1
第一章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列命题中，真命题是( C )
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方
形
2．(2019·赤峰)如图，菱形 ABCD 周长为 20，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 CD 的中
点，则 OE 的长是 ( A )
A．2.5 B．3 C．4 D．5
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图
3．(兰州中考)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ADB＝30°，AB＝4，
则 OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
4．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3.若 E 是边 CD 的中点，连接 AE，过点 B 作 BF⊥AE
交 AE 于点 F，则 BF 的长为( B )
A．
3 10
2 B．
3 10
5 C．
10
5 D．
3 5
5
5．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠
AOC＝60°，则对角线交点 E 的坐标为( D )
A．(2， 3) B．( 3，2) C．( 3，3) D．(3， 3)
6．(2019·泸州)一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和
为( C )
A．8 B．12 C．16 D．32
7．(广东中考)如图，正方形 ABCD 的面积为 1，则以相邻两边中点连接 EF 为边的正方
形 EFGH 的周长为( B )
A． 2 B．2 2 C． 2＋1 D．2 2＋1
8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 2，0)，B(1，1).若平移点 A 到点 C，
使以点 O，A，C，B 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( D )
A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
B．向左平移(2 2－1)个单位，再向上平移 1 个单位
C．向右平移 2个单位，再向上平移 1 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形 ABCD，转动这个四边形，使
它形状改变，当∠B＝90°时，如图①，测得 AC＝2，当∠B＝60°时，如图②，AC＝( A )
A． 2 B．2 C． 6 D．2 2
10．(2019·包头)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝1，点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上，AE＝
AF，∠EAF＝60°，则 CF 的长是( C )2
A．
3＋1
4 B．
3
2 C． 3－1 D．
2
3
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·十堰)如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E 为 BC 的中点，
若 OE＝3，则菱形的周长为__24__．
12．(青岛中考)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 为对角线 AC 的中点，
连接 BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD 的度数为__32__度．
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
13．(2019·玉林)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的
点 P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰
撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边
碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边的碰撞次数是__673__．
14．(2019·菏泽)如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝
2，则四边形 BEDF 的周长是__8 5__．
15．(2019·内江)如图，点 A，B，C 在同一直线上，且 AB＝
2
3AC，点 D，E 分别是 AB，BC
的中点，分别以 AB，DE，BC 为边，在 AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部
分)的面积分别记作 S1、S2、S3，若 S1＝ 5 ，则 S2＋S3＝__
3 5
4 __．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(2019·岳阳)如图，在菱形 ABCD 中，点 E，F 分别为 AD，CD 边上的点，DE＝
DF，求证：∠1＝∠2.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD＝CD，在△ADF 和△CDE 中，{AD＝CD，
∠D＝∠D，
DF＝DE，
∴△ADF≌△
CDE(SAS)，∴∠1＝∠2
17．(9 分)(湘西州中考)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若 AB＝6，AD＝4，求△CDE 的周长．3
解：(1)在矩形 ABCD 中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°.∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.在△ADE
与 △BCE 中 ， AD ＝ BC ， ∠ A ＝ ∠B ， AE ＝ BE ， ∴ △ ADE ≌ △ BCE(SAS) (2) 由 (1) 知
△ADE≌△BCE，则 DE＝EC，在 Rt△ADE 中，AD＝4，AE＝
1
2AB＝3，由勾股定理知 DE＝ AD2＋AE2
＝5，∴△CDE 的周长＝2DE＋CD＝2DE＋AB＝2×5＋6＝16
18．(9 分)(2019·青海)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的
中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形 ADCF 是菱形．
证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵△ABC 是直角三角形，AD 是 BC 边上的中线，
E 是 AD 的中点，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AEF 和△DEB 中， {∠AFE＝∠DBE，
∠AEF＝∠BED，
AE＝DE，
∴△AEF≌△
DEB(AAS) (2)由(1)知 AF＝BD，且 BD＝CD，∴AF＝CD，且 AF∥BC，∴四边形 ADCF 是平行
四边形，∵∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，∴AD＝
1
2BC＝CD，∴四边形 ADCF 是菱形
19．(9 分)(上海中考)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，E 是对角线 BD 上一点，
且 EA＝EC.
(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；
(2)如果 BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形 ABCD 是正方形．
证明：(1)在△ADE 与△CDE 中，AD＝CD，DE＝DE，EA＝EC，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝
∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴
四边形 ABCD 为平行四边形，∵AD＝CD，∴▱ABCD 是菱形 (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵
∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝45°，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝
90°，∴四边形 ABCD 是正方形
20．(9 分)(遵义中考)如图，在矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BE＝DF，连
接 EF，与 BC，AD 分别相交于 P，Q 两点．
(1)求证：CP＝AQ；4
(2)若 BP＝1，PQ＝2 2，∠AEF＝45°，求矩形 ABCD 的面积．
证明：(1)易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ (2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，∵∠
AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝ 2BP＝
2，∴EQ＝PE＋PQ＝ 2＋2 2＝3 2，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝
BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴S 矩形 ABCD＝AB·AD＝2×4＝8
21．(10 分)(2019·天门)如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，
且 BE＝CF，过点 E 作 EG∥BF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF.求证：
(1)AE⊥BF；
(2)四边形 BEGF 是平行四边形．
证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF
＝90°，在△ABE 和△BCF 中，{AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF，
BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴AE＝BF，∠BAE＝
∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，∴AE
⊥EG，∴AE⊥BF
(2)延长 AB 至点 P，使 BP＝BE，连接 EP，如图所示：则 AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝
45°，∵CG 为正方形 ABCD 外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由(1)得∠BAE＝
∠CEG，在△APE 和△ECG 中，{∠P＝∠ECG，
AP＝CE，
∠BAE＝∠CEG，
∴△APE≌△ECG(ASA)，∴AE＝EG，∵AE＝
BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形 BEGF 是平行四边形5
22．(10 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上
一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于点 E，垂足为 F，连接 CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当 D 在 AB 中点时，四边形 CDBE 是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 CDBE 是正方形？请说明
你的理由．
证 明 ： (1)∵DE⊥BC ， ∴ ∠ DFB ＝ 90 ° . ∵ ∠ ACB ＝ 90 ° ， ∴ ∠ ACB ＝
∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即 CE∥AD，∴四边形 ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD (2)四边
形 CDBE 是菱形，理由：∵D 为 AB 中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边
形 CDBE 是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D 为 AB 中点，∴CD＝BD.∴四边形 CDBE 是菱形 (3)
当∠A＝45°时，四边形 CDBE 是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A
＝45°，∴AC＝BC.∵D 为 AB 中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形 CDBE 是菱形，∴
四边形 CDBE 是正方形
23．(11 分)(1)如图①，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一个动点，若线段 MN 垂直 AP
于点 E，交线段 AB 于点 M，交线段 CD 于点 N，证明：AP＝MN；
(2)如图②，正方形 ABCD 中，点 P 为线段 BC 上一动点，若线段 MN 垂直平分线段 AP，
分别交 AB，AP，BD，DC 于点 M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN；
(3)若正方形 ABCD 的边长为 2，求线段 EF 的最大值与最小值．
解：(1)过 B 点作 BH∥MN 交 CD 于点 H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形 MBHN 为平行四边
形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.
