九年级数学上册第二十四章圆检测题（新人教版）

1 第二十四章检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．⊙O 的半径为 4 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝6 cm，则点 A 与⊙O 的位置关系为 C A．点 A 在圆上 B．点 A 在圆内 C．点 A 在圆外 D．无法确定 2．(黔西南州中考)如图，在⊙O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D，且 AB＝8，OC＝5， 则 CD 的长是 C A．3 B．2.5 C．2 D．1 3．(2018·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C 的度数为 D A．84° B．60° C．36° D．24° ,第 2 题图)     ,第 3 题图)     , 第 4 题图)     ,第 5 题图) 4．(2018·福建)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若∠ACB ＝50°，则∠BOD 等于 D A．40° B．50° C．60° D．80° 5．(兰州中考)如图，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则∠ACB＝B A．80° B．90° C．100° D．无法确定 6．(南京中考)已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为 B A．1 B. 3 C．2 D．2 3 7．如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心 为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B.下列说法错误的是 C A．圆形铁片的半径是 4 cm B．四边形 AOBC 为正方形 C．弧 AB 的长度为 4π cm D．扇形 OAB 的面积是 4π cm2 ,第 7 题图)    ,第 8 题图)    2 ,第 9 题图)    ,第 10 题图) 8．(2018·烟台)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC＝124°， 点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为 C A．56° B．62° C．68° D．78° 9．(2018·十堰)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝100°，OA＝12，C 是 OB 的中点，CD⊥OB 交AB︵ 于点 D，以 OC 为半径的CE︵ 交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是 C A．12π＋18 3 B．12π＋36 3 C．6π＋18 3 D．6π＋36 3 10．如图，⊙O 的半径为 2，AB，CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点(P 与 A，B，C，D 不重合)，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的路径长为 A A. π 4 B. π 2 C. π 6 D. π 3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2018·镇江)如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝ 40°. ,第 11 题图)    ,第 12 题图)    , 第 13 题图)    ,第 14 题图) 12．(2018·兰州)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 3，∠C＝55°，则劣弧AB︵ 的长是 11π 6 .(结果保留π) 13．(2018·广元)如图是一块环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量 得 AB＝8 cm，点 C 与AB︵ 的中点 D 的距离 CD＝2 cm.则此圆环形玉片的外圆半径为 5cm. 14．(2018·山西)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 是 AB 的中 点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线 FG，交 AB 于 点 G，则 FG 的长为 12 5 . 3 15．(2018·宁波)如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点， 连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 3. 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm，求直径 AB 的长． 解：∵AB⊥CD，∴PC＝PD，连接 OC，在 Rt△OCP 中，设 OC＝x cm，则有 OP2＋PC2＝ OC2，∴( 1 2x)2＋32＝x2，∵x＞0，∴x＝2 3，所以直径 AB 为 4 3 cm 17．(9 分)(2018·徐州)如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点 D，∠C＝90°. (1)CD 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若∠CDB＝60°，AB＝6，求AD︵ 的长． 解： (1)相切．理由如下：连接 OD，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝ OB，∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD 与⊙O 相切  4 (2)若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴AD︵ 的长＝ 60 × π × 3 180 ＝π 18．(9 分)已知圆锥的底面半径为 r＝20 cm，高 h＝20 15 cm，现在有一只蚂蚁从底边 上一点 A 出发，在侧面上爬行一周又回到 A 点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 解： (1)2000π cm2 (2)如图，设扇形的圆心角为 n°，圆锥的顶点为 E，∵r＝20 cm，h＝ 20 15cm，∴由勾股定理可得母线 l＝ r2＋h2＝80cm，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为 2×20π＝ nπ × 80 180 ，∴n＝90，即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得 AA′＝ A′E2＋AE2＝80 2 cm，∴蚂蚁爬行的最短距离为 80 2 cm 19．(9 分)(2018·天津)已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°. (Ⅰ)如图①，若 D 为AB︵ 的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小； (Ⅱ)如图②，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP∥AC，求∠OCD 的大 小． 