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三年高考+解题规律
专题 14 与数列有关的综合问题
命题规律 内 容 典 型
１ 已知通项公式求前几项和 2020 年高考浙江卷 11
２ 考查分组求和思想 2019 年高考全国 II 卷理数
３ 考查拆项求和思想 2020 年高考浙江卷 20
４ 考查错位相减求和思想 2020 年高考全国Ⅲ卷理数 17
５ 考查与数列有关的新概念的理解与应用 2020 年高考山东卷 18
命题规律一 已知通项公式求前几项和
【解决之道】利用数列通项公式，即可求出其和.
【三年高考】
1.【2020 年高考浙江卷 11】已知数列 满足 ，则 ．
【答案】10
【解析】由题意可知 ， ， ， ，故答案为：
10．
命题规律二 考查分组求和思想
【解决之道】解决此类问题，将数列分成等比数列与等差数列分别求和再相加即可.
【三年高考】
1.【2020 年高考江苏卷 11】设 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，已知 的
前 项和 ，则 的值是________．
【答案】
【解析】∵ 的前 项和 ，
当 时， ；
当 时， ，∴ ，从而有 ．
2.【2020 年高考山东卷 14】将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前
项和为 ．
{ }na
( )1= 2na n n +
3S =
1
1 2 12a
×= = 2
2 3 32a
×= = 3
3 4 62a
×= = 3 1 3 6 10S∴ = + + =
{ }na d { }nb q { }n na b+
n 2 *2 1( )n
nS n n n N= − + − ∈ d q+
3
{ }n na b+ n 2 *2 1( )n
nS n n n N= − + − ∈
1n = 1 1 1a b+ =
2n ≥ 1
1 2 2 2n
n n n na b S S n −
−+ = − = − + 2 2 4a b+ = 2 2 1 1( ) ( ) 3d q a b a b+ = + − + =
{ }2 1n − { }3 2n − { }na { }na n
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三年高考+解题规律
【答案】
【解析】因为数列 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列，数列 是以 1 首项，以 3 为公差
的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以 1 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以
的前 项和为 ，故答案为： ．
3.【2018 年高考江苏卷】已知集合 ， ．将 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前 n 项和，则使得 成立的 n
的最小值为___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇数和 按照从小到大的顺序排列构成 ，在数列| 中，25前面有16
个 正 奇 数 ， 即 . 当 n=1 时 ， ， 不 符 合 题 意 ； 当 n=2 时 ，
， 不 符 合 题 意 ； 当 n=3 时 ， ， 不 符 合 题 意 ； 当 n=4 时 ，
， 不 符 合 题 意 ； …… ； 当 n=26 时 ，
， 不 符 合 题 意 ； 当 n=27 时 ，
,符合题意.故使得 成立的n的
最小值为27.
4.【2019 年高考全国 II 卷理数】已知数列{an}和{bn}满足 a1=1，b1=0， ，
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2） ， .
【解析】（1）由题设得 ，即 ．
又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
23 2n n−
{ }2 1n − { }3 2n −
{ }na
{ }na n 2( 1)1 6 3 22
n nn n n
−⋅ + ⋅ = − 23 2n n−
*{ | 2 1, }A x x n n= = − ∈N *{ | 2 , }nB x x n= = ∈N A B
{ }na nS { }na 112n nS a +>
( )2n n ∗∈N { }na { }na
5 6
21 382 , 2a a= = 1 21 12 24S a= < = 2 33 12 36S a= < = 3 46 12 48S a= < = 4 51012n nS a
14 3 4n n na a b+ −= +
14 3 4n n nb b a+ −= −
1 1
2 2n na n= + − 1 1
2 2n nb n= − +
1 14( ) 2( )n n n na b a b+ ++ = + 1 1
1 ( )2n n n na b a b+ ++ = +
{ }n na b+ 1
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三年高考+解题规律
由题设得 ，即 ．
又因为a1–b1=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
5.【2019 年高考天津卷理数】设 是等差数列， 是等比数列．已知
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 ．
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 ．
【答案】（1） ； （2）（i） （ii）
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．依题意得 解得
故 ．
所以， 的通项公式为 的通项公式为 ．
（2）（i） ．
所以，数列 的通项公式为 ．
（ii）
1 14( ) 4( ) 8n n n na b a b+ +− = − + 1 1 2n n n na b a b+ +− = − +
{ }n na b−
1
1
2n n na b −+ = 2 1n na b n− = −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n= + + − = + −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n= + − − = − +
{ }na { }nb
1 1 2 2 3 34, 6 2 2, 2 4a b b a b a= = = − = +，
{ }na { }nb
{ }nc
1
1
1, 2 2
, 2
,1,
,
k k
n k
k
c nc
b n
+
= < 1 2 36b b b+ =
0d > 1 2
11nc c c d
+ + + < + 2 1 2 31, ,b b q b q= = = 1 2 36b b b+ = 21 6q q+ = 0q > 1
2q =
1
1
2n nb −=
2 1
1
2n nb + += 1
1
1
1
2 41
2
n
n n n
n
c c c
−
+
+
= ⋅ = ⋅ { }nc 1 4 14n
nc −=
1 4n
nc + =
1 1 4n n n
na a c+ += =− 1
1 4n
n na a −
−− = *2,n n N≥ ∈
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a a a− − −= − + − + + − + − +
( )1
1 2 2 1 4 1 4
4 4 4 4 1 11 4
n
n n
−
− −
−
= + + + + + = +−
4 1
3
n −=
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三年高考+解题规律
（II）依题意设 ，由于 ，
∴ ，
故
．
∴ ．
由于 ，∴ ，∴ ，即 ．
2..【2018 年高考天津卷理数】设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数
列. 已知 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
【解析】（1）设等比数列 的公比为 q.由 可得 .