在△ABP 与△BCH 中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH，∴AP＝BH，∴
AP＝MN (2)连接 FA，FP，FC.∵正方形 ABCD 是轴对称图形，F 为对角线 BD 上一点，∴FA＝
FC.又∵FE 垂直平分 AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝
∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠
AFP＝90°.∴FE＝
1
2AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)由(2)有 EF＝
1
2
MN，∵AC，BD 是正方形的对角线，∴BD＝2 2.当点 P 和点 B 重合时，EF 最小，最小值＝
1
2MN
＝
1
2AB＝1.当点 P 和点 C 重合时，EF 最大，最大值＝
1
2MN＝
1
2BD＝ 26
第二章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．方程 2x2＝3x 的解为( D )
A．x＝0 B．x＝
3
2 C．x＝－
3
2 D．x1＝0，x2＝
3
2
2．(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 时，下列变形正确的是( D )
A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5 C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3
3．(2019·宜宾)一元二次方程 x2－2x＋b＝0 的两根分别为 x1 和 x2，则 x1＋x2 为( C )
A．－2 B．b C．2 D．－b
4．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c 为常数)的一个解 x 的范围是( C )
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．(2019·荆州)若一次函数 y＝kx＋b 的图象不经过第二象限，则关于 x 的方程 x2＋kx
＋b＝0 的根的情况是( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
6．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( B )
A．与方程 x2＋4＝4x 的解相同
B．两边都除以 x－2，得 x－1＝1，可以解得 x＝2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得 x1＝x2＝2
7．(2019·广东)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实数根，下列结论错误
的是( D )
A．x1≠x2 B．x12－2x1＝0 C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2
8．(2019·日照)某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额
是 1000 万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是 3990 万元．若设月平均增长率是
x，那么可列出的方程是( B )
A．1000(1＋x)2＝3990 B．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋x)2＝39907
C．1000(1＋2x)＝3990 D．1000＋1000(1＋x)＋1000(1＋2x)＝3990
9．定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足 a＋b＋c＝0，那么我们称这个
方程为“凤凰”方程．已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是( A )
A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c
10．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，B
同时开始运动．点 P 的速度为 1 cm/s，点 Q 的速度为 2 cm/s，点 P 运动到点 B 停止，点 Q 运
动到点 C 后停止．经过多长时间，能使△PBQ 的面积为 15 cm2( B )
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·西藏)一元二次方程 x2－x－1＝0 的根是__x1＝
1＋ 5
2 ，x2＝
1－ 5
2 __．
12．(2019·抚顺)若关于 x 的一元二次方程 kx2＋2x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围
是__k≠0 且 k≤1__．
13．(2019·铜仁)某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，
去年已投入 5 亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入 7.2 亿元资金用于保障性住
房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为__20%__．
14．(2019·荆门)已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0 的两个不相等
实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则 k 的值为__1__．
15．定义新运算“*”，规则：a*b＝{a（a ≥ b），
b（a＜b）， 如 1*2＝2，(－ 5)* 2＝ 2.若 x2
＋x－1＝0 的两根为 x1，x2，则 x1*x2＝__
－1＋ 5
2 __．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－192＝0; (2)(梧州中考)2x2－4x－30＝0.
解：x1＝16，x2＝－12 解：x1＝5，x2＝－3
17．(9 分)先化简，再求值：
m－3
3m2－6m÷(m＋2－
5
m－2)，其中 m 是方程 x2＋3x－1＝0 的
根．
解：原式＝
1
3（m2＋3m），∵m 是方程 x2＋3x－1＝0 的根，∴m2＋3m－1＝0，即 m2＋3m＝8
1，∴原式＝
1
3
18．(9 分)一张长为 30 cm，宽为 20 cm 的矩形纸片，如图①所示，将这张纸片的四个角
各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图②所示，如
果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．
解：设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm.由题意得(30－2x)(20－2x)＝264，整理得 x2－
25x＋84＝0，解得 x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去).答：剪掉的正方形的边长为 4 cm
19．(9 分)(2019·鄂州)已知关于 x 的方程 x2－2x＋2k－1＝0 有实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)设方程的两根分别是 x1，x2，且
x2
x1＋
x1
x2＝x1·x2，试求 k 的值．
解：(1)∵原方程有实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4(2k－1)≥0，∴k≤1 (2)∵x1，
x2 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝2，x1·x2＝2k－1，又∵
x2
x1＋
x1
x2＝x1x2，∴
x12＋x22
x1x2 ＝x1x2，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝(x1·x2)2，∴22－2(2k－1)＝(2k－
1)2，解得 k1＝
5
2 ，k2＝－
5
2 .经检验，都符合原分式方程的根，又∵k≤1，∴k＝－
5
2
20．(9 分)阅读下列内容，并答题：
我们知道，计算 n 边形的对角线条数公式为：
1
2n(n－3).如果一个 n 边形共有 20 条对角
线，那么可以得到方程
1
2n(n－3)＝20.整理得 n2－3n－40＝0；解得 n＝8 或 n＝－5，∵n 为
大于等于 3 的整数，∴n＝－5 不合题意，舍去．∴n＝8，即多边形是八边形.
