2020年浙江省新高考考前数学原创冲刺卷（三）（解析版）

36 金考卷 浙江新高考考前原创冲刺卷（三） 数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 参考公式： 若事件 A，B 互斥，则 若事件 A，B 相互独立，则 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 台体的体积公式 其中 ， 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 球的体积公式 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + ( ) ( ) ( )P AB P A P B= ( ) ( ) ( )1 0,1,2, ,n kk k n nP k C p p k n−= − =  ( )1 1 2 2 1 3V S S S S h= + + 1S 2S V Sh= 1 3V Sh= 24S Rπ= 34 3V Rπ= { }24 4 1 0U x x x= − + ≥ { }2 0B x x= − ≥ UB = ( ),2−∞ ( ],2−∞ 1 ,22      1 1, ,22 2    −∞      【分析】 先求出集合 和 ，进而可求出 . 【详解】由 恒成立，所以 . 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2. 已知复数 z 满足 （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数的四则运算求出复数 z,再根据共轭复数的概念求出 即可. 【详解】由题意得 ,所以 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算、共轭复数,考查的数学核心素养是数学运算. 3. 已知抛物线 过点 ，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据抛物线 点 求出 p 的值,再根据抛物线的方程求出焦点的坐标即可. 【详解】因为抛物线 过点 ,所以 ,解得 ,所以该抛物线的方程为 , 其焦点坐标为 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,考查的数学核心素养是数学运算. 4. 已知直线 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） U B U B ( )224 4 1 2 1 0x x x− + = − ≥ U = R { } { }2 0 2B x x x x= − ≥ = ≥ { }2U B x x= ( )4,1M ( )4,0 ( )0,4 ( )4,0− ( )0, 4− 2 2x py= ( )4,1M 2 2x py= ( )4,1M 16 2p= 8p = 2 16x y= ( )0,4 ( )1 : 2 1 2 3 0l x a y a+ − + − = 2 2 : 3 4 0l ax y a+ + + = 3 2a = 1 2l l//A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据直线 求出 a 的值,再判断充要关系即可. 【详解】若 ,则 ,解得 或 .当 时,直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,两直线重合,所以 ,所以“ ”是“ ”的充要条件. 易错警示:很多考生根据 求出 或 后,直接得出结论,而忽略排除两直线重合的情况,从而错 选 A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理. 5. 若实数 x，y 满足约束条件标函数 则目标函数 的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出不等式组表示的平面区域,再数形结合求出目标函数的最值即可. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数 可化为 ,作 出直线 并平移,平移后的直线过点 时,z 取得最大值,最大值为 3. 故选：D. 【点睛】本题主要考查线性规划问题,考查考生的作图能力和运算求解能力,考查数形结合思想. 6. 将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩 1 2l l// 1 2l l// ( )2 1 3a a − = 3 2a = 1a = − 1a = − 1l 3 5 0x y− − = 2l 3 5 0x y− + + = 3 2a = 3 2a = 1 2l l// 1 2l l// 3 2a = 1a = − 4 0 0 0 x y x y y + − ≤  − ≥  ≥ 1 2z x y= + 1 2z x y= + 1 2y x z= − + 1 2y x= − ( )2,2A ( ) 3sin 2 4f x x π = +   6 π短为原来的 ，得到函数 的图象，则 在区间 上的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据三角函数图象变换的知识求出 的解析式,然后求 的最小值. 【 详 解 】 将 函 数 的 图 象 先 向 右 平 移 个 单 位 长 度 , 得 的图象,再将所得图象上的所有点的横坐标缩短为原来的 ,得 的图象.当 时, ,因此当 , 即 时, 取得最小值 . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象的变换以及三角函数图象的性质,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以 及数学运算. 