2019-2020 学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（下）
期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知复数 z 满足(3+4i)z＝7+i，则 z 的共轭复数 的虚部是（ ）
A. i B. 1 C. ﹣1 D. ﹣i
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数除法法则计算出 ，然后可得共轭复数，得其虚部．
【详解】由题意 ， ，
的虚部是 1．
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，以及复数的概念，属于基础题．
2. 已知全集为 R，集合 A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ，则 A∩（∁RB）的子集个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式得集合 ，由集合的运算求出 ，根据集合中的元素可得子集个数．
【详解】 ， 或 ，所以 ，
其子集个数为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．
3. 已知 ，则 值为（ ）
z
z
27 (7 )(3 4 ) 21 28 3 4 25 25 13 4 (3 4 )(3 4 ) 25 25
i i i i i i iz ii i i
+ + − − + − −= = = = = −+ + − 1z i= +
z
1 02
xB x x
− =
0 1x y< < R
x x yb a a∴ < < x y yb b a< <
xa∴ yb AB
0 1x y< < > ln ln 0< − >x y ∴ ln ln− −>x y
b a
∴ ln lnx y
b a
< D
故选：C.
【点睛】本题考查函数的性质的应用，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题.
5. 5400 的正约数有（ ）个
A. 48 B. 46 C. 36 D. 38
【答案】A
【解析】
【分析】
把 5400 进行质因数分解后利用质因数的指数进行计算．
【详解】 ，5400 的正约数一定是由 2 的幂与 3 的幂和 5 的幂相乘的结果，
所以正约数个数为 ．
故选：A．
【点睛】本题考查分步乘法原理，解题关键是确定完成事件的方法．即寻找 5400 的正约数的方法．本题是
分步计数原理．
6. 记 为递增等差数列 的前 项和，若数列 也为等差数列，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，由题意得出 ，将等式转化为含 、 的等式，求得 、 所
满足的等量关系式，由此可求得 的值.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，
为递增等差数列 的前 项和，若数列 也为等差数列，
则 ， ，整理可得 ，
3 3 25400 2 3 5= × ×
(3 1) (3 1) (2 1) 48+ × + × + =
nS { }na n n
n
S
a
3
3
S
a
3 2 3
2 1
{ }na d 32 1
2 1 3
2 SS S
a a a
= +
1a d 1a d
3
3
S
a
{ }na d 0d >
nS { }na n n
n
S
a
32 1
2 1 3
2 SS S
a a a
= + ( )1 1
1 1
2 2 3 31 2
a d a d
a d a d
+ +∴ = ++ + 1a d=
则 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，考查计算能力，属于基础试题.
7. 已知在平面直角坐标系中，A(﹣3，0)，B(0，3)，C(3，0)，O(0，0)，
（m∈R）， 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 知 在直线 上，由 知 在以 为圆心，1 为半径的圆上，而
表示直线 上的点 到圆 上的点 的距离，利用圆心到直线的距离可得最小值．
【详解】由 知 在直线 上，由 知 在以 为圆心，1 为半径的圆上，
而 表示直线 上的点 到圆 上的点 的距离，如图，由已知 ，
，即 的最小值为 ， 的最小值为 ．
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量的共线定理，考查圆上的点到直线上点的距离的最小值，解题关键是掌握向量
模的几何意义，考查转化与化归思想．本题属于中档题．
8. 定长为 10 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2＝8x 上移动，P 为线段 AB 的中点，则 P 点到 y 轴的最短距
离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
3 1
3 1
3 3 6 22 3
S a d d
a a d d
+= = =+
(1 )OQ OA OBm m= + −
1,CD OQ OD= −
2 2 1− 2 1− 3 2 1− 2 2 1+
(1 )OQ OA OBm m= + − Q AB 1CD = D C
OQ OD DQ− = AB Q C D
(1 )OQ OA OBm m= + − Q AB 1CD = D C
OQ OD DQ− = AB Q C D 90ABC∠ = °
3 2CB = CQ 3 2 QD 3 2 1−
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，结合梯形中位线求解公式以及三角形的性质，即可容易求得结果.
