专题2.3 三角函数的综合应用-2021年高考数学（理）尖子生培优题典（解析版）

1 / 35 2021 学年高考数学（理）尖子生同步培优题典 专题 2.3 三角函数的综合应用 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·黑龙江萨尔图高三其他（理））圆锥的母线长为 ，其侧面展开图的中心角为 弧度， 过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设轴截面的中心角为 ，过圆锥顶点的截面的顶角为 ，且 过圆锥顶点的截面的面积为： ， 又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为 ， 故此时 ，故 圆锥底面半径 r ∴侧面展开图的中心角为 弧度 故选 A. 2 θ 2 θ )2 ,2π π , 2π π   { }2π 2 ,2 π π     α β β α≤ 1 2 2 sinβ 2sinβ2 × × × = 2 β 2 π= α π2 π ≤ ＜ )2sin 2 22 α = ∈ ， θ 2sin 22 2πsin2 2 απ α× × = = ∈ )2 ,2π π 2 / 35 2．（2020·四川高三其他（理））已知函数 ，且此函数的图象如图所示， 由点 的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图象可得函数的周期 ∴ ，得 ， 将 代入 可得 ，∴ （注意此点位于函数减区 间上） ∴ 由 可得 ， ∴点 的坐标是 ， 故选：B． 3．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三其他（理））已知函数 是定义域在 上的偶函数，且 sin( ) 0,0 2y x πω ϕ ω ϕ = + > 2 πϕ < ,03 π     7 12x π= ( ) cos 2 6g x x π = +   ( )f x 12 π 12 π 4 / 35 C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 【答案】D 【解析】由条件可知函数的最小值为-1，即 ， 对称中心和相邻的对称轴间的距离为 ，即 ，解得： 当 时， ， ， , ， ， 由 变换到 ， 即 ， 根据平移变换规律可知，只需向左平移 个单位. 故选：D 5．（2020·江西东湖高三其他（理））设函数 ，给出下列四个结论： ① ；② 在 上单调递增；③ 的值域为 ；④ 在 上的所有零点之和为 .则正确结论的序号为( ) A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 6 π 6 π 1A = 4 T 1 2 7 4 12 3 π π π ω× = − 2ω = 7 12x π= 7 32 212 2 k π πϕ π× + = + k Z∈ 23 k πϕ π∴ = + k Z∈ 2 πϕ ( )f x 53 , 2 ππ − −   ( )f x [ ]1 2cos2,3 2cos2− + + ( )f x [ ]0,2π 4π 5 / 35 【答案】C 【解析】 . 因为 ，所以 ，所以 .故①正确. 设 . 显然 是以 为周期的周期函数. 作 ， 的图象，如图所示： 由图可知 的值域为 ，即③错误. 由 的函数图象可知， 在 上单调递增.又因为 是周期为 的函数，所以 在 上单调递增，即②正确. 又因为 ，所以 ，所以 . . 由图象可知， 在 内有四个零点. 且 ， ，所以 ，所以④正确. ( ) 22 0 3sin 2 2cos2 tan 2 3f > ⇔ > − ⇔ > − 322 4 π π< < 3tan 2 tan 14 π< = − 2tan 2 3 < − 3sin ,2 2 ,2 sin sin sin ,2 2 2 , x k x ky x x x k x k π π π π π π π ≤ ≤ += + = − + < < + k ∈Z ( )f x 2π 2 sin siny x x= + [ ]0,2x π∈ ( )f x [ ]2cos2,3 2cos2+ ( )f x ( )f x 3, 2 ππ     ( )f x 2π ( )f x 53 , 2 ππ − −   222 3 π π< < 1 cos2 02 − < < 0 2cos2 1< − < ( ) 0 2 sin sin 2cos2f x x x= ⇔ + = − ( )f x [ ]2,2π 1 2 2 2 x x π+ = 3 4 3 2 2 x x π+ = 1 2 3 4 4x x x x π+ + + = 6 / 35 故选：C. 6．（2020·沙坪坝高三月考（理））秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数 学发展的主流与最高水平.他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长 ，求三角形面积的 方法.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为 实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为 .