因为 ，可得 ，故 .
设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由 ，
可得 从而 故
所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为
（2）（i）由（1），有 ，故
( )1 1 1nb n d dn d= + − = + − 1
2
n n
n n
c b
c b
+
+
=
1
1 1
n n
n n
c b
c b
−
− +
= ( )*2,n n N≥ ∈
1 3 2
1
1 2 2 1
n n
n
n n
c c c cc cc c c c
−
− −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 2 1
1
1 1 4 3
n n n
n n n
b b b b b cb b b b b
− − −
+ −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 11
n n n n n n
b b d
b b d b b d b b+ + +
+ = = − = + −
1 2
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 11n
n n
c c c d b b b b b b +
+ + + = + − + − + + −
1
1 11 1
nd b +
= + −
10, 1d b> = 1 0nb + >
1
1 1 11 1 1
nd b d+
+ − < + 1 2 11nc c c d + +…+ < + { }na ( )nS n ∗∈N { }nb 1 1a = 3 2 2a a= + 4 3 5a b b= + 5 4 62a b b= + { }na { }nb { }nS ( )nT n ∗∈N nT 2 2 1 ( ) 2 2( )( 1)( 2) 2 nn k k k k T b b nk k n + ∗+ = + = − ∈+ + +∑ N { }na 1 3 21, 2,a a a= = + 2 2 0q q− − = 0q > 2q = 12n
na −=
{ }nb 4 3 5a b b= + 1 3 4.b d+ = 5 4 62a b b= +
13 13 16,b d+ = 1 1, 1,b d= = .nb n=
{ }na 12n
na −= { }nb .nb n=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
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三年高考+解题规律
.
（ii）证明：因为
，
所以， .
命题规律四 考查错位相减求和思想
【解决之道】若数列 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，则在数列
的前项和 =
= ① ， 两 边 同 乘 以 公 比 得 =
② ，①式与②式错位相减得 =
=
，转化为等比数列 ，的前 n 项和问题，注意
转化出的等比数列的首项及项数.
错位相减法的结论：已知 为公差为 的等差数列， 为公比为 的等比数列， 是数列
则数列 =
【三年高考】
1.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 17】设等比数列 满足 ．
（1）计算 ，猜想 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由 ， ， ， ， …
猜想 的通项公式为 ．
证明如下：（数学归纳法）当 时，显然成立； （1）
1
1 1
2 (1 2 )(2 1) 2 2 21 2
nn n
k k n
n
k k
T n n n+
= =
× −= − = − = − = − −−∑ ∑
1 1 2 1
2( ) (2 2 2) 2 2 2
( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 2 1
k k k k
k k+ kT +b b k k k k
k k k k k k k k
+ + + +− − + + ⋅= = = −+ + + + + + + +
3 2 4 3 2 1 2
2
1
( ) 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( 1)( 2) 3 2 4 3 2 1 2
n n nn
k k k
k
T b b
k k n n n
+ + +
+
=
+ = − + − + + − = −+ + + + +∑
{ }na ( 0)d d ≠ { }nb ( 1)q q ≠
{ }n na b nS 1 1 2 2 3 3 n na b a b a b a b+ + + +
2 1
1 1 2 1 3 1 1
n
na b a b q a b q a b q −+ + + + q nqS
2 3
1 1 2 1 3 1 1
n
na b q a b q a b q a b q+ + + + (1 ) nq S−
2 2 1 1
1 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )n n n
n n na b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q− −
−+ − + − + + − −
2 1
1 1 1(1 )n n
na b d q q q a b q−+ + + + −
2 11, , , , nq q q −
}{ na d }{ nb q nS
}{ nnba nS )1,0()1(
)1(
1 2
1
2111 ≠≠−
−+−
− −
+ qdq
qdb
q
baba n
nn
{ }na 1 13 , 3 4n na a a n+= = −
2 3,a a { }na
{ }2n
na n nS
1 3a = 1 3 4n na a n+ = − 2 13 4 5a a= − = 3 23 4 2 7a a= − × =
{ }na 2 1na n= +
1,2,3n =
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三年高考+解题规律
假设 时，即 成立；其中 ，
由 （2）
故假设成立，综上（1）（2），∴
（2）解法一：令 ，则前项和 （1）
由（1）两边同乘以 2 得： （2）
