1
第 21 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2019·盐城)若 x－2有意义，则 x 的取值范围是( A )
A．x≥2 B．x≥－2 C．x＞2 D．x＞－2
2．(2019·河南)下列计算正确的是( D )
A．2a＋3a＝6a B．(－3a)2＝6a2 C．(x－y)2＝x2－y2 D．3 2－ 2＝2 2
3．设实数 a，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 a2＋|a＋b|的结果是( D )
A.－2a＋b B．2a＋b C．－b D．b
4．(聊城中考)计算(5
1
5－2 45)÷(－ 5)的结果为( A )
A．5 B．－5 C．7 D．－7
5．在根式① a2＋b2；②
x
5；③ x2－xy；④ 27abc中，最简二次根式是( C )
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
6．已知 n 是一个正整数， 180n是整数，则 n 的最小值是( B )
A．3 B．5 C．15 D．25
7．当 1＜a＜2 时，代数式 （a－2）2＋|1－a|的值是( B )
A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a
8．已知实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周
长是( B )
A.20 或 16 B．20 C．16 D．以上选项都不正确
9．若 （x－4）（5－x）＝ x－4· 5－x，则 x 可取的整数值有( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：
2＋ 3
2－ 3＝
（2＋ 3）（2＋ 3）
（2－ 3）（2＋ 3）＝7＋4 3，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简
一些有特点的无理数，如：对于 3＋ 5－ 3－ 5，设 x＝ 3＋ 5－ 3－ 5，易知
3＋ 5> 3－ 5， 故 x ＞ 0 ， 由 x2 ＝ ( 3＋ 5－ 3－ 5)2 ＝ 3 ＋ 5＋ 3 － 5－ 2
（3＋ 5）（3－ 5）＝2，解得 x＝ 2，即 3＋ 5－ 3－ 5＝ 2，根据以上方法，
化简
3－ 2
3＋ 2＋ 6－3 3－ 6＋3 3后的结果为( D )
A．5＋3 6 B．5＋ 6 C．5－ 6 D．5－3 6
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·黄冈)计算( 3)2＋1 的结果是__4__．
12．(2019·菏泽)已知 x＝ 6＋ 2，那么 x2－2 2x 的值是__4__．
13．我们赋予“※”一个实际含义，规定 a※b＝ a· b＋
a
b，计算 3※5＝__
6
5 15
__．
14．(2019·枣庄)观察下列各式：2
1＋
1
12＋
1
22＝1＋
1
1 × 2＝1＋(1－
1
2)，
1＋
1
22＋
1
32＝1＋
1
2 × 3＝1＋(
1
2－
1
3)，
1＋
1
32＋
1
42＝1＋
1
3 × 4＝1＋(
1
3－
1
4)，
……
请利用你发现的规律，计算：
1＋
1
12＋
1
22＋ 1＋
1
22＋
1
32＋ 1＋
1
32＋
1
42＋ … ＋ 1＋
1
20182＋
1
20192其 结 果 为 __2018
2018
2019__．
15．(莱芜中考)如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个
顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 3和 2，则图中阴影部分的面积
是__2__．
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)计算：
(1) 2( 2＋
1
2)－
18－ 8
2 ； (2) (大连中考)( 3＋2)2－ 48＋2－2.
解：2 解：
29
4
17 ． (9 分 ) 若 a ， b ， c 是 △ABC 的 三 边 ， 化 简 ： （a－b－c）2－ |b － c － a| ＋
（c－a－b）2.
解：－a＋3b－c
18．(9 分)已知 a＝2 3－b＋ 3b－9＋2，求
ab－1
a＋b ÷ a· b的值．
解：∵{3－b ≥ 0，
3b－9 ≥ 0，∴b＝3，∴a＝2，∴ab＝6，a＋b＝5，∴原式＝
5
5÷ 2× 3＝
1
2 63
19．(9 分)(2019·襄阳)先化简，再求值：(
x
x－1－1)÷
x2＋2x＋1
x2－1 ，其中 x＝ 2－1.
解：原式＝(
x
x－1－
x－1
x－1)÷
x2＋2x＋1
x2－1 ＝
1
x－1×
（x＋1）（x－1）
（x＋1）2 ＝
1
x＋1，当 x＝ 2－
1 时，原式＝
1
2－1＋1＝
2
2
20．(9 分)已知矩形的长 a＝
1
2 32，宽 b＝
1
3 18.
(1)求矩形的周长；
(2)求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系．
解：(1)矩形周长＝2(a＋b)＝6 2
(2)设正方形边长为 x，由 x2＝
1
2 32×
1
3 18，得 x＝2，∴正方形的周长＝8＜6 2，∴
正方形的周长小于矩形的周长
21．(10 分)已知 a＝ 2－1，b＝ 2＋1.
