九年级数学上册第4章锐角三角函数检测题（湘教版）

第 4 章 单元检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分)                                  一、选择题(本题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分) 1．计算：sin60°·tan30°＝( B ) A．1 B．1 2 C． 3 2 D．2 2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 AC＝4，BC＝3，那么∠A 的正切值为( A ) A．3 4 B．4 3 C．3 5 D．4 5 3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝2 3，那么 AB 的长是( B ) A．5 B．6 C．8 D．9 4．如图，为测量河两岸相对两电线杆 A，B 间的距离，在距 A 点 16 m 的 C 处 (AC⊥AB)，测得∠ACB＝52°，则 A，B 之间的距离应为( C ) A．16sin52° m B．16cos52° m C．16tan52° m D． 16 tan52° m 第4题图  第5题图  第6题图  第7题图 5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，cos A＝4 5，则 sin B＝( A ) A．4 5 B．5 4 C．5 3 D．3 5 6．如图所示，△ABC 在正方形网格中的位置如图示(A，B，C 均在格点上)，AD⊥BC 于点 D.下列四个选项中正确的是( C ) A．sin α＝cos α B．sin α＝tan α C．sin β＝cos β D．sin β＝tan β 7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在 10 m 高的天桥一侧修建了 40 m 长的斜道(如 图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A ) A．2ndFsin0·25＝ B．sin2ndF0·25＝ C．sin0·25＝ D．2ndFcos0·25＝ 8．若锐角三角函数 tan55°＝a，则 a 的范围是( B ) A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．2＜a＜3 D．3＜a＜4 9．如果 sin2α＋cos230°＝1，那么锐角 α 的度数是(A ) A．30° B．45° C．60° D．90° 10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边(OC⊥OB，点 A，B，C，D，O 在同一平面内)，已知 AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点 A 到 OC 的距离等于( D ) A．a sin x＋b sin x B．a cos x＋b cos x C．a sin x＋b cos x D．a cos x＋b sin x 第10题图    第11题图    第12题图 11．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，CD 是 AB 边上的中线，作 CD 的 垂直平分线与 CD 交于点 E，与 BC 交于点 F.若 CF＝x，tan A＝y，则 x 与 y 之间满足( A ) A． 4 y2＋4＝x2 B． 4 y2－4＝x2 C． 8 y2－8＝x2 D． 8 y2＋8＝x2 12．(2019·长沙)如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC 于点 E，D 是线 段 BE 上的一个动点，则 CD＋ 5 5 BD 的最小值是( B ) A．2 5 B．4 5 C．5 3 D．10 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 13．计算：4cos60°＝__2__． 14．(2019·怀化)已知∠α 为锐角，且 sin α＝1 2，则∠α＝__30°__． 15．如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都 在格点上，则∠BAC 的余弦值是__2 5 5 __． 第15题图    第16题图    第17题图    第18题图 16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地面的高度 BC 为 30 m，斜坡 AB 的坡度为 1∶2，则此斜坡 AB 长为__30 5_m__． 17．如图，△ABC 中，cos B＝ 2 2 ，sin C＝3 5，BC＝7，则△ABC 的面积是__21 2 __． 18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 E.若∠BDA＝90°，E 是 AD 中 点，DE＝2，AB＝5，则 AC 的长为__5 3__． 三、解答题(本大题共 8 个小题，第 19，20 题每题 6 分，第 21，22 题每题 8 分，第 23，24 题每题 9 分，第 25，26 题每题 10 分，共 66 分．解答应写出必要的文字说明、证明 过程或验算步骤) 19．计算：2cos60°＋4sin60°·tan30°－6cos245°. 解：原式＝2×1 2＋4× 3 2 × 3 3 －6×( 2 2 )2＝1＋2－3＝0 20．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝ 5，b＝ 15，解这个直角三角形． 解：在 Rt△ABC 中，∵a2＋b2＝c2，a＝ 5，b＝ 15，∴c＝ （ 5）2＋（ 15）2＝2 5，∵ tan A＝a b＝ 5 15 ＝ 3 3 ，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60° 21．在一个 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 2 2 ，也是一个固定值， 这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是 否也是一个固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a， 那么BC AB与B′C′ A′B′有什么关系，你能解释一下吗？ 