根据以上内容，
问：(1)若一个多边形共有 14 条对角线，求这个多边形的边数；9
(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有 10 条对角线”，你认为 A 同学说法正确吗？为
什么？
解：(1)根据题意得
1
2n(n－3)＝14，整理得 n2－3n－28＝0，解得 n＝7 或 n＝－4.∵n
为大于等于 3 的整数，∴n＝－4 不合题意，舍去．∴n＝7，即多边形是七边形 (2)A 同学
说法是不正确的，理由如下：当
1
2n(n－3)＝10 时，整理得 n2－3n－20＝0，解得 n＝
3 ± 89
2 ，
∴符合方程 n2－3n－20＝0 的正整数 n 不存在，∴多边形的对角线不可能有 10 条
21．(10 分)(遵义中考)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/千
克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售
量 y(千克)与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量 y(千克) … 34.8 32 29.6 28 …
售价 x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 …
(1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量；
(2)如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？
解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，将(22.6，34.8)，(24，32)代入 y＝kx
＋b，得{22.6k＋b＝34.8，
24k＋b＝32， 解得{k＝－2，
b＝80， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－2x＋80.当 x
＝23.5 时，y＝－2x＋80＝33.答：当天该水果的销售量为 33 千克 (2)根据题意得(x－
20)(－2x＋80)＝150，解得 x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：如果某天销售这种
水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元/千克
22．(10 分)(2019·玉林)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内＋
农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的
产蛋量分别是 2.5 万 kg 与 3.6 万 kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最
多为 0.32 万 kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点
的基础上至少再增加多少个销售点？
解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 x，根据题意得，2.5(1＋x)2＝3.6，
解得 x＝0.2，x＝－2.2(不合题意舍去)，答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为 20% (2)
设再增加 y 个销售点，根据题意得，3.6＋0.32y≥3.6×(1＋20%)，解得 y≥
9
4，答：至少再
增加 3 个销售点10
23．(11 分)(2019·重庆)某菜市场有 2.5 平方米和 4 平方米两种摊位，2.5 平方米的摊
位数是 4 平方米摊位数的 2 倍．管理单位每月底按每平方米 20 元收取当月管理费，该菜市
场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费．
(1)菜市场每月可收取管理费 4500 元，求该菜市场共有多少个 4 平方米的摊位？
(2)为推进环保袋的使用，管理单位在 5 月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5
平方米和 4 平方米两种摊位的商户分别有 40%和 20%参加了此项活动．为提高大家使用环保
袋的积极性，6 月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活
动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，
这样，6 月份参加活动二的 2.5 平方米摊位的总个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的
基础上增加 2a%，每个摊位的管理费将会减少
3
10a%；6 月份参加活动二的 4 平方米摊位的总
个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 6a%，每个摊位的管理费将会减少
1
4
a%.这样，参加活动二的这部分商户 6 月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理
费将减少
5
18a%，求 a 的值．
解：(1)设该菜市场共有 x 个 4 平方米的摊位，则有 2x 个 2.5 平方米的摊位，依题意得
20×4x＋20×2.5×2x＝4500，解得 x＝25.答：该菜市场共有 25 个 4 平方米的摊位 (2)由
(1)可知 5 月份参加活动一的 2.5 平方米摊位的个数为 25×2×40%＝20(个)，5 月份参加活
动一的 4 平方米摊位的个数为 25×20%＝5(个).依题意得 20(1＋2a%)×20×2.5×
3
10a%＋
5(1＋6a%)×20×4×
1
4a%＝[20(1＋2a%)×20×2.5＋5(1＋6a%)×20×4]×
5
18a%，整理得 a2
－50a＝0，解得 a1＝0(舍去)，a2＝50.答：a 的值为 5011
第三章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．(2019·襄阳)下列说法错误的是( C )
A．必然事件发生的概率是 1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小
丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是( B )
A．
1
4 B．
1
2 C．
3
4 D．1
3．(攀枝花中考)布袋中装有除颜色外没有其它区别的 1 个红球和 2 个白球，搅匀后从
中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是( A )
A．
4
9 B．
2
9 C．
2
3 D．
1
3
4．小明和他的爸爸妈妈共 3 人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是( D )
A．
1
6 B．
1
3 C．
1
2 D．
2
3
5．(2019·绍兴)为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年
级男生，他们的身高 x(cm)统计如下：
组别(cm) x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 180 cm 的概率是
( D )
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
6．“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，在清明假期期间，小梅和小北姐弟二人准备
一起去采摘园赏梨花，但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方
式来确定谁去赏梨花，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入 2 个白色和 1 个黄色的乒乓球，
它们除颜色外其余都相同，游戏时先由小梅从中任意摸出 1 个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，
再由小北从口袋中摸出 1 个乒乓球，记下颜色，如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同，则小
梅赢，否则小北赢．则小北赢的概率是( D )12
A．
1
2 B．
1
3 C．
5
9 D．
4
9
7．(玉林中考)某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折
线图，则符合这一结果的实验可能是( D )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现 3 点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
8．由两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转
动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列
说法正确的是( D )
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果 A 转盘转出了蓝色，那么 B 转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动 A 转盘再转动 B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
1
6
第7题图
第8题图
第10题图
9．(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字
1
4，
1
2，1 的卡片，乙
中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：
从甲中任取一张卡片，将其数字记为 a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 b.若 a，b 能
使关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获
胜．则乙获胜的概率为( C )
A．
2
3 B．
5
9 C．
4
9 D．
1
3
10．(无锡中考)如图是一个沿 3×3 正方形方格纸的对角线 AB 剪下的图形，一质点 P
由 A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动 1 个单位长度，则点 P 由 A 点运动到 B 点的不同
路径共有( B )
A．4 条 B．5 条 C．6 条 D．7 条
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·舟山)从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的
概率为__
2
3__．
12．(2019·益阳)小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从
上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是__
1
6__．
13．(扬州中考)有 4 根细木棒，长度分别为 2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，从中任选 3 根，
恰好能搭成一个三角形的概率是__
3
4__．
14．(2019·白银)一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科
学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 德·摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基13
掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640
出现“正面朝
上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699
频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492
请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为__0.5__(精确到 0.1).
15．(2019·重庆)一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的 3 个红球，2 个
白球，1 个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一
个球，则两次都摸到红球的概率为__
1
4__.