求：(1)a2b＋ab2 的值；(2)
b
a＋
a
b的值．
解：∵ab＝1，a＋b＝2 2，∴(1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2 2 (2)
b
a＋
a
b＝
（a＋b）2
ab －2
＝(2 2)2－2＝6
22．(10 分)已知 9＋ 11与 9－ 11的小数部分分别为 a，b，求 ab－3a＋4b－7 的
值．
解：∵3＜ 11＜4，∴9＋ 11的小数部分为 11－3，即 a＝ 11－3，9－ 11的小数4
部分为 4－ 11，即 b＝4－ 11，∴ab－3a＋4b－7＝( 11－3)(4－ 11)－3( 11－3)＋
4(4－ 11)－7＝－5
23．(11 分)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如
3
5，
2
3，
2
3＋1一样的式子，
其实我们还可以将其进一步化简：
3
5＝
3 × 5
5 × 5＝
3
5 5；(一)
2
3＝
2 × 3
3 × 3＝
6
3 ；(二)
2
3＋1＝
2 × （ 3－1）
（ 3＋1）（ 3－1）＝
2（ 3－1）
（ 3）2－12＝ 3－1；(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2
3＋1还可以用以下方法化简：
2
3＋1＝
3－1
3＋1＝
（ 3）2－12
3＋1 ＝
（ 3＋1）（ 3－1）
3＋1 ＝ 3－1.(四)
请用不同的方法化简
2
5＋ 3.
(1)①参照(三)式得
2
5＋ 3＝__________；
②参照(四)式得
2
5＋ 3＝__________；
(2)化简：
1
3＋1＋
1
5＋ 3＋
1
7＋ 5＋…＋
1
2n＋1＋ 2n－1.
解：(1)①
2（ 5－ 3）
（ 5＋ 3）（ 5－ 3）＝
2（ 5－ 3）
（ 5）2－（ 3）2＝ 5－ 3 ②
5－3
5＋ 3
＝
（ 5）2－（ 3）2
5＋ 3 ＝
（ 5＋ 3）（ 5－ 3）
5＋ 3 ＝ 5－ 3 (2) 原 式 ＝
3－1
2 ＋
5－ 3
2 ＋…＋
2n＋1－ 2n－1
2 ＝
3－1＋ 5－ 3＋…＋ 2n＋1－ 2n－1
2 ＝
－1＋ 2n＋1
25
第 22 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．若(n－2)xn2－2＋x－1＝0 是一元二次方程，则 n 的值为( C )
A．2 或－2 B．2 C．－2 D．0
2．(2019·怀化)一元二次方程 x2＋2x＋1＝0 的解是( C )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1
C．x1＝x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝2
3．(2019·湘西州)一元二次方程 x2－2x＋3＝0 根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 时，下列变形正确的是( D )
A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5
C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3
5．(2019·自贡)关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 无实数根，则实数 m 的取值范围6
是( D )
A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
6．(2019·通辽)一个菱形的边长是方程 x2－8x＋15＝0 的一个根，其中一条对角线长
为 8，则该菱形的面积为( B )
A．48 B．24 C．24 或 40 D．48 或 80
7．(2019·广东)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实数根，下列结论错误
的是( D )
A．x1≠x2 B．x12－2x1＝0
C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2
8．(2019·广西)扬帆中学有一块长 30 m，宽 20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划出
四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 x m，
则可列方程为( D )
A.(30－x)(20－x)＝
3
4×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝
1
4×20×30
C．30x＋2×20x＝
1
4×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝
3
4×20×30
9．某商店购进一种商品，单价为 30 元．试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每
件的销售价 x(元)满足关系：P＝100－2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元
的利润，根据题意，下面所列方程正确的是( A )
A．(x－30)(100－2x)＝200 B．x(100－2x)＝200
C．(30－x)(100－2x)＝200 D．(x－30)(2x－100)＝200
10．如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根，且其中一个根为另一个
根的三倍，则称这样的方程为“3 倍根方程”，以下说法不正确的是( B )
A．方程 x2－4x＋3＝0 是 3 倍根方程
B．若关于 x 的方程(x－3)(mx＋n)＝0 是 3 倍根方程，则 m＋n＝0
C．若 m＋n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程(x－3)(mx＋n)＝0 是 3 倍根方程
D．若 3m＋n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程 x2＋(m－n)x－mn＝0 是 3 倍根方程
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·资阳)a 是方程 2x2＝x＋4 的一个根，则代数式 4a2－2a 的值是__8__．
