专题1.2函数及其性质-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(解析版)
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专题1.2函数及其性质-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(解析版)

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资料简介
1 / 18 2021 学年高考数学(理)尖子生同步培优题典 专题 12 函数及其性质 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 注意事项: 一、选择题(在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(2019·浙江高三月考)已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 不等式 等价于 或 分别解不等式组后,取并集可求得 的取值范围. 【详解】 或 , 解得: 或 ,即 ,故选 D. 2.(2020·武威第六中学高三其他(理))函数 (其中 为自然对数的底数)的图象大致 为( ) 2 2 1, 0( ) log , 0 x xf x x x  + − ≤=  > ( ) 1f a ≤ a ( 4] [2, )−∞ − +∞ [ 1,2]− [ 4,0) (0,2]−  [ 4,2]− ( ) 1f a ≤ 0, 2 1 1, a a ≤  + − ≤ 2 0, log 1, a a >  ≤ a ( ) 1f a ≤ ⇔ 0, 2 1 1, a a ≤  + − ≤ 2 0, log 1, a a >  ≤ 4 0a− ≤ ≤ 0 2a< ≤ [ 4,2]a ∈ − ( ) ( )3 1 1 x x ef x x e += − e 2 / 18 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题, 的定义域为 , 因为 ,所以 是偶函数,图象关于 轴对称,故排除 A、C; 又因为 ,则当 时, , ,所以 , 故选:D 3.(2020·安徽庐阳高三其他(理))设正实数 a,b,c 满足 ,则 a,b,c 的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意作函数 、 的图象,结合当 时, 可得 ;由函数 的单调性可得 ;再由 结合对数函数的性质可得 ;即可得解. 【详解】 ( )f x { }| 0x x ≠ ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 1 1 1 x x x x e ef x f x x e x e − − + +− = = = − − − ( )f x y ( ) ( ) ( )33 3 1 1 2 1 1 x x x ef x xx e x e += = + − − x → +∞ 3x → +∞ 1xe − → +∞ ( ) 0f x → 2 2 2sin 2 log 1be a a b c c− = ⋅ = = c a b> > b c a> > c b a> > a b c> > ( )2 2 1, 0y e x x= − ≥ ( )sin , 0y x x= ≥ 1 2x = 2 2 11 sin 2e x − > 10 2a< < ( )2 , 0x xy x⋅ >= 1 12 b< < 2 1log 0c c = > 1c > 3 / 18 由 可得: , , 在同一坐标系中分别作函数 、 的图象如图: 当 时, , ,此时 , 所以当 时, 即 ; 由函数 单调递增且 、 可得 ; 由 可得 ; 所以 . 故选:C. 4.(2020·湖南雨花雅礼中学高三月考(理))已知函数 ( ), 为奇函数,则下述四个结论中说法正确的编号是( ) ① ; 2 2 2sin 2 log 1be a a b c c− = ⋅ = = 2 2 1 sine a a− = 2 1log c c = ( )2 2 1, 0y e x x= − ≥ ( )sin , 0y x x= ≥ 1 2x = 2 2 2 11 14 2 ee x − = − > 1 1sin sin2 6 2 π< = 2 2 11 sin 2e x − > 2 2 1 sine x x− = 10 2x< < 10 2a< < ( )2 , 0x xy x⋅ >= 1 21 22 12 2 ⋅ = < 1 2 2 1⋅ = > 1 12 b< < 2 1log 0c c = > 1c > 11 2c b a> > > > ( ) cos(2 )f x x ϕ= + π| | 2 ϕ < 3( ) ( ) ( )2F x f x f x′= + tan 3ϕ = 4 / 18 ② 在 有且仅有一个极大值点; ③ 在 上存在零点,则 a 的最小值为 ; ④ 在 上单调递增; A.①② B.①③④ C.③④ D.②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 为奇函数,求出 ,可知①错误;当 时, ,当 时, , 可知②错误;根据函数 的零点为 , ,可知③正确;当 时, , 为单调递减函数,可知④正确. 【详解】 因为 ,所以 , 所以 因为 为奇函数,则 ,即 ,所以 , ,因为 ,所 以 , 对于①, ,故①错误; ( )f x π0, 2      ( )f x [ , ]a a− π 6 ( )F x π 3π,4 4      ( )F x π 6 ϕ = 5π0,12x  ∈   ( ) 0f x′ < 5π π,12 2x  ∈   ( ) 0f x′ > ( )f x π π 2 6 k + k ∈Z 3,4 4x π π ∈   2 , 2 3 2x π π ∈   2sin 2y x= ( ) cos(2 )f x x ϕ= + ( ) 2sin(2 )f x x ϕ′ = − + 3 π( ) ( ) ( ) cos(2 ) 3sin(2 ) 2cos 22 3F x f x f x x x xϕ ϕ ϕ ′= + = + − + = + +   ( )F x (0) 0F = πcos 03 ϕ + =   3 2k π πϕ π+ = + k Z∈ π| | 2 ϕ < π 6 ϕ = 3tan tan 6 3 πϕ = = 5 / 18 对于②,因为 ,当 时, ,当 时, ,∴ 在 上存在一个极小值点,没有极大值点,故②错误; 对于③,令 ,得 , ,若 在 上存在零点,则 且 a 的最小值为 ,故③正确; 对于④, ,当 时, ,则 在 上单调递增,故④正确; 故选:C. 5.