【详解】抛物线 的焦点坐标 ，准线 ；
过 作准线的垂直，垂足为 ，
由抛物线的定义可知 ，
又 为 中点，由梯形的中位线定理可得
，
则点 到 轴的距离 .当且仅当 过抛物线焦点时取得等号；
故 .
故选： .
【点睛】本题考查抛物线定义的理解和辨析，属基础题.
9. 设 y＝f(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数，若 g(x)＝f(x)+2x 在区间[1，2]上的值域为[﹣1，5]，则函
数 g（x）在[﹣2020，2020]上的值域为（ ）
A. [﹣2，6] B. [﹣4043，4040]
C. [﹣4042，4041] D. [﹣4043，4041]
【答案】D
【解析】
【分析】
2 8y x= ( )2,0F : 2l x = −
, ,A B P 1 1 1, ,A B P
1 1,AA FA BB FB= =
P AB
( ) ( )1 1 1
1 1 1 52 2 2PP AA BB FA FB AB= + = + ≥ =
P y 5 2 3d ≥ − = AB
3mind =
B
由已知求得 在 上的值域，然后让 从 取到 的所有整数，并把所有集合求并集
即得 的值域．
【详解】当 时， ，又 ， 是周期为 1 的周期函数，
当 时， ， ，
，
令 ，所得所有区间求并集得 ，
即为所求 的值域．
故选：D．
【点睛】本题考查求函数的值域，考查函数的周期性，解题时需注意周期性的应用，根据周期依次求出区
间 上函数的值域．
10. 若抛物线 与圆 x2+y2﹣2ax+a2﹣1＝0 有且只有两个不同的公共点，则实数 a 的取值范围为（ ）
A. B.
C. ﹣1＜a＜1 D. ﹣1＜a＜1 或
【答案】D
【解析】
【分析】
联立两方程整理后，由题意可知方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根，从而可得关于实数 a 的
不等式.
【详解】解：联立抛物线与圆的方程可得 ，整理得，
，由题意知，方程有两个相等的正根或有一个正根，一个负根，
则 或 ，
( )f x [ , 1]x k k∈ + k 2020− 2019
( )g x
[1,2]x∈ 2 2 4x≤ ≤ 1 ( ) 2 5f x x− ≤ + ≤ ( )f x
[ , 1]x k k∈ + 1 [1,2]x k− + ∈ 1 2( 1) ( 1) 5x k f x k− ≤ − + + − + ≤
2 ( ) 2( 1) ( 1) 2 2 [2 3,2 3]x f x x k f x k k k k+ = − + + − + + − ∈ − +
2020, 2019, 2018, 1,0,1,2, 2019k = − − − − [ 4043,4041]−
( )g x
[ 1]k k +,
2 1
2y x=
17
8a < 17
8a =
17
8a =
2
2 2 2
1
2
2 1 0
y x
x y ax a
=
+ − + − =
2 21 2 1 02x a x a + − + − =
( )2
21 172 4 1 2 02 4
1 2 02
a a a
a
∆ = − − − = − + =
− − >
2
172 04
1 0
a
a
∆ = − + >
− ln xy x
= ( , )x e∈ +∞ 0y′ < ln xy x
= max
ln 1ey e e
= =
2y x= + ln xy x
=
0
2
0
1 ln 1x
x
− = 2
0 0ln 1 0x x+ − = 2( ) ln 1f x x x= + − ( )f x (0, )+∞
(1) 0f = 0 1x = ( ) 0f x =
0
ln1 01y = = 0 (1,0)Q 0Q 2y x= + 1 0 2 3 2
22
h
− += =
2 2( ) ( )a c b d− + − 2 9
2h =
故选：B．
【点睛】本题考查用几何意义求最值，考查导数的几何意义，解题关键是引入点的坐标： ，
．已知条件说明两点中一点在一条直线上，一点在一函数图象上，只要求得曲线上与直线平行的切
线的切点坐标，距离的最小值就易求得．
12. 已知 是方程 的实根，则关于实数 的判断全是错误的是（ ）
① ；② ；③ ；④
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】
构 造 函 数 ， 利 用 其 单 调 性 证 明 ， 故 ③ 正 确 ， 则 ④ 不 正 确 ； 再 构 造 函 数
，利用其单调性和特殊值来判断①②的正确性.