12．(2019·西藏)一元二次方程 x2－x－1＝0 的根是__x1＝
1＋ 5
2 ，x2＝
1－ 5
2 __．
13．(2019·吉林)若关于 x 的一元二次方程(x＋3) 2＝c 有实数根，则 c 的值可以为
__5(答案不唯一，只要 c≥0 即可)__(写出一个即可).
14．(2019·宜宾)某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价为 65 元，经市场预测，7
从现在开始的第一季度销售价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%.若要使半年以后的销售
利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为 x ，根据题意可列方程是__65×(1 －
10%)×(1＋5%)－50(1－x)2＝65－50__．
15．(2019·宁夏)你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法
呢！以方程 x2＋5x－14＝0 即 x(x＋5)＝14 为例加以说明．数学家赵爽(公元 3～4 世纪)在
其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x＋
x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，据此易得 x
＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上)中，能够
说明方程 x2－4x－12＝0 的正确构图是__②__．(只填序号)
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)解下列方程：
(1)(徐州中考)2x2－x－1＝0; (2)(x－2)2＝(2x＋5)2.
解：x1＝－
1
2，x2＝1 解：x1＝－1，x2＝－7
17．(9 分)(2019·呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16 的实数根．
解：原方程化为一般形式为 2x2－9x－34＝0，x2－
9
2x＝17，x2－
9
2x＋
81
16＝17＋
81
16，(x－
9
4)2＝
353
16 ，x－
9
4＝±
353
4 ，所以 x1＝
9＋ 353
4 ，x2＝
9－ 353
4
18．(9 分)(2019·大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为
24200 元．
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率；
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元？
解：(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据题意得 20000(1＋
x)2＝24200，解得 x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，答：2016 年到 2018 年该村
人均收入的年平均增长率为 10% (2)24200×(1＋10%)＝26620(元)，答：预测 2019 年村该
村的人均收入是 26620 元
19．(9 分)(2019·衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋k＝0 有实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0 与方程 x2－
3x＋k＝0 有一个相同的根，求此时 m 的值．8
解：(1)根据题意得 Δ＝(－3)2－4k≥0，解得 k≤
9
4 (2)k 的最大整数为 2，方程 x2－3x
＋k＝0 变形为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0
与方程 x2－3x＋k＝0 有一个相同的根，∴当 x＝1 时，m－1＋1＋m－3＝0，解得 m＝
3
2；当 x
＝2 时，4(m－1)＋2＋m－3＝0，解得 m＝1，而 m－1≠0，∴m 的值为
3
2
20．(9 分)(2019·南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50m，宽
40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建
后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元．如果计划总费用 642000
元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为 3x m，宽为 2x m，依题意得 3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)
＝642000，解得 x1＝30，x2＝－30(舍去).所以 3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为 90
m，宽为 60 m
21．(10 分)(2019·鄂州)已知关于 x 的方程 x2－2x＋2k－1＝0 有实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)设方程的两根分别是 x1，x2，且
x2
x1＋
x1
x2＝x1·x2，试求 k 的值．
解 ： (1)∵ 原 方 程 有 实 数 根 ， ∴ b2 － 4ac≥0 ， ∴ ( － 2)2 － 4(2k － 1)≥0 ， ∴ k ≤ 1
(2)∵x1，x2 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝2，x1 ·x2 ＝2k
－1，又∵
x2
x1＋
x1
x2＝x1·x2，∴
x12＋x22
x1·x2 ＝x1·x2，∴(x1＋x2)2－2x1 x2 ＝(x1 ·x2)2，∴22－2(2k
－1)＝(2k－1)2 ，解得 k1＝
5
2 ，k2＝－
5
2 .∵k≤1，∴k＝－
5
29
22．(10 分)某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，
售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定
降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价
格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元，设第
二个月单价降低 x 元．
(1)填表(不需化简)：
时 间 第一个月 第二个月 清仓时
单 价(元) 80 40
销售量(件) 200
(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？
解：(1)第二个月上面从下到下依次填：80－x；200＋10x；清仓时的下面填：800－200
－(200＋10x) (2)依题意得 80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]
－50×800＝9000，解得 x1＝x2＝10，当 x＝10 时，80－x＝70＞50，即第二个月的单价应是
70 元
23．(11 分)(2019·重庆)某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方
米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍．物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，
该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．
(1)该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？
(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼
物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，
6 月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与
测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6 月份
参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 2a%，每户
物管费将会减少
3
10a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户
数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少
1
4a%.这样，参加活动的这部分住户 6 月份总共
缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少
5
18a%，求 a 的值．
(1)解：设该小区有 x 套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x 套，由题意得：2(50×2x
＋80x)＝90000，解得 x＝250，答：该小区共有 250 套 80 平方米的住宅
(2)参与活动一：50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元，有 500×40%＝200(户)参与
活动一，80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元，有 250×20%＝50(户)参与活动一；参与