7. 已知随机变量 的分布列是 1 3 其中 ，则下列结论成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 1 2 ( )g x ( )g x ,8 3 π π −   1 2 − 3 2 − 3− ( )g x ( )g x ( ) 3sin 2 4f x x π = +   6 π 3sin 2 3sin 26 4 12y x x π π π    = − + = −         1 2 ( ) 3sin 4 12g x x π = −   ,8 3x π π ∈ −   7 54 ,12 12 4x π π π− ∈ −     4 12 2x π π− = − 5 48x π= − ( )g x 3− ( )1,2i iξ = i ξ 1− iP ip 1 2 ip− 1 2 1 2 10 2p p< < < ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ< ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ> ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ< ( ) ( )1 2E Eξ ξ< ( ) ( )1 2D Dξ ξ>先分别求出随机变量 的数学期望和方差,再结合 , 的大小关系及取值范围,利用函数的单调性进行求 解；也可设新变量 ,写出新变量 的分布列,利用其期望和方差表示 的数学期望和方差, 并根据 , 的大小关系及取值范围,利用函数的单调性比较大小. 【 详 解 】 解 法 —： 由 题 意 得 , , 所以 在 上单调递减, 在 上 单调递增.又 ,所以 , .故选：A. 解法二：设 ,则 的分布列为 0 2 所以 , ,所以 , ,所以 在 上单调递减, 在 上 单调递增.又 ,所以 , . 故选：A. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列数学期望与方差以及函数的单调性,考查的数学核心素养是 数学运算. i ξ 1p 2p ( )1 1,2i i iη ξ= − = i η i ξ 1p 2p ( ) ( ) ( )1 11 1 3 2 2 1,22 2i i i iE p p p iξ  = − × + × − + × = − =   ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 11 2 2 1 2 2 3 2 22 2i i i i i iD p p p p pξ  = − − − × + − − × − + − − × =             ( ) ( )224 8 1 4 1 5 1,2i i ip p p i− + + = − − + = ( )iE ξ 10, 2ip  ∈   ( )iD ξ 10, 2ip  ∈   1 2 10 2p p< < < ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ< ( )1 1,2i i iη ξ= − = i η i η 2− iP ip 1 2 ip− 1 2 ( ) ( ) ( )1 12 0 2 1 2 1,22 2i i i iE p p p iη  = − × + × − + × = − =   ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 12 1 2 0 1 2 2 1 2 4 8 12 2i i i i i i i iD p p p p p p pη  = − − − × + − − × − + − − × = − + + =             ( ) ( )24 1 5 1,2ip i− − + = ( ) ( ) ( )1 2 2 1,2i i iE E p iξ η= + = − = ( ) ( ) ( ) ( )24 1 5 1,2i i iD D p iξ η= = − − + = ( )iE ξ 10, 2ip  ∈   ( )iD ξ 10, 2ip  ∈   1 2 10 2p p< < < ( ) ( )1 2E Eξ ξ> ( ) ( )1 2D Dξ ξ,因为 ,所以 ,得 .又点 A,B 在双曲线上,所以 ,得 ,则 ,所以 AB 的中点坐标为 ,直线 AB 的 斜率 ,所以 AB 的垂直平分线的方程为 ,令 ,得 . 故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与 双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、 逻辑推理、数学运算等核心素养. 9. 已知函数 的导函数 是偶函数，若方程 在区间 (其 中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由导函数为偶函数，得出 ，由 ，得出 ，将问题转化为当直线 与 函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围，然后作出函数 在区间 上的图象，利用数形结合思想求出实数 的取值范围． 