九年级数学上册第四章图形的相似检测题（北师大版）

1 第四章检测题 (时间：100 分钟　　满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．如果 mn＝ab，那么下列比例式中错误的是( C ) A． a m＝ n b B． a n＝ m b C． m a＝ n b D． m a＝ b n 2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应中线，若 AD＝ 10，A′D′＝6，则△ABC 与△A′B′C′的周长比是( C ) A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9 3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥ BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( D ) A． AB AE＝ AG AD B． DF CF＝ DG AD C． FG AC＝ EG BD D． AE BE＝ CF DF 第3题图　　　　　 第4题图　　　　　 第6题图 4．(2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则相似三角形共有 ( C ) A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对 5．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知 这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( A ) A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm 6．(2019·巴中)如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE∶AD＝1∶3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG＝( D ) A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9 7．(2019·锦州)在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，M 是对角线 BD 上的动点，过点 M 作 ME⊥BC 于点 E，连接 AM，当△ADM 是等腰三角形时，ME 的长为( C ) A． 3 2 B． 6 5 C． 3 2或 3 5 D． 3 2或 6 5 第8题图　　　　　 第9题图　　　　　 第10题图 8．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0).以点 C 为 位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( D ) A．－ 1 2a B．－ 1 2(a＋1) C．－ 1 2(a－1) D．－ 1 2(a＋3) 9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝ ∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C ) A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5 10．(2019·东营)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，过点 O 作射 线 OM，ON 分别交 BC，CD 于点 E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF 交于点 G.给出下列结论： ①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的 1 4；④DF2＋ BE2＝OG·OC.其中正确的是( B )2 A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④ 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．若 x∶y＝1∶2，则 x－y x＋y＝__－ 1 3__． 12．(连云港中考)如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝ 1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__1∶9__． 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13．(2019·阜新)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AC 边上的一点，DE 垂直 平分 AB，垂足为点 E.若 AC＝8，BC＝6，则线段 DE 的长度为__ 15 4 __． 14．(2019·烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△ ABO 的顶点坐标分别为 A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1 的顶点坐标分别为 A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO 与△A1B1O1 是以点 P 为位似中心的位似图形， 则 P 点的坐标为__(－5，－1)__． 15．(2019·无锡)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝4 5，D 为边 AB 上一动点(B 点 除外)，以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则△BDE 面积的最大值为__8__． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E. (1)求证：△BDE∽△CAD； (2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长． 解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE ∽△CAD　(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2＝12，∵ 1 2·AD·BD＝ 1 2·AB·DE，∴DE＝ 60 13 17．(9 分)(凉山州中考)如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 △ABC 三个顶点分别为 A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5). (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且相 似比为 2，并求出△A2B2C2 的面积． 解：(1)如图所示，△A 1B1C1 就是所求三角形　(2)如图所示，△A 2B2C2 就是所求三角 形．分别过点 A2，C2 作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E，F，∵A(－ 1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2 与△ABC 位似，且相似比为 2，∴A2(－2，4)，B2(4， 2) ， C2(8 ， 10) ， ∴ S △ A2B2C2 ＝ 8×10 － 1 2×6×2 － 1 2×4×8 － 1 2×6×10 ＝ 28　3 　 18．(9 分)如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC，E 是 DC 延长线上的点，连接 AE， 交 BC 于点 F. (1)求证：△ABF∽△ECF； (2)如果 AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE 的长． 解：(1)∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF　(2)∵AD＝BC，AD＝ 5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴ BA CE＝ BF CF，即 8 CE＝ 3 2.