活动二：50 平方米住宅每户所交物管费为 100(1－
3
10a%)元，有 200(1＋2a%)户参与活动二；
80 平方米住宅每户所交物管费为 160(1－
1
4a%)元，有 50(1＋6a%)户参与活动二．由题意得10
100(1－
3
10a%)·200(1＋2a%)＋160(1－
1
4a%)·50(1＋6a%)＝[200(1＋2a%)×100＋50(1＋
6a%)×160](1－
5
18a%)，令 t＝a%，化简得 t(2t－1)＝0，∴t1＝0(舍去)，t2＝
1
2，∴a＝50，
答：a 的值为 50
第 23 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2019·黄冈)已知点 A 的坐标为(2，1)，将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A
′的坐标是( D )
A．(6，1) B．(－2，1) C．(2，5) D．(2，－3)
2．(2019·西藏)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC
的面积之比是( A )
A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶1
第2题图
第5题图
第6题图
第7题图
3．已知 x∶y＝3∶2，则下列各式中不正确的是( D )
A．
x＋y
y ＝
5
2 B．
x－y
y ＝
1
2 C．
x
x＋y＝
3
5 D．
x
y－x＝
3
1
4．(重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，
6 cm 和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为( C )11
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
5．(2019·赤峰)如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝
2，AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(2019·盘锦)如图，点 P(8，6)在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一
象限内将△ABC 缩小到原来的
1
2，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐标
为( A )
A．(4，3) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，4)
7．(绍兴中考)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，
已知 AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆 C 端应下
降的垂直距离 CD 为( C )
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
8．(2019·海南)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点 P 是边 AC 上一动
点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为
( B )
A．
8
13 B．
15
13 C．
25
13 D．
32
13
第8题图
第9题图
第10题图
9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝
∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C )
A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5
10．(2019·鸡西)如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点 A 作边 BC
的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E，点 F 是垂足，连接 BE，DF，DF 交 AC 于点 O.则下列结论：
①四边形 ABEC 是正方形；②CO∶BE＝1∶3；③DE＝ 2BC；④S 四边形 OCEF＝S△AOD，正确的个
数是( D )
A.1 B．2 C．3 D．4
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·淮安)如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和
点 D，E，F.若 AB＝3，DE＝2，BC＝6，则 EF＝__4__．
第11题图
第13题图
第14题图
第15题图
12．(2019·抚顺)如果把两条直角边长分别为 5，10 的直角三角形按相似比
3
5进行缩小，
得到的直角三角形的面积是__9__．
13．(2019·百色)如图，△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，
若点 A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__18__．
14．(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，
股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股
(长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答
案是__
60
17__步．
15．(2019·宜宾)如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 A，C，E 在同一直线上，12
AD 与 BE，BC 分别交于点 F，M，BE 与 CD 交于点 N.下列结论正确的是__①③④__(写出所有
正确结论的序号).
①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC＋∠FNC＝180°；④
1
MN＝
1
AC＋
1
CE.
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)(原创题)已知线段 a，b，c 满足
a
3＝
b
2＝
c
6，且 a＋2b＋c＝26.
(1)判断 a，2b，c，b2 是否成比例；
(2)若实数 x 为 a，b 的比例中项，求 x 的值．
解：(1)成比例 (2)x＝±2 6
17．(9 分)如图，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 EC 上一点，且∠EAF＝∠C.
求证：AF2＝FE·FB.
解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B.又∵∠EAF＝∠C，∴∠EAF＝∠B.又∵∠AFE＝∠BFA，∴△
AFE∽△BFA，∴
AF
EF＝
FB
AF，∴AF2＝FE·FB
18．(9 分)(安徽中考)如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格
中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点．
(1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段
A1B1(点 A，B 的对应点分别为 A1，B1)，画出线段 A1B1；
(2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1，画出线段 A2B1；
(3)以 A，A1，B1，A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是____个平方单位．
题图
答图
解：(1)如图所示，线段 A1B1 即为所求 (2)如图所示，线段 A2B1 即为所求 (3)由图可
得，四边形 AA1B1A2 为正方形，∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22＋42)2＝( 20)2＝20.故答案
为：20
19．(9 分)(陕西中考)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测
量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点13
B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆
DE，使得点 E 与点 C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝
8.5 m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽 AB.
解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴
BC
DE＝
AB
AD，∴
1
1.5＝
AB
AB＋8.5，∴AB＝17(m)，经检验，
AB＝17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米
20．(9 分)(2019·张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，连结对角线 AC，延长 AB 至点
E，使 BE＝AB，连结 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G.