由（1） （2）的 ，
化简得 ．
解法二：由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 ．
2.【2020 年高考天津卷 19】已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 q．
由 ， ，可得 d=1．
n k= 2 1ka k= + *( N )k ∈
1 3 4k ka a k+ = − 3(2 1) 4k k= + − 2( 1) 1k= + +
2 1na n= + *( N )n∈
2 (2 1)2n n
n nb a n= = + 1 2
1 2 ... 3 2 5 2 ... (2 1)2n
n nS b b b n= + + + = × + × + + +
2 3 12 3 2 5 2 ... (2 1)2 (2 1)2n n
nS n n += × + × + + − + +
−
3 2
2 1 12 (1 2 )3 2 2 2 ... 2 (2 1)2 6 (2 1)21 2
n
n n n
nS n n
−
+ +−− = × + × + + − + = + − +−
1(2 1)2 2n
nS n += − +
2 (2 1) 2n n
na n⋅ = + ⋅
2 3 13 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n−= × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n += × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
− ( )2 3 16 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nS n +− = + × + + + − + ⋅
( )2 1
12 1 2
6 2 (2 1) 21 2
n
nn
−
+
−
= + × − + ⋅
×
−
1(1 2 ) 2 2nn += − ⋅ −
1(2 1) 2 2n
nS n += − ⋅ +
{ }na { }nb
( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = −
{ }na { }nb
{ }na n nS ( )2 *
2 1n n nS S S n+ +< ∈N n ( ) 2 1 1 3 2 , , , . n n n n n n n a b na ac a nb + − + − = 为奇数 为偶数 { }nc 2n { }na d { }nb 1 1a = ( )5 4 35a a a= −
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三年高考+解题规律
从而 的通项公式为 ．
由 ，
又 q≠0，可得 ，解得 q=2，
从而 的通项公式为 ．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 ．
(Ⅲ)当 n 为奇数时， ，
当 n 为偶数时， ，
对任意的正整数 n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，从而得：
．
{ }na na n=
( )1 5 4 31, 4b b b b= = −
2 4 4 0q q− + =
{ }nb 12n
nb −=
( 1)
2n
n nS
+=
2
1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + + ( ) ( )2 22
1
1 1 24nS n n+ = + +
2
2 1
1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + < 2 2 1n n nS S S+ +< ( ) 1 1 1 2 3 2 (3 2)2 2 2 ( 2) 2 n n n n n n n n a b nc a a n n n n − + − + − −= = = −+ + 1 1 1 2 n n n n a nc b − + −= = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 1 2 1 k k nn n k k k c k k n − − = = = − = − + − + ∑ ∑ 2 2 3 1 1 1 2 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n n k k n n k k k n nc − = = − − −= = + + + + +∑ ∑ 2 2 3 14 1 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n k n n k n nc + = − −= + + + + +∑ 2 2 1 1 1 2 113 1 2 2 2 1 1 2 14 4 14 4 4 4 4 4 41 4 nn k n n n k n nc + + = − − − = + + + − = − − − ∑ 1 1 2 11 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 5 6 54 4 1 4 4 3 3 4 4 4 4 12 3 41 4 n n n n n n n n + + − − − + − − = − × − − × = − ×− 2 1 5 6 5 9 9 4 n k n k nc = += − ×∑
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三年高考+解题规律
因此， ，所以，数列 的前 2n 项和为
．
3.【2018 年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列{bn}
满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n．
（1）求 q 的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
【解析】（1）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .
由 得 ，
因为 ，所以 .
（2）设 ，数列 前 n 项和为 .
由 解得 .
由（1）可知 ，
所以 ，
故 ，
.