【详解】 ， ， 导函数 的对称轴为直线 ，由于该函数为偶函数，则 ， ，令 ，即 ，得 . ( )2 2,B x y 1 3AF FB=  ( )1 2 1 2 14 43 1 3 x x y y  − = − − = 2 1 2 1 16 3 3 x x y y = −  = − ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 14 12 16 3 3 14 12 x y x y  − = − − − = 1 1 3 15 x y = = 2 2 7 3 15 x y = = − ( )5, 15− 15k = − ( )1515 515y x+ = − 0y = 20x = ( ) 3 21 1 6 2f x x bx cx= + + ( )'f x ( )' ln 0f x x− = 1,ee      e c 2 1 11 ,2e 2  − − −   2 1 11 ,2e 2  − − −   21 11 e ,2 2  − −   21 11 e ,2 2  − −   0b = ( ) ln 0f x x′ − = 21ln 2c x x= − y c= ( ) 21ln 2g x x x= − 1 ,ee      c ( )y g x= 1 ,ee      c ( ) 3 21 1 6 2f x x bx cx= + + ( ) 21 2f x x bx c′∴ = + + ( )y f x′= x b= − 0 0b b− = ⇒ = ( ) 21 2f x x c′∴ = + ( ) ln 0f x x′ − = 21 ln 02 x c x+ − = 21ln 2c x x= −问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值 范围． ，令 ，得 ，列表如下： 极大值 所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值， ， 又 ， ，显然， ，如下图所示： 结合图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间 上有两个交点，因此，实数 的取值范围是 ． 故选 B． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转 化为直线 与函数 的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、 极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题． y c= ( ) 21ln 2g x x x= − 1 ,ee      c ( ) 21 1 xg x xx x −′ = − = ( ) 0g x′ = 1x = x 1 ,1e      1 ( )1,e ( )g x′ + 0 − ( )g x   ( )y g x= 1x = ( ) ( )max 11 2g x g= = − 2 1 11 2g e e   = − −   ( ) 2 1 2 eg e = − ( ) 1g e g e  <    ( )1 1g c ge   ≤ α β γ> > α γ β> > γ α β> > 1 1BDD B 1F 1 1D B 1 1BDD B 1F 1OB 1OE EB， 1 1BDD B 1F 1 1D B 1 1BDD B 1F 1OB 1OE EB，当 在 IG 间运动时，二面角 为钝角，二面角 , 均为锐角，易得 ，因此， 当 在 HG 间运动时，二面角 , , 均为锐角， ,因此仍有 故选 D 【点睛】（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算．” （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作 二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ________， ________. 【答案】 (1). 8 (2). 88 【解析】 【分析】 设出等差数列 的公差,由 , ,列出方程组并解出其首项和公差,进而可求得 和 ；也 可以利用等差数列的性质求解. 【详解】法一：设等差数列 的公差为 d,由 , ,得 ,解得 , 所以 , . 1F 1F EB O− − 1F OB E− − 1F OE B− − 1 1 1F FOE OBd d− −＞ γ α β> > ； 1F 1F OB E− − 1F OE B− − 1F EB O− − 1 1 1 1 1F F FOE OB EBd d d− − −＞ ＞ γ α β> > { }na nS 8 2a = 7 98S = 6a = 11S = { }na 8 2a = 7 98S = 6a 11S { }na 8 2a = 7 98S = 1 1 7 2 17 7 6 982 a d a d + = + × × × = 1 3 23 d a = −  = 6 23 3 5 8a = − × = ( )11 11 1023 11 3 882S ×= × + × − =法二：由题意知, ,解得 .又 ,所以 , . 故答案为：(1). 8 (2). 88 【点睛】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式及通项公式的应用,等差数列的性质,考查考生对基础知识 的掌握情况. 试题通过对等差数列的性质的考查,体现了数学运算核心素养. 12. 已知奇函数 则不等式 的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据 是奇函数确定 a 的值,利用 的解析式,建立关于 x 的不等式组,从而解决问题. 【详解】因为 是奇函数且 ,所以 ,所以 ,所以不等式 等价 于 或 ,所以 ,所以不等式 的解集 为 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查分段函数及奇函数的性质,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学抽象、 数学运算. 解含函数的不等式的解法：一是利用 的解析式进行转化；二是首先根据函数的性质把不等 式转化为 的形式,然后转化为具体的不等式（组）,此时要注意 与 的取值应 在外层函数的定义域内. 13. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等边三角形，正视图是等腰三角形，则该几何体的体积为 ________，该几何体的外接球的表面积为________. ( )1 7 7 4 7 7 982 a aS a += = = 4 14a = 8 2a = 4 8 6 82 a aa += = ( )1 11 11 6 11 11 882 a aS a += = = ( ) 2 2 , 0 , 0 x x xf x x ax x  − ≥= − + + 0 < < 3a ( )3 1 a aab a −= + 1t a= + 1 4t< < ( )( )1 4 4 5 1t tab tt t − −= = − + ≤− 4 2t t = = ( )2 3 82 1 3 4 2 31 1 aa b a aa a −+ = + = + + − ≥ −+ + 81 1a a + = + 3 2ab a b ab ab≥= + + + 2 3 0abab + − ≤ 0 1ab< ≤ 1a b= = 3ab a b+ + = ( )( )1 1 4a b+ + = ( )( )1 2 2 8a b+ + = ( )( )2 3 2 1 2 2 4 2a b a b+ + ≥ + + = 1 2 2a b+ = + 2 4 2 3a b+ ≥ − 4 2 3−16. 现有三个完全相同的骰子，每个骰子的六个面上的数字分别是 1，2，3，4，5，6.若同时掷这三个骰子， 则三个骰子朝上一面的数字之和为 3 的倍数的情况有_________种. 【答案】20 【解析】 【分析】 先根据题意分析出三个骰子朝上一面的数字之和为 3 的倍数可分为哪几类,再计算每类中所有可能的情况, 最后利用分类加法计数原理求和即可. 【详解】根据被 3 除后的余数可分 , , 三组. 则三个骰子朝上一面的数字之和为 3 的倍数可分为以下三类： ①三个数字为同一组,每组有如 , , , 3 种情况.故共有 种情况； ②三个数字在三个不同的组,共有 种情况； 由分类计数原理可知,三个骰子朝上一面的数字之和为 3 的倍数的情况共有 种. 故答案为：20 【点睛】本题考查排列组合的有关知识,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力. 试题对“三个骰子朝上一面的数字之和为 3 的倍数”包含的情况进行分析,考查逻辑推理核心素养,对考生 的思维能力提出了较高的要求. 17. 如图，正方形 ABCD 的边长为 ，O 是 BC 的中点，E 是正方形内一动点，且 ，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 至线段 DF，若 ，则 的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 以点 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系,设 ,写出相关点的坐 标,并根据题意建立等量关系,进而利用三角函数的性质进行解题. 【详解】以点 B 为坐标原点,BC,BA 所在直线分别为 x,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 , ( )1,4 ( )2,5 ( )3,6 ( )1,1,1 ( )1,1,4 ( )1,4,4 ( )4,4,4 3 4 12× = 32 8= 12 8 20+ = 2 5 2OE = 90° OF xBA yBC= +   x y+ 102 5 − BOE θ∠ = ( )0,0B, , , , . 设 , 则 . 又 , , 所 以 , 所以 ,所以 . 又 ,所以 ,从而 .因为点 E 是正方形 ABCD 内一动点,所以 ,所以当 时, 取最小值,为 . 故答案为： 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示,考查考生的数形结合能力、化归与转化能力以及运算求解能力. 试题以正方形为载体,结合旋转考查向量知识,通过建立恰当的平面直角坐标系,将向量知识迁移到几何情 境中考查,重点考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， . （1）若 是以角 C 为顶角的等腰三角形，求 的值； （2）若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 ( )0,2 5A ( )5,0O ( )2 5,0C ( )0,2 5BA = ( )2 5,0BC = BOE θ∠ = ( )5 2cos ,2sinE θ θ− DE DF= 90EDF∠ = ° 2 5 sin 2 5 cosF CDFx DF DE EDC= + ⋅ + ⋅ ∠∠ = 2 5 2 5 4 5 2sinEy θ= + − = − ( )2 5 cos 2 5 sin 2 5 2 5 5 2cosF EDF CDF DE EDC xy θ− ⋅ ∠ = − ⋅ = −= ∠ = − − ( )4 5 2sin , 5 2cosF θ θ− − ( )3 5 2sin , 5 2cosOF θ θ= − − OF xBA yBC= +   2 5 3 5 2sin 2 5 5 2cos y x θ θ  = − = − ( )2 5 4 5 2sin 2cos 4 5 2 2 sin 4x y πθ θ θ + = − − = − +   ( )0,θ π∈ 4 πθ = x y+ 102 5 − 102 5 − ABC 2cos 3C = ABC sin A cos cos 2b A a B+ = 6a b+ = ABC sin 30 6A = 8 5 5【分析】 (1)由题意得 ,利用二倍角公式可求出 的值； (2)利用余弦定理把条件 中的角转化为边,可求出 c 的值,再利用余弦定理及 可求出 ab 的值,最后利用三角形面积公式 计算其面积. 