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(2019·南通)第一盒中有 2 个白球、1 个黄球，第二盒中有 1 个白球、1 个
黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出 1 个球，求取出的 2 个球中有
1 个白球、1 个黄球的概率．
解：画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中取出的 2 个球中有 1 个白球、1 个黄
球的结果数为 3，所以取出的 2 个球中有 1 个白球、1 个黄球的概率＝
3
6＝
1
2
17．(9 分)(2019·包头)某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取 50 名九年
级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩(分) 23 25 26 28 30
人数(人) 4 18 15 8 5
(1)该校九年级有 450 名学生，估计体育测试成绩为 25 分的学生人数；
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为 23 分的甲、乙、丙、丁 4 名学生进行分组强化训
练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．(用列表或树状图方法解答)
解：(1)450×
18
50＝162(人)，答：该校九年级有 450 名学生，估计体育测试成绩为 25 分
的学生人数为 162 人
(2)画树状图如图，共有 12 个等可能的结果，∵丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组，
∴甲和乙恰好分在同一组的结果有 4 个，∴甲和乙恰好分在同一组的概率为
4
12＝
1
3
18．(9 分)(2019·贺州)箱子里有 4 瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这 4 瓶牛奶中
不放回地任意抽取 2 瓶．
(1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
(2)求抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．14
解：(1)设这四瓶牛奶分别记为 A，B，C，D，其中过期牛奶为 A，画树状图如图所示，
由图可知，共有 12 种等可能结果 (2)由树状图知，所抽取的 12 种等可能结果中，抽出的 2
瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有 6 种结果，所以抽出的 2 瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率
为
6
12＝
1
2
19．(9 分)(2019·徐州)如图，甲、乙两个转盘分别被分成了 3 等份与 4 等份，每份内
均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
(1)请将所有可能出现的结果填入下表：
乙
积
甲 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
(2)积为 9 的概率为__
1
12__；积为偶数的概率为__
2
3__；
(3)从 1～12 这 12 个整数中，随机选取 1 个整数，该数不是(1)中所填数字的概率为__
1
3
__．
解：(2)由表知，共有 12 种等可能结果，其中积为 9 的有 1 种，积为偶数的有 8 种结果，
所以积为 9 的概率为
1
12；积为偶数的概率为
8
12＝
2
3，故答案为：
1
12，
2
3 (3)从 1～12 这 12 个
整数中，随机选取 1 个整数，该数不是(1)中所填数字的有 5，7，10，11 这 4 种，∴此事件
的概率为
4
12＝
1
3，故答案为：
1
3
20．(9 分)在 3×3 的方格纸中，点 A，B，C，D，E，F 分别位于如图所示的小正方形的
顶点上．
(1)从 A，D，E，F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点 B，C 为顶点画三角形，
则所画三角形是等腰三角形的概率是__
1
4__；
(2)从 A，D，E，F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点 B，C 为顶
点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用树状图或列表法求解)．15
解：用树状图列出所有可能的结果：
∵以点 A，E，B，C 为顶点及以 D，F，B，C 为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画
的四边形是平行四边形的概率 P＝
4
12＝
1
3
21．(10 分)(2019·随州)“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学
生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，
绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有__60__人，条形统计图中 m 的值为__10__；
(2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为__96°__；
(3)若该中学共有学生 1800 人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安
全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为__1020__人；
(4)若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 人
参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概
率．
解：(1)接受问卷调查的学生共有 30÷50%＝60(人)，m＝60－4－30－16＝10；
故答案为：60，10 (2)扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数＝360
°×
16
60＝96°；故答案为：96° (3)该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基
本了解”程度的总人数为：1800×
4＋30
60 ＝1020(人)；故答案为：1020 (4)由题意列树状图：
由树状图可知，所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 8
种，
∴恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的概率为
8
12＝
2
3
22．(10 分)一只不透明的袋子中装有 4 个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标16
有数字 3，4，5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出 1 个球，并计算摸出的这 2 个小
球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总
次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450
“和为
8”出现
的次数
2 10 13 24 30 37 58 82 110 150
“和为
8”出现
的频率
0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为 8”的频率将稳定在它的概率
附近，估计出现“和为 8”的概率是__0.33__；
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为 9 的概率是
1
3，那么 x 的值可以取 7 吗？请用列
表法或画树状图法说明理由；如果 x 的值不可以取 7，请写出一个符合要求的 x 值．
解：(1)0.33
(2)当 x＝7 时，如表，则两个小球上数字之和为 9 的概率是
2
12＝
1
6，故 x 的值不可以取
7 ； ∵ 出 现 和 为 9 的 概 率 是 三 分 之 一 ， 如 图 ， 即 有 3 种 可 能 ，
∴3＋x＝9 或 5＋x＝9 或 4＋x＝9，解得 x＝4，x＝5，
x＝6，当 x＝6 时，出现和为 8 的概率为
1
6，故 x＝6 舍去，故 x 的值可以为 4，5 其中一个
23．(11 分)(2019·连云港)现有 A、B、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、
蓝球各 1 个，B 盒中装有红球、黄球各 1 个，C 盒中装有红球、蓝球各 1 个，这些球除颜色
外都相同．现分别从 A、B、C 三个盒子中任意摸出一个球．
(1)从 A 盒中摸出红球的概率为__
1
3__；
(2)用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
解：(1)从 A 盒中摸出红球的概率为
1
3；故答案为：
1
3 (2)画树状图如图所示：17
共有 12 种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有 10 种，∴摸出的三
个球中至少有一个红球的概率为
10
12＝
5
6
第四章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．如果 mn＝ab，那么下列比例式中错误的是( C )
A．
a
m＝
n
b B．
a
n＝
m
b C．
m
a＝
n
b D．
m
a＝
b
n
2．(2019·沈阳)已知△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′是它们的对应中线，若 AD＝
10，A′D′＝6，则△ABC 与△A′B′C′的周长比是( C )
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
3．(哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥
BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( D )
A．
AB
AE＝
AG
AD B．
DF
CF＝
DG
AD C．
FG
AC＝
EG
BD D．
AE
BE＝
CF
DF
第3题图
第4题图
第6题图
4．(2019·玉林)如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则相似三角形共有
( C )
A．3 对 B．5 对 C．6 对 D．8 对
5．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知
这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( A )
A．12.36 cm B．13.6 cm C．32.36 cm D．7.64 cm
6．(2019·巴中)如图▱ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE∶AD＝1∶3，连结 EF
交 DC 于点 G，则 S△DEG：S△CFG＝( D )
A．2∶3 B．3∶2 C．9∶4 D．4∶9
7．(2019·锦州)在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，M 是对角线 BD 上的动点，过点 M 作
ME⊥BC 于点 E，连接 AM，当△ADM 是等腰三角形时，ME 的长为( C )
A．
3
2 B．
6
5 C．
3
2或
3
5 D．
3
2或
6
5
第8题图
第9题图
第10题图
8．如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(－1，0).以点 C 为
位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2
倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是( D )18
A．－
1
2a B．－
1
2(a＋1) C．－
1
2(a－1) D．－
1
2(a＋3)
9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝
∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C )
A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5
10．(2019·东营)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC，BD 的交点，过点 O 作射
线 OM，ON 分别交 BC，CD 于点 E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF 交于点 G.给出下列结论：
①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形 CEOF 的面积为正方形 ABCD 面积的
1
4；④DF2＋
BE2＝OG·OC.其中正确的是( B )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．若 x∶y＝1∶2，则
x－y
x＋y＝__－
1
3__．
12．(连云港中考)如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝
1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为__1∶9__．
第12题图
第13题图
第14题图
第15题图
13．(2019·阜新)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AC 边上的一点，DE 垂直
平分 AB，垂足为点 E.若 AC＝8，BC＝6，则线段 DE 的长度为__
15
4 __．
14．(2019·烟台)如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，△
ABO 的顶点坐标分别为 A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1 的顶点坐标分别为
A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO 与△A1B1O1 是以点 P 为位似中心的位似图形，
则 P 点的坐标为__(－5，－1)__．
15．(2019·无锡)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝4 5，D 为边 AB 上一动点(B 点
除外)，以 CD 为一边作正方形 CDEF，连接 BE，则△BDE 面积的最大值为__8__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(杭州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点
E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．
解：(1)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE
∽△CAD (2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在 Rt△ADB 中，AD＝ AB2－BD2＝12，∵
1
2·AD·BD＝
1
2·AB·DE，∴DE＝
60
1319
17．(9 分)(凉山州中考)如图，在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知
△ABC 三个顶点分别为 A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).