【详解】解：设 ， ，则函数 在 上为增函数，
由 得 ，设 ，则 ，
，即方程 等价为 .
是方程 的实根， ，即 ，
， 在 是增函数， ，即 ，故③正确，则
④不正确，设 ，则 在 上为增函数，则 ， ，
故②错误， ，即 ， ， 错误，故①错
误，故答案为：①②④；
故选：C.
【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质以及通过构造函数来解决不等式问题，考查运算求解能
力，属于中等题型.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13. 已知向量 ， 不共线，若 // ，则实数 =___________.
( , )P a b
( , )Q c d
0x 2 22 ln 0xx e x+ = 0x
0
1x e
< 0 ln 2x ≥ 0 02 ln 0x x+ = 0
02 1 0xe nx+ =
( ) xf x xe= 0 02 ln 0x x+ =
( ) 2 lnh x x x= +
2 2( ) 2 lnxg x x e x= + ( 0)x > ( )g x (0, )+∞
2 22 ln 0xx e x+ = 2 ln2 x xxe x
−= ( ) xf x xe= 2(2 ) 2 xf x xe=
ln ln( ln ) ln x xf x xe x
− −− = − = 2 ln2 x xxe x
−= (2 ) ( ln )f x f x= −
0x 2 22 ln 0xx e x+ = 022
02 lnxx e x∴ = − 0 0(2 ) ( ln )f x f x= −
' ( ) ( 1) 0xf x x e= + > ( )f x∴ (0, )+∞ 0 02 lnx x∴ = − 0 02 ln 0x x+ =
( ) 2 lnh x x x= + ( )h x (0, )+∞ 1 2 1 2( ) ln 1 0h e e e e
= + = − < 0
1x e
∴ >
1 1 1( ) 2 ln 1 ln 2 02 2 2h = × + = − > 0
1
2x < 1ln 2 ln 2e> = 0 ln 2x∴ ≥
a b ( )a bλ + ( )2a b− λ
【答案】
【解析】
【详解】∵向量 ， 不共线，由 // ，则存在非零实数 ，使 ，即
，解得： ，故答案 .
14. 中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.
现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为 .据以往资料统计，第
一场比赛可获得门票收入 500 万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加 100 万元.则总决赛中获得门票总
收入恰好为 4500 万元的概率是_____.
【答案】
【解析】
分析】
构造等差数列，求得比赛场次，再利用概率公式，即可求得结果.
【详解】根据题意，每场比赛的没票收入，构成首项为 ，公差为 的等差数列，
设该数列为 ，即可得 ， ，
由 ，可得 或 （舍），
故该比赛共比赛了 场，前 场比赛比分是 ，且第 6 场比赛是领先队获胜.
故其概率为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查等差数列前 项和基本量的计算，以及 次独立重复试验的概率求解，属综合中档题.
15. 2019 年 1 月 1 日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际
取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过 5000 元（俗称“起征点”）的部分
不征税，超出 5000 元部分为全月纳税所得额.新的税率表如表：
2019 年 1 月 1 日后个人所得税税率表
全月应纳税所得额 税率（%）
不超过 3000 元的部分 3
【
1
2
−
a b ( )a bλ + ( )2a b− m ( )2a b m a bλ + = −
1 2
m
m
λ =
= −
1
2
λ = − 1
2
−
1
2
5
16
500 100
{ }na 1 500a = 100d =
4500nS = 6n = 15n = −
6 5 2:3
5
3
5
1 5
2 16C =
5
16
n n
超过 3000 元至 12000 元的部分 10
超过 12000 元至 25000 元的部分 20
超过 25000 元至 35000 元的部分 25
个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房
租金和赡养老人等六项专项附加扣除.其中赡养老人一项指纳税人赡养 60 岁（含）以上父母及其他法定赡养
人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月 2000 元的标准定额扣除；纳税人为
非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月 2000 元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月 1000 元.某纳
税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在 2020 年 5 月份应缴纳个人所得税款
为 180 元，那么他当月的工资、薪金税后所得是_____元.
