人教版九年级数学上册单元测试题全套（含答案）

人教版九年级数学上册单元测试题全套（含答案） （含期中期末试题，共 7 套） 第二十一章　一元二次方程 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是(C) A．x2＋3 x＝0 B．y2－2x＋1＝0 C．x2－5x＝2 D．x2－2＝(x＋1)2 2．已知 x＝2 是一元二次方程 x2＋mx＋2＝0 的一个根，则 m 的值是(A) A．－3 B．3 C．0 D．0 或 3 3．用配方法解方程 2x2＋3x－1＝0，则方程可变形为(B) A．(3x＋1)2＝1 B．(x＋3 4)2＝17 16 C．(x＋3 4)2＝1 2 D．(x＋3)2＝1 3 4．根据下列表格的对应值判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)的一个根 x 的取值范围是(C) x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 A.3y3>y2 6．在平面直角坐标系中，直线 y＝ax＋h 与抛物线 y＝a(x－h)2 的图象不可能是(C) A 　　　 B 　　　 C 　　　 D 7．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝(x＋5)(x－3)经变换后得到抛物线 y＝(x＋3)(x－5)， 则这个变换可以是(B) A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 C．向左平移 8 个单位 D．向右平移 8 个单位 8．(连云港中考)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)满足函 数关系式 h＝－t2＋24t＋1，则下列说法中正确的是(D) A．点火后 9 s 和点火后 13 s 的升空高度相同 B．点火后 24 s 火箭落于地面 C．点火后 10 s 的升空高度为 139 m D．火箭升空的最大高度为 145 m 9．如图①，在△ABC 中，点 P 从点 A 出发向点 C 运动，在运动过程中，设 x 表示线段 AP 的长，y 表示线段 BP 的长，y 与 x 之间的关系如图②所示，则边 BC 的长是(A) A． 33 B． 30 C． 35 D． 6 第9题图　　　　 第10题图 10. (安顺中考)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴分别交于 A，B 两点， 与 y 轴交于 C 点，OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac－b2＞0； ③a－b＋c＞0；④ac＋b＋1＝0.其中正确的个数是(B) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．如果抛物线 y＝(a－3)x2－2 有最低点，则 a 的取值范围为__a＞3__． 12．抛物线 y＝1 2x2－3 与 y 轴的交点为__(0，－3)__． 13．二次函数 y＝2x2－8x＋1 的顶点坐标是__(2，－7)__．当 x__＞2__时，y 随 x 的增 大而增大；当 x__＜2__时，y 随 x 的增大而减小． 14．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2，其中图象通过平移可以得 到函数 y＝－x2＋2x－3 的图象有__②__．(填序号) 15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱 笆 EF 分开．已知篱笆的总长度为 900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB＝__150__时，矩形 土地 ABCD 的面积最大． 第15题图　　　 第16题图　　　 第18题图 16．如图，过点(0，1)且平行于 x 轴的直线与二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)图象的交点 坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式 ax2＋bx＋c－1＞0 的解集为__x＜1 或 x＞3__． 17．已知函数 y＝x2＋2(a＋2)x＋a2 的图象与 x 轴有两个交点，且都在 x 轴的负半轴上， 则 a 的取值范围是__a>－1 且 a≠0__． 18．(大庆中考)如图，抛物线 y＝ 1 4px2(p>0)，点 F(0，p)，直线 l：y＝－p，已知抛物线 上的点到点 F 的距离与到直线 l 的距离相等，过点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，AA1⊥ l，BB1⊥l，垂足分别为 A1，B1，连接 A1F，B1F，A1O，B1O，若 A1F＝a，B1F＝b，则△A1OB1 的面积＝__ab 4 __(只用 a，b 表示). 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)用配方法把二次函数 y＝1 2x2－4x＋5 化为 y＝a(x＋m)2＋k 的形式，并指出该 函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解：y＝1 2x2－4x＋5＝1 2(x－4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线 x＝4，顶点坐标 是(4，－3)20.(8 分)(宁波中考)如图，已知二次函数 y＝x2＋ax＋3 的图象经过点 P(－2，3). (1)求 a 的值和图象的顶点坐标； (2)若点 Q(m，n)在该二次函数的图象上，则： ①当 m＝2 时，求 n 的值； ②若点 Q 到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围． 解：(1)把点 P(－2，3)代入 y＝x2＋ax＋3 中，得 a＝2，∴y＝x2＋2x＋3，∴顶点坐标为 (－1，2) (2)①当 m＝2 时，n＝11 ②点 Q 到 y 轴的距离小于 2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11 21．(8 分)如图，二次函数 y＝(x＋2)2＋m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 在抛物线上，且 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该二次函数图象上的 点 A(－1，0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围． 解：(1)∵抛物线 y＝(x＋2)2＋m 经过点 A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∴抛物线的 解析式为 y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3.∴点 C 的坐标为(0，3).抛物线的对称轴为直线 x＝－2. 又∵点 B 与点 C 关于对称轴对称，∴点 B 的坐标为(－4，3).∵y＝kx＋b 经过点 A，B，∴ {－k＋b＝0， －4k＋b＝3. 解得{k＝－1， b＝－1. ∴一次函数的解析式为 y＝－x－1 (2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b 的 x 的取值范围为 x≤－4 或 x≥－1 22．(9 分)如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是(0， 3)，以点 C 为顶点的抛物 线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点． (1) 求 A，B，C 三点的坐标； (2) 求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； (3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并 指出平移了多少个单位长度？ 解：(1)A、B、C 三点的坐标分别为(1，0)、(3，0)、(2， 3) (2)设抛物线的解析式为 y＝a(x－2)2＋ 3，代入 A 点的坐标(1，0)，得 a＝－ 3，∴抛物 线的解析式为 y＝－ 3(x－2)2＋ 3 (3)设抛物线的解析式为 y＝－ 3(x－2)2＋k，代入 D 点的坐标(0， 3)，得 k＝5 3，∴平移后的抛物线的解析式为 y＝－ 3(x－2)2＋5 3，∴平移了 5 3－ 3＝4 3 个单位长度 23．(9 分)某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离 地面高20 9 m，与篮圈中心的水平距离为 7 m，当球出手后水平距离为 4 m 时到达最大高度 4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前 1 m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 m，那么 他能否获得成功？ 解：(1)球出手点、最高点、篮圈坐标分别为(0，20 9 )，(4，4)，(7，3)，设这条抛物线的 解析式为 y＝a(x－4)2＋4，把点(0，20 9 )的坐标代入求出抛物线解析式为 y＝－1 9(x－4)2＋4， 当 x＝7 时，y＝－1 9×(7－4)2＋4＝3，∴能准确投中　(2)将 x＝1 代入函数解析式中算出 y 的 值为 3，∵3＜3.1，∴乙能获得成功 24．