(1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且相
似比为 2，并求出△A2B2C2 的面积．
解：(1)如图所示，△A 1B1C1 就是所求三角形 (2)如图所示，△A 2B2C2 就是所求三角
形．分别过点 A2，C2 作 y 轴的平行线，过点 B2 作 x 轴的平行线，交点分别为 E，F，∵A(－
1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2 与△ABC 位似，且相似比为 2，∴A2(－2，4)，B2(4，
2) ， C2(8 ， 10) ， ∴ S △ A2B2C2 ＝ 8×10 －
1
2×6×2 －
1
2×4×8 －
1
2×6×10 ＝ 28
18．(9 分)如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC，E 是 DC 延长线上的点，连接 AE，
交 BC 于点 F.
(1)求证：△ABF∽△ECF；
(2)如果 AD＝5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，求 CE 的长．
解：(1)∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF (2)∵AD＝BC，AD＝
5 cm，AB＝8 cm，CF＝2 cm，∴BF＝3 cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴
BA
CE＝
BF
CF，即
8
CE＝
3
2.∴CE＝
16
3 cm
19．(9 分)(福建中考)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根
据给出的△ABC 及线段 A′B′，∠A′(∠A′＝∠A)，以线段 A′B′为一边，在给出的图形
上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已20
有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求
(2)已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，
A′B′
AB ＝
B′C′
BC ＝
A′C′
AC ＝k，D 是 AB 的中点，
D′是 A′B′的中点，求证：
C′D′
CD ＝k.证明：∵D 是 AB 的中点，D′是 A′B′的中点，∴
AD＝
1
2AB，A′D′＝
1
2A′B′，∴
A′D′
AD ＝
1
2A′B′
1
2AB
＝
A′B′
AB ，∵△ABC∽△A′B′C′，∴
A′B′
AB
＝
A′C′
AC ，∠A′＝∠A，∵
A′D′
AD ＝
A′C′
AC ，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴
C′D′
CD
＝
A′C′
AC ＝k
20．(9 分)(2019·雅安)如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 经过 O，分别交
AB，CD 于点 E，F，EF 的延长线交 CB 的延长线于 M.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若 AD＝4，AB＝6，BM＝1，求 BE 的长．
解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE 和△COF 中，{∠OAE＝∠OCF，
OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF( ASA)，∴OE＝OF (2)过点 O 作
ON∥BC 交 AB 于 N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝
1
2BC＝2，BN＝
1
2AB＝3，∵ON∥BC，∴△
ONE∽△MBE，∴
ON
BM＝
NE
BE，即
2
1＝
3－BE
BE ，解得 BE＝121
21．(10 分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军
一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，
两人在灯下沿直线 NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 A 点(距 N 点 5 块地砖长)时，其
影长 AD 恰好为 1 块地砖长；当小军正好站在广场的 B 点(距 N 点 9 块地砖长)时，其影长 BF
恰好为 2 块地砖长．已知广场地面由边长为 0.8 米的正方形地砖铺成，小聪的身高 AC 为 1.6
米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高 BE 的长．(结果精确到
0.01 米)
解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴
CA
MN＝
AD
ND，∴
1.6
MN
＝
1 × 0.8
（5＋1） × 0.8，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△
MFN，∴
EB
MN＝
BF
NF，∴
EB
9.6＝
2 × 0.8
（2＋9） × 0.8，∴EB≈1.75，∴小军身高约为 1.75 米
22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别
交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连接 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H.
(1)求 DE 的长；
(2)求证：∠1＝∠DFC.
(1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝
∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5，∴
CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴
AD
CF＝
DE
CE，设 DE＝x，则
3
5＝
x
4－x，解得 x＝
3
2，∴DE＝
3
2 (2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵
AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴
DG
BG＝
AD
BH，∴
DG
5－DG＝
3
5，∴DG＝
15
8 ，∵DE＝
3
2，∴
DE
DG＝
DC
DB＝
4
5，∴
EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC
23．(11 分)(苏州中考)问题 1：如图①，在△ABC 中，AB＝4，D 是 AB 上一点(不与 A，22
B 重合)，DE∥BC，交 AC 于点 E，连接 CD.设△ABC 的面积为 S，△DEC 的面积为 S′.
(1)当 AD＝3 时，
S′
S ＝________；
(2)设 AD＝m，请你用含字母 m 的代数式表示
S′
S .
问题 2：如图②，在四边形 ABCD 中，AB＝4，AD∥BC，AD＝
1
2BC，E 是 AB 上一点(不与
A，B 重合)，EF∥BC，交 CD 于点 F，连接 CE.设 AE＝n，四边形 ABCD 的面积为 S，△EFC 的
面积为 S′.请你利用问题 1 的解法或结论，用含字母 n 的代数式表示
S′
S .