(2020·福建高三其他(理))若 , , ,关于函数 的以下结论: ① ②对称轴方程为 , ③值域为 ④在区间 单调递减 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 定义求出函数 的解析式,然后画出 的图象,结合图像即可判断 π( ) 2sin 2 6f x x ′ = − +   5π0,12x  ∈   ( ) 0f x′ < 5π π,12 2x  ∈   ( ) 0f x′ > ( )f x π0, 2      ( ) cos 2 06f x x π = + =   π π 2 6 kx = + k ∈Z ( )f x [ , ]a a− 0a > π 6 ( ) 2cos 2 2sin26 3F x x x π π = + + = −   3,4 4x π π ∈   2 , 2 3 2x π π ∈   ( )F x π 3π,4 4      { } , ,min , , , a a ba b b a b ≤=  > ( ) sin cosf x x x= + ( ) sin cosg x x x= − ( ) ( ) ( ){ }min ,h x f x g x= ( )h x T π= 2 1 2 kx π+= k Z∈ 2,1 −  3 5,4 4 π π     ( ) ( ) ( ){ }min ,h x f x g x= ( )h x ( )h x 6 / 18 的结论. 【详解】 解: . 因为 都是周期为 的函数,所以 的周期为 ,①错误; 如下图所示(一个周期内图象): 的对称轴方程为: , ,②正确; 由图直接得知③正确; 当 , 在区间 单调递减,④正确. 故选:D. 6.(2020·河南开封高三二模(理))已知定义在 上的奇函数 ,对任意实数 ,恒有 , ( )h x ( ) ( ) ( ){ } sin cos ,cos 0,min , sin cos ,cos 0, x x xh x f x g x x x x + ≤= =  − > 32 sin ,2 2 ,4 2 2 2 sin ,2 2 ,4 2 2 x k x k x k x k π π ππ π π π ππ π   + + ≤ ≤ +   =    − − < < +    ( )k Z∈ ( ) ( ),f x g x 2π ( )h x 2π ( )h x 2 1 2 2 kx k ππ π+= + = k Z∈ 32 sin , ( , )3 5, , ( )4 4 4 4 2x x xf x π π πππ π  + + ∈  ∈ =     ( )f x∴ 3 5,4 4 π π     R ( )f x x ( ) ( )3f x f x+ = − 7 / 18 且当 时, ,则 ( ) A.6 B.3 C.0 D. 【答案】B 【解析】 由题得 ,所以函数的周期为 . 由题得 , , , 所以 , 所以 . 故选:B. 7.已知函数 ,若实数 满足 , ,则 的取值范围 30, 2x  ∈   ( ) 2 6 8f x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2020f f f f+ + +⋅⋅⋅+ = 3− ( ) ( )6 [( 3) 3] 3 [ ( )] ( )f x f x f x f x f x+ = + + = − + = − − = 6 (0) 0, (1) 1 6 8 3,f f= = − + = (2) ( 2) ( 2 3) (1) 3f f f f= − − = − + = = (3) ( 3) ( 3 3) (0)f f f f= − − = − + = (4) ( 4) ( 4 3) ( 1) (1) 3f f f f f= − − = − + = − = − = − (5) ( 5) ( 5 3) ( 2) (2) 3f f f f f= − − = − + = − = − = − (0) (1) (2) (3) (4) (5) 0f f f f f f+ + + + + = ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2020f f f f+ + +⋅⋅⋅+ = 336[ (0) (1) (2) (3) (4) (5)] (0) (1) (2) (3) (4) 3f f f f f f f f f f f+ + + + + + + + + + = 2 ln , 1 ( ) 1 3 , 12 2 x x f x x x + ≥=  + 2 2'( ) 1 , 1xg x xx x −= − = > ( )g x (1,2) (2, )+∞ min( ) (2) 3 2ln 2g x g= = − 1 2x x+ 3 2ln 2− ( )f x (3 2,3 )a a− − ( 1)f x + (2 ,5 )x a a∈ ( ) xf x a= 1 3(3 ) ( ) ( )3 2f a f f aa < < 3 1(3 ) ( ) ( )2 3f a f a f a < > ( ) ( )2 2 2 2 4 3 42log log 3 log 43( )f f f> > ( ) ( )2 2 2 3 2 4 42log 4 log o( 3 ) l g 3f f f> > ( ) ( )2 2 2 4 3 2 42log 3 log 4 3( )logf f f> > ( )1f x+ R ( )f x ( )1,0 1x ≤ ( )f x ( )f x R ( )2f x 1x = 1x ≥ ( )2f x 3 3 4log 4 1 log 3 − = 4 4 4 3 4log 3 1 log =log4 3 − = 2 4 4 42 14 7log 1 log 1 log3 3 6 − = − = 3 4 4 4 4 4 8 7log log log log3 3 6 6 > = > 2 2 2 3 4 2 42log 4 log 3 lo( ) ( 3) ( )gf f f> > 11 / 18 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底; (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传 递”; (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 10.