【详解】解：（1）由题意得, . 因为 是以角 C 为顶角的等腰三角形,所以 , , 所以 ,所以 . 因为 是以角 C 为顶角的等腰三角形,所以 ,则 . 因为 ,所以 , 得 . （2）因为 , 所以由余弦定理可得 , 即 ,整理得 , 则 因为 ,所以 . 因为 , ,所以 . 则 的面积 . 【点睛】本题考查余弦定理、二倍角公式以及三角形面积公式等,考查考生的运算求解能力,考查的核心素 养是数学运算、逻辑推理. 19. 如图，已知在三棱锥 中， ， ， ， ，二面角 的大小为 ，E 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点，F 为 的重心. . ( )cos cos cos2A B C A+ = − = sin A cos cos 2b A a B+ = 6a b+ = in1 2 sS ab C= ( ) ( ) 2cos cos cos 3A B A B Cπ+ = − − + = − = −   ABC A B= ( ) 2cos cos2 1 2sinA B A A+ = = − 2 21 2sin 3A− = − sin 30 6A = ABC A B= 2 2 CA π+ = 2 22cos 12cos 3 CC = − = 30cos 2 6 C = 30cos 2 6sin A C= = cos cos 2b A a B+ = 2 2 2 2 2 2 22 2 b c a a c bb abc ac + − + −× + × = 2 2 2 2 2 2 22 b c a a c b c + − + + − = 2c = ( )22 2 2 2 2 4 102 cos 43 3c a b ab a b ab a b bC a= + − = + − = + − = 6a b+ = 48 5ab = 2cos 3C = 0 c π< < 5sin 3C = ABC 1 1 48 5 8 5 2 2 5s n 3 5i CS ab= = × × = A BCD− 1BC CD= = BC CD⊥ AB AD= CB AB⊥ A BD C− − 120° BCD（1）证明： 平面 ABD； （2）求直线 AD 与平面 ABC 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 (1)连接 CF 并延长交 BD 于 G,连接 AG,首先根据三角形重心的性质可证 ,再根据线面平行的判 定定理证明即可； (2)先找到二面角 的平面角,再求得 AB,AD 的长,根据等体积法求点 D 到平面 ABC 的距离,最后 求直线 AD 与平面 ABC 所成角的余弦值. 【详解】解：（1）连接 CF 并延长交 BD 于 G,连接 AG. 由题意易知, ,所以 . 因为 平面 ABD, 平面 ABD, 所以 平面 ABD. （2）因为 , ,所以 , , 所以 是二面角 的平面角,所以 . 设 ,则 , , / /EF 19 5 / /EF AG A BD C− − 2CF CE FG EA = = / /EF AG EF ⊄ AG ⊂ / /EF BC CD= AB AD= AG BD⊥ CG BD⊥ AGC∠ A BD C− − 120AGC∠ = ° AB AD x= = 2 2 2 2AG x  = −    2 1AC x= +在 中,由余弦定理得 ,得 , 所以 , . 过 A 作 交 CG 的延长线于点 H,则易知 平面 BCD, 因为 ,所以 , 所以 , 所以 . 设点 D 到平面 ABC 的距离为 h,又 的面积 ,所以 . 因为 ,所以 ,解得 . 设直线 AD 与平面 ABC 所成的角为 , 则 ,所以 . 故直线 AD 与平面 ABC 所成角的余弦值为 . 【点睛】本题以三棱锥为载体考查线面平行的证明,线面角余弦值的求解,考查考生的空间想象能力、逻辑 AGC 2 2 2 2 2 22 2 2 21 2 cos1202 2 2 2x x x      + = − + − × × °         −        10 2x = 10 2AB AD= = 2AG = AH CG⊥ AH ⊥ 120AGC∠ = ° 60AGH∠ = ° 3 6sin 60 2 2 2AH AG= ⋅ ° = × = 1 1 6 61 13 2 2 12A BCDV − = × × × × = ABC 1 10 1012 2 4S = × × = 1 10 10 3 4 12D ABC hV h− ×= × = A BCD D ABCV V− −= 6 10 12 12 h= 15 5h = θ 15 55sin 510 2 θ = = 19cos 5 θ = 19 5思维能力等. 立体几何解答题的考查以空间中线面位置关系的证明、空间角的求解为主,证明线面位置关系 时,不妨采取分析法,从要证的结论出发逐步递推到已知条件.如果利用空间向量法解题,要注意建立合适的 空间直角坐标系. 20. 已知数列 的前 n 项和为 ， . （1）若 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 是等差数列， ，数列 的前 n 项和为 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出所有满足条件的 n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】 (1)利用数列的通项和前 n 项和之间的关系即可求出数列 的通项公式,要注意检验 时的情况； (2)先根据数列 是等差数列求出 a 的值,再求出 , ,最后利用裂项相消法求数列 的前 n 项和 , 进而判断是否存在 满足 ,则问题获解. 