分别是过⊙O 上点 B，C 的切线，且 ∠BDC＝110°.连接 AC，则∠A 的度数是________． 15．一元钱硬币的直径约为 24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大 不能超过________mm. 16．如图，在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝ ________°. 17．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形 漏斗的侧面积为________． 18．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以 BC 长为直径作半圆，圆心为点 O.以点 C 为圆心，BC 长为半径作弧 AB，过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D，E， 则阴影部分的面积是________． 19．如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 是⊙O 上一动点，且∠ACB＝30°，点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，直线 EF 与⊙O 交于 G，H 两点，若⊙O 的半径是 7，则 GE＋FH 的最大值是________． 20．如图，在⊙O 中，C，D 分别是 OA，OB 的中点，MC⊥AB， ND⊥AB，M，N 在⊙O 上．下列结论：①MC＝ND；②AM ︵ ＝ MN ︵ ＝NB ︵ ；③四边形 MCDN 是正方形；④MN ＝1 2AB ，其中 正确的是________．(填序号) 三、解答题(21，22 题每题 8 分，23，24 题每题 10 分，其余每题 12 分，共 60 分) 21．如图，AB 是圆 O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，垂足为 H，连接 BC，BD. (1)求证：BC＝BD； (2)已知 CD＝6，OH＝2，求圆 O 的半径长．22．“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三 个点 A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆． 23．如图，已知直线 l 与⊙O 相离，OA⊥l 于点 A，交⊙O 于点 P，点 B 是⊙O 上 一点，连接 BP 并延长，交直线 l 于点 C，恰有 AB＝AC. (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若 PC＝2 5，OA＝5，求⊙O 的半径． 24．如图，AB 与⊙O 相切于点 C，OA，OB 分别交⊙O 于点 D，E，CD＝CE. (1)求证：OA＝OB； (2)已知 AB＝4 3，OA＝4，求阴影部分的面积．25．如图，一座拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度 AB＝80 米，桥拱到水面的 最大高度为 20 米． (1)求桥拱的半径； (2)现有一艘宽 60 米，顶部截面为长方形且高出水面 9 米的轮船要经过这座 拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 26．已知 AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的动点，点 D 是线段 AB 延长线 上的动点，在运动过程中，保持 CD＝OA. (1)当直线 CD 与半圆 O 相切时，如图①，连接 OC，求∠DOC 的度数；(2)当直线 CD 与半圆 O 相交时，如图②，设另一交点为 E，连接 AE，OC， 若 AE∥OC. ①试猜想 AE 与 OD 的数量关系，并说明理由； ②求∠ODC 的度数．答案 一、1．B　2．C　3．B　4．A　5．B　6．B 7．A　解析：连接 OE，OG，易得 OE⊥AB，OG⊥AD.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ A＝90°，∴∠EOG＝90°，∴∠P＝1 2 ∠EOG＝45°. 8．B　解析：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，∴AC＝ 1 2AB＝1.∴BC＝ AB2－AC2＝ 22－12＝ 3.∴点 B 转过的路径长为60π· 3 180 ＝ 3π 3 . 9．C 10．D　解析：∵正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 2＝（ 3）1－1 21－2 ，∴正六边形 A2B2C2D2E2F2 的外接圆的半径为 3，则正六边形 A2B2C2D2E2F2 的边长为 3＝ （ 3）2－1 22－2 ， 同 理 ， 正 六 边 形 A3B3C3D3E3F3 的 边 长 为 3 2 ＝ （ 3）3－1 23－2 ，……，正六边形 AnBnCnDnEnFn 的边长为（ 3）n－1 2n－2 ，则当 n＝10 时，正六边形 A10B10C10D10E10F10 的边长为（ 3）10－1 210－2 ＝ （ 3）8· 3 28 ＝34· 3 28 ＝81 3 28 ，故选 D. 二、11．120°　12．4 3π　13．65° 14．35°　15．12 16．