北师大版九年级数学上册期中检测题（附答案）

1 期中检测题 (时间：100 分钟　　满分：120 分) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列判断错误的是( D ) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 2．(2019·湘西州)一元二次方程 x2－2x＋3＝0 根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．(2019·淮安)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( B ) A．k＜－1 B．k＞－1 C．k＜1 D．k＞1 4．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，则∠1＝( D ) A．30° B．25° C．20° D．15° 第4题图　　　　　 第9题图　　　　　 第10题图 5．若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与 2 x＋3＝ 1 x－a有一个解相同，则 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－3 C．－1 D．－1 或 3 6．如图是边长为 10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中， 裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( A ) 7．(2019·东营)从 1，2，3，4 中任取两个不同的数，分别记为 a 和 b，则 a2＋b2＞19 的概率是( D ) A． 1 2 B． 5 12 C． 7 12 D． 1 3 8．(2019·衡阳)国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某 地区 2016 年底有贫困人口 9 万人，通过社会各界的努力，2018 年底贫困人口减少至 1 万 人．设 2016 年底至 2018 年底该地区贫困人口的年平均下降率为 x，根据题意列方程得( B ) A．9(1－2x)＝1 B．9(1－x)2＝1 C．9(1＋2x)＝1 D．9(1＋x)2＝1 9．(郴州中考)如图，在正方形 ABCD 中，△ABE 和△CDF 为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝ 90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则 EF 的长是( C ) A．7 B．8 C．7 2 D．7 3 10．(2019·安徽)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC＝12， 点 P 在正方形的边上，则满足 PE＋PF＝9 的点 P 的个数是( D ) A．0 B．4 C．6 D．82 点拨：如图，作点 F 关于 BC 的对称点 M，连接 FM 交 BC 于点 N，连接 EM，交 BC 于点 H，∵ 点 E，F 将对角线 AC 三等分，且 AC＝12，∴EC＝8，FC＝4＝AE，∵点 M 与点 F 关于 BC 对称，∴ CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝ EC2＋CM2＝4 5，则在线段 BC 上存在点 H 到点 E 和点 F 的距离之和最小为 4 5＜9，在点 H 右侧，当点 P 与点 C 重合时， 则 PE＋PF＝12，∴点 P 在 CH 上时，4 5＜PE＋PF≤12，在点 H 左侧，当点 P 与点 B 重合时， BF＝ FN2＋BN2＝2 10，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF(SAS)，∴BE ＝BF＝2 10，∴PE＋PF＝4 10，∴点 P 在 BH 上时，4 5＜PE＋PF＜4 10，∴在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P 使 PE＋PF＝9，同理在线段 AB，AD，CD 上都存在两个点使 PE ＋PF＝9.即共有 8 个点 P 满足 PE＋PF＝9，故选：D. 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·威海)一元二次方程 3x2＝4－2x 的解是__x1＝ －1＋ 13 3 ，x2＝ －1－ 13 3 __． 12．(黑龙江中考)如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 EB， EC，DB，请你添加一个条件__EB＝DC(答案不唯一)__，使四边形 DBCE 是矩形． 第12题图　　 第14题图 13．(2019·玉林)我市博览馆有 A，B，C 三个入口和 D，E 两个出口，小明入馆游览， 他从 A 口进 E 口出的概率是__ 1 6__． 14．(2019·宁夏)你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法 呢！以方程 x2＋5x－14＝0 即 x(x＋5)＝14 为例加以说明．数学家赵爽(公元 3～4 世纪)在 其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如上面左图)中大正方形的面积是(x＋ x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，据此易得 x ＝2.那么在上面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上)中，能够 说明方程 x2－4x－12＝0 的正确构图是__②__．(只填序号) 15．(2019·营口)如图，在矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝3，点 E 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 AD 向点 D 运动，同时点 F 从点 C 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 CB 向点 B 运动，当点 E 到达点 D 时，点 E，F 同时停止运动．连接 BE，EF，设点 E 运动的时间 为 t，若△BEF 是以 BE 为底的等腰三角形，则 t 的值为__ 5 ± 7 4 __． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分) 解下列方程： (1)4x2－(3x＋1)2＝0; (2)(徐州中考)2x2－x－1＝0.3 解：x1＝－ 1 5，x2＝－1 解：x1＝－ 1 2，x2＝1 17．(9 分)(2019·百色)如图，在菱形 ABCD 中，作 BE⊥AD，CF⊥AB，分别交 AD，AB 的 延长线于点 E，F. (1)求证：AE＝BF； (2)若点 E 恰好是 AD 的中点，AB＝2，求 BD 的值． 解：(1)四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠ AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF　(2)∵E 是 AD 中点，且 BE⊥AD，∴ 直线 BE 为 AD 的垂直平分线，∴BD＝AB＝2 18．(9 分)(2019·黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋(4m＋1)＝0 有实数根． (1)求 m 的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为 x1，x2，且|x1－x2|＝4，求 m 的值． 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋(4m＋1)＝0 有实数根，∴Δ＝(－6) 2－ 4×1×(4m＋1)≥0，解得：m≤2　(2)∵方程 x2－6x＋(4m＋1)＝0 的两个实数根为 x1，x2，∴ x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42，即 32－16m＝16，解得 m＝1 19．