【答案】9720
【解析】
【分析】
按题意从最低纳税额开始计算最高纳税，同时考虑到专项附加扣除后可得．
【详解】设他的工资是 元，
工资是 8000 元时纳税为 ，由于他有专项附加扣 1000 元，因此他工资是 9000 元时，纳税 90
元， ， ，纳税后收入为 9900－180＝9720（元）．
故答案为：9720．
【点睛】本题考查函数的应用，解题时根据分段函数的意义分段计算纳税额即可得．解题关键是正确理解
题意，弄懂工资收入与纳税额之间的关系．
16. 在三棱锥 S﹣ABC 中，底面△ABC 是边长为 3 的等边三角形， ， ，二面角 S﹣AB﹣C
的大小为 60°，则此三棱锥的外接球的表面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意， ，所以 ，取 中点为 ， 中点 ，得 是二面角
S﹣AB﹣C 的平面角， ， 是 的外心，设 是 的外心，过外心作在平面的垂
直得球心，求出球半径可得表面积．
x
3000 3% 90× =
( 9000) 10% 180 90x − × = − 9900x =
3SA = 2 3SB =
13π
2 2 2SA AB SB+ = SA AB⊥ AB D SB M MDC∠
60MDC∠ = ° M SAB N ABC
【详解】根据题意， ，所以 ，取 中点为 ， 中点 ，则 ，
， ， 是正三角形， ，
是二面角 S﹣AB﹣C 的平面角， ，
， 是 的外心，设 在 上， ， 是 的外心，
设过 与平面 垂直的直线与过 垂直于平面 的直线交于点 ，
则 是三棱锥 外接球球心．
， ，又 ，
在四边形 中， ，
外接球半径为 ，
表面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查求球的表面积，关键是找到外接球球心，求得半径．因此寻找两个面的外心，过外心作
所在平面的垂线，垂线的交点即为外接球球心．同理还得出了二面角的平面角，计算可得．三棱锥的外心
在过各面外心与该在同等条件下垂直的直线上．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 ，x∈R.
（1）求函数 y＝f（x）的单调减区间；
（2）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 ，求△ABC 周长的取值范
2 2 2SA AB SB+ = SA AB⊥ AB D SB M //MD SA
1 3
2 2MD SA= = MD AB⊥ ABC CD AB⊥
MDC∠ 60MDC∠ = °
90SAB∠ = ° M SAB N CD 2CN ND= N ABC
M SAB N ABC O
O S ABC−
3 3 33CN BN= = × = 3
2DN = 3
2DM =
MDNO 1
2ON =
2 2 1 133 4 2r OB BN NO= = + = + =
2
134 132S π π = × =
13π
2 2( ) sin 2cos 3sin cos4 4 4 4
x x x xf x = − +
( ) 1 , 32f B b= − =
围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数
的单调性得减区间；
（2）由 求得 ，用余弦定理得 的关系式后利用基本不等式及三角形的性质得出 的范
围，从而得周长的范围．
【详解】（1）
，
，解得 ．
所以减区间是 ．
（2）由（1） ，又 ，所以 ，
由 得 ，所以
，当且仅当 时等号成立，又 ，
所以 ，即 周长的范围是 ．
【点睛】本题主要考查正弦型三角函数的单调性，考查余弦定理的应用，考查二倍角公式、两角差的正弦
公式，解题中需恰当的选用公式求解．属于中档题．
18. 如图 1，在等边△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 上 动点且满足 ，记 .将△ADE
沿 DE 翻折到△MDE 的位置并使得平面 MDE⊥平面 DECB，连接 MB，MC 得到图 2，点 N 为 MC 的中点.