解：问题 1：(1)∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝4－3＝1，∵DE∥BC，∴
CE
EA＝
BD
AD＝
1
3，∴
S △ DEC
S △ ADE
＝
EC
AE＝
1
3＝
3
9，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
S △ ADE
S △ ABC＝(
3
4)2＝
9
16，∴
S △ DEC
S △ ABC＝
3
16，即
S′
S ＝
3
16 (2)∵AB＝4，AD＝m，∴BD＝4－m，∵DE∥BC，∴
CE
EA＝
BD
AD＝
4－m
m ，∴
S △ DEC
S △ ADE＝
CE
AE＝
4－m
m ，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
S △ ADE
S △ ABC＝(
m
4)2＝
m2
16，∴
S △ DEC
S △ ABC＝
S △ DEC
S △ ADE·
S △ ADE
S △ ABC＝
4－m
m ·
m2
16＝
－m2＋4m
16 ，即
S′
S ＝
－m2＋4m
16 问题 2：如图②，分别延长 BA，CD 交于点 O，∵AD
∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴
OA
OB＝
AD
BC＝
1
2，∴OA＝AB＝4，∴OB＝8，∵AE＝n，∴OE＝4＋n，∵
EF∥BC，由问题 1 的解法可知：
S △ CEF
S △ OBC＝
S △ CEF
S △ OEF·
S △ OEF
S △ OBC＝
4－n
4＋n×(
4＋n
8 )2＝
16－n2
64 ，∵
S △ OAD
S △ OBC＝(
OA
OB)2＝
1
4，∴
S四边形ABCD
S △ OBC ＝
3
4，∴
S △ CEF
S四边形ABCD＝
S △ CEF
3
4S △ OBC
＝
4
3×
16－n2
64 ＝
16－n2
48 ，即
S′
S ＝
16－n2
4823
第五章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列哪种影子不是中心投影( A )
A．阳光下林荫道上的树影 B．晚上在墙上的手影
C．舞厅中霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
2．(2019·湘潭)下列立体图形中，俯视图是三角形的是( C )
3．(2019·黄冈)如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左
视图是( B )
4．(2019·张家界)下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形
的是( C )24
5．(2019·台州)如图是某几何体的三视图，则该几何体是( C )
A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
6．(2019·咸宁)如图是由 5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 A
放到小正方体 B 的正上方，则它的( A )
A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
7．(2019·齐齐哈尔)如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和
俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为( B )
A．5 B．6 C．7 D．8
8．(2019·滨州)如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列
说法正确的是( A )
A．主视图的面积为 4 B．左视图的面积为 4
C．俯视图的面积为 3 D．三种视图的面积都是 4
9．(常德中考)把图①中的正方体的一角切下后摆在图②所示的位置，则图②中的几何
体的主视图为( D )
10．如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为( B )
A.236π
B．136π
C．132π
D．120π
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·北京)在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是__①②__．(写出所
有正确答案的序号)
第11题图
第12题图
第13题图
12．三角尺在灯泡 O 的照射下在墙上形成影子(如图所示).现测得 OA＝20 cm，OA′＝50
cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是__2∶5__．25
13．(2019·攀枝花)如图是一个多面体的表面展开图，如果面 F 在前面，从左面看是面
B，那么从上面看是面__C__．(填字母)
14．如图，直角坐标平面内，小明站在点 A(－10，0)处观察 y 轴，眼睛距地面 1.5 米，
他的前方 5 米处有一堵墙 DC，若墙高 DC＝2 米，则 y 轴上 OE 的长度为__2.5__米．
第14题图
第15题图
15．如图，是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是__17 π
_cm3__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)如图所示，将第一行的四个物体与第二行其相应的俯视图连接起来．
解：第一行的①，②，③，④与第二行的③，①，②，④对应
17．(9 分)画出如图所示立体图的三视图．
解：
18．(9 分)如图，这是从上向下看由几个小正方体搭成的几何体得到的图形，小正方形
上的数字表示在该位置上小正方体的个数，请画出它的三视图．26
解：
19．(9 分)如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻 AB 在阳光
下的投影 BC＝3 m.
(1)请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影；
(2)在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6 m，请你计算 DE 的长．
解：(1)连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交地面于点 F，线段 EF 即为 DE 的投影 (2)∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE.又∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∴△ABC∽△DEF.∴
AB
DE＝
BC
EF，即
5
DE＝
3
6.∴DE＝10
m
20．(9 分)如图，某游乐园门口需要修建一个由正方体和圆柱组合而成的一个立体雕塑，
已知正方体的边长与圆柱的直径及高相等，都是 0.8 m.
(1)请画出它的主视图、左视图、俯视图；
(2)为了好看，需要在这立体雕塑表面刷一层油漆，已知油漆每平方米 40 元，那么一共
需要花费多少元？(温馨提示：雕塑底面不用刷漆，结果精确到 0.1)
解：(1)图略 (2)根据题意得出：0.8×0.8×5＋0.8π×0.8＝(0.64π＋3.2)m2，40×
(0.64π＋3.2)≈208.4(元). 答：一共需要花费 208.4 元27
21．(10 分)李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有
这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李
航边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子
重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度 CD＝1.2 m，CE＝0.6 m，CA＝
30 m(点 A，E，C 在同一直线上).已知李航的身高 EF 是 1.6 m，请你帮李航求出楼高 AB.
解：过点 D 作 DN⊥AB，垂足为 N.交 EF 于 M 点，∴四边形 CDME，ACDN 是矩形，∴AN＝ME
＝CD＝1.2 m，DN＝AC＝30 m，DM＝CE＝0.6 m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4(m)，∴依题
意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴
DM
DN＝
MF
BN，即
0.6
30 ＝
0.4
BN ，BN＝20，AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝
21.2.答：楼高为 21.2 米
22．(10 分)学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的碟子，碟子的个数
与碟子的高度的关系如下表：
碟子的个数 碟子的高度
(单位：cm)
1 2
2 2＋1.5
3 2＋3
4 2＋4.5
… …
(1)当桌子上放有 x 个碟子时，请写出此时碟子的高度；(用含 x 的式子表示)
(2)分别从三个方向上看，其三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐叠成一摞，求叠
成一摞后的高度．
解：(1)碟子的高度为 2＋1.5(x－1)＝(1.5x＋0.5)cm (2)由三视图可知共有 12 个碟
子，∴叠成一摞的高度为 1.5×12＋0.5＝18.5(cm)
23．(11 分)如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B，当他走到 P 点时，发现他身后影子
的顶部刚好接触到路灯 A 的底部，当他向前再步行 12 m 到达 Q 点时，发现了身前的影子的
顶部刚好接触到路灯 B 的底部．已知小华的身高是 1.6 m，两个路灯的高度都是 9.6 m，且
AP＝QB.