(1)求证：BF＝CF；
(2)若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EBF∽△EAD，∴
BF
AD＝
EB
EA＝
1
2，∴BF＝
1
2AD＝
1
2BC，∴BF＝CF (2)解：∵四边形 ABCD
是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA，∴
FG
DG＝
FC
AD，即
FG
4 ＝
1
2，解得 FG＝2
21．(10 分)(眉山中考)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过
顶点 B 作 BF⊥DE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于点 H，交 CD 于点 G.
(1)求证：BG＝DE；
(2)若点 G 为 CD 的中点，求
HG
GF的值．
解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE，
在△BCG 和△DCE 中，{∠CBG＝∠CDE，
BC＝DC，
∠BCG＝∠DCE，
∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE (2)设 CG＝1，∵
G 为 CD 的中点，∴GD＝CG＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾股
定理可知：DE＝BG＝ 5.∵∠DFG＝∠DCE，∠FDG＝∠CDE，∴△DFG∽△DCE，∴
CE
DE＝
GF
GD，∴14
GF＝
5
5 .∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴
AB
CG＝
BH
GH＝
2
1，∴BH＝
2
3 5，GH＝
1
3 5，∴
HG
GF＝
5
3
22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别
交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连结 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H.
(1)求 DE 的长；
(2)求证：∠1＝∠DFC.
(1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝
∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，∴
CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴
AD
CF＝
DE
CE，设 DE＝x，则
3
5＝
x
4－x，解得 x＝
3
2，∴DE＝
3
2
(2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵
AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴
DG
BG＝
AD
BH，∴
DG
5－DG＝
3
5，∴DG＝
15
8 ，∵DE＝
3
2，∴
DE
DG＝
DC
DB＝
4
5，∴
EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∴∠1＝∠DFC
23．(11 分)(东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图①，
在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3 3，BO∶CO＝1∶3，
求 AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD
就可以解决问题(如图②)．
请回答：∠ADB＝________，AB＝________；
(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图③，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交
于点 O，AC⊥AD，AO＝3 3，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求 DC 的长．
题图
答图
解：(1)∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°.∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴
OD
OA＝
OB
OC＝
1
3.又∵AO＝3 3，∴OD＝
1
3AO＝ 3，∴AD＝AO＋OD＝4 3.∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75
°，∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4 3.故答案为：75°；4 3
(2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°.∵
∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴
BO
DO＝
EO
AO＝
BE
DA.∵BO∶OD＝1∶3，∴
EO
AO＝
BE
DA＝
1
3.∵AO＝
3 3，∴EO＝ 3，∴AE＝4 3.∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝15
2BE.在 Rt△AEB 中，BE2＋AE2＝AB2，即(4 3)2＋BE2＝(2BE)2，解得 BE＝4，∴AB＝AC＝8，AD
＝12.在 Rt△CAD 中，AC2＋AD2＝CD2，即 82＋122＝CD2，解得 CD＝4 13
第 24 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．(大庆中考)2cos 60°＝( A )
A．1 B． 3 C． 2 D．
1
2
2．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3(坡比是坡面的铅
直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( A )
A．5 3米 B．10 2米 C．15 米 D．10 米
第2题图
第3题图
第6题图
3．(2019·宜昌)如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC
的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin ∠BAC 的值为( D )
A．
4
3 B．
3
4 C．
3
5 D．
4
516
4．在△ABC 中，若 sin A＝
3
2 ，tan B＝1，则这个三角形是( A )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2的值是( B )
A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．2
6．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cosα＝
3
5，AB＝4，则 AC 的
长为( C )
A．3 B．
16
5 C．
20
3 D．
16
3
7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动
中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为 α，
大桥主架的顶端 D 的仰角为 β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB＝a，则此时大桥主架
顶端离水面的高 CD 为( C )
A．a sin α＋a sin β B．a cos α＋a cos β C．a tan α＋a tan β
D．
a
tan α＋
a
tan β
第7题图
第8题图
第10题图
8．(2019·营口)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝
1
2AD，AC 与 BD
交于点 E，AC⊥BD，则 tan ∠BAC 的值是( C )
A．
1
4 B．
2
4 C．
2
2 D．
1
3
9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°
方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛
B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 ： 3≈1.732 ， 2
≈1.414)( B )
A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里
10．(2019·重庆)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑
物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处，
DC＝BC.在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点
的仰角∠AEF 为 27°(点 A，B，C，D，E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，
那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)(
B )
A．65.8 米 B．71.8 米 C．73.8 米 D．119.8 米
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．若 α 为锐角，cos α＝
3
5，则 sin α＝__
4
5__，tan α＝__
4
3__．
12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝
5
12，△ABC 的周长为 18，则 S△ABC＝__
54
5 __．
13．在△ABC 中，若|2cos A－1|＋( 3－tan B)2＝0，则∠C＝__60°__．
14．(2019·天门)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的
仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已17
知 CD＝9.6 m，则旗杆 AB 的高度为__14.4__m.