已知三角 形 的三条边长为 ，其面积为 12，且 ，则 周长的最小值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】解：由已知 ,可得 , 两边平方解得 , 又 ,可得 , 三角形 周长 , 取等条件 ，周长的最小值为 16, 故选 C. 7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高三其他（理））已知实数 ， ， 满足 ， ， ， 则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A , ,a b c 22 2 2 2 21 4 2 a c bS a c   + −= −      ABC , ,a b c 2 2 2 14a c b+ − = ABC 22 2 2 2 21 4 2 a c bS a c   + −= −      2 2 21 1412 4 2a c   = −      25ac = 2 2 2 14a c b+ − = 2 2 14b a c= + − ABC 2 2 14 2 2 14 16l a c b a c a c ac ac= + + = + + + − ≥ + − = 5, 6a c b= = = a b c lg22a = 2logb a= sinc b= a b c a b c> > b c a> > a c b> > b a c> > 7 / 35 【解析】 ， ∴ ， ， 时， ，∴ ,即 , ， 故选：A. 8．（2020·黑龙江让胡路铁人中学高三二模（理））在钝角 中，角 所对的边分别为 ，且 ，已知 ， ， ，则 的面积为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】已知 ， ，由正弦定理得 , ，∴ ， 当 时， 由余弦定理得： ，即： , ∴ , 与 联立解得 不满足 ，舍去. ∴ ，∴ . 由余弦定理得： ，即： , 1 2 10, 0 lg2 1< < ∴ < = > ( )0,x π∈ sinx x< sinb b< b c> a b c∴ > > ABC , ,A B C , ,a b c a b> 6a = 3sin 3sin sinB C A− = 7cos2 9A = − ABC 4 2 8 2 6a = 3sin 3sin sinB C A− = 3 3 6, 2b c a b c− = = ∴ − = 27cos2 2cos 19A A= − = − 1cos 3A = ± 1cos 3A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 2 4 436 43 3 3b c bc b c bc bc= + = − + = +− 24bc = 2b c− = 6, 4,b c= = a b> 1cos 3A = − 2 2 2sin 1 cos 3A A= − = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 2 8 836 43 3 3b c bc b c bc bc= + + = − + = + 8 / 35 ∴ , 与 联立解得 满足 ， 的面积为 , 故选：C. 9．（2020·黑龙江香坊校高三一模（理））《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对 勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材 料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 0.5 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体 中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦 尺，弓形高 寸，估算该木 材镶嵌墙内部分的体积约为（ ）（注：一丈=10 尺=100 寸， ） A．300 立方寸 B．305.6 立方寸 C．310 立方寸 D．316.6 立方寸 【答案】D 【解析】设截面图中圆的半径为 （寸），则 ，解得 . 如图，在截面图中连接 ，设 ， 12bc = 2b c− = 1 13, 1 13,b c= + = − + a b> ABC 1 1 2 2sin 12 4 22 2 3ABCS bc A= = × × =  1AB = 1CD = 53.14,sin 22.5 13 π ≈ ° ≈ R 2 25 1R R− + = 13R = ,OA OB AOB α∠ = 9 / 35 则 ，故 即 . 阴影部分的面积约为 ， 故木材镶嵌墙内部分的体积约为 （立方寸）， 故选：D. 10．（2020·全国高三其他（理））已知函数 图象的相邻两条对称轴之 间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象．