的
5 114 ,4 ,3 3k k k Z
π ππ π + + ∈ (2 3,2 3]+
1( ) 2f B = − B ,a c a c+
1 cos 3 1 3 12( ) 1 cos sin 3 sin cos2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
x x x xf x
− = − + + = − −
13sin 2 3 2
x π = − −
32 2 ,2 2 3 2
xk k k Z
π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ 5 114 4 ,3 3k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
5 114 ,4 ,3 3k k k Z
π ππ π + + ∈
1 1( ) 3sin 2 3 2 2
Bf B
π = − − = − (0, )B π∈ 2
3B
π=
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2
2
2 2 2 2 33 ( ) ( ) ( )2 4
a ca c ac a c ac a c a c
+ = + + = + − ≥ + − = +
2a c+ ≤ a c= 3a c b+ > =
2 3 2 3a b c< + + ≤ + ABC (2 3,2 3]+
//DE BC DE
BC
λ=
（1）当 平面 MBD 时，求 λ 的值；
（2）试探究：随着 λ 值的变化，二面角 B﹣MD﹣E 的正切值是否改变，如果是，请说明理由，如果不是，
请求出二面角 B﹣MD﹣E 的正切值大小.
【答案】(1) ;(2)-2.
【解析】
【分析】
(1) 取 的中点为 ，连接 ，由线面平行的性质可得 ，进而可求出 ，即可求出
λ 的值.
(2) 取 中点 建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量和平面 的法向量，即可求出二面
角的正切值.
【详解】(1)证明：取 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 四点共面，又 面 ， 面 ，
平面 面 ，所以 ，即 为平行四边形，
所以 ，且 ，即 ，即 .
(2)取 的中点 ，由平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，
如图建立空间直角坐标系，不妨设 ，则 , ,
，所以 , ，
的
//EN
1
2
λ =
MB P ,DP PN //EN PD =NP DE
DE O BMD EMD
MB P ,DP PN ,MN CN MP BP= = //NP BC
//DE BC //NP DE , , ,N E D P //EN BMD EN ⊂ NEDP
NEDP ∩ MBD DP= //EN PD NEDP
//NP DE =NP DE 1
2DE BC= 1
2
λ =
DE O MDE ⊥ DECB MO DE⊥ MO ⊥ DECB
2BC = ( )0,0, 3M λ ( ),0,0D λ
( )( )1, 3 1 ,0B λ− ( ),0, 3MD λ λ= − ( )( )1 , 3 1 ,0DB λ λ= − −
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，即 ，又平面 的法向量 ，
所以 ，即 λ 值的变化，二面角 B﹣MD﹣E 的正切值不变.
又 ，则
因为二面角 B﹣MD﹣E 为钝二面角，所以二面角 B﹣MD﹣E 的正切值为 .
【点睛】本题考查了线面平行的性质，考查了二面角的求解.一般求解二面角时，常建立空间直角坐标系，
结合空间向量求出两个面的法向量进行求解.
19. 记椭圆 的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，
已知△F2AB 的周长为 8 且点 在椭圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）请问：x 轴上是否存在定点 M 使得∠F1MA＝∠F1MB 恒成立，若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，
请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，
【解析】
BMD ( ), ,m x y z = ( ) ( )
3 0
1 3 1 0
MD m x z
DB m x y
λ λ
λ λ
⋅ = − = ⋅ = − + − =
3
3
x z
x y
=
= −
3x = ( )3, 1,1m = − EMD ( )0,1,0n =
1 5cos , 55
m nm n m n
⋅ −= = = −
2 2 5sin , 1 cos , 5m n m n= − = sin ,tan , 2cos ,
m nm n m n
= = −
2−
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
31, 2P
2 2
14 3
x y+ = ( )4,0M −
分析】
（1）根据焦点三角形周长公式可求 ，再将 代入标准方程即可求解；
（2）假设存在点 ，则所求问题转化为求证 ，设直线方程为 ，结合韦达定
理代换即可求证.
【详解】（1）由题知△F2AB 的周长为 ，解得
，再将 代入 解得 ，则椭圆的标准方程为： ；
（2）假设存在点 ，设直线方程为 ， ，
联立 得 ， ①，
则 若 ，
则有 ，
即 ，将①式代入化简得
，解得 ，故存在点 ，使得∠F1MA＝∠F1MB 成立.