(12 分)(营口中考)夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在 10 天内(含 10 天)完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了空 调 42 台，以后每天生产的空调都比前一天多 2 台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调 数量达到 50 台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加 20 元． (1)设第 x 天生产空调 y 台，直接写出 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值 范围； (2)若每台空调的成本价(日生产量不超过 50 台时)为 2 000 元，订购价格为每台 2 920 元， 设第 x 天的利润为 W 元，试求 W 与 x 之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大， 最大利润是多少？ 解：(1)∵接到任务的第一天就生产了空调 42 台，以后每天生产的空调都比前一天多 2 台，∴由题意可得出，第 x 天生产空调 y 台，y 与 x 之间的函数解析式为 y＝40＋2x(1≤x≤10) (2)当 1≤x≤5 时，W＝(2 920－2 000)×(40＋2x)＝1 840x＋36 800，∵1 840＞0，∴W 随 x 的增大而增大，∴当 x＝5 时，W 最大值＝1 840×5＋36 800＝46 000；当 5＜x≤10 时， W＝[2 920－2 000－20(40＋2x－50)]×(40＋2x)＝－80(x－4)2＋46 080，此时函数图象开口向 下，在对称轴右侧，W 随着 x 的增大而减小，又∵天数 x 为整数，∴当 x＝6 时，W 最大值 ＝45 760 元．∵46 000＞45 760，∴当 x＝5 时，W 最大，且 W 最大值＝46 000 元．综上所述： 工厂第 5 天获得的利润最大，最大利润是 46 000 元 25．(14 分)已知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，已知 A (－3 2，0)，B(2，0)，C(0，－2)，已知点 E 为 x 轴负半轴上一动点，作 BF⊥CE，垂足为 D， 且 BD 交 y 轴于点 F. (1)求抛物线的解析式； (2)若 BE＝2CF，求点 E 的坐标； (3)在(2)的条件下，若点 E 在 O，A 之间移动，问在坐标系内是否存在点 G，使得 G，C，B，E 四点所构成的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点 G 坐标；如果不存 在，请说明理由． 解：(1)抛物线的解析式为 y＝2 3(x＋3 2 )(x－2)，即 y＝2 3x2－1 3x－2 (2)①当点 E 在点 A 右侧时，如图所示，设 OE＝a.∵∠DCF＋∠DFC＝∠OFB＋∠OBF ＝90°，且∠DFC＝∠OFB，∴∠DCF＝∠OBF.易证△OEC≌△OFB(ASA).∴OE＝OF＝ a.∵BE＝2CF，∴2＋a＝2(2－a).解得 a＝2 3.故点 E 的坐标为(－2 3，0).②当点 E 在点 A 左侧时， 如图所示． ∵BE＝2CF，且 BE＝2＋a，CF＝a－2，∴2＋a＝2(a－2).解得 a＝6.故点 E 坐标为(－ 6，0).综上可得点 E 坐标为(－6，0)或(－2 3，0) (3)存在，点 G 的坐标为(4 3，2 )，(－8 3，－2)，(8 3，－2). 【解析】设点 G 的坐标为(m，n)，四点所构平行四边形的中心为 H，①当四个点组成 平行四边形为 ECBG 时，xH＝ －2 3＋2 2 ＝0＋m 2 ，yH＝ －2＋n 2 ＝0＋0 2 ，解得 m＝4 3，n＝2.故点 G 的坐标为(4 3，2 ).②当四个点组成平行四边形为 CBEG 时，xH＝ －2 3＋0 2 ＝2＋m 2 ，yH＝ －2＋0 2 ＝ 0＋n 2 ，解得 m＝－8 3，n＝－2.故点 G 的坐标为 (－8 3，－2).③当四个点组成平行四边形为 ECGB 时，xH＝2＋0 2 ＝ －2 3＋m 2 ，yH＝ －2＋0 2 ＝0＋n 2 ，解得 m＝8 3，n＝－2.故点 G 的坐标为 (8 3，－2) 第二十三章　旋转 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是(D)2．如图，△ABC 绕点 A 逆时针旋转至△AEF，其旋转角是(A) A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF 第2题图　 第4题图　 第5题图　 第6题图　 第7题图 3．下列 A，B，C，D 四幅“福牛乐乐”图案中，能通过图①顺时针旋转 180°得到的 是(B) 4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点 O 旋转 180°得到△CDA，点 A，B， C 的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点 D 的坐标为(A) A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，5) D．(－2，5) 5．(孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，将点 P(2，3)绕原点 O 顺时针旋转 90°得 到点 P′，则点 P′的坐标为(D) A．(3，2) B．(3，－1) C．(2，－3) D．(3，－2) 6．(舟山中考)如图，在直角坐标系中，已知菱形 OABC 的顶点 A(1，2)，B(3，3).作菱 形 OABC 关于 y 轴的对称图形 OA′B′C′，再作图形 OA′B′C′关于点 O 的中心对称图形 OA″B″C″，则点 C 的对应点 C″的坐标是(A) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(－2，－1) 7．(宜宾中考)如图，四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形，E 是 DC 上一点，DE＝1，将 △ADE 绕着点 A 顺时针旋转到与△ABF 重合，则 EF＝(D) A． 41 B． 42 C．5 2 D．2 13 8．已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A＝”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结 果为：在原地顺时针旋转 A 后，再向面对的方向沿直线行走 a.若机器人的位置在原点，面 对方向为 y 轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°＝后，所在位置的坐标为(D) A．(－1，－ 3) B．(－1， 3) C．( 3，－1) D．(－ 3，－1) 9．如图，8×8 方格纸的两条对称轴 EF，MN 相交于点 O，对图 a 作下列变换：①先以 直线 MN 为对称轴作轴对称图形，再向上平移 4 格；②先以点 O 为中心旋转 180°，再向右 平移 1 格；③先以直线 EF 为对称轴作轴对称图形，再向右平移 4 格．其中能将图 a 变换成 图 b 的是(D) A．①② B．①③ C．②③ D．③ 第9题图　　　 第10题图　　　 第11题图 10．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4 3，BC 的中点为点 D， 将△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为点 G，连接 DG，在旋 转过程中，DG 的最大值是(B) A．4 3 B．6 C．2＋2 3 D．8 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)11．(衡阳中考)如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__． 12．(青海中考)如图，在直角坐标系中，已知点 A(3，2)，将△ABO 绕点 O 逆时针方向 旋转 180°后得到△CDO，则点 C 的坐标是__(－3，－2)__． 第12题图　　　 第13题图　　　 第14题图 13．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示 的虚线处后绕点 M 逆时针方向旋转 22°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角 α 为__22__ 度． 14．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，D 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(0，1)， 点 C 在第四象限，∠ACB＝90°，AC＝BC.若△ABC 与△A′B′C′关于点 D 成中心对称，则点 C′的坐标为__(－2，3)__. 15．(新疆中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30°， 得到△ACD，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为__2 3－2__． 第15题图　　 第16题图　　 第17题图　　 第18题图 16．(随州中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在第一 象限，点 C 在 x 轴的正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 75°， 得到四边形 OA′B′C′，则点 B 的对应点 B′的坐标为__( 6，－ 6)__. 17．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD 的斜边上，若 AE＝ 2，AD＝ 6，则 BC 的长为__2__． 18．在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点 D 在边 BC 上，BD＝2CD(如图)， 把△ABC 绕着点 D 逆时针旋转 m(0＜m＜180)度后，如果点 B 恰好落在初始 Rt△ABC 的边 上，那么 m＝__80 或 120__． 