若函数 为奇函 数，则函数 在区间 上的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由相邻两条对称轴之间的距离为 ，可知 最小正周期为 即： 向左平移 个单位长度得： 5sin 2 13 α = 2 8 α π≈ 4 πα ≈ 2 21 1169 10 13 5 6.33252 4 2 π× × − × × − = 6.3325 50 316.625× = ( )( ) 2cosf x xω ϕ= + 0, 2 πω ϕ > ≥ AB BE CE+ = | | | |TB TC= 1 | | | | | | | |TB TE TC TE+ − = + 1| | 2TE = DOM C∠ = ∠ | | 1| | sin 2sin DMDO C C = = 2sin AB RC = 1 2sinR C = ABC 1 1| | 2sin sin 6 DO R C π+ = ≤ = R ( )f x 2 2f x f x π π   + = −       sin , 0, 2( ) cos 1, ,2 x x f x x x π π π   ∈    =    + ∈    ( ) ( ) 2F x f x k x π = − −   ( )0k k  34cos cos 1 0β β− − = ( ) 34 1f x x x= − − 1 1 02f   = − ( )y f x= 1 ,12      β 34cos cos 1 0β β− − = 0, 3 πβ  ∈   ( ) ( )( )cos 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ ≤ ,6 4 π π −   ω 2  ( ) ( )( )cos 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ ≤ ( )0 cos 0f ϕ= = 0 ϕ π≤ ≤ 2 πϕ∴ = ( ) cos sin2f x x x πω ω ∴ = + = −   ,6 4x π π ∈ −   ,6 4x πω πωω  ∴ ∈ −    ( )y f x= ,6 4 π π −   , ,6 4 2 2 πω πω π π   − ⊆ −       20 / 35 ，解得 ， 因此， 的最大值是 . 故答案为： . 19．（2020·河南高三其他（理）） __________． 【答案】32. 解：因为 所以 故答案为 20．（2020·江苏泰州高三三模）在 中，点 在边 上，且满足 ， 6 2 4 2 0 πω π πω π ω − ≥ − ∴ ≤  >  0 2ω< ≤ ω 2 2 2 2 2 3 1 64sin 20sin 20 cos 20 ° ° °− + = 2 2 2 2 2 2 3 1 3cos 20 sin 20 sin 20 cos 20 sin 20 cos 20 °− °− =° ° ° ° ( )( ) 2 3cos20 sin20 3cos20 sin20 1 sin 404 °+ ° °− ° = ° ( ) ( ) 2 2 os 20 30 2 os 20 30 1 sin 404 c c°− ° °+ °= ° 2 16 os10 os50 16 80 sin 40 sin40 c c sin° ° °= =° ° 32 40 os40 32 os40sin40 sin c c ° °= = °° ( )2 2 2 3 1 164sin 20 32 os40 64 1 os40 32sin 20 cos 20 2c c− + ° = °+ × − ° =° ° 32 ABC D BC AD BD= 21 / 35 ，则 的取值范围为_______． 【答案】 【解析】如下图所示： ， ， ， ， ，且 为锐角， 在 中， ， 另一方面 ， 当且仅当 时，等号成立， 因此， 的取值范围是 . 故答案为： . 21．（2020·全国高三其他（理））△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ，则△ 的面积为________． 23tan 2tan 3 0B A− + = BD CD ( ]1,2 23tan 2tan 3 0B A− + = ( )23tan tan 12A B∴ = + AD BD= BAD B∴∠ = CAD A B∠ = − B ACD ( ) ( ) sinsin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A BBD AD C A B A B CD CD CAD A B A B A B + += = = =∠ − − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 tan 1 tantan tan 3tan 2tan 3 4tan2 1 13tan tan 3tan 2tan 3 3tan 2tan 3tan 1 tan2 B BA B B B B A B B B B BB B + ++ + += = = = + >− − + − ++ − 2 4tan 4 41 1 1 233tan 2tan 3 13tan 2 3 2 tan 2tan tan BD B CD B B B BB B = + = + ≤ + =− + + − × ⋅ − 4B π= BD CD ( ]1,2 ( ]1,2 ABC A B C， ， a b c， ， sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = 2 2 2 8b c a+ − = ABC 22 / 35 【答案】 . 【解析】因为 ， 结合正弦定理可得 ， 可得 ，因为 ， 结合余弦定理 ，可得 ， 所以 为锐角，且 ，从而求得 ， 所以 的面积为 ，故答案是 . 22．（2020·江苏南通）已知 ，则 的值是________. 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 即 ， 即 ，因此， . 故答案为： . 