∴CE＝ 16 3 cm 19．(9 分)(福建中考)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根 据给出的△ABC 及线段 A′B′，∠A′(∠A′＝∠A)，以线段 A′B′为一边，在给出的图形 上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已 有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程． 解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求 　　4 (2)已知：如图，△ABC∽△A′B′C′， A′B′ AB ＝ B′C′ BC ＝ A′C′ AC ＝k，D 是 AB 的中点， D′是 A′B′的中点，求证： C′D′ CD ＝k.证明：∵D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，∴ AD＝ 1 2AB，A′D′＝ 1 2A′B′，∴ A′D′ AD ＝ 1 2A′B′ 1 2AB ＝ A′B′ AB ，∵△ABC∽△A′B′C′，∴ A′B′ AB ＝ A′C′ AC ，∠A′＝∠A，∵ A′D′ AD ＝ A′C′ AC ，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴ C′D′ CD ＝ A′C′ AC ＝k 20．(9 分)(2019·雅安)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别交 AB，CD 于点 E，F，EF 的延长线交 CB 的延长线于 M. (1)求证：OE＝OF； (2)若 AD＝4，AB＝6，BM＝1，求 BE 的长． 解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF， 在△AOE 和△COF 中，{∠OAE＝∠OCF， OA＝OC， ∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF( ASA)，∴OE＝OF　(2)过点 O 作 ON∥BC 交 AB 于 N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝ 1 2BC＝2，BN＝ 1 2AB＝3，∵ON∥BC，∴△ ONE∽△MBE，∴ ON BM＝ NE BE，即 2 1＝ 3－BE BE ，解得 BE＝1 21．(10 分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军 一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是， 两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其 影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF 恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6 米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长．(结果精确到 0.01 米)5 解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴ CA MN＝ AD ND，∴ 1.6 MN ＝ 1 × 0.8 （5＋1） × 0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△ MFN，∴ EB MN＝ BF NF，∴ EB 9.6＝ 2 × 0.8 （2＋9） × 0.8，∴EB≈1.75，∴小军身高约为 1.75 米 22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别 交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H. (1)求 DE 的长； (2)求证：∠1＝∠DFC. (1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝ ∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，∴ CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴ AD CF＝ DE CE，设 DE＝x，则 3 5＝ x 4－x，解得 x＝ 3 2，∴DE＝ 3 2　(2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵ AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴ DG BG＝ AD BH，∴ DG 5－DG＝ 3 5，∴DG＝ 15 8 ，∵DE＝ 3 2，∴ DE DG＝ DC DB＝ 4 5，∴ EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC 23．(11 分)(苏州中考)问题 1：如图①，在△ABC 中，AB＝4，D 是 AB 上一点(不与 A， B 重合)，DE∥BC，交 AC 于点 E，连接 CD.设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积为 S′. (1)当 AD＝3 时， S′ S ＝________； (2)设 AD＝m，请你用含字母 m 的代数式表示 S′ S . 问题 2：如图②，在四边形 ABCD 中，AB＝4，AD∥BC，AD＝ 1 2BC，E 是 AB 上一点(不与 A，B 重合)，EF∥BC，交 CD 于点 F，连接 CE.设 AE＝n，四边形 ABCD 的面积为 S，△EFC 的 面积为 S′.请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代数式表示 S′ S .6 解：问题 1：(1)∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4－3＝1，∵DE∥BC，∴ CE EA＝ BD AD＝ 1 3，∴ S △ DEC S △ ADE ＝ EC AE＝ 1 3＝ 3 9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ S △ ADE S △ ABC＝( 3 4)2＝ 9 16，∴ S △ DEC S △ ABC＝ 3 16，即 S′ S ＝ 3 16　(2)∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4－m，∵DE∥BC，∴ CE EA＝ BD AD＝ 4－m m ，∴ S △ DEC S △ ADE＝ CE AE＝ 4－m m ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ S △ ADE S △ ABC＝( m 4)2＝ m2 16，∴ S △ DEC S △ ABC＝ S △ DEC S △ ADE· S △ ADE S △ ABC＝ 4－m m · m2 16＝ －m2＋4m 16 ，即 S′ S ＝ －m2＋4m 16 　问题 2：如图②，分别延长 BA，CD 交于点 O，∵AD ∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴ OA OB＝ AD BC＝ 1 2，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4＋n，∵ EF∥BC，由问题 1 的解法可知： S △ CEF S △ OBC＝ S △ CEF S △ OEF· S △ OEF S △ OBC＝ 4－n 4＋n×( 4＋n 8 )2＝ 16－n2 64 ，∵ S △ OAD S △ OBC＝( OA OB)2＝ 1 4，∴ S四边形ABCD S △ OBC ＝ 3 4，∴ S △ CEF S四边形ABCD＝ S △ CEF 3 4S △ OBC ＝ 4 3× 16－n2 64 ＝ 16－n2 48 ，即 S′ S ＝ 16－n2 48