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)如图，AC 是正方形 ABCD 的对角线，△ABC 经过旋转后到达△AEF 的位 置． (1)指出它的旋转中心； (2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度； (3)分别写出点 A，B，C 的对应点． 解：(1)它的旋转中心为点 A (2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是 45 度 (3)点 A，B，C 的对应点分别为 A，E，F 20．(6 分)(枣庄中考)如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． (1)在图①中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形； (2)在图②中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； (3)在图③中，画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形． 题图 答图 解：(1)如图所示，△DCE 为所求作　(2)如图所示，△ACD 为所求作　(3)如图所示，△ECD 为所求作 21．(9 分)在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示(每个小方格都是边长为 1 个单 位长度的正方形). (1)①若△ABC 和△A1B1C1 关于原点 O 成中心对称，画出△A1B1C1； ②将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△AB2C2； (2)在 x 轴上找一点 P，使 PB1＋PC1 最小，此时 PB1＋PC1 的值为__ 26__． 题图 答图解：(1)①如图，△A1B1C1 为所求作　②如图，△AB2C2 为所求作　(2)如图， 作 C1 点关于 x 轴的对称点 C′，连接 B1C′交 x 轴于 P 点，连接 PC1，则 PC1＝PC′，PB1＋PC1 ＝PB1＋PC′＝B1C′＝ 12＋52＝ 26，所以 PB1＋PC1 的最小值为 26.故答案为 26 22．(9 分)如图，把正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′B′CD ′(此时，点 B′落在对角线 AC 上，点 A′落在 CD 的延长线上)，A′B′交 AD 于点 E，连接 AA′，CE.求证： (1)△ADA′≌△CDE； (2)直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线． 证明：(1)由正方形的性质及旋转得 AD＝DC，∠ADC＝90°，AC＝A′C，∠DA′E＝45 °，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°，∴DA′＝DE，∴△ADA′≌△ CDE　(2)由正方形的性质及旋转得 CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，又 CE＝CE，∴Rt △CEB′≌Rt△CED，∴∠B′CE＝∠DCE，∵AC＝A′C，∴直线 CE 是线段 AA′的垂直平分 线 23．(10 分)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋 转一定的角度 α 得到△AED，点 B、C 的对应点分别是 E、D. (1)如图①，当点 E 恰好在 AC 上时，求∠CDE 的度数； (2)如图②，若 α＝60°时，点 F 是边 AC 中点，求证：四边形 BFDE 是平行四边形． 解：(1)∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC 绕点 A 顺时针旋 转 α 得到△AED，点 E 恰好在 AC 上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC ＝1 2(180°－30°)＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠EDA＝15° (2)证明：∵点 F 是边 AC 中点，∴BF＝AF＝1 2AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝1 2AC，∴∠ FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60 °，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE＝BF，如图②，延长 BF 交 AE 于点 G，则∠BGE＝∠GBA＋∠BAG＝90°，∴∠BGE＝∠DEA，∴BF∥ED，∴四边形 BFDE 是平行四边形 24．(12 分)如图，在等边△ABC 中，点 D 为△ABC 内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC ＝90°，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ACE，连接 DE. (1)求证：AD＝DE； (2)求∠DCE 的度数； (3)若 BD＝1，求 AD，CD 的长． 解：(1)证明：∵将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC ＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC 为等边三角形，∴∠ BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴AD＝DE (2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC －∠DAE＝90° (3)∵△ADE 为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，又 ∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，在 Rt△DCE 中，DC＝DE2－CE2 ＝ 22－12＝ 3 25．(14 分)感知：如图①，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段 BD，过点 D 作 DE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，连接 CD. (1)求证：△ACB≌△BED； (2)△BCD 的面积为__1 2m2__(用含 m 的式子表示). 拓展：如图②，在一般的 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边 AB 绕点 B 顺时 针旋转 90°得到线段 BD，连接 CD，用含 m 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由． 应用：如图③，在等腰△ABC 中，AB＝AC，BC＝8，将边 AB 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到线段 BD，连接 CD，则△BCD 的面积为__16__；若 BC＝m，则△BCD 的面积为__ 1 4 m2__(用含 m 的式子表示). 感知：(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝45°， 由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°＝∠A，又∵∠ACB＝∠E＝ 90°，∴△ACB≌△BED(AAS) 拓展：作 DG⊥CB 交 CB 的延长线于点 G， ∵∠ABD＝90°，∴∠ABC＋∠DBG＝90°，又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠A＝∠DBG.又∵∠ACB＝∠G，AB＝BD，∴△ACB≌△BGD(AAS)，∴BC＝DG＝m，∴S△BCD＝1 2BC×DG＝ 1 2m2 应 用 ： 点 拨 ： 作 AN⊥BC 于 点 N ， DM ⊥ BC 交 CB 的 延 长 线 于 点 M ， 易 证 △ANB≌△BMD(AAS)，∴BN＝DM＝1 2BC＝4.∴S△BCD＝1 2BC·DM＝1 2×8×4＝16，若 BC＝ m，则 BN＝DM＝1 2BC＝1 2m，∴S△BCD＝1 2BC·DM＝1 2×m×1 2m＝1 4m2 期中检测 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．若 ax2－5x＋1＝0 是一元二次方程，则不等式 a＋5＞0 的解是(B) A．a＞－5 B．a＞－5 且 a≠0 C．a＜－5 D．a＞1 5 2．(大连中考)下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 3．二次函数 y＝1 2(x－4)2＋5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(A) A．向上，直线 x＝4，(4，5) B．向上，直线 x＝－4，(－4，5) C．向上，直线 x＝4，(4，－5) D．向下，直线 x＝－4，(－4，5) 4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(D) A．x2－6x＋4＝0 化为(x－3)2＝5 B．2m2＋m－1＝0 化为(m＋1 4)2＝ 9 16 C．3y2－4y－2＝0 化为(y－2 3)2＝10 9 D．2t2－3t－2＝0 化为(t－3 2)2＝25 16 5．(聊城中考)若关于 x 的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6 有实数根，则 k 的取值范围 为(D) A．k≥0 B．k≥0 且 k≠2 C．k≥3 2 D．k≥3 2且 k≠2 6．