江苏省徐州市2021届高三9月月考模拟测试数学试题 含答案及评分参考

江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试 数学试题 2020.9 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．若复数 满足 ，则复平面内表示 的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3．函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，外接圆半径为 ，若 ，且 的面积为 ，则 （ ） A. B. C. D. 5．在 中， ， ， ，点 为 边上一点，且 为 边上靠近 的三等分点，则 （ ） A. B. C. D. 6．已知 的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ） A． B． C． D． 7 ． 已 知 函 数 是 定 义 域 在 上 的 偶 函 数 ， 且 ， 当 时 ， ，则关于 的方程 在 上所有实数解之和为（ ） A．1 B．3 C．6 D．7 8．已知 ， ， 为球 的球面上的三个定点， ， ， 为球 的球面 z (2 3 ) 13i z+ = z 2{ log ( 1) 0}A x x= − < RC A = ( ,1]−∞ [2, )+∞ ( ,1) (2, )−∞ +∞ ( ,1] [2, )−∞ +∞ 4 | | ln | |( ) x xf x x = ABC∆ A B C a b c R 1sin sin sin2b B a A a C− = ABC∆ 22 sin (1 cos2 )R B A− cos B = 1 4 1 3 1 2 3 4 ABC∆ 4AB = 2AC = 60BAC∠ = ° D BC D BC C AB AD⋅ =  8 6 4 2 2 5 2(2 3 1)( 1)ax x x + + − 10− 7− 10 9 ( )f x R ( ) ( )1 1f x f x+ = − [ ]0,1x∈ ( ) 3f x x= x ( ) cosπf x x= 1 5,2 2  −   A B C O 60ABC∠ = ° 2AC = P O 上的动点，记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，若 的最大值为 3，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．关于函数 下列结论正确的是（ ） A．图像关于 轴对称 B．图像关于原点对称 C．在 上单调递增 D． 恒大于 0 10．已知下列四个条件，能推出 成立的有 A．b＞0＞a B．0＞a＞b C．a＞0＞b D．a＞b＞0 11．已知 ， ，记 ，则( ) A． 的最小值为 B．当 最小时， C． 的最小值为 D．当 最小时 12．已知符号函数 下列说法正确的是（ ） A．函数 是奇函数（ ） B．对任意的 C．函数 的值域为 D．对任意的 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13．已知向量 a，b 的夹角为 45º，若 a=(1，1)，|b|=2，则|2a+b|=________． 14．已知函数 则 =________． P ABC− 1V O ABC− 2V 1 2 V V O 16π 9 64π 9 3π 2 6π 1 2( ) 1 1xf x x e  = + −  y ( ),0−∞ ( )f x 1 1 a b < 1 1 1ln 2 0x x y− − + = 2 22 2ln 2 6 0x y+ − − = 2 2 1 2 1 2( ) ( )M x x y y= − + − M 16 5 M 2 14 5x = M 4 5 M 2 12 5x = 1, 0 sgn( ) 0, 0 1, 0 x x x x > = = − = sgn( )xy e x⋅ −＝ ( ,1)−∞ , sgn( )x R x x x∈ ⋅＝ 2log 1( ) ( 3) 1 x xf x f x x >=  + ≤ ， ， ， ， ( 2)f − 15．在平面直角坐标系 中，过点 的一条直线与函数 的图像交于 ， 两点，则线段 长的最小值是 ． 16．已知直线 与圆 相切且与抛物线 交于不同的两 点 ,则实数 的取值范围是__________ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 已知△ABC 中， 为钝角，而且 ， ，AB 边上的高为 ． （1）求 的大小； （2）求 的值． 18．(本小题满分 12 分) 设数列 的前 项和为 ，点 在直线 上． （1）求证：数列 是等比数列，并求其通项公式； （2）设直线 与函数 的图象交于点 ，与函数 的图象交 于点 ，记 （其中 为坐标原点），求数列 的前 项和 19．(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 ADE-BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰 为线段 BD 的中点． （1）求证：AC⊥CF； （2）若∠BAD=60º，AE=AB，求二面角 E-BC-F 的平 面角的余弦值． xOy (1, 0) 3( ) 1f x x = − P Q PQ C∠ 8AB = 3BC = 3 32 B∠ cos 3cosAC A B+ { }na n nS ( )( )*,n na S n N∈ { }na n :l y kx t= + 2 2( 1) 1x y+ + = 2: 4C x y= ,M N t 2 1 0x y− − = nx a= ( ) 2f x x= nA 2( ) logg x x= nB n n nb OA OB= ⋅  O { }nb .nT A B CD E F O 20．