九年级数学上册第3章图形的相似检测题（湘教版）

第 3 章 单元检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分)                                  一、选择题(本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分) 1．已知 3x＝7y(y≠0)，则下列比例式成立的是( B ) A．x 3＝y 7 B．x 7＝y 3 C．x y＝3 7 D．x 3＝7 y 2．(2019·兰州)已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A′B′＝6，则 BC B′C′＝( B ) A．2 B．4 3 C．3 D．16 9 3．观察下列每组图形，相似图形是( C ) 4．要制作两个形状相同的三角形框架，已知其中一个三角形的三边长分别为 3 cm，4 cm， 6 cm，另一个三角形的最短边长为 4 cm，则它的最长边长为( B ) A．9 2cm B．8 cm C．16 3 cm D．12 cm 5．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为 2∶3，已知 AB＝3，则 DE 的长为 ( B ) A．7 2 B．9 2 C．8 3 D．16 3 第5题图    第7题图    第8题图    第9题图 6．点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＜CB)，若 AC＝2，则 CB＝( A ) A． 5＋1 B． 5＋3 C． 5－1 2 D．3－ 5 2 7．我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深， 立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1 尺＝10 寸)，问井深几何？其意思如图所示， 则井深 BD 的长为( C ) A．12 尺 B．56 尺 5 寸 C．57 尺 5 寸 D．62 尺 5 寸 8．(2019·哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于点 N，则下列式子一定正确的是( D ) A．AM BM＝NE DE B．AM AB＝AN AD C．BC ME＝BE BD D．BD BE＝BC EM 9．下列 4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点上，则 与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( C ) 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，F 为 AB 上一点，AF＝2，点 E 从点 A 出 发，沿 AC 方向以 2 cm/s 的速度匀速运动，同时点 D 由点 B 出发，沿 BA 方向以 1 cm/s 的 速度运动，设运动时间为 t(s)(0＜t＜5)，连接 DE 交 CF 于点 G，若 CG＝2FG，则 t 的值为 ( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 第10题图    第11题图    第12题图 11．(2019·苏州)如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD＝AB＝2，AD⊥ AB.过点 D 作 DE⊥AD，DE 交 AC 于点 E.若 DE＝1，则△ABC 的面积为( B ) A．4 2 B．4 C．2 5 D．8 12．(2019·眉山)如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°， 点 E 在 CB 的延长线上，点 F 在 DC 的延长线上，有下列结论：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF； ③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，则点 F 到 BC 的距离为 2 3－2.则其中正确结论的 个数是( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 13．如果四条线段 m，n，x，y 成比例，若 m＝2，n＝8，y＝4.则线段 x 的长是 __1__． 14．如图所示，它们是两个相似的平行四边形，根据条件可知，∠α＝__125°__，m＝ __12__． 第14题图   第15题图   第17题图 15．如图，∠1＝∠2，若△ABC∽△ADE，可添加的一个条件是__∠D＝∠B 或∠C＝ ∠AED 或AB AD＝AC AE__．(填写一个条件即可) 16．在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(8，0)，B(8，6)， D(0，6)，已知矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC 位似，位似中心为坐标原点 O，位似比为1 2，则 点 B1 的坐标是__(4，3)或(－4，－3)__. 17．如图，在△ABC 中，AC＝8，AB＝6，点 D 与点 A 在直线 BC 同侧，且∠ACD＝∠ABC， CD＝3，E 是线段 BC 延长线上的动点，当△DCE 与△ABC 相似时，则线段 CE 的长为__9 4 或 4__． 18．如图，在矩形 ABCD 内放入四个小正方形和两个小矩形后成中心对称图形，其中 顶点 E，F 分别在边 AD，BC 上，小矩形的长与宽的比值为 4，则AD AB的值为__9 4__． 三、解答题(本大题共 8 个小题，第 19，20 题每题 6 分，第 21，22 题每题 8 分，第 23，24 题每题 9 分，第 25，26 题每题 10 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程或验算步骤) 19．若a 2＝b 3，求3a－2b a＋b 的值． 解：∵a 2＝b 3，∴3a＝2b，∴3a－2b＝0，∴原式＝0 20．已知 P 为线段 AB 上一点，且 AB 被点 P 分为 AP∶PB＝2∶3；AB＝100 cm.求 AB∶BP 和 PB 的长． 解：设 AP＝2x，则 PB＝3x，AB＝5x，∴AB PB＝5x 3x＝5 3；当 AB＝100 时，100 PB＝5 3，∴PB ＝60 cm 21．如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，求∠AED 的度数． 