九年级数学上册第一章特殊平行四边形检测题（北师大版）

1 第一章检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分)                                 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列命题中，真命题是( C ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方 形 2．(2019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中 点，则 OE 的长是 ( A ) A．2.5 B．3 C．4 D．5 第2题图   第3题图   第4题图   第5题图 3．(兰州中考)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ADB＝30°，AB＝4， 则 OC＝( B ) A．5 B．4 C．3.5 D．3 4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3.若 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BF⊥AE 交 AE 于点 F，则 BF 的长为( B ) A． 3 10 2 B． 3 10 5 C． 10 5 D． 3 5 5 5．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠ AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为( D ) A．(2， 3) B．( 3，2) C．( 3，3) D．(3， 3) 6．(2019·泸州)一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和 为( C ) A．8 B．12 C．16 D．32 7．(广东中考)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF 为边的正方 形 EFGH 的周长为( B ) A． 2 B．2 2 C． 2＋1 D．2 2＋1 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2，0)，B(1，1).若平移点 A 到点 C， 使以点 O，A，C，B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( D ) A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 B．向左平移(2 2－1)个单位，再向上平移 1 个单位 C．向右平移 2个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位 第7题图   第8题图   第9题图   第10题图 9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使 它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得 AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A ) A． 2 B．2 C． 6 D．2 2 10．(2019·包头)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AE＝ AF，∠EAF＝60°，则 CF 的长是( C ) 2 A． 3＋1 4 B． 3 2 C． 3－1 D． 2 3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·十堰)如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点， 若 OE＝3，则菱形的周长为__24__． 12．(青岛中考)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 为对角线 AC 的中点， 连接 BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度． 第11题图   第12题图   第13题图   第14题图 13．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的 点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰 撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边 碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是__673__． 14．(2019·菏泽)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝ 2，则四边形 BEDF 的周长是__8 5__． 15．(2019·内江)如图，点 A，B，C 在同一直线上，且 AB＝ 2 3AC，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部 分)的面积分别记作 S1、S2、S3，若 S1＝ 5 ，则 S2＋S3＝__ 3 5 4 __． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(2019·岳阳)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD，CD 边上的点，DE＝ DF，求证：∠1＝∠2. 证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，在△ADF 和△CDE 中，{AD＝CD， ∠D＝∠D， DF＝DE， ∴△ADF≌△ CDE(SAS)，∴∠1＝∠2 17．(9 分)(湘西州中考)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE，CE. (1)求证：△ADE≌△BCE； (2)若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长． 3 解：(1)在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.在△ADE 与 △BCE 中 ， AD ＝ BC ， ∠ A ＝ ∠B ， AE ＝ BE ， ∴ △ ADE ≌ △ BCE(SAS)   (2) 由 (1) 知 △ADE≌△BCE，则 DE＝EC，在 Rt△ADE 中，AD＝4，AE＝ 1 2AB＝3，由勾股定理知 DE＝ AD2＋AE2 ＝5，∴△CDE 的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝2×5＋6＝16 18．(9 分)(2019·青海)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的 中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF. (1)求证：△AEF≌△DEB； (2)证明四边形 ADCF 是菱形． 证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵△ABC 是直角三角形，AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 的中点，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AEF 和△DEB 中， {∠AFE＝∠DBE， ∠AEF＝∠BED， AE＝DE， ∴△AEF≌△ DEB(AAS) (2)由(1)知 AF＝BD，且 BD＝CD，∴AF＝CD，且 AF∥BC，∴四边形 ADCF 是平行 四边形，∵∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，∴AD＝ 1 2BC＝CD，∴四边形 ADCF 是菱形 19．(9 分)(上海中考)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E 是对角线 BD 上一点， 且 EA＝EC. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)如果 BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形 ABCD 是正方形． 证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝ ∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形，∵AD＝CD，∴▱ABCD 是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵ ∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝45°，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝ 90°，∴四边形 ABCD 是正方形 20．(9 分)(遵义中考)如图，在矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BE＝DF，连 接 EF，与 BC，AD 分别相交于 P，Q 两点． (1)求证：CP＝AQ； 4 (2)若 BP＝1，PQ＝2 2，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积． 证明：(1)易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，∵∠ AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝ 2BP＝ 2，∴EQ＝PE＋PQ＝ 2＋2 2＝3 2，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝ BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴S 矩形 ABCD＝AB·AD＝2×4＝8 21．(10 分)(2019·天门)如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点， 且 BE＝CF，过点 E 作 EG∥BF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF.求证： (1)AE⊥BF； (2)四边形 BEGF 是平行四边形． 证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，{AB＝BC， ∠ABE＝∠BCF， BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝ ∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE ⊥EG，∴AE⊥BF  (2)延长 AB 至点 P，使 BP＝BE，连接 EP，如图所示：则 AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝ 45°，∵CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由(1)得∠BAE＝ ∠CEG，在△APE 和△ECG 中，{∠P＝∠ECG， AP＝CE， ∠BAE＝∠CEG， ∴△APE≌△ECG(ASA)，∴AE＝EG，∵AE＝ BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形 BEGF 是平行四边形 5 22．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上 一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于点 E，垂足为 F，连接 CD，BE. (1)求证：CE＝AD； (2)当 D 在 AB 中点时，四边形 CDBE 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 CDBE 是正方形？请说明 你的理由． 证 明 ： (1)∵DE⊥BC ， ∴ ∠ DFB ＝ 90 ° . ∵ ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴ ∠ ACB ＝ ∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即 CE∥AD，∴四边形 ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD (2)四边 形 CDBE 是菱形，理由：∵D 为 AB 中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边 形 CDBE 是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D 为 AB 中点，∴CD＝BD.∴四边形 CDBE 是菱形 (3) 当∠A＝45°时，四边形 CDBE 是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A ＝45°，∴AC＝BC.∵D 为 AB 中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形 CDBE 是菱形，∴ 四边形 CDBE 是正方形 23．(11 分)(1)如图①，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP 于点 E，交线段 AB 于点 M，交线段 CD 于点 N，证明：AP＝MN； (2)如图②，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP， 分别交 AB，AP，BD，DC 于点 M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN； (3)若正方形 ABCD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值． 解：(1)过 B 点作 BH∥MN 交 CD 于点 H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形 MBHN 为平行四边 形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH. 在△ABP 与△BCH 中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH，∴AP＝BH，∴ AP＝MN (2)连接 FA，FP，FC.∵正方形 ABCD 是轴对称图形，F 为对角线 BD 上一点，∴FA＝ FC.又∵FE 垂直平分 AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝ ∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠ AFP＝90°.∴FE＝ 1 2AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)由(2)有 EF＝ 1 2 MN，∵AC，BD 是正方形的对角线，∴BD＝2 2.当点 P 和点 B 重合时，EF 最小，最小值＝ 1 2MN ＝ 1 2AB＝1.当点 P 和点 C 重合时，EF 最大，最大值＝ 1 2MN＝ 1 2BD＝ 2