(本小题满分 12 分) 已知直线 与曲线 交于不同的两点 ， 为坐标 原点． （1）若 ，求证：曲线 是一个圆； （2）若曲线 ，是否存在一定点 ，使得 为定值？若存在，求 出定点 和定值；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分 12 分) 如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ，其中 是半径为 1 百 米的扇形， ． 管理部门欲在该地从 到 修建小路：在弧 上选一点 （异于 两点），过点 修建与 平行的小路 ．问：点 选择在何处时，才能使 得修建的小路 与 及 的总长最小？并说明理由． 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 ． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）求证： ； （3）求证：当 时， ． : 1l y kx= + :C 2 2 2 2 1x y a b + = BA, O sin( ) xf x x = ( )y f x= π π( , ( ))2 2f 2 ( ) 1 6 xf x > − 0 1.1x< ≤ ln(1 )( ) xf x x +> ( 0, 0)a b> > 1,k = |||| OBOA = C :C 2 2 14 y x+ = Q QA QB⋅  Q ABCD BMN 2 3ABC π∠ = M D MN P ,M N P BC PQ P MP PQ QD 江苏省徐州市 2021 届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. ACD 10.ABD 11．AB 12．ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13． 14．2 15． 16． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．（1）由三角形面积可知 ， ………………2 分 ，又因为 是锐角，所以 ． ………………4 分 （2）由（1）可知 ， 所以 ． ………………6 分 又因为 ， ………………8 分 因此 ． ………………10 分 18．(1)∵点 在直线 上，所以 ① 当 时， ......2 分 当 时， ② ① ②，得 ......4 分 所以数列 为首项为 1，公比为 2 的等比数列. ......6 分 （2） ...7 分 ③ ④ ......9 分 ○3 ④，得 2 5 2 6 ( ) ( ), 3 0,−∞ − ∪ +∞ 1 3 18 3 3 8 sin2 2 2 B× × = × × × 3sin 2B = B∠ π 3B∠ = 2 2 2 2 cos 64 9 24 49AC AB BC AB BC B= + − × × = + − = 7AC = 2 2 2 64 49 9 13cos 2 2 8 7 14 AB AC BCA AB AC + − + −= = =× × × 1 13cos 3cos 3 7 82 14AC A B+ = × + × = ( ),n na S 2 1 0x y− − = 2 1 0n na S− − = 1n = 1 1 12 1 0. 1.a S a− − = ∴ = 2n ≥ -1 -12 1 0n na S− − = ( )1 1 2 , 2, 2 .n n n n aa a na− − = = ≥ { }na 12 ,n na −= 1 1 1(2 ,4 ), (2 , 1)n n n n nA B n− − − − 1 1 14 ( 1)4 = 4 .n n n n n nb OA OB n n− − −= ⋅ = + − ⋅  2 11 2 4 3 4 4n nT n −= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 2 14 1 4 2 4 1) 4 4n n nT n n−= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ （ 2 3 1-3 1 4 (4 4 4 4 )n n nT n −= − ⋅ + + + + + 所以 ......12 分 19．（1）证明：如图，连接 AC，易知 AC∩BD=O． ∵ 侧面 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD． 又由题知 EO⊥面 ABCD，AC 面 ABCD， ∴ EO⊥AC， 而 EO∩BD=O，且 EO，BD 面 BED， ∴ AC⊥面 BED． ∴ AC⊥ED． ∵ CF//ED， ∴ AC⊥CF．……………………………………………………………………………5 分 （2）解：由（1）知 AO⊥BO，OE⊥AO，OE⊥BO，于是以 O 为坐标原点，OA，OB， OE 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设 AB=AE=2． ∵ 在菱形 ABCD 中，∠BAD=60º， ∴ AO= ，BO=1． 在 Rt△EAO 中，EO= =1． 于是 O(0，0，0)，A( ，0，0)，B(0，1，0)，E(0，0，1)，C(- ，0，0)， ∴ =(- ，1，0)， =(0，-1，1)， =(- ，-1，0)．…………………7 分 又由 ， 可解得 F(- ，1，1)，于是 =(- ，0，1)． ……………8 分 设平面 BCE 的法向量为 n1=(x1，y1，z1)， 则由 n1• =0，n1• =0 得 令 y1=1，则 x1= ， z1=1，即 n1=( ，1，1)．…………10 分 同理可得平面 BCF 的法向量 n2=( ，-1，1)． ∴ cos= = 故二面角 E-BC-F 的平面角的余弦值为 ．