(2020·福建高三其他(理))已知 是定义在 R 上的奇函数,当 时, .对于任意不小于 2 的正整数 n,当 时,都满足 .给出以下命题: ① 的值域为 ; ②当 时, ; ③当 时,方程 有且只有三个实根. 以上三个命题中,所有真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【解析】因为当 时,都满足 所以当 时, , ( )f x [ ]0,2x∈ ( ) ( )4 1 1f x x= − − 12 2,2 2n nx + ∈ − −  ( ) 1 12 2 xf x f  = −   ( )f x [ ]4,4− 6 72 2,2 2x  ∈ − −  ( ) 10, 8f x  ∈   2 10a< < ( ) log 0af x x− = 12 2,2 2n nx + ∈ − −  ( ) 1 12 2 xf x f  = −   [ ]2 32 2,2 2 , 1 0,22 xx  ∈ − − − ∈  ( ) 1 1 2 1 1 1 =2 1 22 2 2 2 x x xf x f     = − = − − − − −           12 / 18 当 时, , 从而类推可得当 时, 当 时, ,即②正确; 当 时, 因为 是定义在 R 上的奇函数,所以 ,即①正确; 当 时,由图可知 不止三个交点,所以③错误; [ ]3 42 2,2 2 , 1 2,62 xx  ∈ − − − ∈  ( ) 1 11 1 22 2 4 2 x xf x f   = − = − − −       12 2,2 2n nx + ∈ − −  ( ) 3 1 2 3 3 1 2 1 1 1 1 1 11 2 1 32 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n x xf x − − − − − − −    = − − − − − − = − − +       1 1 2 3 1 13 1 ( ) [0,2 2,2 2 1 ]2 2 2 n n n n nx x f x+ − − − ∈ − − ∴− ≤  − + ≤ ∴ ∈ 6 72 2,2 2x  ∈ − −  ( ) 3 5 4 11 11 32 2 , 82 0xf x  = − − +  ∈    [0, )x∈ +∞ 3 1 1[0,4] [0,2] [0,1] [0, ] [0, ] [0,4] ( ) [0,4]2 2n f x− = ∴ ∈      ( )f x ( ) [ 4,4]f x ∈ − 2 10a< < ( ), logay f x y x= = 13 / 18 故选:A 二、填空题(不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上) 11.(2020·全国高三课时练习(理))设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,且 g(x)≠0,当 xf(x)g′(x),且 f(-3)=0,则不等式 的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 设 ,求导后,利用已知条件确定导数的正负,从而得 在 上的单调性.确定 的 奇偶性,得 在 上的单调性,由单调性可得不等式的解. 【详解】 因为 f(x)和 g(x)(g(x)≠0)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). 因为当 x0, 当 x   ( ) ( ) f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x g x − −=− 14 / 18 因为 f(-3)=-f(3)=0,所以 h(-3)=-h(3)=0, h(x)  1 e 1 1ef   = −   ( )1f − 1 ( 1) 1ef f f    = − = −     16 / 18 故答案为: 14.(2020·全国高三课时练习(理))设函数 f(x)= 若 f(f(a))≤2,则实数 a 的取值范围是 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 对 的符号进行分类讨论,带入相应的解析式求解不等式,可得 f(a)≥-2,再对 a 的符号进行分类讨论 代入相应解析式求解不等式即可. 【详解】 当 时,f(f(a))≤2 即为 , , 解得 ,所以 ; 当 时,f(f(a))≤2 即为 ,因为 恒成立,所以 满足题意. 所以 f(a)≥-2,则 或 ,解得 . 故答案为: 15.(2020·石嘴山市第三中学高三其他(理))对于函数 .现有下列结论:① 任取 , ,都有 ;②函数 有 3 个零点;③函数 在 上单调递增;④若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 , ,则 1− 2 2 , 0 , 0 x x x x x  + < − ≥ 2a ≤ ( )f a ( ) 0f a < 2 ( ) ( ) 2f a f a+ ≤ ( ) ( )[ 1][ 2] 0f a f a− + ≤ ( )2 1f a− ≤ ≤ ( )2 0f a− ≤ < ( ) 0f a ≥ 2 ( ) 2f a− ≤ 2 ( ) 2f a ≥ − ( ) 0f a ≥ 2 0 2 a a a

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