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第 12 章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2019·南通)下列计算，正确的是( D )
A．a2·a3＝a6 B．2a2－a＝a C．a6÷a2＝a3 D．(a2)3＝a6
2．(2019·贵阳)选择计算(－4xy2＋3x2y)(4xy2＋3x2y)的最佳方法是( B )
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
3．(2019·无锡)分解因式 4x2－y2 的结果是( C )
A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y)
C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y)
4．若(x－2y)2＝(x＋2y)2＋m，则 m 等于( D )
A．4xy B．－4xy C．8xy D．－8xy
5．已知 3a＝5，9b＝10，则 3a＋2b 等于( A )
A．50 B．－5 C．15 D．27a＋b
6．(2019·河北)小明总结了以下结论：①a(b＋c)＝ab＋ac；②a(b－c)＝ab－ac；③(b
－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是
( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．(2019·荆门)下列运算不正确的是( B )
A．xy＋x－y－1＝(x－1)(y＋1) B．x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx＝
1
2(x＋y＋z)2
C．(x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3＋y3 D．(x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3
8．(2019·柳州)定义：形如 a＋bi 的数称为复数(其中 a 和 b 为实数，i 为虚数单位，
规定 i2＝－1)，a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结
果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，
因此，(1＋3i)2 的实部是－8，虚部是 6.已知复数(3－mi)2 的虚部是 12，则实部是( C )
A．－6 B．6 C．5 D．－5
9．(2019·烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n 为非
负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．
(a＋b)0＝1
(a＋b)1＝a＋b
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5
……
2
则(a＋b)9 展开式中所有项的系数和是( C )
A．128 B．256 C．512 D．1024
10．(宁波中考)在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b(a＞b)的正方形纸片按图①，
图②两种方式放置(图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形
纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为 S1，图②中阴影部分的面积为 S2.
当 AD－AB＝2 时，S2－S1 的值为( B )
A.2a B．2b C．2a－2b D．－2b
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．多项式 ax2－a 与多项式 x2－2x＋1 的公因式是 x－1．
12．(2019·徐州)若 a＝b＋2，则代数式 a2－2ab＋b2 的值为__4__．
13．已知 2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则 x－y＝3．
14．(2019·大庆)分解因式：a2b＋ab2－a－b＝__(ab－1)(a＋b)__．
15．(2019·遂宁)阅读材料：定义：如果一个数的平方等于－1，记为 i2＝－1，这个
数 i 叫做虚数单位，把形如 a＋bi(a，b 为实数)的数叫做复数，其中 a 叫这个复数的实部，
b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(4＋i)＋(6－2i)＝(4＋6)＋(1－2)i＝10－i；
(2－i)(3＋i)＝6－3i＋2i－i2＝6－i－(－1)＝7－i；
(4＋i)(4－i)＝16－i2＝16－(－1)＝17；
(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.
根据以上信息，完成下面计算：
(1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝__7－i__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)计算：
(1)(2019·武汉)(2x2)3－x2·x4; (2)[3a2＋2b(3a－2b)＋b(4b－4a)]÷2a.
解：(1)原式＝7x6 (2)原式＝
3
2a＋b
17．(9 分)用简便方法计算：
(1)99×101×10 001＋1; (2)932＋232－93×46.
解：(1)原式＝108 (2)原式＝4900
18．(9 分)分解因式：
(1)(2019·河池)(x－1)2＋2(x－5); (2)6xy2－9x2y－y3.
3
解：(1)原式＝(x＋3)(x－3) (2)原式＝－y(3x－y)2
19．(9 分)(2019·凉山州)先化简，再求值：(a＋3)2－(a＋1)(a－1)－2(2a＋4)，其
中 a＝－
1
2.
解：原式＝a2＋6a＋9－(a2－1)－4a－8＝2a＋2，将 a＝－
1
2代入原式＝2×(－
1
2)＋2＝1
20．(9 分)(大庆中考)已知：x2－y2＝12，x＋y＝3，求 2x2－2xy 的值．
解：∵x2－y2＝12，∴(x＋y)(x－y)＝12，∵x＋y＝3①，∴x－y＝4②，①＋②，得 2x
＝7，∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28
21．(10 分)(衢州中考)有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方
形边长增加 b 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．
方案二：a2＋ab＋(a＋b)b＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
方案三：a2＋
[a＋（a＋b）]b
2 ＋
[a＋（a＋b）]b
2 ＝a2＋ab＋
1
2b2＋ab＋
1
2b2＝a2＋2ab＋b2
＝(a＋b)2
4
22．(10 分)若 x＋y＝3，且(x＋2)(y＋2)＝12.
(1)求 xy 的值；
(2)求 x2＋3xy＋y2 的值．
解：(1)由(x＋2)(y＋2)＝12 得 xy＋2(x＋y)＋4＝12，∵x＋y＝3，∴xy＝2 (2)x2＋3xy
＋y2＝(x＋y)2＋xy，又∵x＋y＝3，xy＝2，∴原式＝32＋2＝11
23．(11 分)(2019·随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为 m，n，我们可将这
个两位数记为mn，易知mn＝10m＋n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc＝
100a＋10b＋c.
【基础训练】
(1)解方程填空：
①若2x＋x3＝45，则 x＝__2__；
②若7y－y8＝26，则 y＝__4__；
③若t93＋5t8＝13t1，则 t＝__7__；
【能力提升】
(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn＋nm一定
能被__11__整除，mn－nm一定能被__9__整除，mn·nm－mn 一定能被__10__整除；(请从大
于 5 的整数中选择合适的数填空)
【探索发现】
(3)北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力
极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，
要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最
大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为
325，则用 532－235＝297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干
次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__495__；
②设任选的三位数为abc(不妨设 a＞b＞c)，试说明其均可产生该黑洞数．
解：(1)①∵mn＝10m＋n，∴若2x＋x3＝45，则 10×2＋x＋10x＋3＝45，∴x＝2，故答
案为：2 ②若7y－y8＝26，则 10×7＋y－(10y＋8)＝26，解得 y＝4，故答案为：4 ③由abc
＝100a＋10b＋c 以及四位数的类似公式得，若t93＋5t8＝13t1，则 100t＋10×9＋3＋100×
5＋10t＋8＝1000×1＋100×3＋10t＋1，∴100t＝700，∴t＝7，故答案为：7 (2)∵mn＋nm
＝10m＋n＋10n＋m＝11m＋11n＝11(m＋n)，∴则mn＋nm一定能被 11 整除．∵mn－nm＝10m＋
n－(10n＋m)＝9m－9n＝9(m－n)，∴mn－nm一定能被 9 整除．∵mn·nm－mn＝(10m＋n)(10n
5
＋m)－mn＝100mn＋10m2＋10n2＋mn－mn＝10(10mn＋m2＋n2)，∴mn·nm－mn 一定能被 10 整
除．故答案为：11；9；10 (3)①若选的数为 325，则有 532－235＝297，以下按照上述规
则继续计算，972－279＝693，963－369＝594，954－459＝495，954－459＝495…故答案为：
495 ②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a＋10b＋c－(100c＋10b＋a)＝99(a
－c)，结果为 99 的倍数，由于 a＞b＞c，故 a≥b＋1≥c＋2，∴a－c≥2，又 9≥a＞c≥0，∴
a－c≤9，∴a－c＝2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，
495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981－189＝792，972－
279＝693，963－369＝594，954－459＝495，954－459＝495…故均可产生该黑洞数 495
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