215　解析：∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵A，C， D，E 四点共圆，∴∠E＋∠ACD＝180°.∴∠ACD＋∠ADC＋∠B＋∠E＝ 360°.∵∠ACD＋∠ADC＝180°－35°＝145°，∴∠B＋∠E＝360°－145°＝ 215°.　 17．15π 18．5 3π－2 3 19．10.520．①②④　解析：连接 OM，ON，易证 Rt△OMC≌Rt△OND.可得 MC＝ND， 故①正确．在 Rt△MOC 中，CO＝1 2MO，得∠CMO＝30°，所以∠MOC＝60°. 易得∠MOC＝∠NOD＝∠MON＝60°，所以AM ︵ ＝MN ︵ ＝NB ︵ .故②正确．易得 CD ＝1 2AB＝OA＝OM，因为 MC＜OM，所以 MC＜CD.所以四边形 MCDN 不是正 方形．故③错误．易得 MN＝CD＝1 2AB，故④正确． 三、21．(1)证明：∵AB 是圆 O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD， ∴BC ︵ ＝BD ︵ ， ∴BC＝BD. (2)解：如图，连接 OC. ∵AB 是圆 O 的直径，CD 为弦，AB⊥CD，CD＝6， ∴CH＝3， ∴OC＝ OH2＋CH2＝ 22＋32＝ 13，即圆 O 的半径长为 13. 22．解：设经过 A，B 两点的直线对应的函数解析式为 y＝kx＋b. ∵A(2，3)，B(－3，－7)， ∴经过 A，B 两点的直线对应的函数解析式为 y＝2x－1. 当 x＝5 时，y＝2×5－1＝9≠11， ∴点 C(5，11)不在直线 AB 上， 即 A，B，C 三点不在同一条直线上． ∴平面直角坐标系内的三个点 A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)可以确定一个 圆． 23．(1)证明：如图，连接 OB. ∵OA⊥l， ∴∠PAC＝90°， ∴∠APC＋∠ACP＝90°. ∵AB＝AC，OB＝OP，∴∠ABC＝∠ACB，∠OBP＝∠OPB. ∵∠BPO＝∠APC， ∴∠ABC＋∠OBP＝90°，即∠OBA＝90°， ∴OB⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线． (2)解：设⊙O 的半径为 r，则 AP＝5－r，OB＝r. 在 Rt△OBA 中，AB2＝OA2－OB2＝52－r2， 在 Rt△APC 中，AC2＝PC2－AP2＝(2 5)2－(5－r)2. ∵AB＝AC， ∴52－r2＝(2 5)2－(5－r)2， 解得 r＝3，即⊙O 的半径为 3. 24．(1)证明：连接 OC. ∵AB 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥AB. ∵CD＝CE， ∴∠AOC＝∠BOC. 在△AOC 和△BOC 中， ∴△AOC≌△BOC，∴OA＝OB. (2)解：∵△AOC≌△BOC，∴AC＝BC＝1 2AB＝2 3. ∵OB＝OA＝4，且△OCB 是直角三角形，∴根据勾股定理，得 OC＝ OB2－BC2 ＝2，∴OC＝1 2OB，∴∠B＝30°， ∴∠BOC＝60°. ∴S 阴影＝S△BOC－S 扇形 OCE＝1 2×2×2 3－60π × 22 360 ＝2 3－2 3π. 25．解：(1)如图，设点 E 是桥拱所在圆的圆心．过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，延长 EF 交⊙E 于点 C，连接 AE， 则 CF＝20 米．由垂径定理知，F 是 AB 的中点， ∴AF＝FB＝1 2AB＝40 米．设圆 E 的半径是 r 米，由勾股定理，得 AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2， 即 r2＝402＋(r－20)2.解得 r＝50. ∴桥拱的半径为 50 米． (2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：如图，设 MN＝60 米，MN∥AB， EC 与 MN 的交点为 D，连接 EM， 易知 DE⊥MN， ∴MD＝30 米，∴DE＝ EM2－DM2＝ 502－302＝40(米)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(米)， ∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(米)． ∵10 米>9 米，∴这艘轮船能顺利通过． 26．解：(1)∵直线 CD 与半圆 O 相切， ∴∠OCD＝90°. ∵OC＝OA，CD＝OA， ∴OC＝CD， ∴∠DOC＝∠ODC＝45°， 即∠DOC 的度数是 45°. (2)①AE＝OD. 理由如下： 如图，连接 OE. ∵OC＝OA，CD＝OA， ∴OC＝CD，∴∠COD＝∠CDO. ∵AE∥OC， ∴∠EAD＝∠COD， ∴∠EAD＝∠CDO， ∴AE＝DE. ∵OA＝OE，OC＝CD， ∴∠OAE＝∠OEA，∠COD＝∠CDO， ∴∠DOE＝2∠EAD，∠OCE＝2∠CDO， ∴∠DOE＝∠OCE. ∵OC＝OE， ∴∠DEO＝∠OCE， ∴∠DOE＝∠DEO， ∴OD＝DE， ∴AE＝OD. ②由①得，∠DOE＝∠DEO＝2∠ODC. ∵∠DOE＋∠DEO＋∠ODC＝180°， ∴2∠ODC＋2∠ODC＋∠ODC＝180°， ∴∠ODC＝36°. 第二十五章测试卷 一、选择题(每题 3 分，共 30 分) 1．