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当小华走到路灯 B 底部时，他在路灯 A 下的影长是多少？28
解：(1)∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，∴
AP
AB＝
PM
BD，即
AP
AB＝
1.6
9.6，∴AP＝
1
6AB，∵AP＝QB，∴
BQ＝
1
6AB，而 AP＋PQ＋BQ＝AB，∴
1
6AB＋12＋
1
6AB＝AB，∴AB＝18.答：两个路灯之间的距离
为 18 m
(2)如图，设他在路灯 A 下的影子为 BF，∵BE∥AC，∴△FBE∽△FAC，∴
BF
AF＝
BE
AC，即
BF
BF＋18
＝
1.6
9.6，解得 BF＝3.6.答：他在路灯 A 下影长是 3.6 m29
第六章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．下列函数中，变量 y 是 x 的反比例函数的是( B )
A．y＝
1
x2 B．y＝5x－1 C．y＝
2
x＋3 D．y＝
1
x＋1
2．(2019·海南)如果反比例函数 y＝
a－2
x (a 是常数)的图象在第一、三象限，那么 a 的
取值范围是( D )
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
3．(2019·江西)已知正比例函数 y1 的图象与反比例函数 y2 的图象相交于点 A(2，4)，
下列说法正确的是( C )
A．反比例函数 y2 的解析式是 y2＝－
8
x
B．两个函数图象的另一交点坐标为(2，－4)
C．当 x＜－2 或 0＜x＜2 时，y1＜y2
D．正比例函数 y1 与反比例函数 y2 都随 x 的增大而增大
4．(2019·阜新)如图，点 A 在反比例函数 y＝
3
x(x＞0)的图象上，过点 A 作 AB⊥x 轴，
垂足为点 B，点 C 在 y 轴上，则△ABC 的面积为( C )
A．3 B．2 C．
3
2 D．1
第4题图
第6题图
第8题图
第9题图
5．(2019·广州)若点 A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y＝
6
x的图象上，
则 y1，y2，y3 的大小关系是( C )
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
6．已知一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数 y2＝
m
x(m≠0)的图象如图所示，则当 y1
＞y2 时，自变量 x 满足的条件是( A )
A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3
7．(2019·通辽)关于 x，y 的二元一次方程组{x－2y＝k，
2x－3y＝－4k的解满足 x＜y，则直线 y＝
kx－k－1 与双曲线 y＝
k
x在同一平面直角坐标系中大致图象是( B )
8．春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某30
校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 5 min 的集中
药物喷洒，再封闭宿舍 10 min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量 y(mg/m3)
与药物在空气中的持续时间 x(min)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次
函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是( C )
A．经过 5 min 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10 mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于 8 mg/m3 的持续时间达到了 11 min
C．当室内空气中的含药量不低于 5 mg/m3 且持续时间不低于 35 分钟，才能有效杀灭某
种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于 2mg/m3 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含
药量达到 2 mg/m3 开始，需经过 59 min 后，学生才能进入室内
9．(2019·济宁)如图，点 A 的坐标是(－2，0)，点 B 的坐标是(0，6)，C 为 OB 的中点，
将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′BC′.若反比例函数 y＝
k
x的图象恰好经过 A′B
的中点 D，则 k 的值是( C )
A．9 B．12 C．15 D．18
10．(2019·淄博)如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以 A1，A2，A3，…为直
角顶点，一条直角边在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 C1(x1，y1)，C2(x2，
y2)，C3(x3，y3)，…均在反比例函数 y＝
4
x(x＞0)的图象上．则 y1＋y2＋…＋y10 的值为( A )
A．2 10 B．6 C．4 2 D．2 7
第10题图
第13题图
第15题图
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．(2019·镇江)已知点 A(－2，y 1)，B(－1，y2)都在反比例函数 y＝－
2
x的图象上，
则 y1__＜__y2.(填“＞”或“＜”)
12．(2019·云南)若点(3，5)在反比例函数 y＝
k
x(k≠0)的图象上，则 k＝__15__．
13．(2019·丹东)如图，点 A 在双曲线 y＝
6
x(x＞0)上，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，点 C
在线段 AB 上且 BC∶CA＝1∶2，双曲线 y＝
k
x(x＞0)经过点 C，则 k＝__2__．
14．在对物体做功一定的情况下，力 F(N)与此物体在力的方向上移动的距离 s(m)成反
比例函数关系，点 P(4，3)在图象上，则当力达到 10N 时，物体在力的方向上移动的距离是
__1.2__m.
15．(2019·衢州)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱ABCD 的边 AB 在 x 轴上，
顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将△AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点
E 处，点 B 恰好为 OE 的中点，DE 与 BC 交于点 F.若 y＝
k
x(k≠0)图象经过点 C，且 S△BEF＝1，
则 k 的值为__24__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)(2019·吉林)已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x＝2 时，y＝6.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式；
(2)当 x＝4 时，求 y 的值．31
解：(1)y 是 x 的反比例函数，所以设 y＝
k
x(k≠0)，当 x＝2 时，y＝6.所以 k＝12，所
以 y＝
12
x (2)当 x＝4 时，y＝3
17．(9 分)(2019·梧州)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数
字－1，1，2.第一次从袋中任意摸出一个小球(不放回)，得到的数字作为点 M 的横坐标 x；
再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点 M 的纵坐标 y.
(1)用列表法或树状图法，列出点 M(x，y)的所有可能结果；
(2)求点 M(x，y)在双曲线 y＝－
2
x上的概率．
解：(1)用树状图表示点 M(x，y)的所有可能结果：(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，
(1，2)，(2，－1)，(2，1)，共六种情况 (2)在点 M 的六种情况中，只有(－1，2)(2，－1)
两种在双曲线 y＝－
2
x上，∴P＝
2
6＝
1
3；因此，点 M(x，y)在双曲线 y＝－
2
x上的概率为
1
3
18．(9 分)(杭州中考)已知一艘轮船上装有 100 吨货物，轮船到达目的地后开始卸
货．设平均卸货速度为 v(单位：吨/小时)，卸完这批货物所需的时间为 t(单位：小时)．
(1)求 v 关于 t 的函数表达式；
(2)若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？
解：(1)v＝
100
t (2)∵不超过 5 小时卸完船上的这批货物，∴t≤5，则 v≥
100
5 ＝20，
答：平均每小时至少要卸货 20 吨
19．(9 分)(2019·广安)如图，已知 A(n，－2)，B(－1，4)是一次函数 y＝kx＋b 和反
比例函数 y＝
m
x的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△AOB 的面积．
解：(1)∵A(n，－2)，B(－1，4)是一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝
m
x的图
象的两个交点，∴4＝
m
－1，得 m＝－4，∴y＝－
4
x，∴－2＝－
4
n，得 n＝2，∴点 A(2，－2)，∴32
{2k＋b＝－2，
－k＋b＝4， 解得{k＝－2，
b＝2， ∴一次函数解析式为 y＝－2x＋2，即反比例函数解析式为 y＝
－
4
x，一次函数解析式为 y＝－2x＋2 (2)设直线与 y 轴的交点为 C，当 x＝0 时，y＝－2×0
＋2＝2，∴点 C 的坐标是(0，2)，∵点 A(2，－2)，点 B(－1，4)，∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝
1
2×2×2＋
1
2×2×1＝3
20．(9 分)(2019·百色)如图，已知平行四边形 OABC 中，点 O 为坐标原点，点 A(3，0)，
C(1，2)，函数 y＝
k
x(k≠0)的图象经过点 C.