三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2 3 3 sin sin 4 sin sinb C c B a B C+ = sin sin sin sin 4sin sin sinB C C B A B C+ = 1sin 2A = 2 2 2 8b c a+ − = 2 2 2 2a b c bccosA= + − 2 cos 8bc A = A 3cos 2A = 8 3 3bc = ABC∆ 1 1 8 3 1 2 3sin2 2 3 2 3S bc A= = ⋅ ⋅ = 2 3 3 ( )3cos 2 2cos 0α β α+ + = ( )tan tanα β β+ 5 ( )3cos 2 2cos 0α β α+ + = ( ) ( )3cos 2cos 0α β β α β β+ + + + − =       ( ) ( ) ( ) ( )3cos cos 3sin sin 2cos cos 2sin sin 0α β β α β β α β β α β β+ − + + + + + = ( ) ( )5cos cos sin sin 0α β β α β β+ − + = ( )tan tan 5α β β+ = 5 23 / 35 23．（2020·安徽金安高一期末（理））在平面四边形 中， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ，所以 ； （2）由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . 所以 . 24．（2020·浙江海曙效实中学高三其他）已知 . （1）求函数 的单调递增区间； （2）设 的内角 满足 ，若 ，求 边上的高 长的最大值. ABCD 90ADC∠ =  45A∠ =  2AB = 5BD = cos ADB∠ 2 2DC = BC 23 5 5 ABD∆ sin sin BD AB A ADB =∠ ∠ 5 2 sin45 sin ADB = ∠ 2sin 5ADB∠ = 90ADB∠ <  2 23cos 1 25 5ADB∠ = − = 2cos sin 5BDC ADB∠ = ∠ = BCD∆ 2 2 2 22 cos 25 8 2 5 2 2 255BC BD DC BD DC BDC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = + − × × × = 5BC = ( ) 4cos sin 16f x x x π = − −   ( )y f x= ( )0 x π< < ABC A ( ) 0f A = 3AB AC⋅ =  BC AD 24 / 35 【答案】（1）单调递增区间为 和 ；（2） . 【解析】（1）方法一：三角变换+三角函数图象及性质 由题意，得 . 由 ，解得 ， . 所以在 时，函数 的单调递增区间为 和 ； 方法二：积化和差公式 由题意，得 . 由 ，解得 ， . 所以在 时，函数 的单调递增区间为 和 ； （2）由 ，即 ，解得 . 由 ，即 ，得 . 由余弦定理，得 . 0, 3 π     5 ,6 π π    3 2 2 ( ) 3 14cos sin 1 4cos sin cos 1 3sin 2 cos2 26 2 2f x x x x x x x x π   = − − = − − = − −        2sin 2 26x π = − −   2 2 22 6 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 6 3k x k π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈ 0 πx< < ( )y f x= 0, 3 π     5 ,6 π π    ( ) 4cos sin 1 2 sin sin 1 2sin 2 26 6 6 6f x x x x x x x x π π π π        = − − = + − − − + − = − −                 2 2 22 6 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 6 3k x k π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈ 0 πx< < ( )y f x= 0, 3 π     5 ,6 π π    ( ) 0f A = 2sin 2 2 06A π − − =   3A π= 3AB AC⋅ =  cos 33bc π = 6bc = 2 2 2 22 cos 6a b c bc A b c bc bc= + − = + − ≥ = 25 / 35 由面积公式，知 ，即 . 所以 . 所以 边上的高 长的最大值为 . 25．（2020·辽宁大连二十四中高三其他（理））设 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 且 . （1）求角 C 的大小； （2）若 为锐角三角形，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）由正弦定理得， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ； （2）根据正弦定理，可得 ， 所以 1 1sin2 2ABCS bc A a AD= = ⋅  1 3 162 2 2 a AD⋅ ⋅ = ⋅ 3 3 3 226 AD ≤ = BC AD 3 2 2 ABC 1cos 2c B a b= − 3c = ABC ab π 3C = (2,3] 1sin cos sin sin2C B A B= − 1sin cos sin( ) sin2C B B C B= + − 1sin cos sin cos cos sin sin2C B B C B C B= + − sin 0B ≠ 1cos 2C = π 3C = 2sin3 2 2sinsin sin sin 3 2 a Aa b c b BA B C == = = = ⇒  = 22π 3 14sin sin 4sin sin 4 sin cos sin3 2 2ab A B A A A A A   = = − = +      26 / 35 ， 因 为锐角三角形： ， 则 . 