下列事件中，是必然事件的是(　　) A．将油滴入水中，油会浮在水面上 B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 C．如果 a2＝b2，那么 a＝b D．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 2．小明将 6 本书分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们送给 6 个好 朋友．这些书中有 3 本小说，2 本科普读物和 1 本英语小词典．小明的 1 个好 朋友从 6 个礼盒中随机取 1 个，恰好取到小说的概率是(　　) A．1 6 B．1 2 C．1 3 D．2 3 3．小明在做一道正确答案是 2 的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被 墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是(　　) A．1 4 B．1 3 C．1 6 D．1 2 4．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动 转盘，指针落在有阴影的区域内的概率为 a(若指针落在分界线上，则重转)； 如果投掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 b.关于 a，b 大小的判断正 确的是(　　) A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．不能判断 5．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖向 上”的概率是 0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定 的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618；③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为 1 000 时，“钉尖向上”的频率 一定是 0.620. 其中合理的是(　　) A．① B．② C．①② D．①③ 6．从长度分别为 1 cm，3 cm，5 cm，7 cm 的四条线段中任取三条作为边，能构成三角形的概率为(　　) A．1 2 B．1 3 C．1 4 D．1 5 7．义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语， 三名只会翻译英语，还有一名这两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组 成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是(　　) A．3 5 B． 7 10 C． 3 10 D．16 25 8．如图，一个小球从 A 点沿轨道下落，在每个交叉口向左或向右的机会均等， 则小球最终落到 H 点的概率是(　　) A．1 2 B．1 4 C．1 6 D．1 3 9．如图，在一个长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形、边长为 1 的正六边形 和半径为 1 的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是(　　) A．落在菱形内 B．落在圆内 C．落在正六边形内 D．一样大 10．同时抛掷 A，B 两个均匀的小正方体(每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5， 6)，设两个正方体朝上一面的数字分别为 x，y，并以此确定点 P(x，y)，那么 点 P 满足在抛物线 y＝－x2＋3x 上的概率为(　　) A． 1 18 B． 1 12 C．1 9 D．1 6 二、填空题(每题 3 分，共 30 分) 11．用“必然事件”“不可能事件”“随机事件”填空：(1)明天要下雨．__________；(2)小 明 身 高 3.5 m ． ____________ ； (3) 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等．____________． 12．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于 8 且为偶数” 的概率是________． 13．现有 50 张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片，正面朝下放 置在桌面上，从中随机抽取 1 张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回， 洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约 为 0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________． 14．在四边形 ABCD 中，①AB∥CD，②AD∥BC，③AB＝CD，④AD＝BC.在这 四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形 ABCD 是平行四边形的概 率是________． 15．