专题1.3导数定义及几何意义-2021年高考数学（理）尖子生培优题典（解析版）

1 / 15 ！ 2021 学年高考数学（理）尖子生同步培优题典 专题 1.3 导数及几何意义 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·山东高三其他）已知函数 的图象在点 处的切线经过坐标原 点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A ， ，切点为 ， ， ， 所以，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，由于该直线过原点， 则 ，解得 ，故选 A. 2．（2020·湖北黄石港高二月考（理））已知函数 ，则曲线 在 处的切线斜率为（　　） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 的导数为 ( ) ln lnx xf x e x e a x= − + ( )( )1, 1T f a= e− e 1e e−− − 1e− ( ) ln lnx xf x e x e a x= − + ( )1f e∴ = − ( )1,T e− ( ) ln x x xe af x e x ex x ′ = + − + ( )1f a′ = ( )y f x= T ( )1y e a x+ = − a e− = a e= − ( ) ( )2 2 1 lnf x x f x′= + ( )y f x= 1x = ( ) ( )2 2 1 lnf x x f x′= + ( ) ( )2 12 ff x x x ′′ = + 2 / 15 ！ 令 可得 ，解得 ， 曲线 在 处的切线斜率为 故选 A 3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二开学考试（理））设函数 在 处存在导数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 4．（2020·江西高三月考（理））已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，由题意可知 ，得 . ， ， 1x = ( ) ( )1 2 1f f′ ′= + ( )1 2f ′ = − ( )y f x= 1x = 2− ( )f x 1x = ( ) ( )1 1lim 3x f x f x∆ →∞ + ∆ − =∆ ( )1 13 f ′ ( )1f ′ ( )3 1f ′ ( )3f ′ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11 1lim lim (1)3 3 3x x f x f f x f fx x∆ →∞ ∆ →∞ + ∆ − + ∆ − ′= =∆ ∆ ( ) 2f x x ax= − ( )( )1, 1A f l 3 2 0x y+ + = ( ) 1 f n        n nS 2020S 2018 2019 2019 2020 2020 2021 2021 2022 ( ) 2f x x ax= − ( ) 2f x x a′∴ = − ( )1 2 3f a′ = − = 1a = − ( ) 2f x x x∴ = + ( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 1f n n n n n n n = = = −+ + + 3 / 15 ！ . 故选：C. 5．（2019·山阳县城区中学高三月考（理））如图，푦 = 푓(푥)是可导函数，直线푙:푦 = 푘푥 +2是曲线푦 = 푓(푥)在푥 = 3处的切线，令푔(푥) = 푥푓(푥)，푔′(푥)是푔(푥)的导函数，则푔′(3) = （ ）． A．－1 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【解析】将点(3,1)代入直线푦 = 푘푥 +2的方程得3푘 +2 = 1，得푘 = ― 1 3，所以，푓′(3) = 푘 = ― 1 3， 由于点(3,1)在函数푦 = 푓(푥)的图象上，则푓(3) = 1， 对函数푔(푥) = 푥푓(푥)求导得푔′(푥) = 푓(푥) + 푥푓′(푥)， ∴ 푔′(3) = 푓(3) +3푓′(3) = 1 + 3 × ( ― 1 3) = 0，故选：B。 【点睛】 本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点。 2020 1 1 1 1 1 1 20201 12 2 3 2020 2021 2021 2021S      ∴ = − + − + + − = − =           4 / 15 ！ 6．（2020·湖南开福高三月考（理））已知 ，直线 与函数 的图 象在 处相切，设 ，若在区间[1，2]上，不等式 恒成立．则 实数 m（ ） A．有最大值 B．有最大值 e C．有最小值 e D．有最小值 【答案】A 【解析】∵ ，∴ ， ∴ ，又点 在直线 上， ∴-1=2 +b+ ，∴b＝﹣1， ∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，g''（x）＝ex﹣2， 当 x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）＝e﹣2＞0， ∴g'（x）在[1，2]上单调递增， ∴g'（x）≥g（1）＝e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增， 解得 或 e≤m≤e+1， ∴m 的最大值为 e+1，无最小值， 故选 A. 7．（2019·福建福州高三期中（理））设函数 ( )有且仅有两个极值点 ( )， 则实数 的取值范围是(　　) ,a b∈R 2y ax b π= + + ( ) tanf x x= 4 πx = − ( ) 2xg x e bx a= + + ( ) 2 2m g x m≤ ≤ − 1e + e− sin( ) tan cos xf x x x = = 2 2 2 cos sin ( sin ) 1( ) cos cos x x xf x x x − ⋅ − =′ = ( ) 24a f π′= − = ( , 1)4 π− − πy ax b 2 = + + ⋅ ( )4 π− π 2 min 2 2 max ) (1) 1 2 ) (2) 2 m g x g e m g x g e ≤ = = +  − ≥ = = − （ （ m e≤ − ( ) 2 e+ xf x ax= a R∈ 1 2x x， 1 2x x< a 5 / 15 ！ A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：因为函数 ( )有且仅有两个极值点， 所以 在 上有两个不同的解， 即 2ax＋ex＝0 在 上有两解， 即直线 y＝－2ax 与函数 y＝ex 的图象有两个交点， 设函数 与函数 的图象相切，切点为(x0，y0)， 作函数 y＝ex 的图象， 因为 则 ， 所以 ， 解得 x0＝1，即切点为(1，e)，此时 k＝e， 由图象知直线 与函数 y＝ex 的图象有两个交点时， ee, 2  − −   e, 2  −∞ −   ( )e,− +∞ ee, 2  − −   ( ) 2 e+ xf x ax= a R∈ ( ) 0f x′ = R R ( )g x kx= ( ) xh x e= ( ) xh x e′ = 0xe k= 0 00 0 0 x xy e k ex x = = = ( )y g x kx= = 6 / 15 ！ 有 即－2a＞e， 解得 a＜ ， 故选 B. 8．（2019·广西大学附属中学高三月考（理））平面直角坐标系中，过坐标原点 作曲线 的切线 ， 则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如下图所示，设切点坐标为 ，对函数 求导得 ， 所以，直线 的方程为 ，将原点代入直线 的方程得 ，得 . 所以，直线 的函数解析式为 ， 如上图所示，所求区域的面积为 . k e> e 2 − O : xC y e= l C l y 1 12 e − 2 e 1 2e − 3 2e − ( ), tt e xy e= exy′ = l ( )t ty e e x t− = − l t te te− = − 1t = l y ex= ( )0 2 1 01 1 1 12 2 x xe ex dx e ex e ∫ − = − = −   7 / 15 ！ 故选：A. 9．（2019·河北衡水高三月考（理））已知函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ，即 ，即 .又 为奇函数， . ， . ， .由点斜式得曲 线 在点 处的切线方程为 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题. 曲线 在点 处的切线方程的方法： （1）求出 ，则切线的斜率 ； （2）直线的点斜式写出切线方程为： . 10．（2020·福建高三其他（理））设 是常数，对于 ，都有 ，则 （ ） A． B． C． D． ( ) ( )3 2 1 2x x af x f ′= − + − ( )f x ( )y f x= ( )( ),a f a 2 0x y− = 0y = 10 16 0x y− − = 2 0x y− + = ( ) ( )23 2 1f x x f′ ′= − ( ) ( )1 3 2 1f f′ ′∴ = − ( )1 1f ′ = ( ) 3 2 2x x af x = − + − ( )f x 2a∴ = ( ) 3 2x xf x =∴ − ( ) 23 2f x x′ = − (2) 4f∴ = (2) 10f ′ = ( )y f x= (2,4) 10 16 0x y− − = ( )y f x= ( )( )0 0x f x， ( )0f x′ ( )0k f x′= ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = ⋅ − ( )0,1,2, ,2020ia i =  x R∀ ∈ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x= + − + − − + + − − −  0 1 2 3 4 5 2019 20202! 3! 4! 2018! 2019!a a a a a a a a− + − + − + − + − = 2019 2020 2019！ 2020！ 8 / 15 ！ 【答案】A 【解析】因为 ， 则令 可得 . 又对 两边求导可得： ， 令 ， 则 ， 所以 ， 所以 故 ， 所以 . 故选：A. 11．（2020·全国高三其他（理））设函数 是奇函数 的导函数，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x= + − + − − + + − − −  1x = 0 1a = ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2020 0 1 2 20201 1 2 1 2 2020x a a x a x x a x x x= + − + − − + + − − −  ( )( ) ( )( ) ( )2019 1 2 20202020 1 2 1 2 2020x a a x x a x x x′ ′= + − − + + − − −        ( ) ( )( ) ( )1 2nf x x x x n= − − × × − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 + 2nf x x x x n x x n′′ = − − × × − − × × −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 2 1 1 1 !n nf n n−′ = − × × − = − − ( ) ( ) ( )1 2 20192019 1 2 3 20202020 1 1 1 1 2! 1 2019!a a a a× = + × − × + × − × + + × − 1 2 3 20202020 2! 2019!a a a a= − + − − 0 1 2 3 4 5 2019 20202! 3! 4! 2018! 2019! 2020 1 2019a a a a a a a a− + − + − + − + − = − = ( )'f x ( )( )f x x R∈ 0x > ( ) ( )ln 'x x f x f x⋅ < − ( ) ( )2 4 0x f x− > x ( ) ( )2,0 0,2− ∪ ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ +∞ ( ) ( )2,0 2,− ∪ +∞ ( ) ( ), 2 0,2−∞ − ∪ 9 / 15 ！ 【解析】构造函数 则 ， 已知当 时， ，所以在 x>0 时，