解：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB－∠BAC＝90°－38°＝52°，∵D 为的AB︵ 中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ ABD＝45°  5 (Ⅱ)连接 OD，∵DP 切⊙O 于点 D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由 DP∥AC，又∠BAC＝38 °，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，∴∠ ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64 °－38°＝26° 20．(9 分)(2018·云南)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延 长线上，∠BCD＝∠BAC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 解：(1)连接 OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵ AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线  (2)设⊙O 的半径为 r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60 °，∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3，易求 S △AOC＝ 1 2×2 3×1＝ 3，S 扇形 OAC＝ 120π × 4 360 ＝ 4π 3 ，∴阴影部分面积为 4 3π－ 3 21．(10 分)(河南中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点． (1)若∠BAC＝30°，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P.求证：△PBC≌△AOC； (2)若 AB＝6，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D.当以点 A，O，C，D 为顶点的四边 形为菱形时，求BC︵ 的长． 解：(1)∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵OB ＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°，∵ 6 CP 是⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△PBC 和△AOC 中， {∠ACO＝∠PCB， OC＝BC， ∠AOC＝∠PBC， ∴△PBC≌△AOC(ASA)  (2)如图①，连接 OD，AD，CD，∵四边形 AOCD 是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，则 OA＝OD＝ OC，∴△AOD 与△COD 是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴BC︵ 的长＝ 60π × 3 180 ＝π；如图②，同理∠BOC＝120°，∴BC︵ 的长＝ 120π × 3 180 ＝2π，综上所述，BC︵ 的长为π或 2π 22．(10 分)(2018·长沙)如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE ∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC＝8，AD＝3. (1)求 CE 的长； (2)求证：△ABC 为等腰三角形； (3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离． 解：(1)∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE＝ 2AD＝6 (2)证明：∵BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∴△ABC 为等腰三角形  (3)如图，连接 BP，BQ，CQ，在Rt△ABD 中，AB＝ 32＋42＝5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在 Rt△PBD 中，(R－3)2＋42＝R2，解得 R＝ 25 6 ，∴PD＝PA－AD＝ 25 6 －3＝ 7 6，∵S △ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝S△ABC，∴ 1 2·r·5＋ 1 2·r·8＋ 1 2·r·5＝ 1 2·3·8，解得 r＝ 4 3，即 QD＝ 7 4 3，∴PQ＝PD＋QD＝ 7 6＋ 4 3＝ 5 2，△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 2 23．(11 分)(淮安中考)问题背景： 如图①，在四边形 ADBC 中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段 AC，BC，CD 之间 的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点 D，逆时针旋转 90°到△AED 处，点 B，C 分别落在点 A，E 处(如图②)，易证点 C，A，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三 角形，所以 CE＝ 2CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2CD. 简单应用： (1)在图①中，若 AC＝ 2，BC＝2 2，则 CD＝3； (2)如图③，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙上，AD︵ ＝BD︵ ，若 AB＝13，BC＝12，求 CD 的 长； 拓展规律： (3)如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若 AC＝m，BC＝n(m＜n)，求 CD 的长．(用 含 m，n 的代数式表示) 解：(1)由题意知：AC＋BC＝ 2CD，∴ 2＋2 2＝ 2CD，∴CD＝3 (2)连接 AC，BD，AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD︵ ＝BD︵ ，∴AD＝ BD，将△BCD 绕点 D 顺时针旋转 90°到△AED 处，如图①，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＋∠DAC ＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C 三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定 理可求得 AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB ＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC 是等腰直角三角形，∴CE＝ 2CD，∴ CD＝ 17 2 2   (3)以 AB 为直径作⊙O，连接 OD 并延长交⊙O 于点 D1，连接 D1A，D1B，D1C，如图②， 由(2)的证明过程可知：AC＋BC＝ 2D1C，∴D1C＝ 2（m＋n） 2 ，又∵D1D 是⊙O 的直径，∴∠ DCD1＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2＝AB2＝m2＋n2，∵ D1C2＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－ （m＋n）2 2 ＝ （m－n）2 2 ，∵m＜n，∴CD＝ 2（n－m） 2 8