【详解】解：（1）当 时, . 当 时, ； 当 时, . 经检验, 不符合上式, 故数列 的通项公式 , （2）当 时 ； 当 时, . 因为数列 是等差数列,所以 ,解得 , 因为 , . , { }na nS ( )2 *1 ,nS n n a a R n N= + + + ∈ ∈ 2a = { }na { }na 1 1 n n n ab n S + +⋅= { }nb nT *n N∈ ( )1 3 1n n nT S a+ = + 5, 1 2 , 2n na n n ==  ≥ 3n = { }na 1n = { }na na nS { }nb nT *n N∈ ( )1 3 1n n nT S a+ = + 2a = 2 3nS n n= + + 1n = 1 1 5a S= = 2n ≥ 1 2n n na S S n−= − = 1 5a = { }na 5, 1 2 , 2n na n n ==  ≥ 1n = 1 1 3a S a= = + 2n ≥ 1 2n n na S S n−= − = { }na 3 2a+ = 1a = − 2na n= 2 nS n n= +则 , 故 所以 . 令 ,整理得 ,所以 , 故存在 满足题意. 【点睛】本题主要考查数列的通项和前 n 项和之间的关系,等差数列的判定,裂项相消法求和,考查考生的运 算求解能力、逻辑思维能力. 试题结合等差数列、裂项相消法求和考查数列的有关知识,也考查考生的观察能力、恒等变形能力等,其中 渗透了数学运算、逻辑推理等核心素养. 易错警示：在利用数列的通项和前 n 项和之间的关系求数列的通项公式时,很多考生会根据 直 接求得结果,而忽略了此等式成立的前提是 ,遗漏了对 的检验而出错,如本题第（1）问中 就不 符合 的情况,因此需要将结果写成分段的形式. 21. 已知椭圆 ，AB 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过椭圆 C 的右焦点 F 的直线与 椭圆 C 相交于 M，N 两点（异于点 A，B）. （1）若 ，椭圆的焦距为 2，求椭圆 C 的方程； （2）记直线 MA，BN 的斜率分别为 ， ，若 ，求椭圆 C 的离心率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)由点 M 在椭圆上,并结合 , ,可求出椭圆方程； ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 21 1n n nb n n n n n n nn n n + += = = = −⋅ + + ⋅ + + ⋅ + + +  1 2 1 1 1 1 1 1 1... 1 ...3 2 4 3 5 2n nT b b b n n        = + + + = − + − + − + + −       +        1 1 1 3 1 11 2 1 2 2 1 2n n n n = + − − = − −+ + + + ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 3 1 23 1 11 2 2 12 1 2 2n n n nT S n n n nn n+ + + = + + − − = − + − + = + +  ( )( ) ( )3 1 2 2 32 n n n + + − + ( )1 3 1n n nT S a+ = + 23 7 6 0n n− − = 3n = 3n = 1n n na S S −= − 2n ≥ 1a 1 5a = ( )2 2na n n= ≥ ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 2 ,22M       MAk BNk 2 MA BNk k= 2 2 19 8 x y+ = 1 3 2 22a cb− = 1c =(2)由点 M,N 在椭圆上,可得 , ,由 ,化简可求椭圆 C 的离心 率. 【详解】解：（1）由题意得 ,① ,所以 , 所以 ,② 由①②可得 , , 所以椭圆 C 的方程为 . （2）由题意得 , , ,设 , , 因为点 M 在椭圆 C 上,所以 , 所以 .（ⅰ) 设直线 , 联立,得 ,消去 x 并整理得, , 则 , , ,（*) 所以 将（*）代入上式化简得, ,（ⅱ) 又 ,（ⅲ） 所以由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）得, , , 2 2MA MB bk k a ⋅ = − ( ) 4 22BN bk a a c = − − 2 MA BNk k= 2 2 2 2 3 2 2 2 1a b     + = 2 2c = 1c = 2 2 1a b− = 2 8b = 2 9a = 2 2 19 8 x y+ = ( ),0A a− ( ),0B a ( ),0F c ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )2 2 2 2 2 21 1 12 21 x by b x aa a  = − = − −   2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 MA MB y y y bk k x a x a x a a ⋅ = ⋅ = = −+ − − ( ): 0MN x my c m= + ≠ 2 2 2 2 1 x my c x y a b = + + = ( )2 2 2 2 2 42 0a m b y cmb y b+ + − = 2 2 4 2 4 2 64 4 4 0c m b a b m b∆ = + + > 2 1 2 2 2 2 2cmby y a m b −+ = + 4 1 2 2 2 2 by y a m b −= + ( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 BM BN y y y y y yk k x a x a my c a my c a m y y m c a y y c a ⋅ = ⋅ = ⋅ =− − + − + − + − + + − ( ) 4 22BM BN bk k a a c ⋅ = − − 2 MA BNk k= ( ) 2 4 22 2 2b b a a a c − = − −所以 ,即 ,解得 或 . 