解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∵△ ABD∽△ACE，∴AB AC＝AD AE，∠BAD＝∠CAE，∴AB AD＝AC AE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋ ∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED＝∠ACB，∴∠AED＝70° 22．如图，是一个照相机成像的示意图，像高 MN，景物高度 AB，CD 为水平视线， 根据物体成像原理知：AB∥MN，CD⊥MN. (1)如果像高 MN 是 35 mm，焦距 CL 是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，拍摄点 离景物的距离 LD 是多少？ (2)如果要完整的拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不变，则相机的焦 距应调整为多少毫米？ 解：∵AB∥MN，∴△LMN∽△LBA，∴MN AB＝LC LD. (1)∵像高 MN 是 35 mm，焦距是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，∴ 35 4.9＝ 50 LD， 解得 LD＝7，∴拍摄点距离景物 7 米 (2)拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不变，∴35 2 ＝LC 4 ，解得 LC＝ 70，∴相机的焦距应调整为 70 mm 23．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，DC 交 BE 于点 F，且 AD＝1 3 AB，AE＝1 2EC，求证： (1)△DEF∽△CBF； (2)DF·BF＝EF·CF. 证明：(1)因为 AE＝1 2EC，所以AE AC＝1 3，又 AD＝1 3AB，所以AD AB＝1 3，则AE AC＝AD AB，又∠A ＝∠A，所以△ADE∽△ABC，所以∠ADE＝∠ABC，DE∥BC，所以△DEF∽△CBF (2)由△DEF∽△CBF 知DF CF＝EF BF，所以 DF·BF＝EF·CF 24．(2019·福建)已知△ABC 和点 A′，如图． (1)以点 A′为一个顶点作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的面积等于△ABC 面积的 4 倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)设 D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，AC 的中点，D′，E′，F′分别是你所 作的△A′B′C′三边 A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′. 解：(1)如图 1，作线段 A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，则△A′B′C′即可所 求．证明：∵A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴ S △ A′B′C′ S △ ABC ＝(A′B′ AB )2＝4 (2)证明：∵D，E，F 分别是△ABC 三边 AB，BC，AC 的中点，∴ DE＝1 2AC，DF＝1 2BC，EF＝1 2AB，∴△DEF∽△CAB，同理：△D′E′F′∽△C′A′B ′，由(1)可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′   25．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 的顶点 O 是坐标原点，点 B 在 x 轴的负半轴 上，且 CB⊥x 轴，点 A 的坐标为(0，6)，在 OB 边上有一点 P，满足 AP＝3 5. (1)求 P 点的坐标； (2)如果△AOP 与△APC 相似，且∠PAC＝90°，求点 C 的坐标． 解：(1)∵点 A 的坐标为(0，6)，∴OA＝6，∵∠AOP＝90°，AP＝35，∴OP＝ AP2－OA2 ＝ （3 5）2－62＝3，∴P 点的坐标为(－3，0) (2)∵∠AOP＝∠PAC＝90°，△AOP 与△APC 相似，∴AC OP＝PA OA或AC OA＝AP OP，∴AC 3 ＝3 5 6 或AC 6 ＝3 5 3 ，∴AC＝3 5 2 或 AC＝6 5，过 C 作 CD⊥y 轴于 D，∵∠CDA＝∠PAC＝∠AOP ＝90°，∴∠DCA＋∠CAD＝∠CAD＋∠PAO＝90°，∴∠DCA＝∠PAO，∴△ADC∽△ POA，∴CD OA＝AD OP＝AC AP，∴CD 6 ＝AD 3 ＝1 2或CD 6 ＝AD 3 ＝2，解得：CD＝3，AD＝1.5 或 CD＝ 12，AD＝6，∴OD＝7.5 或 OD＝12，∴点 C 的坐标为(3，7.5)或(12，12) 26．在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 为高，BC＝nAC. (1)如图 1，当 n＝3 2时，则AD BD的值为__4 9__；(直接写出结果) (2)如图 2，点 P 是 BC 的中点，过点 P 作 PF⊥AP 交 AB 于 F，求PE PF的值；(用含 n 的代 数式表示) (3)在(2)的条件下，若 PF＝BF，求 n 的值． 解：(1)4 9 (2)如图 2，过点 P 作 PG∥AC 交 AB 于点 G.∴∠PGF＝∠CAD，∠GPC＝90°，∵CD⊥ AB，∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠PCE＝90°，∴∠PCE＝ ∠CAD，∴∠PCE＝∠PGF，又∵PF⊥AP，∴∠CPE＋∠APG＝∠FPG＋∠APG＝90°，∴∠ CPE＝∠GPF，∴△PCE∽△PGF，∴PE PF＝PC PG，又∵点 P 是 BC 的中点，∴AC＝2PG，∴PE PF ＝ 1 2BC 1 2AC ＝n (3)由(2)可知PE PF＝n，则可以假设 PF＝x，PE＝nx，∵∠GPB＝90°，PF＝BF，则 PF＝ BF＝GF＝x，则 AG＝2x，∵△PCE∽△PGF，∴GF CE＝PF PE＝1 n，则 CE＝nGF＝nx，又∵∠ACB ＝90°，则 AE＝PE＝nx，在 Rt△APF 中，AP2＋PF2＝AF2，则 x2＋(2nx)2＝(3x)2，∴n＝ 2