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点 C 沿顺时针方向 旋转后得到△A′B′C，若点 B′恰好落在线段 AB 上，AC，A′B′相交于点 O，则∠COA′的度 数是(B) A．50° B．60° C．70° D．80° 第6题图　　 第8题图　　 第9题图 7．某烟花厂为 G20 杭州峰会举行焰火表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升 空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h＝－5 2t2＋20t＋1，若这种礼炮点火升空到最高点处 引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s 8．(宜昌中考)如图，在平面直角坐标系中，点 B 在第一象限，点 A 在 x 轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 的对应点 B′的坐标是(B) A．(－1，2＋ 3) B．(－ 3，3) C．(－ 3，2＋ 3) D．(－3， 3) 9．(凉山中考)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝ 0；②b2－4ac＞0；③5a－2b＋c＞0; ④4b＋3c＞0，其中错误结论的个数是(A) A．1 B．2 C．3 D．4 10. (菏泽中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 2 cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正 方形的边上，分别按 A→D→C，A→B→C 的方向都以 1 cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终 止，连接 PQ，设运动时间为 x(s)，△APQ 的面积为 y(cm2)，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是(A) 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．已知关于 x 的方程 x2＋2x＋k＝0 的一个根为 0，则另一个根为__－2__，k＝ __0__． 12．如图，△ABC 为等边三角形，△AO′B 绕点 A 逆时针旋转后能与△AOC 重合，若 AO＝3，则点 O′，O 之间的距离为__3__． 第12题图　　 第14题图　　 第15题图　　 第17题图 13．若函数 y＝mx 2＋2x＋1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则常数 m 的值是__1 或 0__． 14．(常德中考)如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点 D 在 AC 边上，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD′，且点 D′，D，B 三点在同一条直线上， 则∠ABD 的度数是__22.5°__． 15．如图是一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m．已知桥洞的拱形 是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线 解析式是 y＝－1 9(x－6)2＋4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是__y＝－1 9(x＋6)2＋ 4__． 16．(荆门中考)已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0 的两个不相等实数 根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则 k 的值为__1__． 17．如图，矩形 ABCD 是由三个矩形拼接成的，如果 AB＝8 cm，阴影部分的面积是 24 cm2，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为__6__cm. 18．如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确的结论是 __①②③__(填序号). 三、解答题(共 66 分)19．(6 分)解方程： (1)x2－4x＋1＝0; (2)2(x－3)＝3x(x－3). 解：x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3 解：x1＝3，x2＝2 320.(8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求 m 的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为 x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求 m 的值． 解：(1)根据题意，得 Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，解得 m≥－9 4，所以 m 的最小整数值 为－2　(2)根据题意，得 x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2 －4x1x2＋m2＝21，∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，整理，得 m2＋4m－12＝0，解得 m1＝2， m2＝－6，∵m≥－9 4，∴m 的值为 2 21．(8 分)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，且过点 C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y＝－x 上，并写出平移 后抛物线的解析式． 解：(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为 y＝a(x－1)(x－3).∵抛物线过(0，－ 3)，∴－3＝(－1)×(－3)a，解得 a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－ 3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1) (2)答案不唯一，如：先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解 析式为 y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线 y＝－x 上 22．(8 分)(苏州中考)如图，在△ABC 中，点 E 在 BC 边上，AE＝AB，将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接 EF，EF 与 AC 交于点 G. (1)求证：EF＝BC； (2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC 的度数． 解：(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF.∵将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的 位置，∴AC＝AF.在△ABC 与△AEF 中，{AB＝AE， ∠BAC＝∠EAF， AC＝AF， ∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF＝ BC (2)∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝ 50°.∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78° 23．(10 分)某商场销售一种成本为每件 30 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y(件) 与销售单价 x(元)之间的关系可近似看作一次函数 y＝－10x＋600，商场销售该商品每月获得 利润为 w(元). (1)直接写出 w 与 x 之间的函数关系式； (2)如果商场销售该商品每月想要获得 2 000 元的利润，那么每月成本至少为多少元？(3)若销售单价不低于 40 元且不高于 55 元，请直接写出每月销售新产品的利润 w 的取 值范围． 解：(1)w＝－10x2＋900x－18 000 (2)由题意得，－10x2＋900x－18 000＝2 000，解得 x1＝40，x2＝50，当 x＝40 时，成本 为 30×(－10×40＋600)＝6 000(元)，当 x＝50 时，成本为 30×(－10×50＋600)＝3 000(元)， ∴每月想要获得 2 000 元的利润，每月成本至少 3 000 元 (3)∵w＝(x－30)(－10x＋600)＝－10x2＋900x－18 000＝－10(x－45)2＋2 250，∴当 x＝ 45 时，w 取得最大值 2 250，∵销售单价不低于 40 元且不高于 55 元，且 55 离对称轴 x＝45 远，∴当 x＝55 时，w 取得最小值，最小值为 1 250，∴销售单价不低于 40 元且不高于 55 元时，每月销售新产品的利润 w 的取值范围为 1 250≤w≤2 250 24．(12 分)如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α.将△BOC 绕 点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接 OD. (1)求证：△COD 是等边三角形； (2)当 α＝120°时，试判断 AD 与 OC 的位置关系，并说明理由； (3)探究：当 α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？ 