设 ，
所以 ，
2
2 1 2
1 1 1
4 6 5 4
2 1 9 4 9
nn n n
k k k n
k k k
nc c c n−
= = =
+= + = − −+ ×∑ ∑ ∑ { }nc
4 6 5 4
2 1 9 4 9
n
n
n
n
+− −+ ×
4 2a + 3 5,a a 3 5 42 4a a a+ = +
3 4 5 43 4 28a a a a+ + = + =
4 8a =
3 5 20a a+ = 18( ) 20q q
+ =
1q > 2q =
1( )n n n nc b b a+= − { }nc nS
1
1
, 1,
, 2.n
n n
S nc S S n−
== − ≥
4 1nc n= −
12n
na −=
1
1
1(4 1) ( )2
n
n nb b n −
+ − = − ⋅
2
1
1(4 5) ( ) , 22
n
n nb b n n−
−− = − ⋅ ≥
1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b− − −− = − + − + + − + −
2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2
n nn n− −= − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ +
2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 22 2 2
n
nT n n−= + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ ≥
2 2 11 1 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2
n n
nT n n− −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2
n n
nT n− −= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − − ⋅
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三年高考+解题规律
因此 ，
又 ，所以 .
命题规律五 考查与数列有关的新概念的理解与应用
【解决之道】解决此类问题，关键在于对新概念的理解，认真阅读新概念，理解其意义，利用概念与数列
有关知识，将问题转化为数列问题，利用数列知识解决.
【三年高考】
1.【2020 年高考江苏卷 20】已知数列 的首项 ，前 项和为 ．设 与 是常数．若对
一切正整数 ，均有 成立，则称此数列为“ ”数列．
（1）若等差数列是“ ”数列，求 的值；
（2）若数列 是“ ”数列，且 ，求数列 的通项公式；
（3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 为“ ”数列，且 ？若存在，求出 的取值范
围；若不存在，说明理由．
【解析】（1） 时， ，∴ ．
（2） ， ，
因此 ．
， ．从而 ．
又 ， ， ， ．
综上， ．
（3）若存在三个不同的数列 为“ ”数列，则 ，
则 ，
由 ， 则 ，令 ，则 ，
2114 (4 3) ( ) , 22
n
nT n n−= − + ⋅ ≥
1 1b = 2115 (4 3) ( )2
n
nb n −= − + ⋅
*{ }( )na n N∈ 1 1a = n nS λ k
n 1 1 1
1 1
k k k
n n nS S aλ+ +− = kλ −
1λ − λ
{ }na 3 23
− 0na > { }na
λ { }na 3λ − 0na ≥ λ
1k = 1 1 1n n n na S S aλ+ + += − = 1λ =
1 1
3
3n n nS S a+ +− = 1 1 1 1
3 ( )3n n n n n na S S a S S+ + + += − = +
1 13n n nS S a+ ++ =
1 1
2 33n nS a+ += 1 1 1
4 4 ( )3 3n n n nS a S S+ + += = − 1 4n nS S+ =
1 1 1S a= = 14n
nS −= 2
1 3 4n
n n na S S −
−= − = ⋅ 2n ≥
2
1, 1
3 4 , 2n n
na
n−
== ⋅ ≥
{ }na 3λ − 1 1 1
3 3 3
1 1n n nS S aλ+ +− =
2 1 1 2
3 33 3 3 3
1 1 1 1 13 3 ( )n n n n n n n n nS S S S S S a S Sλ λ+ + + + +− + − = = −
1 1a = 0na ≥ 0nS >
1
1 3( ) 0n
n
n
Sp S
+= > 3 3 2 3(1 ) 3 3 (1 ) 0n n np p pλ λ− − + − − =
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三年高考+解题规律
时， ，由 可得 ，则 ，即 ，
此时 唯一，不存在三个不同的数列 ；
时，令 ，则 ，则 ，
① 时 ，则 同理不存在三个不同的数列 ；
② 时， ， 无解，则 ，同理不存在三个不同的数列
；
③ 时， ，则 ，同理不存在三个不同的数列 ；
④ 即 时 ， ， 有 两 解 ， ， 设 ，
， ，则 ，则对任意 ， 或 或 ，
此时 ， ， 均符合条件，
对应 ， ， ，
则存在三个不同的数列 为“ ”数列，且 ，综上， ．
2.【2020 年高考山东卷 18】已知公比大于 的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由于数列 是公比大于 的等比数列，设首项为 ，公比为 ，依题意有
，解得 ，所以 ，所以数列 的通项公式为 ．
（2）由于 ，所以
对应的区间为： ，则 ；
1λ = 2
n np p= 0np > 1np = 1n nS S+ = 1 0na + =
{ }na { }na
1λ ≠ 3
3
1t λ= −
3 2 1 0n n np tp tp− + − = 2( 1)[ (1 ) 1] 0n n np p t p− + − + =
1t ≤ 2 (1 ) 1 0n np t p+ − + > 1np = { }na
