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2021 学年高考数学（理）尖子生同步培优题典
专题 12 函数及其性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2019·浙江高三月考）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式 等价于 或 分别解不等式组后，取并集可求得 的取值范围.
【详解】
或 ，
解得： 或 ，即 ，故选 D.
2．（2020·武威第六中学高三其他（理））函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致
为（ ）
2
2 1, 0( ) log , 0
x xf x x x
+ − ≤= >
( ) 1f a ≤ a
( 4] [2, )−∞ − +∞ [ 1,2]−
[ 4,0) (0,2]− [ 4,2]−
( ) 1f a ≤ 0,
2 1 1,
a
a
≤
+ − ≤ 2
0,
log 1,
a
a
>
≤
a
( ) 1f a ≤ ⇔ 0,
2 1 1,
a
a
≤
+ − ≤ 2
0,
log 1,
a
a
>
≤
4 0a− ≤ ≤ 0 2a< ≤ [ 4,2]a ∈ −
( ) ( )3
1
1
x
x
ef x
x e
+=
− e 2 / 18
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题, 的定义域为 ,
因为 ,所以 是偶函数,图象关于 轴对称,故排除 A、C；
又因为 ,则当 时, , ,所以 ,
故选：D
3．（2020·安徽庐阳高三其他（理））设正实数 a，b，c 满足 ，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作函数 、 的图象，结合当 时， 可得
；由函数 的单调性可得 ；再由 结合对数函数的性质可得
；即可得解.
【详解】
( )f x { }| 0x x ≠
( ) ( ) ( ) ( )3 3
1 1
1 1
x x
x x
e ef x f x
x e x e
−
−
+ +− = = =
− − − ( )f x y
( ) ( ) ( )33 3
1 1 2
1 1
x
x x
ef x xx e x e
+= = +
− − x → +∞ 3x → +∞ 1xe − → +∞ ( ) 0f x →
2 2
2sin 2 log 1be a a b c c− = ⋅ = =
c a b> > b c a> > c b a> > a b c> >
( )2 2 1, 0y e x x= − ≥ ( )sin , 0y x x= ≥ 1
2x = 2 2 11 sin 2e x − >
10 2a< < ( )2 , 0x xy x⋅ >= 1 12 b< < 2
1log 0c c
= >
1c > 3 / 18
由 可得： ， ，
在同一坐标系中分别作函数 、 的图象如图：
当 时， ， ，此时 ，
所以当 时， 即 ；
由函数 单调递增且 、 可得 ；
由 可得 ；
所以 .
故选：C.
4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数 ( )，
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ）
① ；
2 2
2sin 2 log 1be a a b c c− = ⋅ = = 2 2 1 sine a a− = 2
1log c c
=
( )2 2 1, 0y e x x= − ≥ ( )sin , 0y x x= ≥
1
2x = 2
2 2 11 14 2
ee x − = − > 1 1sin sin2 6 2
π< = 2 2 11 sin 2e x − >
2 2 1 sine x x− = 10 2x< < 10 2a< <
( )2 , 0x xy x⋅ >= 1
21 22 12 2
⋅ = < 1 2 2 1⋅ = > 1 12 b< <
2
1log 0c c
= > 1c >
11 2c b a> > > >
( ) cos(2 )f x x ϕ= + π| | 2
ϕ <
3( ) ( ) ( )2F x f x f x′= +
tan 3ϕ = 4 / 18
② 在 有且仅有一个极大值点；
③ 在 上存在零点，则 a 的最小值为 ；
④ 在 上单调递增；
A．①② B．①③④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 为奇函数，求出 ，可知①错误；当 时， ，当 时， ，
可知②错误；根据函数 的零点为 ， ,可知③正确；当 时， ，
为单调递减函数，可知④正确.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以
因为 为奇函数，则 ，即 ，所以 ， ，因为 ，所
以 ，
对于①， ，故①错误；
( )f x π0, 2
( )f x [ , ]a a− π
6
( )F x π 3π,4 4
( )F x π
6
ϕ = 5π0,12x ∈ ( ) 0f x′ < 5π π,12 2x ∈ ( ) 0f x′ >
( )f x π π
2 6
k + k ∈Z 3,4 4x
π π ∈ 2 , 2
3
2x
π π ∈
2sin 2y x=
( ) cos(2 )f x x ϕ= + ( ) 2sin(2 )f x x ϕ′ = − +
3 π( ) ( ) ( ) cos(2 ) 3sin(2 ) 2cos 22 3F x f x f x x x xϕ ϕ ϕ ′= + = + − + = + +
( )F x (0) 0F = πcos 03
ϕ + = 3 2k
π πϕ π+ = + k Z∈ π| | 2
ϕ <
π
6
ϕ =
3tan tan 6 3
πϕ = = 5 / 18
对于②，因为 ，当 时， ，当 时， ，∴
在 上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；
对于③，令 ，得 ， ，若 在 上存在零点，则 且
a 的最小值为 ，故③正确；
对于④， ，当 时， ，则 在
上单调递增，故④正确；
故选：C.