第14题图
第15题图
15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设
在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处，如图所示，直线 l 表示公路，一辆小汽车由
公路上的 B 处向 C 处匀速行驶，用时 5 秒，经测量，点 B 在点 A 北偏东 45°方向上，点 C
在点 A 北偏东 60°方向上，这段公路最高限速 60 千米/小时，此车__没有超速__(填“超速”
或“没有超速”).(参考数据： 3≈1.732)
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)解下列各题：
(1)先化简，再求代数式(
1
x＋
x＋1
x )÷
x＋2
x2＋x的值，其中 x＝ 3cos30°＋
1
2；
解：x＝2，原式＝x＋1＝3
(2)已知 α 是锐角，且 sin (α＋15°)＝
3
2 .计算 8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α
＋(
1
3)－1 的值．
解：α＝45°，原式＝3
17．(9 分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3 m，坝高 AE＝DF＝
6 m，坡角 α＝45°，β＝30°，求 BC 的长．
解：由图得，AE，DF 为高，则四边形 AEFD 是矩形，有 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角
α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝ 3DF＝6 3，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6 3＝
9＋6 3，答：BC 的长(9＋6 3)m
18．(9 分)(2019·梧州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AB＝5，BD
＝1，tan B＝
3
4.
(1)求 AD 的长；
(2)求 sin α的值．
题图
答图
解：(1)∵tan B＝
3
4，可设 AC＝3x，得 BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52，
解得 x＝－1(舍去)或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2
(2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵tan B＝
3
4，可设 DE＝3y，则 BE＝4y，∵BE2＋DE2
＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得 y＝－
1
5(舍)或 y＝
1
5，∴DE＝
3
5，∴sin α＝
DE
AD＝
1
10 2
19．(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美
的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建
电动扶梯，经测量，山高 AC＝154 米，步行道 BD＝168 米，∠DBC＝30°，在 D 处测得山顶 A18
的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号).
题图
答图
解：作DE⊥BC 于 E，则四边形 DECF 为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在 Rt△DBE 中，∠DBC
＝30°，∴DE＝
1
2BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70，在 Rt△ADF 中，∠
ADF＝45°，∴AD＝ 2AF＝70 2，答：电动扶梯 DA 的长为 70 2米
20．(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB，CD 均垂直于地面，
点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B，E 间的
距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高．(结果保留根号)
题图
答图
解：如图，作 CH⊥AB 于 H，则四边形 HBDC 为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30
°，∠CED＝30°，设 CD＝x 米，则 AH＝(30－x)米，在 Rt△AHC 中，HC＝
AH
tan ∠ACH＝ 3
(30－x)，则 BD＝CH＝ 3(30－x)，∴ED＝ 3(30－x)－10，在 Rt△CDE 中，
CD
DE＝tan ∠
CED，即
x
30 3－ 3x－10＝
3
3 ，解得 x＝15－
5
3 3，答：立柱 CD 的高为(15－
5
3 3)米
21．(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船 A，B 同时收到某事故渔
船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°
方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离；
(2)若救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往
事故渔船 P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
题图
答图
解：(1)如图所示：作PC⊥AB 于 C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得 PA＝120 海里，∠
A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝
1
2PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60 海
里，PB＝ 2PC＝60 2海里，答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2
海里
(2)∵PA＝120 海里，PB＝60 2海里，救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小
时的速度同时出发，∴救助船 A 所用的时间为
120
40 ＝3(小时)，救助船 B 所用的时间为
60 2
30 ＝
2 2(小时)，∵3＞2 2，∴救助船 B 先到达
22．(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学
楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教
学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°，同时测得教学楼窗
户 D 处的仰角为 30°(A，B，D，E 在同一直线上).然后，小明沿坡度 i＝1∶1.5 的斜坡从 C
走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行．
(1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)；
(2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求宣传牌的高度 AB(结果精确到
0.1 米， 2≈1.41， 3≈1.73).19
题图
答图
解：(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G，依题意知 FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形 DEGF
是矩形，∴FG＝DE，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2 3(米)，∴点 F
到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i＝1∶1.5，∴在 Rt△CFG 中，CG＝1.5FG
＝2 3×1.5＝3 3，∴FD＝EG＝3 3＋6.在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°
＝6 3.∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3≈4.3 (米)，答：宣传牌的高度
约为 4.3 米
23．(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料：
如图①，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：S△ABC＝
1
2ab
sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A．证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D.在 Rt△ABD 中，sin B＝
AD
c ，∴AD＝c·sin B，∴S△ABC＝
1
2a·AD＝
1
2ac sin B，同理：S△ABC＝
1
2ab sin C，S△ABC＝
1
2bc
sin A，∴S△ABC＝
1
2ab sin C＝
1
2ac sin B＝
1
2bc sin A.