若直线 l 斜率为 0 时，即直线为 ，此时点 为 时显然也满足 ，
综上所述，存在点 ，使得∠F1MA＝∠F1MB 恒成立.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，韦达定理求证直线与椭圆的定点定值问题，属于中档题.
20. 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维
修优惠方案：方案一：交纳延保金 8600 元，在延保的两年内可免费维修 3 次，超过 3 次后的每次收取维修
费 a 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次后的每次收取维修费 1000
元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了
100 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：
维修次数 0 1 2 3
【
2a = 31, 2P
( ),0M m 0MA MBk k+ = 1x ty= −
2 2 2 2 1 1 4 8F A F B AB F A F B F A F B a+ + = + + + = =
2a = 31, 2P
2 2
2 14
x y
b
+ = 2 3b =
2 2
14 3
x y+ =
( ),0M m 1x ty= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2
14 3
x y+ = ( )2 23 4 6 9 0t y ty+ − − = 1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
ty y y yt t
−+ = ⋅ =+ +
1 1 2 2
1 1 2 2
, ,1 1MA MB
y y y yk kx m ty m x m ty m
= = = =− − − − − − 0MA MBk k+ =
1 2
1 2
01 1
y y
ty m ty m
+ =− − − −
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 1 01 1 1 1
y ty m y ty m ty y m y y
ty m ty m ty m ty m
− − + − − − + += =− − − − − − − −
( )
2 2
6 118 03 4 3 4
t mt
t t
+− − =+ + 4m = − ( )4,0M −
0y = M ( )4,0− 0MA MBk k+ =
( )4,0M −
台数 m 10 40 n
以这 100 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保
的两年内共需维修的次数且 P（X＝0）＝0.01.
（1）求实数 m，n 的值；
（2）求 X 的分布列；
（3）以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？
【答案】（1） ， ；（2）分布列见解析；（3） 元时，方案一合算， 时，方
案二合算， 时，两种方案一样．
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，再得出 的值，
（2） 的可能值为 ，分别求得概率，得概率分布列，
（3）由期望公式得出期望．可得两种方案的总费用，比较后可得结论．
【详解】（1）由 ，解得 ，∴ ；
（2）依题意 的可能值为 ，
由题意一台机器维修次数为 ，概率为 ， ， ， ，
，
，
，
10m = 40= 1500a < 1500a >
1500a =
( 0)P X = m n
X 0,1,2,3,4,5,6
2
( 0) 0.01 100
mP X = = = 10m = 100 10 10 40 40n = − − − =
X 0,1,2,3,4,5,6
n 1( 0) 10P n = = 1( 1) 10P n = = 2( 2) 5P n = = 2( 3) 5P n = =
1( 0) 100P X = =
1 1 1( 1) 2 10 10 50P X = = × × =
1 2 1 1 9( 2) 2 10 5 10 10 100P X = = × × + × =
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3 4 5 6
（2）由（1）方案一维修费用期望值为
方案一总费用为 （元），
方案二维修费用期望值为
方案二总费用为 （元）．
， ， 时， ， 时， ，
∴ 元时，方案一合算， 时，方案二合算， 时，两种方案一样．
【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查了随机变量的数学期望，用样本估算总体．考查了学生的
数据处理能力，运算求解能力．
21. 已知 f（x）＝m e2x﹣2x（x+1） ex，其中 e 为自然对数的底数，且函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2.
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）求证：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
1 2 1 2 4( 3) 2 210 5 10 5 25P X = = × × + × × =
1 2 2 2 6( 4) 2 10 5 5 5 25P X = = × × + × =
2 2 8( 5) 2 5 5 25P X = = × × =
2 2 4( 6) 5 5 25P x = = × =
X
X
P 1
100
1
50
9
100
4
25
6
25
8
25
4
25
6 8 4 342 325 25 25 25a a a a+ × + × =
1
348600 25y a= +
8 41000 2000 64025 25
× + × =
2 10000 640 10640y = + =
348600 1064025 a+ = 1500a = 1500a < 1 2y y< 1500a > 1 2y y>
1500a < 1500a > 1500a =
⋅ ⋅
( 2 ,0e −
【分析】
（1）求得导数，构造函数 ，将问题转化为 值域的求解，利用导数处理即可；
（2）构造函数 ，据此求得 的范围，借助基本不等式求得 的范围，即
可证明.