5．（2020·福建高三其他（理））若 ， ，
，关于函数 的以下结论：
① ②对称轴方程为 ，
③值域为 ④在区间 单调递减
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 定义求出函数 的解析式，然后画出 的图象，结合图像即可判断
π( ) 2sin 2 6f x x ′ = − +
5π0,12x ∈ ( ) 0f x′ < 5π π,12 2x ∈ ( ) 0f x′ >
( )f x π0, 2
( ) cos 2 06f x x
π = + =
π π
2 6
kx = + k ∈Z ( )f x [ , ]a a− 0a >
π
6
( ) 2cos 2 2sin26 3F x x x
π π = + + = −
3,4 4x
π π ∈ 2 , 2
3
2x
π π ∈ ( )F x π 3π,4 4
{ } , ,min , , ,
a a ba b b a b
≤= >
( ) sin cosf x x x= + ( ) sin cosg x x x= −
( ) ( ) ( ){ }min ,h x f x g x= ( )h x
T π= 2 1
2
kx π+= k Z∈
2,1 −
3 5,4 4
π π
( ) ( ) ( ){ }min ,h x f x g x= ( )h x ( )h x 6 / 18
的结论.
【详解】
解:
.
因为 都是周期为 的函数，所以 的周期为 ，①错误；
如下图所示（一个周期内图象）：
的对称轴方程为： ， ，②正确；
由图直接得知③正确；
当 ，
在区间 单调递减，④正确.
故选：D.
6．（2020·河南开封高三二模（理））已知定义在 上的奇函数 ，对任意实数 ，恒有 ，
( )h x
( ) ( ) ( ){ } sin cos ,cos 0,min , sin cos ,cos 0,
x x xh x f x g x x x x
+ ≤= = − >
32 sin ,2 2 ,4 2 2
2 sin ,2 2 ,4 2 2
x k x k
x k x k
π π ππ π
π π ππ π
+ + ≤ ≤ + = − − < < +
( )k Z∈
( ) ( ),f x g x 2π ( )h x 2π
( )h x 2 1
2 2
kx k
ππ π+= + = k Z∈
32 sin , ( , )3 5, , ( )4 4 4 4 2x x xf x
π π πππ π + + ∈
∈ =
( )f x∴ 3 5,4 4
π π
R ( )f x x ( ) ( )3f x f x+ = − 7 / 18
且当 时， ，则 （ ）
A．6 B．3 C．0 D．
【答案】B
【解析】
由题得 ，所以函数的周期为 .
由题得
，
，
，
所以 ，
所以
.
故选：B.
7．已知函数 ，若实数 满足 ， ，则 的取值范围
30, 2x ∈
( ) 2 6 8f x x x= − + ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2020f f f f+ + +⋅⋅⋅+ =
3−
( ) ( )6 [( 3) 3] 3 [ ( )] ( )f x f x f x f x f x+ = + + = − + = − − = 6
(0) 0, (1) 1 6 8 3,f f= = − + =
(2) ( 2) ( 2 3) (1) 3f f f f= − − = − + = =
(3) ( 3) ( 3 3) (0)f f f f= − − = − + =
(4) ( 4) ( 4 3) ( 1) (1) 3f f f f f= − − = − + = − = − = −
(5) ( 5) ( 5 3) ( 2) (2) 3f f f f f= − − = − + = − = − = −
(0) (1) (2) (3) (4) (5) 0f f f f f f+ + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2020f f f f+ + +⋅⋅⋅+ =
336[ (0) (1) (2) (3) (4) (5)] (0) (1) (2) (3) (4) 3f f f f f f f f f f f+ + + + + + + + + + =
2 ln , 1
( ) 1 3 , 12 2
x x
f x
x x
+ ≥= + 2 2'( ) 1 , 1xg x xx x
−= − = >
( )g x (1,2) (2, )+∞
min( ) (2) 3 2ln 2g x g= = − 1 2x x+ 3 2ln 2−
( )f x (3 2,3 )a a− − ( 1)f x + (2 ,5 )x a a∈ ( ) xf x a=
1 3(3 ) ( ) ( )3 2f a f f aa
< < 3 1(3 ) ( ) ( )2 3f a f a f a
< >
( ) ( )2 2 2
2 4 3
42log log 3 log 43( )f f f> >
( ) ( )2 2 2
3 2 4
42log 4 log o( 3 ) l g 3f f f> >
( ) ( )2 2 2
4 3 2
42log 3 log 4 3( )logf f f> >
( )1f x+ R ( )f x ( )1,0
1x ≤ ( )f x ( )f x R
( )2f x 1x = 1x ≥ ( )2f x
3 3
4log 4 1 log 3
− = 4 4 4
3 4log 3 1 log =log4 3
− = 2 4 4
42 14 7log 1 log 1 log3 3 6
− = − =
3 4 4 4
4 4 8 7log log log log3 3 6 6
> = >
2 2 2
3 4 2
42log 4 log 3 lo( ) ( 3) ( )gf f f> > 11 / 18
（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;
（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传
递”;
（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.