(1)通过上述材料证明：
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C；
(2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20
3，求 AC 的长度；
(3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点
测得 A 在北偏东 75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18km 到达 C 点，测得 A 在北偏西
45°方向上，根据以上信息，求 A，B，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15
°≈0.3，sin 120°≈0.9， 2≈1.4，结果取整数)
解：(1)∵
1
2ab sin C＝
1
2ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴
b
sin B＝
c
sin C，同理得，
a
sin A＝
c
sin C，∴
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C (2)由题意，得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝
20 3，∴
AB
sin C＝
AC
sin B，即
20 3
sin 60°＝
AC
sin 15°，∴
20 3
3
2
＝
AC
0.3，∴AC＝40×0.3＝12
(3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180°－15°－
45°＝120°，由
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C，得
18
sin 120°＝
AC
sin 15°，∴AC＝6 km，∴S△
ABC＝
1
2AC×BC×sin ∠ACB＝
1
2×6×18×0.7≈38(km2)20
第 25 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2019·广西)下列事件为必然事件的是( B )
A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是 180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．(2019·海南)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，
当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( D )21
A．
1
2 B．
3
4 C．
1
12 D．
5
12
3．(2019·泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近( C )
A．20 B．300 C．500 D．800
4．(镇江中考)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形，并使得各个扇形的面
积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续偶数数字 2，4，6，…，2n(每个区域内标
注 1 个数字，且各区域内标注的数字互不相同)，转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，若事
件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是
5
6，则 n 的取值为( C )
A．36 B．30 C．24 D．18
5．有三张正面分别写有数字－1，1，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片
背面朝上洗匀后，随机抽取一张，以其正面的数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片中
随机抽取一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点(a，b)在第二象限的概率是( B )
A．
1
6 B．
1
3 C．
1
2 D．
2
3
6．(武汉中考)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1，2，
3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积
为偶数的概率是( C )
A．
1
4 B．
1
2 C．
3
4 D．
5
6
7．(2019·柳州)小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳
的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( A )
A．
13
25 B．
12
25 C．
4
25 D．
1
2
8．(2019·随州)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，BD，AE 交于点 O，若
随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为( B )
A．
1
16 B．
1
12 C．
1
8 D．
1
6
9．(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 a，b.那么
方程 x2＋ax＋b＝0 有解的概率是( D )
A．
1
2 B．
1
3 C．
8
15 D．
19
36 22
10．(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
1
4，
1
2，1 的卡片，
乙中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：
从甲中任取一张卡片，将其数字记为 a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 b.若 a，b 能
使关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获
胜．则乙获胜的概率为( C )
A．
2
3 B．
5
9 C．
4
9 D．
1
3
二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·遵义)小明用 0～9 中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位
数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是__
1
10__．
12．(2019·扬州)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩
具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846
优等品的频率
m
n 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__0.92__．(精确
到 0.01)
13．(2019·重庆)一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数．连续
掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的 2 倍的概率是
__
1
12__．
14．(2019·娄底)如图，随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个，能让灯泡发光的概率是__
2
3__．
15．(娄底中考)从 2018 年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生
学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政
治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中，自主选择 3 个科目参加等级考试．学生 A
已选物理，还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科，再从化学、生物 2 个理科科
目中选 1 科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则
选修地理和生物的概率为__
1
6__．
三、用心做一做(共 75 分)
16．(8 分)在一个不透明的袋子中，装有 9 个大小和形状一样的小球，其中 3 个红球，
3 个白球，3 个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出 n 个球，
在这 n 个球中，红球、白球、黑球至少各有一个．
(1)当 n 为何值时，这个事件必然发生？23
(2)当 n 为何值时，这个事件不可能发生？
(3)当 n 为何值时，这个事件可能发生？
解：(1)当 n＝7 或 8 或 9 时，这个事件必然发生 (2)当 n＝1 或 2 时，这个事件不可能
发生 (3)当 n＝3 或 4 或 5 或 6 时，这个事件可能发生
17．(9 分)(2019·玉林)某校有 20 名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文
比赛，成绩分别记为 60 分，70 分，80 分，90 分，100 分，为方便奖励，现统计出 80 分，90
分，100 分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设 70 分所对扇形圆心角为 α.
