百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷数学试卷 含答案及解析

1 百师联盟 2021 届高三开学摸底联考新高考卷 数学试卷 2020．9 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．复数 2i 1 i 的虚部为 A．﹣1 B．1 C． 1 2 D． 1 2  2．已知集合 A＝ 2 1, x x n n Z   ，B＝ 0 10y y  ，则集合 A B 的子集个数为 A．32 B．31 C．16 D．15 3．已知函数 ( )f x 的图象如图所示，则 ( )f x 的解析式可能为 A． 2 2 1( )f x x x   B． 2 2 1( )f x x x   C． 31( )f x x x   D． 3 1( )f x x x   4．已知平面 ，直线 l，m，n，满足 m∥ ，n∥ ，且 m，n 互为异面直线，则“l⊥m且 l⊥n”是“l⊥ ”的 第 3 题 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．我国历法中将一年分春、夏 、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、 雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制 二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的 6 幅彩绘，在 制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季 6 幅彩绘的概率是 A． 1 16 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 6．已知 m≠0，向量 a  ＝(m，n)，b  ＝(﹣2，m)，若 a b a b       ，则实数 n＝ A． 2 B． 2 C．﹣2 D．2 7． 61( )ax x  的展开式的常数项为﹣160，则实数 a＝ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 8．已知0 4   ，则 A． sin cos cos(cos ) (cos ) (sin )      B． cos sin cos(sin ) (cos ) (cos )      C． cos cos sin(cos ) (sin ) (cos )      D． cos sin cos(cos ) (cos ) (sin )      2 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下表为 2019 年某煤炭公司 1~10 月份的煤炭生产量， 则下列结论正确的是 A．极差为 12.5 万吨 B．平均值为 24 万吨 C．中位数为 24 万吨 D．众数为 17.5 万吨 10．正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，用一个平面 截这个正方体，把该正方体分为 体积相等的两部分，则下列结论正确的是 A．这两部分的表面积也相等 B．截面可以是三角形 C．截面可以是五边形 D．截面可以是正六边形 11．如图是函数 ( ) sin( )f x A x   (A＞0，＞0，  ＜ 2  )的部分图象，若 ( )f x 在[0， 2 ]内有且 只有一个最小值点，的值可以为 A． 1 3 B． 2 3 C．1 D．2 12．双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞0，b＞0)的焦点在圆 O： 2 2 13x y  上，圆 O 与双曲线 C 的渐近线在第一、二象限分别交于点 M、N，点 E(0，a)满足EO EM EN 0       （其 中 O 为坐标原点），则 A．双曲线 C 的一条渐近线方程为3 2 0x y  B．双曲线 C 的离心率为 13 2 C． OE 1  D．△OMN 的面积为 6 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．若 cos( 4  ﹣ 2  )＝ 3 5 ，则 sin ＝ ． 14．若直线3 4 0x y a   与圆 2 2( 2) 4x y   有且仅有一个公共点，则实数 a的值为 ． 15．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王 2020 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款 10000 元， 用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应 求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的 20%，每月月底需缴纳房租 600 元 第 11 题 3 和水电费 400 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续．预计 2020 年小王的农产 品加工厂的年利润为 元（取 1.211＝7.5，1.212＝9） 16．已知函数 2( ) logf x x kx  在 x (0，16]上有三个零点，则实数 k 的取值范围 为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acosB＋bcosA＝2ccosB． （1）求角 B； （2）若 A＝ 4  ，角 B 的角平分线交 AC 于点 D，BD＝ 6 ，求 CD 的长． 18．（本小题满分 12 分） 在① 1a ， 1 4 ， 2a 成等差数列，② 1a ， 2 1a  ， 3a 成等比数列，③ 3 3 4 S  ，三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并作答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答 计分． 已知 nS 为数列 na 的前 n项和， 13 2n nS a a  ，(n N )， 1 0a  ，且 ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）记 2 2logn nb a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P—ABC 中，侧面 PBC 是边长为 2 的等边三角形，M，N 分别为 AB， AP 的中点，过 MN 的平面与侧面 PBC 交于 EF． （1）求证：MN∥EF； （2）若平面 PBC⊥平面 ABC，AB＝AC＝3，求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值． 4 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 M： 2 2 2 2 1x y a b   (a＞b＞0)的离心率为 2 2 ，且过点(2， 2 )． （1）求椭圆 M 的方程； （2）若 A，B 分别为椭圆 M 的上，下顶点，过点 B 且斜率为 k(k＞0)的直线 l交椭圆 M 于另一点 N（异于椭圆的右顶点），交 x轴于点 P，直线 AN 与直线 x＝a相交于点 Q．求证： 直线 PQ 的斜率为定值． 21．（本小题满分 12 分） 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物 来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”．某电商平台在其旗下的所有电商中随机 抽取了 50 家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方 面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数 x，得到了如下的频率分布表： 将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在 65 及以上的电商占全体电商的 80%． （1）求 a，b的值； （2）画出这 50 家电商顾客评价指数的频率分布直方图； （3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在[45，65)、[65， 85)和[85，95)的电商的顾客评价指数将分别提高 20、10、5．现从这 50 家电商中随机抽取 两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为 ，求 的分布列和期望． 22．（本小题满分 12 分） 已知 21( ) ln 2 f x x a x  ． （1）求 ( )f x 的极值； （2）若函数 ( ) ( ) 2F x f x x  有两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2 2( ) ( ) 2 e F x F x    （e 5 为自然对数的底数）恒成立，求实数 a的取值范围． 参考答案 6 7 8 9 10