26．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高三其他）某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆 弧 和两条线段 ， 构成.已知圆心 O 在线段 上，现测得圆 O 半径为 2 百米， ， .现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为 ，上底为 ，点 M 在圆弧 （点 D 在圆弧 上，且 ）上，点 N 在圆弧 上或线段 上.设 . （1）将梯形 的面积表示为 的函数； （2）当 为何值时，梯形 的面积最大？求出最大面积. 【答案】（1） （2）当 时，梯形 的面积取得最大值 平方百米. 3 1 cos2 π2 sin2 2sin 2 12 2 6 AA A  −  = + = − +      ABC π0 π π2 2π π 6 20 3 2 A A A  < 0, 2C π ∈   2 6cos 1 sin 3C C= − = ( ) 3 2 3sin sin sin cos cos sin 6B A C A C A C += + = + = ABC∆ 1 1 3 2 3sin 3 22 2 6ABCS ac B∆ += = × × × 3 2 3 2 += ( )3,0A ( )0,3B ( )cos ,sinC α α 3,2 2 π πα  ∈   AC BC=  α 1AC BC⋅ = −  22sin sin2 1 tan α α α + + 5 4 π 9 5 − AC BC=  ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 cos 0 sin 0 cos 3 sinα α α α− + − = − + − tan 1α = 32 / 35 ∵ ，∴ ． （2）∵ ， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 30．（2020·江苏泉山高三其他）已知在 中， 分别为角 A,B,C 的对应边，点 D 为 BC 边 的中点， 的面积为 . (1)求 的值； (2)若 ，求 ． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 (1)由 的面积为 且 D 为 BC 的中点可知: 的面积为 , 由三角形的面积公式可知: , 由正弦定理可得: , 所以 , 3,2 2 π πα  ∈   5 4 πα = 1AC BC⋅ = −  ( ) ( )cos 3,sin cos ,sin 3 1α α α α− ⋅ − = − 2sin cos 3 α α+ = 52sin cos 9 α α = − ( )2 2sin cos sin cos2sin sin 2 52sin cos1 tan sin cos 9 α α α αα α α αα α α ++ = = −+ +＝ ABC∆ , ,a b c ABC∆ 2 3sin AD B sin sinBAD BDA∠ ⋅ ∠ 6 , 2 2BC AB AD= = b 1 3 33 ABC∆ 2 3sin AD B ABD∆ 2 6sin AD B 21 sin2 6sin ADAB BD B B ⋅ ⋅ = 3sin sin 1BAD BDA∠ ⋅ ∠ = 1sin sin 3BAD BDA∠ ⋅ ∠ = 33 / 35 (2) ,又因为 为中点，所以 ,即 , 在 中由正弦定理可得 ,所以 由（1）可知 所以 , 在直角 中 ,所以 . , 在 中用余弦定理，可得 . 31．（2020·六盘山高级中学高三期中（理））已知函数 的图象 关于直线 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 . （1）求 与 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】解：（1）因 的图象上相邻两个最高点的距离为 ， ∴ 的最小正周期 ，从而 . 又因 的图象关于直线 对称， ∴ . 6BC AB= D BC 2BD 6AB= = BD 3AB= ABD∆ sin sin BD AB BAD BDA =∠ ∠ sin 3sinBAD BDA∠ = ∠ 1sin sin 3BAD BDA∠ ⋅ ∠ = 1sin ,sin 13BDA BAD∠ = ∠ =  ( )0,BAD π∠ ∈ ∴ ,2BAD π∠ = ABD∆ 12 2,sin 3AD BDA= ∠ = 1, 3AB BD= = BC 2BD= BC 6∴ = ABC∆ 2 2 2 12 cos 1 36 2 1 6 33, 333b a c ac B b= + − = + − × × × = ∴ = ( ) 3sin( ) 0, 2 2f x x π πω ϕ ω ϕ = + > − ≤ ≤   3x π= π ω ϕ 3 2 2 4 6 3f α π πα   = <