已知⊙O 的两条直径 AC，BD 互相垂直，分别以 AB，BC， CD，DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图形．现随机地 向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为 P1，针尖落在⊙O 内的概率为 P2，则P1 P2 ＝________． 16．在不透明的袋子中有黑棋子 10 枚和白棋子若干(它们除颜色外都相同)，现随 机从中摸出 10 枚记下颜色后放回，这样连续做了 10 次，记录了如下的数据： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 黑棋子数量/枚 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3 根据以上数据，估算袋子中的白棋子数量为________枚． 17．如图，在 3×3 的方格中，A，B，C，D，E，F 分别位于 格点上，从 C，D，E，F 四点中任取一点，与点 A，B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ________． 18．点 P 的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2 这五个数中任取一个数作为 a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为 b 的值，则点 P(a，b)在平面直角 坐标系中的第二象限内的概率是________．19．张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为 8ZK 后， 对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数 字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成 两 位 数 ， 续 在 8ZK 之 后 ， 则 选 中 的 车 牌 号 为 8ZK86 的概率是________． 20．从－1，0，1，2 这四个数中随机选取一个数，记为 a，那么使一次函数 y＝2x ＋a 的图象与 x 轴，y 轴围成的三角形面积为 1 4 ，且使关于 x 的不等式组 {x＋2 ≤ a， 1－x ≤ 2a 有解的概率为________． 三、解答题(21 题 8 分，22～25 题每题 10 分，26 题 12 分，共 60 分) 21．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 10 个球，其中红球 4 个，黑球 6 个． (1)先从袋子中取出 m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出 1 个球，将“摸出黑 球”记为事件 A，请完成下列表格： 事件 A 必然事件 随机事件 m 的值 ________ ________ (2)先从袋子中取出 m 个红球，再放入 m 个一样的黑球并摇匀，随机摸出 1 个黑球的概率等于4 5 ，求 m 的值． 22．在一次大规模的统计中发现英文文献中字母 E 使用的频率在 0.105 附近，而 字母 J 使用的频率大约为 0.001，如果这次统计是可信的，那么下列说法正确 吗？试说明理由 . (1)在英文文献中字母 E 出现的概率在 10.5%左右，字母 J 出现的概率在 0.1% 左右； (2)如果再去统计一篇约含 200 个字母的英文文献，那么字母 E 出现的概率一 定会非常接近 10.5%.23．一个不透明的袋中装有 20 个只有颜色不同的球，其中 5 个黄球、8 个黑球、 7 个红球． (1)求从袋中摸出 1 个球是黄球的概率； (2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出 1 个球是黑球的概率是1 3 ， 求从袋中取出黑球的个数． 24．“端午节”是我国的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动．为了继 承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员 让两队队长用“石头、剪刀、布”的方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀， 剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负． (1)用列表法或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况； (2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 25．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行一 分钟仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的统计表和统计 图(均不完整)． 