(1)若从这 20 份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于 80 分的概率是__
2
5
__；
(2)当 α＝108°时，求成绩是 60 分的人数；
(3)设 80 分为唯一众数，求这 20 名同学的平均成绩的最大值．
解：(1)低于 80 分的征文数量为 20×(1－30%－20%－10%)＝8，则抽到试卷的分数为低
于 80 分的概率是
8
20＝
2
5，故答案为：
2
5 (2)当 α＝108°时，成绩是 70 分的人数为 20×
108
360
＝6(人)，则成绩是 60 分的人数 20－6－20×(10%＋20%＋30%)＝2(人) (3)∵80 分的人数
为：20×30%＝6(人)，且 80 分为成绩的唯一众数，所以当 70 分的人数为 5 人时，这个班的
平 均 数 最 大 ， ∴ 最 大 值 为 ： (20×10% × 100 ＋ 20×20% × 90 ＋ 20×30% × 80 ＋ 5×70 ＋
3×60)÷20＝78.5(分)
18．(9 分)(淮安中考)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分
别标有数字 1，－2，3，搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回)，记下数字作为点 A 的横
坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点 A 的纵坐标．
(1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
(2)求点 A 落在第四象限的概率．
解：(1)列表得：
1 －2 3
1 (1，－2) (1，3)
－2 (－2，1) (－2，3)
3 (3，1) (3，－2)
(2)由表可知，共有 6 种等可能结果，其中点 A 落在第四象限的有 2 种结果，所以点 A
落在第四象限的概率为
2
6＝
1
3
18．(9 分)已知在一个不透明的口袋中有 4 个形状、大小、材质完全相同的球，其中 1
个红色球，3 个黄色球．
(1)从口袋中随机取出一个球(不放回)，接着再取出一个球，请用画树状图或列表的方
法求取出的两个都是黄色球的概率；
(2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个，一段时间后他记不清具体放入红色24
球和黄色球的个数，只记得放入一种球的个数比另一种的个数多 1，且从口袋中取出一个黄
色球的概率为
2
3，请问小明又放入该口袋中红色球和黄色球各多少个？
解：(1)图表略，P(两个都是黄色球)＝
6
12＝
1
2 (2)①若小明又放入红色球 m 个，则黄色
球(m＋1)个，∴袋中球的总数为 5＋2m，于是有
4＋m
5＋2m＝
2
3，则 m＝2；②若小明又放入红色球
(m＋1)个，则黄色球 m 个，∴
3＋m
5＋2m＝
2
3，则 m＝－1(舍去).故小明又放入该口袋中 2 个红色
球和 3 个黄色球
19．(9 分)(2019·孝感)一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2，－
1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是__
1
4__；
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标；
然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标．如图，
已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请
用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率．
解：(1)在－2，－1，0，1 中正数有 1 个，∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是
1
4，
故答案为：
1
4 (2)列表如下：
－2 －1 0 1
－2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2)
－1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1)
0 (－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0)
1 (－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1)
由表知，共有 16 种等可能结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的
有：(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)
这 8 个，所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率为
1
2
20．(10 分)(2019·广州)某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调
查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别 时间/小时 频数/人数
A 组 0≤t＜1 2
B 组 1≤t＜2 m
C 组 2≤t＜3 1025
D 组 3≤t＜4 12
E 组 4≤t＜5 7
F 组 t≥5 4
题图
答图
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)求频数分布表中 m 的值；
(2)求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；
(3)已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：
从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生．
解：(1)m＝40－2－10－12－7－4＝5 (2)B 组的圆心角＝360°×
5
40＝45°，C 组的圆
心角＝360°×
10
40＝90°.补全扇形统计图如图所示
(3)画树状图如图：
共有 12 个等可能的结果，恰好都是女生的结果有 6 个，∴恰好都是女生的概率为
6
12＝
1
2
21．(10 分)某校九年级举行毕业典礼，需要从九(1)班的 2 名男生 1 名女生、九(2)班
的 1 名男生 1 名女生共 5 人中选出 2 名主持人．
(1)用树状图或列表法列出所有可能的情形；
(2)求 2 名主持人来自不同班级的概率；
(3)求 2 名主持人恰好是 1 男 1 女的概率．
解：(1)图表略 (2)P(不同班级)＝
3
5 (3)P(1 男 1 女)＝
3
5
23．(11 分)如图是甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成 3 个面积相
等的扇形，乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两
个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为 m，乙转盘中指针所指区域内
的数字为 n(若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表的方法求出|m＋n|＞1 的概率；
(2)直接写出点(m，n)落在函数 y＝－
1
x图象上的概率．
解：(1)图表略，所有等可能的结果有 12 种，其中|m＋n|＞1 的情况有 5 种，所以|m＋n|＞26
1 的概率为 P1＝
5
12 (2)点(m，n)在函数 y＝－
1
x上的概率为 P2＝
3
12＝
1
4
微信/支付宝扫码支付