八年级数学上册第一章勾股定理检测题2（北师大版）

1 第一章检测题 (时间：100 分钟  满分：120 分)                                  一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(滨州中考)在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B 都是格点，则以 AB 为边的正方形的面积为( A ) A．10 B．9 C．100 D．25 第2题图       第3题图      第4题图 3．如图，AB⊥CD 于点 B，△ABD 和△BCE 都是等腰三角形，如果 CD＝17，BE＝5，那么 AC 的长为( D ) A．12 B．7 C．5 D．13 4．(荆门中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的角平分线，已知 AB＝5，AD＝ 3，则 BC 的长为( C ) A．5 B．6 C．8 D．10 5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点 C 到 AB 的距离为( A ) A． 36 5 B． 12 25 C． 9 4 D． 3 3 4 6．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证 明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽 弦图”.2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是 (B) 7．一架 2.5 米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端离墙 0.7 米，如果梯 子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯子底端在水平方向上滑动( B ) A．0.9 米 B．0.8 米 C．0.5 米 D．0.4 米 8．如图，圆柱高 8 cm，底面圆的半径为 6 π cm，一只蚂蚁从点 A 爬到点 B 处吃蜂蜜，则 要爬行的最短路程是( B ) A．20 cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定 第8题图      第9题图      第10题图 9．如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且 D 点落 在对角线 D′处，若 AB＝3，AD＝4，则 ED 的长为( A ) A． 3 2 B．3 C．1 D． 4 3 10．(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》 中早有记载．如图 1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形 2 纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C) A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．请写出两组你所熟悉的勾股数：__3，4，5__或__6，8，10__等． 12．如图，两个正方形的面积分别为 9 和 16，则直角三角形的斜边长为__5__. 第12题图    第13题图    第14题图    第15题图 13．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，在Rt△ABF 中，∠AFB＝90 °，AF＝3，AB＝5，则四边形 EFGH 的面积是__1__. 14．如图有一个棱长为 9 cm 的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点 A 爬到 C 点(C 点在一条棱上，距离顶点 B 3 cm 处)，则需爬行的最短路程是__15__cm. 15．(郑州期末)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图，该 U 型池可以看 成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 40 πm 的半圆，其边 缘 AB＝CD＝20 m，点 E 在 CD 上，CE＝5 m，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，则他滑行的最短 距离约为 __25__ m.(边缘部分的厚度忽略不计) 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为 1，请你根据所学的知识解答 下列问题： (1)求△ABC 的面积； (2)判断△ABC 是什么形状，并说明理由． 解：(1)用正方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC 的面积．S△ABC＝4×4－ 1×2× 1 2－4×3× 1 2－2×4× 1 2＝16－1－6－4＝5，所以△ABC 的面积为 5 (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：因为 AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋ 42＝25，所以 AC2＋AB2＝BC2，所以△ABC 是直角三角形 17．(9 分)如图，AF⊥DE 于 F，且 DF＝15 cm，EF＝6 cm，AE＝10 cm.求正方形 ABCD 的 面积． 解：在 Rt△AEF 中，AF2＝AE2－EF2＝64，在 Rt△AFD 中，AD2＝AF2＋DF2＝289，所以正 方形 ABCD 的面积是 289 cm2 3 18．(9 分)如图，甲轮船以 16 海里/小时的速度离开港口 O 向东南方向航行，乙轮船同 时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达 B，A 两点，且知 AB＝30 海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，所以 AO⊥BO，因为甲轮船以 16 海里/小时的速度航行了一个半小时，所以 OB＝16×1.5＝24(海里)，又 AB＝30 海里，所以 在 Rt△AOB 中，AO2＝AB2－OB2＝324，所以 AO＝18，所以乙轮船每小时航行 18÷1.5＝12(海 里) 19．