解：(1)证明：∵△ADC≌△BOC，∴CO＝CD，∵将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 °得△ADC，∴∠DCO＝60°，∴△COD 是等边三角形 (2)AD∥OC，理由：∵△DOC 是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOC＝60°，∵∠α＝120 °，△COB≌△CDA，∴∠ADC＝∠COB＝120°，∴∠ADO＝120°－60°＝60°，∴∠ADO ＝∠DOC＝60°，∴AD∥OC (3)∠AOD＝360°－∠AOB－∠α－∠COD＝360°－100°－∠α－60°＝200°－∠α， ∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝∠α－60°，∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(∠α－ 60°)－(200°－∠α)＝40°，若∠ADO＝∠AOD，即∠α－60°＝200°－∠α，解得∠α＝130 °；若∠ADO＝∠OAD，则∠α－60°＝40°，解得∠α＝100°；若∠OAD＝∠AOD，即 40 °＝200°－∠α，解得∠α＝160°.即当 α 为 130°或 100°或 160°时，△AOD 是等腰三角 形 25．(14 分)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴相交于 A(－1，0)，B(3，0) 两点，与 y 轴相交于点 C(0，－3). (1)求这个二次函数的解析式； (2)若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点 H，与 BC 交于 点 M，连接 PC. ①求线段 PM 的最大值； ②当△PCM 是以 PM 为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标．解：(1)将 A，B，C 三点代入函数解析式，得{a－b＋c＝0， 9a＋3b＋c＝0 c＝－3， ，解得{a＝1， b＝－2 c＝－3， ，这个二 次函数的解析式 y＝x2－2x－3 (2)①设 BC 的解析式为 y＝kx＋b，将 B，C 的坐标代入函数解析式，得{3k＋b＝0， b＝－3， 解 得 {k＝1， b＝－3，BC 的解析式为 y＝x－3，设 M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)，PM＝(n－3)－(n2－ 2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－3 2)2＋9 4，当 n＝3 2时，PM 最大＝9 4 ②当 PM＝PC 时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2，解得 n1＝n2＝0(舍去)，n3＝2，n2 －2n－3＝－3，∴P(2，－3).当 PM＝MC 时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2， 解得 n1＝0(不符合题意，舍去)，n2＝3－ 2，n3＝3＋ 2(不符合题意，舍去)， ∴n2－2n－3＝2－4 2，∴P(3－ 2，2－4 2). 综上所述：P(2，－3)或 P(3－ 2，2－4 2) 第二十四章　圆 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列说法正确的是(B) A．平分弦的直径垂直于弦 B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若直线与圆有公共点，则直线与圆相切 2．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，则下列结论正确的是(B) A．AB＝AD B．BC＝CD C．AB＝AD D．∠BCA＝∠DCA 第2题图　　　 第3题图　　　 第4题图　　　 第5题图 3．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)， 则△ABC 外接圆的圆心坐标是(D) A．(2，3) B．(3，2) C．(1，3) D．(3，1) 4．(眉山中考)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠CAO＝22.5°，OC＝ 6，则 CD 的长为(A) A．6 2 B．3 2 C．6 D．12 5．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝AC＝8，O 为 BC 的中点，以点 O 为圆心作 圆，使它与 AB，AC 都相切，切点分别为点 D，E，则⊙O 的半径为(D) A．8 B．6 C．5 D．4 6．如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为 15 cm，母线长为 20 cm，制作这样一个烟囱帽所 需要的铁皮面积至少是(B) A．1 500π cm2 B．300π cm2 C．600π cm2 D．150π cm2 第6题图　 第7题图　 第8题图　 第9题图 7．如图，将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD(面积记为 S1)变形为以点 B 为圆心，BC 为半径的扇形(面积记为 S2)，则 S1 与 S2 的关系为(B) A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定 8．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，把半圆沿弦 AC 折叠，AC ︵ 恰好经过 点 O，则BC ︵ 与AC ︵ 的关系是(A) A．BC ︵ ＝1 2AC ︵ B．BC ︵ ＝1 3AC ︵ C．BC ︵ ＝AC ︵ D．不能确定 9．如图，直线 y＝ 3 3 x＋ 3与 x 轴，y 轴分别相交于 A，B 两点，圆心 P 的坐标为(1， 0)，⊙P 与 y 轴相切于点 O，若将⊙P 沿 x 轴向左平移，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为 整数的点 P 的个数是(B) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 10．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，AC＝CD＝DB，点 E 是点 D 关于 AB 所在直线的对称点，M 是 AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝ 1 2 ∠DOB；③DM⊥CE；④CM＋DM 的最小值是 10，其中正确的个数是(C) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第10题图　　　 第11题图　　　 第12题图　　　 第13题图 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．如图，AB 是⊙O 的弦，若∠AOB＝110°，则∠A 的度数是__35°__． 12．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 于点 E，要使 DE 是⊙O 的 切线，需添加的条件是__D 为 BC 中点(答案不唯一)__．(不添加其他字母和线条) 13．如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，E 为AD上一点，∠D＝50°，则 ∠E＝__40° __． 14．(广西中考)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与 古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆 材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文 题意，画出圆材截面图如图所示，已知锯口深为 1 寸，锯道 AB＝1 尺(1 尺＝10 寸)，则该 圆材的直径为__26__寸． 第14题图　 第15题图　 第16题图　 第17题图　 第18题图 15．如图，圆 O 是△ABC 的内切圆，分别切 BA，BC，AC 于点 E，F，D，点 P 在弧 DE 上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝__40°__. 16．(永州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(1，1)，以点 O 为旋转中心，将 点 A 逆时针旋转到点 B 的位置，则AB的长为__ 2 π 4 __．17．如图， 在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12 cm，将△ABC 以点 B 为中心顺时针旋转， 使点 C 旋转到 AB 边延长线上的点 D 处， 则 AC 边扫过的图形 (阴 影部分) 的面积是__36π__cm2. (结果保留π). 18．如图所示，已知 A 点从(1，0)点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着 x 轴的正方 向运动，经过 t 秒后，以 O，A 为顶点作菱形 OABC，使 B，C 点都在第一象限内，且∠AOC ＝60°，又以 P(0，4)为圆心，PC 为半径的圆恰好与 OA 所在的直线相切，则 t＝__4 3－ 1__． 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 CD ＝EF＝24 cm，求这个球的直径． 解：连接 OF，过点 O 作 OG⊥AD 于点 G，交⊙O 于点 H，则 GF＝1 2EF＝12，设半径 为 r，则 OG＝24－r，根据勾股定理，得(24－r)2＋122＝r2，解得 r＝15.故 2r＝30. 答：这个球的直径为 30 cm　　 题图　 答图 20．