1 3t< < 2(1 ) 4 0t∆ = − − < 2 (1 ) 1 0n np t p+ − + = 1np = { }na 3t = 3( 1) 0np − = 1np = { }na 3t > 0 1λ< < 2(1 ) 4 0t∆ = − − > 2 (1 ) 1 0n np t p+ − + = α β α β< 1 2tα β+ = − > 1 0αβ = > 0 1α β< < < *n N∈ 1 1n n S S + = 31n n S S α+ = 31n n S S β+ = 1nS = 3 1, 1 , 2n nS nβ == ≥ 3 1, 1,2 , 3n nS nβ == ≥ 1, 1 0, 2n na n == ≥ 3 1, 1 1, 2 0, 3 n n a n n β = = − = ≥ 3 1, 1 0, 2 1, 3 0, 4 n n na n n β = == − = ≥ { }na 3λ − 0na ≥ 0 1λ< < 1 { }na 2 4 20a a+ = 3 8a = { }na mb { }na ( ]0,m ( )m ∗∈N { }mb 100 100S { }na 1 1a q 3 1 1 2 1 20 8 a q a q a q + = = 1 2, 2a q= = 2n na = { }na 2n na = 1 2 3 4 5 6 72 2,2 4,2 8,2 16,2 32,2 64,2 128= = = = = = = 1b ( ]0,1 1 0b =
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三年高考+解题规律
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个 ；
对应的区间分别为： ，则 ，即有 个
．
所以 ．
3.【2019 年高考浙江卷】设 a，b∈R，数列{an}满足 a1=a，an+1=an2+b， ，则
A． 当 B． 当
C． 当 D． 当
【答案】A
【解析】①当 b=0 时，取 a=0，则 .
②当 时，令 ，即 .
则该方程 ，即必存在 ，使得 ，
则一定存在 ，使得 对任意 成立，
解方程 ，得 ，
当 时，即 时，总存在 ，使得 ，
故 C、D 两项均不正确.
③当 时， ，
则 ，
.
2 3,b b ( ] ( ]0,2 , 0,3 2 3 1b b= = 2 1
4 5 6 7, , ,b b b b ( ] ( ] ( ] ( ]0,4 , 0,5 , 0,6 , 0,7 4 5 6 7 2b b b b= = = = 22 2
8 9 15, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,8 , 0,9 , , 0,15 8 9 15 3b b b= = = = 32 3
16 17 31, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,16 , 0,17 , , 0,31 16 17 31 4b b b= = = = 42 4
32 33 63, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,32 , 0,33 , , 0,63 32 33 63 5b b b= = = = 52 5
64 65 100, , ,b b b ( ] ( ] ( ]0,64 , 0,65 , , 0,100 64 65 100 6b b b= = = = 37
6
2 3 4 5
100 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 37 480S = × + × + × + × + × + × =
n ∗∈N
10
1 , 102b a= > 10
1 , 104b a= >
102, 10b a= − > 104, 10b a= − >
0,na n ∗= ∈N
0x 2
0 0 0x x b− + =
1 0 = =a a x 2
1n n na a b a+ = + = n ∗∈N
2 0a a b− + = 1 1 4
2
ba
± −=
1 1 4 102
b+ − ≤ 90b −
1 1 4
2
ba
+ −= 1 2 10 10a a a= =…= ≤
0b > 2
2 1a a b b= + ≥
2 2
3 2a a b b b= + ≥ +
( )22 2
4 3a a b b b b= + + +
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三年高考+解题规律
（ⅰ）当 时， ，
则 ，
，
，
则 ，
，
故 A 项正确.
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
所以 ，以此类推，
所以 ，故 B 项不正确.故选 A.
4.【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 12】0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 满足
，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为 0-1 周期序列，并
称满足 的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为 的 0-1 序列 ，
是描述其性质的重要指标．下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足
的序列是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 知，序列 的周期为 m，由已知， ， ．
1
2b =
22
4 5
1 1 1 17 11, 12 2 2 16 2a a
+ + = > > +
≥
2
6
1 1 111 22 2 4a > + + = >
2
7
1 92 2 2a > + =
2
8
9 1 83 102 2 4a > + = >
2
9 8
1 102a a= + >
2
10 9
1 102a a= + >
1
4b = 1= =0a a
2
2 3
1 1 1 1,4 4 4 2a a = = +
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