(9 分)(2019·河北)已知：整式 A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式 B＞0. 尝试 化简整式 A. 发现 A＝B2，求整式 B. 联想 由以上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当 n＞1 时，n2－1，2n，B 为直角三角形的三 边长，如图．填写下表中 B 的值： 直角三角形三边 n2－1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 17 勾股数组Ⅱ 35 / 37 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，∵A＝B2，B＞0，∴ B＝n2＋1，当 2n＝8 时，n＝4，∴n2＋1＝42＋1＝17；当 n2－1＝35 时，n2＋1＝37.故答案 为：17；37 20．(9 分)学校要征收一块土地，形状如图所示，已知∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC ＝15 m，CD＝7 m，土地价格为 1000 元/m2，请你计算学校征收这块地需用多少钱？ 4 解：连接 AC.在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，由勾股定理，得 AC2＝AB2＋BC2＝ 202＋152＝625.在△ADC 中，∠D＝90°，CD＝7，由勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2＝625－72＝ 576，所以 AD＝24.所以四边形 ABCD 的面积为 1 2AB·BC＋ 1 2CD·AD＝234 (m2).234×1000＝ 234000(元).答：学校征收这块地需要 234000 元 21．(10 分)如图，∠AOB＝90°，OA＝45 cm，OB＝15 cm，一智能机器人在点 B 处看见 一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O，智能机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速 前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与智能机器人行走的速度相 等，那么智能机器人行走的路程 BC 是多少？ 解：小球滚动的速度与智能机器人行走的速度相同，时间相同，即 BC＝CA，设 AC＝x， 则 OC＝45－x，在 Rt△BOC 中，OB2＋OC2＝BC2，即 152＋(45－x)2＝x2，解得 x＝25.所以机 器人行走的路程 BC 是 25 cm 22．(10 分)如图，在长方形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P 为 AD 上一点，将△ABP 沿 BP 翻折至△EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE＝OD. (1)试证明 DG＝EP； (2)求 AP 的长． 解：(1)因为四边形 ABCD 是长方形，所以∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝ 8.由折叠的性质可知 EP＝AP，BE＝AB＝8，∠E＝∠A＝90°，所以∠E＝∠D.在△ODP 和△OEG 中，{∠D＝∠E， OD＝OE， ∠DOP＝∠EOG， 所以△ODP≌△OEG，所以 OP＝OG，PD＝GE，所以 DO＋OG＝PO＋OE，所 以 DG＝EP (2)设 AP＝EP＝DG＝x，则 GE＝PD＝AD－AP＝6－x，所以 CG＝DC－DG＝8－x，BG ＝BE－GE＝8－(6－x)＝2＋x.在 Rt△CGB 中，由勾股定理得 BC2＋CG2＝BG2，即 62＋(8－x)2 ＝(x＋2)2，解得 x＝4.8，所以 AP＝4.8 23. (11 分)如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D，E 是线段 AB 上两点．∠DCE 5 ＝45°. (1)当 CE⊥AB 时，点 D 与点 A 重合，求证：DE2＝AD2＋BE2； (2)当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE2＝AD2＋BE2； (3)当点 D 在 BA 的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，并说明理由． 解：(1)因为 CE⊥AB，所以 AE＝BE，因为点 D 与点 A 重合，所以 AD＝0，所以 DE2＝AD2 ＋BE2 (2)如图①，过点 A 作 AF⊥AB，使 AF＝BE，连接 DF，CF，因为在△ABC 中，AC＝BC，∠ ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC＝45°，所以△CAF≌△CBE(SAS)，所以 CF ＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，所以∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE ＝90°－45°＝45°，因为∠ACF＝∠BCE，所以∠ACD＋∠ACF＝45°，即∠DCF＝45°，所 以∠DCF＝∠DCE，又因为 CD＝CD，所以△CDF≌△CDE(SAS)，所以 DF＝DE，因为 AD2＋AF2＝ DF2，所以 AD2＋BE2＝DE2 (3)结论仍然成立．理由：如图②，过点 A 作 AF⊥AB，使 AF＝ BE，连接 DF，CF，因为在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，所以∠CAB＝∠B＝45°，所以∠FAC ＝45°，所以△CAF≌△CBE(SAS)，所以 CF＝CE，∠ACF＝∠BCE，因为∠BCE＋∠ACE＝90 °，所以∠ACF＋∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，因为∠DCE＝45°，所以∠DCF＝45°，所 以∠DCF＝∠DCE，又因为 CD＝CD，所以△CDF≌△CDE(SAS)，所以 DF＝DE，因为 AD2＋AF2＝ DF2，所以 AD2＋BE2＝DE2