解：BC AB＝B′C′ A′B′，理由：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝a，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′ C′，∴BC AB＝B′C′ A′B′ 22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完 成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 B 处时，测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上，航行 20 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，小岛 A 周围 10 海 里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点 A 作 AD⊥BC， 垂足为 D，根据题意可知∠ABC＝30°，∠ACD＝60°，∵∠ACD＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ BAC＝30°＝∠ABC，∴CB＝CA＝20，在 Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠ACD＝60°， sin ∠ACD＝AD AC，∴sin60°＝AD 20 ，∴AD＝20×sin60°＝20× 3 2 ＝10 3＞10，∴航母不改 变航线继续向东航行，没有触礁的危险 23．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝ 5. (1)求 sin A 的值． (2)你能通过 sin A 的值求 sin ∠CBD 的值吗？若能，请求出 sin ∠CBD 的值，若不能， 请说明理由． 解：(1)在 Rt△ABC 中，sin A＝BC AC＝ 1 5 ＝ 5 5 (2)能．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠CBD＋∠C＝90°，∠A＋∠C＝90°，∴∠ A＝∠CBD，∴sin ∠CBD＝sin A＝ 5 5 24．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1∶1，文化墙 PM 在天桥底部正前方 8 米处(PB 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部 门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1∶ 3.(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732) (1)若新坡面坡角为 α，求坡角 α 度数； (2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于 3 米时应拆除，天桥改造后，该文化墙 PM 是否需要拆除？请说明理由． 解：(1)∵新坡面坡角为 α，新坡面的坡度为 1∶ 3，∴tan α＝ 1 3 ＝ 3 3 ，∴α＝30° (2) 该文化墙 PM 不需要拆除，理由：作 CD⊥AB 于点 D，则 CD＝6 米，∵新坡面的坡度为 1∶ 3，∴tan ∠CAD＝CD AD＝ 6 AD＝ 1 3 ，解得 AD＝6 3米，∵坡面 BC 的坡度为 1∶1，CD＝6 米，∴BD＝6 米，∴AB＝AD－BD＝(6 3－6)米，又∵PB＝8 米，∴PA＝PB－AB＝8－(6 3 －6)＝14－6 3≈14－6×1.732＝3.6 米＞3 米，∴该文化墙 PM 不需要拆除 25．在△ABC 中，∠ABC＝90°，tan ∠BAC＝1 2. (1)如图 1，分别过 A，C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M，N，若点 B 恰 好是线段 MN 的中点，求 tan ∠BAM 的值； (2)如图 2，P 是边 BC 延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求 tan ∠PAC 的值． 解：(1)∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠MAB＋∠ABM＝90°，∵∠ ABC＝90°，∴∠NBC＋∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB∽△BNC，∴BN AM ＝BC AB＝tan ∠BAC＝1 2.∵点 B 是线段 MN 的中点，∴BM＝BN，∴在 Rt△AMB 中，tan ∠ BAM＝BM AM＝1 2 (2)如图 2，过点 C 作 CD⊥AC 交 AP 于点 D，过点 D 作 DE⊥BP 于点 E.∵tan ∠BAC＝ 1 2，∠APB＝∠BAC，∴tan ∠BAC＝BC AB＝1 2，tan ∠APB＝AB BP＝1 2.设 BC＝x，则 AB＝2x， BP＝4x，则 CP＝BP－BC＝4x－x＝3x.同理(1)中，可得∠BAC＝∠ECD，∴∠APB＝ ∠ECD.∵DE⊥BP，∴CE＝EP＝1 2CP＝3 2x.同理(1)中，可得△ABC∽△CED，∴CD AC＝CE AB＝ 3 2x 2x＝ 3 4，∴在 Rt△ACD 中，tan ∠PAC＝CD AC＝3 4 26．(2019·江西)图 1 是一台实物投影仪，图 2 是它的示意图，折线 B－A－O 表示固定 支架，AO 垂直水平桌面 OE 于点 O，点 B 为旋转点，BC 可转动，当 BC 绕点 B 顺时针旋 转时，投影探头 CD 始终垂直于水平桌面 OE，经测量：AO＝6.8 cm，CD＝8 cm，AB＝30 cm，BC＝35 cm.(结果精确到 0.1) (1)如图 2，∠ABC＝70°，BC∥OE. ①填空：∠BAO＝________°； ②求投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离； (2)如图 3，将(1)中的 BC 向下旋转，当投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为 6 cm 时， 求∠ABC 的大小．(参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈ 0.60) 解：(1)①过点 A 作 AG∥BC，如图 1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥ OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°＋70°＝160°，故答案为：160 ②过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，如图 2，则 AF＝AB·sin ∠ABF＝30sin70°≈28.2(cm)，∴ 投影探头的端点 D 到桌面 OE 的距离为：AF＋OA－CD＝28.2＋6.8－8＝27(cm) (2)过点 D 作 DH⊥OE 于点 H，过点 B 作 BM⊥CD，与 DC 延长线相交于点 M，过 A 作 AF⊥BM 于点 F，如图 3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2 cm，DH＝6 cm，BC＝35 cm，CD ＝8 cm，∴CM＝AF＋AO－DH－CD＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm)，∴sin ∠MBC＝CM BC＝21 35＝ 0.6，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM－∠MBC＝33.2°