(1)求 k 的值及直线 OB 的函数表达式；
(2)求四边形 OABC 的周长．
解：(1)依题意有：点 C(1，2)在反比例函数 y＝
k
x(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝2，∵
A(3，0)，∴CB＝OA＝3，又∵CB∥x 轴，∴B(4，2)，
设直线 OB 的函数表达式为 y＝ax，∴2＝4a，∴a＝
1
2，∴直线 OB 的函数表达式为 y＝
1
2x
(2)作 CD⊥OA 于点 D，∵C(1，2)，∴OC＝ 12＋22＝ 5，在平行四边形 OABC 中，CB＝OA＝
3，AB＝OC＝ 5，∴四边形 OABC 的周长为：3＋3＋ 5＋ 5＝6＋2 5，即四边形 OABC 的
周长为 6＋2 5
21．(10 分)(2019·襄阳)如图，已知一次函数 y1＝kx＋b 与反比例函数 y2＝
m
x的图象在
第一、第三象限分别交于 A(3，4)，B(a，－2)两点，直线 AB 与 y 轴，x 轴分别交于 C，D 两
点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)比较大小：AD__＝__BC(填“＞”或“＜”或“＝”)；
(3)直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围．
解：(1)把 A(3，4)代入反比例函数 y2＝
m
x得 4＝
m
3，解得 m＝12，∴反比例函数的解析式33
为 y2＝
12
x ；∵点 B(a，－2)在反比例函数 y 2＝
m
x的图象上，∴－2a＝12，解得 a＝－6，∴
B(－6，－2)，∵一次函数 y1＝kx＋b 的图象经过 A(3，4)，B(－6，－2)两点，∴{3k＋b＝4，
－6k＋b＝－2，
解得{k＝
2
3，
b＝2，
∴一次函数的解析式为 y1＝
2
3x＋2 (2)由一次函数的解析式为 y1＝
2
3x＋2 可知
C(0，2)，D(－3，0)，∴AD＝ （3＋3）2＋42＝2 13，BC＝ 62＋（－2－2）2＝2 13，∴
AD＝BC，故答案为：＝ (3)由图象可知：y1＜y2 时 x 的取值范围是 x＜－6 或 0＜x＜3
22．(10 分)(2019·济南)如图 1，点 A(0，8)，点 B(2，a)在直线 y＝－2x＋b 上，反比
例函数 y＝
k
x(x＞0)的图象经过点 B.
(1)求 a 和 k 的值；
(2)将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m＞0)，得到对应线段 CD，连接 AC，BD.
①如图 2，当 m＝3 时，过 D 作 DF⊥x 轴于点 F，交反比例函数图象于点 E，求
DE
EF的值；
②在线段 AB 运动过程中，连接 BC，若△BCD 是以 BC 为腰的等腰三角形，求所有满足条
件的 m 的值．
解：(1)∵点 A(0，8)在直线 y＝－2x＋b 上，∴－2×0＋b＝8，∴b＝8，∴直线 AB 的
解析式为 y＝－2x＋8，将点 B(2，a)代入直线 AB 的解析式 y＝－2x＋8 中，得－2×2＋8＝
a，∴a＝4，∴B(2，4)，将 B(2，4)代入反比例函数解析式 y＝
k
x(x＞0)中，得 k＝8 (2)①
由(1)知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函数解析式为 y＝
8
x，当 m＝3 时，∴将线段 AB 向右平
移 3 个单位长度，得到对应线段 CD，∴D(2＋3，4)，即 D(5，4)，∵DF⊥x 轴于点 F，交反
比例函数 y＝
8
x的图象于点 E，∴E(5，
8
5)，∴DE＝4－
8
5＝
12
5 ，EF＝
8
5，∴
DE
EF＝
12
5
8
5
＝
3
2；
②如图，∵将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m＞0)，得到对应线段 CD，∴CD＝AB，AC34
＝BD＝m，∵A(0，8)，B(2，4)，∴C(m，8)，D((m＋2，4)，∵△BCD 是以 BC 为腰的等腰三
角形，∴Ⅰ、当 BC＝CD 时，∴BC＝AB，∴点 B 在线段 AC 的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，
Ⅱ 、 当 BC ＝ BD 时 ， ∵ B(2 ， 4) ， C(m ， 8) ， ∴ BC ＝ （m－2）2＋（8－4）2， ∴
（m－2）2＋（8－4）2＝m，∴m＝5，即：△BCD 是以 BC 为腰的等腰三角形，满足条件的 m
的值为 4 或 5
23．(11 分)(黔南州中考)如图①，已知矩形 AOCB，AB＝6 cm，BC＝16 cm，动点 P 从点
A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 O 运动，直到点 O 为止；动点 Q 同时从点 C 出发，以 2 cm/s
的速度向点 B 运动，与点 P 同时结束运动．
(1)点 P 到达终点 O 的运动时间是________s，此时点 Q 的运动距离是________cm；
(2)当运动时间为 2 s 时，P，Q 两点的距离为________ cm；
(3)请你计算出发多久时，点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm；
(4)如图②，以点 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OA 所在直线为 y 轴，1cm 长为单
位长度建立平面直角坐标系，连接 AC，与 PQ 相交于点 D，若双曲线 y＝
k
x过点 D，问 k 的值
是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 k 的值．
解：(1)∵四边形 AOCB 是矩形，
∴OA＝BC＝16，∵动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 O 运动，∴t＝
16
3 ，此时，
点 Q 的运动距离是
16
3 ×2＝
32
3 (cm)，故答案为
16
3 ，
32
3 (2)如图①，当运动时间为 2 s 时，AP
＝3×2＝6(cm)，CQ＝2×2＝4(cm)，过点 P 作 PE⊥BC 于 E，∴四边形 APEB 是矩形，∴PE＝
AB＝6，BE＝6，∴EQ＝BC－BE－CQ＝16－6－4＝6，根据勾股定理得，PQ＝6 2，故答案为 6
2 (3)设运动时间为 t 秒时，由运动知，AP＝3t，CQ＝2t，同(2)的方法得，PE＝6，EQ＝
16－3t－2t＝16－5t，∵点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm，∴62＋(16－5t)2＝100，∴t＝
8
5
或 t＝
24
5 (4)k 的值不会变化，理由：∵四边形 AOCB 是矩形，∴OC＝AB＝6，OA＝16，∴
C(6，0)，A(0，16)，∴直线 AC 的表达式为 y＝－
8
3x＋16①，设运动时间为 t，∴AP＝3t，CQ
＝2t，∴OP＝16－3t，∴P(0，16－3t)，Q(6，2t)，∴PQ 表达式为 y＝
5t－16
6 x＋16－3t②，35
联立①②解得 x＝
18
5 ，y＝
32
5 ，∴D(
18
5 ，
32
5 )，∴k＝
18
5 ×
32
5 ＝
576
25 是定值
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