(8 分)如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O 于点 D，点 E 在⊙O 上． (1)若∠AOD＝52°，求∠DEB 的度数； (2)若 OC＝3，OA＝5，求 AB 的长． 解：(1)26°　(2)8 21．(8 分)如图，P 为正比例函数 y＝3 2x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为 3，设点 P 的 坐标为(x，y). (1)求⊙P 与直线 x＝2 相切时点 P 的坐标． (2)请直接写出⊙P 与直线 x＝2 相交、相离时 x 的取值范围． 解：(1)过 P 作直线 x＝2 的垂线，垂足为 A；当点 P 在直线 x＝2 右侧时，AP＝x－2＝ 3，得 x＝5，∴P(5，15 2 )；当点 P 在直线 x＝2 左侧时，PA＝2－x＝3，得 x＝－1，∴P(－1，－3 2)，∴ 当⊙P 与直线 x＝2 相切时，点 P 的坐标为(5，15 2 )或(－1，－3 2) (2)当－1＜x＜5 时，⊙P 与直线 x＝2 相交，当 x＜－1 或 x＞5 时，⊙P 与直线 x＝2 相 离 22．(8 分)(广西中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 直径，AB＝6，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 BD. (1)求证：∠BAD＝∠CBD； (2)若∠AEB＝125°，求BD的长(结果保留π). 解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝ ∠CBD (2)连接 OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACE＝90 °，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴ BD的长 ＝70·π × 3 180 ＝7 6π 23．(10 分)(邵阳中考)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 是∠BAC 的平分 线，且 AD＝6，以点 A 为圆心，AD 长为半径画弧 EF，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F. (1)求由弧 EF 及线段 FC，CB，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积； (2)将阴影部分剪掉，余下扇形 AEF，将扇形 AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与 AF 正 好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高 h. 解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AD＝6，∴BD＝6 3，BC＝2BD＝12 3，∴由弧 EF 及线段 FC，CB，BE 围成图形(图中阴影部分)的面积＝S△ABC－S 扇形 EAF＝1 2×6×12 3－120·π·62 360 ＝ 36 3－12π (2)设圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2πr＝120·π·6 180 ，解得 r＝2，这个圆锥的 高 h＝ 62－22＝4 224.(12 分)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD⊥AB 于点 D，P 为 AB 延长 线上一点，∠PCD＝2∠BAC. (1)求证：CP 为⊙O 的切线； (2)若 BP＝1，CP＝ 5，则： ①求⊙O 的半径； ②若 M 为 AC 上一动点，则 OM＋DM 的最小值为__2 14 3 __． 解 ： (1) 证 明 ： 连 接 OC ， ∵ ∠ PCD ＝ 2∠BAC ， ∠ POC ＝ 2∠BAC ， ∴ ∠ POC ＝ ∠PCD.∵CD⊥AB 于点 D，∠ODC＝90°，∴∠POC＋∠OCD＝90°.∴∠PCD＋∠OCD＝ 90°，∴∠OCP＝90°.∵OC 为半径，∴CP 为⊙O 的切线 (2)①设⊙O 的半径为 r，在 Rt△OCP 中，CO2＋CP2＝OP2.∵BP＝1，CP＝ 5，∴r2＋ ( 5)2＝(r＋1)2，解得 r＝2.∴⊙O 的半径为 2 25．(14 分)如图①，已知⊙O 是△ADB 的外接圆，∠ADB 的平分线 DC 交 AB 于点 M， 交⊙O 于点 C，连接 AC，BC. (1)求证：AC＝BC； (2)如图②，在图①的基础上作⊙O 的直径 CF 交 AB 于点 E，连接 AF，过点 A 作⊙O 的切线 AH，若 AH∥BC，求∠ACF 的度数； (3)在(2)的条件下，若△ABD 的面积为 6 3，△ABD 与△ABC 的面积比为 2∶9，求 CD 的长． 解：(1)证明：∵DC 平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴AC ︵ ＝BC ︵ ，∴AC＝BC (2)连接 AO 并延长交 BC 于点 I，交⊙O 于点 J. ∵AH 是⊙O 的切线，且 AH∥BC，∴AI⊥BC.由垂径定理，得 BI＝IC，∵AC＝BC，∴IC＝1 2AC， 在 Rt△AIC 中，IC＝1 2AC，∴∠IAC＝30°，∴∠ABC＝60°＝∠F＝∠ACB，∵FC 是 直径，∴∠FAC＝90°，∴∠ACF＝180°－90°－60°＝30° (3)过点 D 作 DG⊥AB，由(1)(2)知，△ABC 为等边三角形， ∵∠ACF＝30°，∴AB⊥CF，∴AE＝BE，∴S△ABC＝ 3 4 AB2＝27 3， ∴AB＝6 3，∴AE＝3 3，在 Rt△AEC 中，CE＝ 3AE＝9，在 Rt△AEO 中，设 EO＝ x， 则 AO＝2x，∴AO2＝AE2＋OE2，∴(2x)2＝(3 3)2＋x2，∴x＝3，∴⊙O 的半径为 6，∴ CF＝12， ∵S△ABD＝AB×DG×1 2＝6 3×DG×1 2＝6 3，∴DG＝2. 过点 D 作 DP⊥CF，连接 OD，∵AB⊥CF，DG⊥AB，∴CF∥DG， ∴四边形 PDGE 为矩形，∴PE＝DG＝2，∴CP＝PE＋CE＝2＋9＝11. 在 Rt△OPD 中，OP＝5，OD＝6，∴DP＝ OD2－OP2＝ 11， ∴在 Rt△CPD 中，根据勾股定理得，CD＝ DP2＋CP2＝2 33 第二十五章　概率初步 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．对“某市明天下雨的概率是 75%”这句话，理解正确的是(D) A．某市明天将有 75%的时间下雨 B．某市明天将有 75%的地区下雨 C．某市明天一定下雨 D．某市明天下雨的可能性较大 2．下列事件中，属于必然事件的是(C) A．抛掷一枚 1 元硬币落地后，有数字的一面向上 B．打开电视任选一频道，正在播放新闻 C．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 D．某种彩票的中奖率是 10%，则购买该种彩票 100 张一定中奖 3．(绥化中考)不透明袋子中有 2 个红球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从 袋子中随机取出 1 个球是红球的概率是(A) A．1 3 B．1 4 C．1 5 D．1 6 4．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖， 击中灰色区域的概率是(C) A．4 9 B．5 9 C．1 5 D．1 4 第4题图　　　　 第5题图 5．在拼图游戏中，从图①的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”(如图②) 的概率等于(D)A．1 B．1 2 C．1 3 D．2 3 6．有一个质地均匀且可以转动的转盘，盘面被分成 6 个全等的扇形区域，在转盘的适 当地方涂上灰色，未涂色部分为白色，用力转动转盘，为了使转盘停止时，指针指向灰色区 域的可能性的大小是1 3，那么下列涂色方案正确的是(A) 7．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了 如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是(B) 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是 5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 8．在一个不透明的纸箱里装有除颜色外其他都相同的 2 张红卡片和 1 张白卡片，小元 现从中任取 2 张卡片(抽取后不放回)，则他两次抽取到的是一张红卡一张白卡的概率是(C) A．5 9 B．5 6 C．2 3 D．1 3 9．(海南中考)在一个不透明的袋子中装有 n 个小球，这些球除颜色外均相同，其中红 球有 2 个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为1 3，那么 n 的值是(A) A．6 B．7 C．8 D．9 10．同时抛掷 A，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)， 设两立方体朝上的数字分别为 x，y，并以此确定点 P(x，y)，那么点 P 落在抛物线 y＝－x2＋ 3x 上的概率为(A) A． 1 18 B． 1 12 C．1 9 D．1 6 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．“任意画一个四边形，其内角和是 360°”是__必然__(填“随机”、“必然”或“不 可能”中任一个)事件． 12．(原创)有四张看上去无差别的卡片，正面分别写有“黄鹤楼”、“杭州西湖”、“九寨 沟”、“龙门石窟”四个景区的名称，将它们背面朝上，从中随机抽出一张卡片正面写有“龙 门石窟”的概率是__1 4__. 13. (贵港中考)若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻有 1，2，3，4，5，6 点，则点数不小于 3 的概率是__2 3__． 