10．（2020·福建高三其他（理））已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时，
.对于任意不小于 2 的正整数 n，当 时，都满足
.给出以下命题：
① 的值域为 ；
②当 时， ；
③当 时，方程 有且只有三个实根.
以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【解析】因为当 时，都满足
所以当 时，
，
( )f x [ ]0,2x∈
( ) ( )4 1 1f x x= − − 12 2,2 2n nx + ∈ − −
( ) 1 12 2
xf x f = −
( )f x [ ]4,4−
6 72 2,2 2x ∈ − − ( ) 10, 8f x ∈
2 10a< < ( ) log 0af x x− =
12 2,2 2n nx + ∈ − − ( ) 1 12 2
xf x f = −
[ ]2 32 2,2 2 , 1 0,22
xx ∈ − − − ∈
( ) 1 1 2 1 1 1 =2 1 22 2 2 2
x x xf x f
= − = − − − − − 12 / 18
当 时，
，
从而类推可得当 时，
当 时， ，即②正确；
当 时，
因为 是定义在 R 上的奇函数，所以 ，即①正确；
当 时，由图可知 不止三个交点，所以③错误；
[ ]3 42 2,2 2 , 1 2,62
xx ∈ − − − ∈
( ) 1 11 1 22 2 4 2
x xf x f
= − = − − −
12 2,2 2n nx + ∈ − −
( ) 3 1 2 3 3 1 2
1 1 1 1 1 11 2 1 32 2 2 2 2 2 2 2n n n n n n n
x xf x − − − − − − −
= − − − − − − = − − +
1
1
2 3
1 13 1 ( ) [0,2 2,2 2 1 ]2 2 2
n
n n n
nx x f x+
− − − ∈ − − ∴− ≤ − + ≤ ∴ ∈
6 72 2,2 2x ∈ − − ( ) 3 5 4
11 11 32 2 , 82 0xf x
= − − +
∈
[0, )x∈ +∞
3
1 1[0,4] [0,2] [0,1] [0, ] [0, ] [0,4] ( ) [0,4]2 2n f x− = ∴ ∈
( )f x ( ) [ 4,4]f x ∈ −
2 10a< < ( ), logay f x y x= = 13 / 18
故选：A
二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2020·全国高三课时练习（理））设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 g(x)≠0，当 xf(x)g′(x)，且 f(－3)＝0，则不等式 的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 ，求导后，利用已知条件确定导数的正负，从而得 在 上的单调性．确定 的
奇偶性，得 在 上的单调性，由单调性可得不等式的解．
【详解】
因为 f(x)和 g(x)(g(x)≠0)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).
因为当 x0，
当 x
( )
( )
f x
g x
( ) ( )
( ) ( )
f x f x
g x g x
− −=− 14 / 18
因为 f(－3)＝－f(3)＝0，所以 h(－3)＝－h(3)＝0，
h(x)
1
e
1 1ef = −
( )1f −
1 ( 1) 1ef f f
= − = − 16 / 18
故答案为：
14．（2020·全国高三课时练习（理））设函数 f(x)＝ 若 f(f(a))≤2，则实数 a 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
对 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得 f(a)≥－2，再对 a 的符号进行分类讨论
代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】
当 时，f(f(a))≤2 即为 ， ，
解得 ，所以 ；
当 时，f(f(a))≤2 即为 ，因为 恒成立，所以 满足题意.
所以 f(a)≥－2，则 或 ，解得 .
故答案为：
15．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））对于函数 ．现有下列结论：①
任取 ， ，都有 ；②函数 有 3 个零点；③函数
在 上单调递增；④若关于 的方程 有且只有两个不同的实根 ， ，则
1−
2
2
, 0
, 0
x x x
x x
+ <
− ≥
2a ≤
( )f a
( ) 0f a < 2 ( ) ( ) 2f a f a+ ≤ ( ) ( )[ 1][ 2] 0f a f a− + ≤
( )2 1f a− ≤ ≤ ( )2 0f a− ≤ <
( ) 0f a ≥ 2 ( ) 2f a− ≤ 2 ( ) 2f a ≥ − ( ) 0f a ≥
2
0
2
a
a a
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