又 ,所以 ,即椭圆 C 的离心率为 . 【点睛】本题考查椭圆 方程、椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力和运算求 解能力. 22. 已知函数 ， . （1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 a 的值； （2）若 为函数 的极值点，且 ，求证： . 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】 (1)先对函数 求导得到 ,再分别求 , ,写出曲线 在点 处的切线方程, 根据题意列出方程组,解方程组即可求得 a 的值； (2)需要多次构造函数,利用函数的单调性、极值等解决问题. 【详解】解：（1）由题意得 的定义域为 , , 则 , 又 , 所以曲线 在点 处的切线方程为 , 即 , 所以 ,解得 . （2）由（1）得, 显然 . 的 2 24 3 0a ac c− + = 23 4 1 0e e− + = 1 3e = 1e = 0 1e< < 1 3e = 1 3 ( ) ( )2 2 lnxf x xe a x x= − + a R∈ ( )y f x= ( )( )1, 1f 2y e= − 0x ( )f x ( )0 0f x > ( ) 3 0 0 04f x x x> − 2a e= ( )f x ( )f x ( )1f ( )1f ′ ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x ( )0, ∞+ ( ) ( )2 2 212 2 2 1x x x af x e xe a x ex x    ′ = + − + = + −       ( ) ( )21 3f e a′ = − ( ) 21 2f e a= − ( )y f x= ( )( )1, 1f ( ) ( )( )2 22 3 1y e a e a x− − = − − ( ) ( )2 2 22 3 3 3y e a e a x a e− − = − + − ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0 3 3 2 e a a e e a e  − = − + − = − 2a e= ( ) ( ) 22 1 x af x x e x  ′ = + −   2 1 0x + >令 , , 当 时, , 在 上单调递增,无极值,不符合题意； 当 时, ,所以 在 上单调递增. 取 b 满足 ,则 , , 所以 . 又 ,所以存在 ,使得 ,此时 . 又当 时, , , 单调递减, 当 时, , , 单调递增, 所以 为函数 的极小值点,且 .令 ,则 ,所以 在 上单调递减.又 , ,所以 . 令 ,则 . 所以当 时, 单调递增,所以 ,所以 , 所以 . 【点睛】本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、不等式的证明等,考查考生利用导数的有关知识分 析问题、解决问题的能力,推理论证能力和化归与转化能力. 本题以含参函数为依托,运用导数运算法则,选择合适的方法,经过推理、运算解决问题,体现数学抽象、数 学运算等核心素养. 本题第（2）问的求解过程需要考生有清晰的解题思路,对考生的能力要求较高,试题的 区分度较大. ( ) 2x ag x e x = − ( )0,x∈ +∞ 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 2 22 0x ag x e x ′ = + > ( )g x ( )0, ∞+ 10 min ,4 2 ab  < <    2be e< 2a b − < − ( ) 2 2 0b ag b e eb = − < − < ( ) 2 1 0ag a e= − > ( )0 ,x b a∈ ( ) 02 0 0 0x ag x e x = − = 02 0 xa x e= ( )00,x x∈ ( ) ( )0 0g x g x< = ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) ( )0 0g x g x> = ( ) 0f x′ > ( )f x 0x ( )f x ( ) ( ) ( )0 0 02 2 2 0 0 0 0 0 0 0 02 ln 1 2 lnx x xf x x e x e x x x e x x= − + = − − ( ) 1 2 lnh x x x= − − ( ) 1 2 12 0xh x x x − −′ = − − = < ( )h x ( )0, ∞+ 1 ln 2 02h  = >   ( )1 1 0h = − < 00 1x< < ( ) ( )1xt x e x= − + ( ) 1xt x e′ = − ( )0,x∈ +∞ ( )t x ( ) ( )0 0t x t> = 1xe x> + ( ) ( ) ( )( )02 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0e 1 2 ln 2 1 1 2 4xf x x x x x x x x x= − = −− > + −