14．(扬州中考)某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：抽取的毛绒玩 具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率m n 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__0.92__．(精确 到 0.01) 15．在一个不透明的袋子中有 10 个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发 现摸到白球的频率约为 20%，估计袋中白球有__2__个． 16．一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的小球，随机摸出一个白色小球的概 率是1 2；如果将摸出的白球放回，再往袋子中放入 9 个同样的红色小球，随机摸出一个白球 的概率为1 3，则原来袋子中有白色小球__9__个． 17．某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启 30 秒后关 闭，紧接着黄灯开启 3 秒后关闭，再紧接着绿灯开启 42 秒，按此规律循环下去．如果不考 虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是__2 5__． 18．已知⊙O 的两条直径 AC，BD 互相垂直，分别以 AB，BC，CD，DA 为直径向外作 半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率 为 P1，针尖落在⊙O 内的概率为 P2，则P1 P2＝__ 2 π__． 三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)一个口袋中放有 290 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球 个数是黑球个数的 2 倍多 40 个．从袋中任取一个球是白球的概率是 1 29. (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中任取一个球是黑球的概率． 解：(1)290×1 29＝10(个)，290－10＝280(个)，(280－40)÷(2＋1)＝80(个)，280－80＝200(个). 故袋中红球的个数是 200 个 (2)80÷290＝ 8 29.故从袋中任取一个球是黑球的概率是 8 29 20．(10 分)(包头中考)某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取 50 名九年级 学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题： 测试成绩(分) 23 25 26 28 30人数(人) 4 18 15 8 5 (1)该校九年级有 450 名学生，估计体育测试成绩为 25 分的学生人数； (2)该校体育老师要对本次抽测成绩为 23 分的甲、乙、丙、丁 4 名学生进行分组强化训 练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．(用列表或树状图法解答) 解：(1)450×18 50＝162(人)，该校九年级有 450 名学生，估计体育测试成绩为 25 分的学 生人数为 162 人 (2)画树状图如图，共有 12 个等可能的结果，∵丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组， ∴甲和乙恰好分在同一组的结果有 4 个，∴甲和乙恰好分在同一组的概率为 4 12＝1 3 21．(10 分)(孝感中考)一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2，－ 1，0，1，它们除了数字不同外，其他完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是__1 4__． (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标； 然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标．如图， 已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请 用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率． 解：(2)列表如下： －2 －1 0 1 －2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2) －1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1) 0 (－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0) 1 (－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1) 由表知，共有 16 种等可能结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界) 的有：(－2，0)、(－1，－1)、(－1，0)、(0，－2)、(0，－1)、(0，0)、(0，1)、(1，0)这 8 个，所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率为1 2 22．(12 分)某商场为吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买 100 元的商品，就 可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直 接获得购物券 10 元，小明购买了 100 元的商品，他看到商场公布的前 10 000 张奖券的抽奖结果如下： 奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾 出现张数(张) 500 1 000 2 000 6 500 (1)求“紫气东来”奖券出现的频率； (2)请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由． 解：(1) 500 10 000＝ 1 20　(2)平均每张奖券获得的购物券金额为 100× 500 10 000＋50× 1 000 10 000＋ 20× 2 000 10 000＋0× 6 500 10 000＝14(元)，∵14＞10，∴选择抽奖合算 23．(12 分)从一副 52 张(没有大小王)的扑克中，每次抽出 1 张，然后放回洗匀再抽， 在实验中得到下列表中部分数据： 实验 次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现 方块 的次 数 11 18 a 40 49 63 68 80 91 100 出现 方块 的频 率 27.5% 22.5% 25% 25% 24.5% 26.25 % 24.3% b 25% 25% (1)a＝__30__，b＝__25%__； (2)从上面的图表中可以估计出现方块的概率是__1 4__； (3)将这副扑克中的所有方块(即从方块 1 到方块 13，共 13 张)取出，将它们背面朝上重 新洗牌后，从中摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方贏，若摸出的这张牌的牌 面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？说明理由． 解：(3)不公平，∵在方块 1 到方块 13 共 13 张牌中，奇数有 7 个，偶数有 6 个，∴甲 方赢的概率为 7 13，乙方赢的概率为 6 13，由于 7 13≠ 6 13，∴这个游戏对双方不公平 24．(14 分)(贵阳中考)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有 数字 1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是将 这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的 A 点开始沿 着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是__1 4__； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率． 解：(2)列表如下： (a，b) 9 8 7 6 9 (9，9) (8，9) (7，9) (6，9) 8 (9，8) (8，8) (7，8) (6，8) 7 (9，7) (8，7) (7，7) (6，7)6 (9，6) (8，6) (7，6) (6，6) 　 共有 16 种可能，和为 14 可以到达点 C，有 3 种结果，所以棋子最终跳动到点 C 处的 概率为 3 16 期末检测 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(枣庄中考)下列图形，可以看作中心对称图形的是(B) 2．一元二次方程 2x2＋3x－2＝0 的根的情况是(B) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．将二次函数 y＝x2 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度所得的 图象解析式为(A) A．y＝(x－1)2＋3 B．y＝(x＋1)2＋3 C．y＝(x－1)2－3 D．y＝(x＋1)2－3 4．(丹东中考)等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋k＝0 的两个实数根，则 k 的值是(B) A．8 B．9 C．8 或 9 D．12 5．