分组 频数 频率 第一组(0≤x＜15) 3 0.15 第二组(15≤x＜30) 6 a 第三组(30≤x＜45) 7 0.35第四组(45≤x≤60) b 0.20 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)统计表中 a＝________，b＝________，并将统计图补充完整； (2)如果该校七年级共有女学生 180 人，请估计仰卧起坐能够一分钟完成 30 次 或 30 次以上的女学生有多少人； (3)已知第一组中只有一名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机 从这两组中各选一名学生谈心得体会，所选两人正好都是甲班学生的概率 是多少？ 26．从一副 52 张(没有大王、小王)的扑克牌中，每次抽出 1 张，然后放回洗匀再 抽，在试验中得到下表中部分数据： 试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的 次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的 频率 0.275 0.225 0.250 0.250 0.245 0.263 0.243 0.253 0.250(1)将上表补充完整； (2)从上表中可以估计出现方块的概率是________(精确到 0.01)． (3)从这副扑克牌中取出两组牌，分别是方块 1，2，3 和红桃 1，2，3，将它 们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，若摸出的两张牌 的牌面数字之和等于 3，则甲方赢；若摸出的两张牌的牌面数字之和等于 4，则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ 请你用概率知识(列表法或画树状图法)加以分析说明．答案 一、1．A　2．B　3．D　4．B　5．B　6．C 7．B　8．B　9．B　 10．A　解析：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6) 6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6) 共有 36 种等可能的情况，点 P(x，y)在抛物线 y＝－x2＋3x 上的情况有(1，2)， (2，2)，共 2 种． ∴点 P 在抛物线 y＝－x2＋3x 上的概率为 2 36 ＝ 1 18.故选 A. 二、11．(1)随机事件　(2)不可能事件　(3)必然事件 12．1 4 　13．15 14．2 3 15．2 π 　解析：设⊙O 的半径为 1，则 AD＝ 2，故 S⊙O＝π，阴影部分的面积为 π× ( 2 2 )2 ×2＋ 2× 2－π＝2，则 P1＝ 2 π＋2 ，P2＝ π π＋2 ，故P1 P2 ＝2 π. 16．40　解析：估计摸出黑棋子的概率为1＋3＋0＋2＋3＋4＋2＋1＋1＋3 10 × 10 ＝1 5 ，棋 子总数为 10÷1 5 ＝50(枚)． 所以白棋子的数量＝50－10＝40(枚)． 17．3 4 　18．1 5 　19．1 320．1 4 　解析：∵一次函数 y＝2x＋a 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点(－a 2 ，0)，(0， a)，∴一次函数 y＝2x＋a 的图象与 x 轴，y 轴围成的三角形的面积为 1 2|－a 2 |×|a|＝a2 4 ，∴a2 4 ＝1 4 ，解得 a＝±1.当 a＝1 时，不等式组 的解集为－1≤x≤－1，即 x＝－1，∴该不等式组有解．当 a＝－1 时，不等式 组 无解，∴当 a＝1 时，符合要求，故所求概率为1 4. 三、21．解：(1)4；2，3 (2)根据题意得6＋m 10 ＝4 5 ，解得 m＝2，所以 m 的值为 2. 22．解：(1)正确，理由：当试验次数很大时可以用频率估计概率． (2)不正确，理由：当试验次数不够大时，频率不一定接近概率． 23．解：(1)从袋中摸出 1 个球是黄球的概率为 5 20 ＝1 4. (2)设取出 x 个黑球，由题意得 8－x 20－x ＝1 3 ，解得 x＝2.经检验 x＝2 是方程的解 且符合题意，即从袋中取出黑球的个数为 2. 24．解：(1)用列表法得出所有可能的结果如下： 　　乙 甲 　 石头 剪刀 布 石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布) 剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布) 布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布) 或用画树状图法得出所有可能的结果如图： (2)裁判员的这种做法对甲、乙双方公平，理由如下：由(1)知 P(甲获胜)＝3 9 ＝1 3 ，P(乙获胜)＝3 9 ＝1 3. ∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)． ∴裁判员的这种做法对甲、乙双方公平． 25．解：(1)0.30；4 补充完整统计图如图所示． (2)180×(0.35＋0.20)＝99(人)． ∴估计仰卧起坐能够一分钟完成 30 次或 30 次以上的女学生有 99 人． (3)由题意可画树状图如图： 由树状图可知，共有 12 种等可能的情况，其中所选两人正好都是甲班学生的 情况有 3 种，故 P(所选两人正好都是甲班学生)＝ 3 12 ＝1 4. 26．解：(1)30；0.250　(2)0.25 (3)列表如下： 所有等可能的结果有 9 种，其中甲方赢的结果有 2 种，乙方赢的结果有 3 种， ∴P(甲方赢)＝2 9 ，P(乙方赢)＝3 9 ＝1 3 ，∴P(乙方赢)＞P(甲方赢)．∴这个游戏对双方是不公平的，有利于乙方．