【详解】（1） ，
函数 f（x）恰有两个极值点 x1，x2，则 有两个变号零点，
当 时， ，其 ，
故此时 有两个变号零点，满足题意；
当 时， ，
令 ，
故可得 ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
且当 时， 恒成立，当 趋近于正无穷时， 趋近于 0，
又 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷；且 ，
故当 时， 只有一个极值点，不满足题意；
当 时， 有三个极值点，不满足题意；
当 时， 有两个极值点，满足题意；
当 时， 没有极值点，不满足题意.
综上所述，
（2）令 ，则 ，
( ) 2 3 1
x
x xg x e
+ += ( )g x
( ) ( ) ( )4h x g x g x= − − − 1 2x x+ 1 2x x
( ) ( ) ( )2 2 22 2 3 1 2 3 1x x x xf x me e x x e me x x= − + + = − − −′
( )f x′
0m = 2 3 1 0x x− − − = Δ 9 4 0= − >
( )f x′
0m ≠
2 3 1
x
x xm e
+ +=
( ) 2 3 1
x
x xg x e
+ +=
( ) ( )( )2 1
x
x xg x e
− + −′ =
2x < − 1x > ( ) 0g x′ < ( )g x
2 1x− < < ( ) 0g x′ > ( )g x
1x > ( ) 0g x > x ( )g x
x ( )g x ( ) ( )2 52 , 1g e g e
− = − =
5m e
≥ ( )f x
50 m e
< < ( )f x
2 0e m− < < ( )f x
2m e≤ − ( )f x
( 2 ,0m e ∈ −
( ) 0g x = 3 5
2x
− ±=
不妨设 ，由（1）可得： ，
令 ，
则
，
故 在 单调递减.
故当 时， ，即 .
令 ，则 ，又 ，故 ，
又因为 ，且 在 单调递减，
故 ，即 .
故 ，
由（1）知 ，
则
故 ，即 .
综上可得： ， .
故 3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8 即证.
【点睛】本题考查利用导数由函数极值点个数求参数范围，以及用导数研究双变量问题，涉及极值点偏离
思路的应用，属综合困难题.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第
一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
选修 4-4：坐标系与参数方程
1 2x x<
1 2
3 5 3 522 2x x
− − − +≤ < − < ≤
( ) ( ) ( )4h x g x g x= − − − 3 52 2x
− +− < ≤
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
4
2 1 2 54 x x
x x x xh x g x g x e e− −
− + − − − − − −= + − − = +′ ′ ′
( ) ( ) ( ) ( ) 42 1 5x xh x x x e x e− + = − + − + +′
( ) ( ) ( ) ( )24 4 42 1 5 2 2 0x x xx x e x e x e+ + + < − + − + + = − + − − 1 2 4x x+ > −
( ) ( ) 2
1 2
1 20 42
x xx x
− + −< < 2 2m < −
2 2m > 2 2 4 10
55max
md
+= = 2 2m =
2 2m < − 2 2 4 10
55max
md
− −= = 6 2m = −
6 2m = −
5( ) | 2 1| 2f x x x= − + −
≤ 19
2
1 1 1
a b c
+ +
13| 2 3x x − ≤ ≤
9
2
M
7 53 ,2 2
3 1 5( ) ,2 2 2
7 13 ,2 2
x x
f x x x
x x
− >
= + ≤ ≤
− +
− ≤
5 13
2 3x< ≤
1 5
2 2
3 19
2 2
x
x
≤ ≤
+ ≤
1 5
2 2x≤ ≤
1
2
7 193 2 2
x
x
>
21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9( )2 2 2a b c a b ca b c a b c a b c
+ + = + + + + ≥ × + × + × =
2
3a b c= = =
1 1 1
a b c
+ + 9
2
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