(武汉中考)从 1、2、3、4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 a、c，则关于 x 的一元二次方程 ax2＋4x＋c＝0 有实数根的概率为(C) A．1 4 B．1 3 C．1 2 D．2 3 6．(广元中考)如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，连接 BD， BC，且 AB＝10，AC＝8，则 BD 的长为(C) A．2 5 B．4 C．2 13 D．4.8 第6题图　　　 第8题图　　　 第9题图　　　 第10题图 7．(玉林中考)若一元二次方程 x2－x－2＝0 的两根为 x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值 是(A) A．4 B．2 C．1 D．－2 8．如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，现将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 △A′B′C，连接 AB′，并有 AB′＝3，则∠A′的度数为(D) A．65° B．95° C．130° D．135° 9．(宁波中考)如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片 ABFE和矩形纸片 EFCD 后，分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和 底面，则 AB 的长为(B) A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 10．(原创题)如图，在△ABC 中，AC＝BC＝6，∠BCA＝90°，点 G 是 AB 的中点，∠ MCN＝45°，将∠MCN 绕点 C 旋转，射线 CN、CM 始终交边 AB 于 D、E 两点，过点 D 作 CD 的垂线交 CM 于点 F，连接 GF、AF.有下列结论：①∠ADC＝∠BCE；②在∠MCN 旋转的过程中，CD 的最小值是 3 2；③AE2＋BD2＝DE2；④△CDF 是等腰直角三角形．其 中正确的说法有(D) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11．点 P(－2，5)关于原点对称的点的坐标是__(2，－5)__． 12．(深圳中考)现有 8 张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这 些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字 2 的卡片的概 率是__3 8__． 13. (邵阳中考)关于 x 的一元二次方程 x2－2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的最 小整数值是__0__． 14．已知二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象上有两点 A(－7，y1)，B(－8，y2)，则 y1__＞ __y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 15．如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与⊙O 相切于点 D，E.若点 D 是 AB 的中点， 则∠DOE＝__60__°. 第15题图　　　 第16题图　　　 第17题图　　　 第18题图 16．有一块宽为 120 m 的长方形土地，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为 正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙开辟成面积为 3 200 m2 的公园．若设这块长方形 土地的长为 x m，那么根据题意列出的方程是__x2－360x＋32_000＝0___．(化为一元二次方 程的一般形式且二次项系数为正数) 17．(安顺中考)如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2 cm，∠BOC＝60°，∠ BCO＝90°，将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC 扫过区域 (图中阴影部分)的面积为__1 4π__cm2. 18．(赤峰中考)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a －b＋c＝0；③一元二次方程 ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当 x＜－1 或 x＞3 时，y＞0.上述结论中正确的是__②③④__．(填上所有正确结论的序号) 三、解答题(共 66 分) 19．(6 分)解方程： (1)5 3x＋2 3＝x2; (2)2(x－3)2＝x2－9. 解：x1＝2，x2＝－1 3 解：x1＝3，x2＝920．(8 分)如图，在下列正方形网格图中，等腰三角形 ABC 与等腰三角形 A1B1C1 的顶 点均在格点上，且△ABC 与△A1B1C1 关于某点中心对称，已知 A，C1，C 三点的坐标分别是 (0，4)，(0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标； (2)画出△ABC 绕点 B 按顺时针旋转 90°后的△A2BC2，并写出点 A 的对应点 A2 的坐标． 解：(1)∵C1，C 是对称点，∴对称中心是(0，5 2) (2)如图所示，△A2BC2 即为所求；点 A2 的坐标为(－1，1) 21．(8 分)(南充中考)现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字－2，－1， 0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)随机的取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为负数的概率； (2)先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点 A 的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽 取一张卡片，其上的数字作为点 A 的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点 A 在直线 y ＝2x 上的概率． 解：(1)随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为负数的概率为2 4＝1 2 (2)画树状图如图所示：共有 16 个可能的结果，点 A 在直线 y＝2x 上的结果有 2 个，∴ 点 A 在直线 y＝2x 上的概率为 2 16＝1 8 22．(8 分)(盐城中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为5 2，AC＝6，求 BN 的长；(2)求证：NE 与⊙O 相切． 解：(1)连接 DN，ON.∵⊙O 的半径为5 2，∴CD＝5，∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上 的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝ AB2－AC2＝8，∵CD 为直径，∴∠CND ＝90°，且 BD＝CD，∴BN＝NC＝4 (2)证明：∵∠ACB＝90°，D 为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝1 2AB，∴∠BCD＝∠B，∵ OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线 23．(10 分)(丹东中考)某服装超市购进单价为 30 元的童装若干件，物价部门规定其销 售单价不低于每件 30 元，不高于每件 60 元．销售一段时间后发现：当销售单价为 60 元时， 平均每月销售量为 80 件，而当销售单价每降低 10 元时，平均每月能多售出 20 件．同时， 在销售过程中，每月还要支付其他费用 450 元．设销售单价为 x 元，平均月销售量为 y 件． (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． (2)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利 1 800 元？ (3)当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意得 y＝80＋20×60－x 10 ，∴函数关系式为 y＝－2x＋200 (30≤x≤60) (2)由题意得(x－30)(－2x＋200)－450＝1 800，解得 x 1＝55，x2＝75(不符合题意，舍去)， 答：当销售单价为 55 元时，销售这种童装每月可获利 1 800 元 (3)设每月获得的利润为 w 元，由题意得 w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2(x－65)2＋2 000，∵－2＜0，∴当 x≤65 时，w 随 x 的增大而增大，∵30≤x≤60，∴当 x＝60 时，w 最 大＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950. 答：当销售单价为 60 元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是 1 950 元 24．(12 分)【问题发现】如图①所示，四边形 ABCD 为正方形，BD 为其对角线，在 BC 边上取点 P，作 PQ∥BD，则此时 PC，QC 的数量关系为__相等__，△PCQ 的形状为__等 腰直角三角形__，说出你的理由； 【拓展延伸】如图②所示，将△PCQ 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为 α(0°