(9 分)(2019·贵港)为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增加到 7.2 万册． (1)求这两年藏书的年均增长率； (2)经统计知：中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%，在这两年 新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 解：(1)设这两年藏书的年均增长率是 x，5(1＋x)2＝7.2，解得，x1＝0.2，x2＝－2.2(舍 去)，答：这两年藏书的年均增长率是 20%　(2)在这两年新增加的图书中，中外古典名著有 (7.2－5)×20%＝0.44(万册)，到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是 5 × 5.6%＋0.44 7.2 ×100%＝10%，答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 20．(9 分)(2019·江西)为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我 爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲). 比赛时，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下 放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随 机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． (1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__ 1 3__；4 (2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不 同歌曲的概率． 解：(1)因为有 A，B，C 3 种等可能结果，所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概 率是 1 3；故答案为 1 3　(2)树状图如图所示： 共有 9 种可能，八(1) 班和八(2)班抽中不同歌曲的概率＝ 6 9＝ 2 3 21．(10 分)(2019·济宁)某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调 查了部分学生，调查结果按性别整理如下： 女生阅读时间人数统计表 阅读时间 t(小时) 人数 占女生人数百分比 0≤t＜0.5 4 20% 0.5≤t＜1 m 15% 1≤t＜1.5 5 25% 1.5≤t＜2 6 n 2≤t＜2.5 2 10% 根据图表解答下列问题： (1)在女生阅读时间人数统计表中，m＝__3__，n＝__30%__； (2)此次抽样调查中，共抽取了__50__名学生，学生阅读时间的中位数在__1≤t＜1.5__ 时间段； (3)从阅读时间在 2～2.5 小时的 5 名学生中随机抽取 2 名学生参加市级阅读活动，恰好 抽到男女生各一名的概率是多少？ 解：(1)女生总人数为 4÷20%＝20(人)，∴m＝20×15%＝3，n＝ 6 20×100%＝30%，故答 案为：3，30%　(2)学生总人数为 20＋6＋5＋12＋4＋3＝50(人)，这组数据的中位数是第 25，26 个数据的平均数，而第 25，26 个数据均落在 1≤t＜1.5 范围内，∴学生阅读时间的 中位数在 1≤t＜1.5 时间段，故答案为：50，1≤t＜1.5　(3)学习时间在 2～2.5 小时的有 女生 2 人，男生 3 人． 共有 20 种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是 12 20＝ 3 5 22．(10 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝5，E，P 分别在 AD，BC 上，且 DE＝BP ＝1. (1)判断△BEC 的形状，并说明理由；5 (2)判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断； (3)求四边形 EFPH 的面积． 解：(1)△BEC 是直角三角形．理由：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°， AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得：CE＝ CD2＋DE2＝ 5，同理 BE＝2 5，∴CE2＋BE2 ＝25，∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴△BEC 是直角三角形　(2)四边形 EFPH 为矩形， 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BP，∴四边形 DEBP 是平行四边形，∴ BE∥DP，∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，∴四边形 AECP 是平行四边形，∴AP∥CE，∴ 四边形 EFPH 是平行四边形，∵∠BEC＝90°，∴平行四边形 EFPH 是矩形　(3)在 Rt△PCD 中， FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD·CF＝PC·CD，∴CF＝ 4 5 5，∴EF＝CE－CF＝ 1 5 5，∵ PF＝ PC2－CF2＝ 8 5 5，∴S 矩形 EFPH＝EF·PF＝ 8 5 23．(11 分)(1)如图①，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF＝BE.求证：CE＝CF； (2)如图②，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果∠GCE＝45°，请 你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD； (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图③，在四边形 ABCD 中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E 是 AB 上一点， 且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求四边形 ABCD 的面积． 解：(1)易证△CBE≌△CDF(SAS)，∴CE＝CF　(2)如图②，延长 AD 至 F，使 DF＝BE，连 接 CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝ ∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△ FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD　(3)如图③，过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 点 G.在四边形 ABCD 中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四 边形 ABCG 为正方形．∴AG＝BC.∵∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG. ∴10＝4＋ DG，即 DG＝6.设 AB＝x，则 AE＝x－4，AD＝x－6，在 Rt△AED 中，∵DE2＝AD2＋AE2，即 102 ＝(x－6)2＋(x－4)2，解得 x＝12 或 x＝－2(舍去)，∴AB＝12，∴S 梯形 ABCD＝ 1 2(AD＋BC)·AB ＝ 1 2×(6＋12)×12＝1086