…………………………………………12 分 14(1 4 ) 1 1 1=1 4 1 4 (4 4) ( )41 4 3 3 3 n n n n nn n n −−− ⋅ + = − ⋅ + − = − + −− 1 3 1 4 .9 9 n n nT −= + ⋅ ⊂ ⊂ 3 2 2EA AO− 3 3 AB 3 BE BC 3 EF AB=  3 BF 3 BE BC 1 1 1 1 0 3 0 y z x y − + =− − = ， ， 3 3 − 3 3 − 3 3 1 2 1 2 ⋅ ⋅ n n n n 1 7 1 7 A B CD E F O z x y 20.（1）证明：设直线 与曲线 的交点为 ∴ 即： ∴ 在 上 ∴ ， ∴两式相减得： ∴ 即： ∴曲线 是一个圆 ……5 分 （2）存在定点 ，不论 k 为何值， 为定值. 理由如下： 假设存在点 ，设交点为 ， 由 得， ， 直线 恒过椭圆内定点（0,1），故 恒成立. ……8 分 当 时，即 时 故存在定点 ，不论 k 为何值， 为定值. ……12 分 21.解：连接 ，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ， l C ),(),,( 2211 yxByxA  |||| OBOA = 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx +=+ 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx +=+ 2 1 2 2 2 2 2 1 yyxx −=−  BA, C 12 2 1 2 2 1 =+ b y a x 12 2 2 2 2 2 =+ b y a x )( 2 1 2 22 2 2 2 2 1 yyb axx −=− 12 2 = b a 22 ba = C 170 8     ， 33= 64QA QB⋅  ( )0 0,Q x y ),(),,( 2211 yxByxA 2 2 1 14 y kx y x = + + = ( )2 24 2 3 0k x kx+ + − = 1 2 1 22 2 2 3,4 4 kx x x xk k − −+ = =+ + : 1l y kx= + 0∆ > 1 0 1 0 2 0 2 0= , ) , )QA QB x x y y x x y y⋅ − − ⋅ − −  （ （ ( )( )1 0 2 0 1 0 2 0) )x x x x y y y y− ⋅ − + − −=（ （ ( )( )2 1 2 0 1 2 0 1 0 2 0( ) 1 1x x x x x x kx y kx y= − + + + + − + − ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 0 0 1 2 0 01 1 1k x x k y x x x x y= + + − − + + + −   ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 02 2 3 21 1 14 4 kk k y x x yk k − −= + + − − + + −  + + ( ) ( ) ( ) 2 20 0 2 0 02 3 1 2 1 14 k k y x k x yk − + − − −  = + + −+ ( ) ( )2 20 0 2 0 02 2 5 2 3 14 y k x k x yk − + −= + + −+ 0 0 0 32 5 4 x y = −− = 0 0 170, 8x y= = 23 9 33= + = .4 8 64QA QB  ⋅      － 170 8     ， 33= 64QA QB⋅  BP P 1PP BC⊥ 1P Q 1QQ BC⊥ 1Q 设 ， 若 ，在 中， ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 在 中， , ………………………………6 分 所以总路径长 ，．．．．．．．．．．．．．8 分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 令 ，当 时， ， 当 时， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11 分 所以当 时，总路径最短． 答：当 时，总路径最短．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 22．（1）因为 ，所以 ． 又因为 ，所以切线方程为 ， 即 ． ………………3 分 （2） ． 注意到 与 都是偶函数，因此只需证明 时 成立， 即 成立即可． ………………5 分 1 2 20 ,3 3PBP MP π πθ θ θ ∠ = < < = −   0 2 πθ< < 1Rt PBP∆ 1 1sin , cosPP BPθ θ= = 2 πθ = 1 1sin , cosPP BPθ θ= = 2 2 3 π πθ< < ( )1 1sin , cos cosPP BPθ π θ θ= = − = − 32 cos sin3PQ θ θ= − − 1Rt QBQ∆ 1 1 1 3 2 3sin ,CQ sin ,CQ sin3 3QQ PP θ θ θ= = = = 2 32 sin3DQ θ= − ( ) 2 24 cos 3sin 03 3f π πθ θ θ θ θ = − + − − < 2 πθ = BP BC⊥ 2 cos sin( ) x x xf x x −′ = 2 π 4( )2 πf ′ = − π 2( )2 πf = 2 2 2 4 π 4 2( )π π 2 π πy x x− = − − = − + 2 4 4 π πy x= − + 2 2sin( ) 1 16 6 x x xf x x > − ⇔ > − ( )f x 2 1 6 xy = − 0x > 2sin 1 6 x x x > − 3 sin 6 xx x> − 设 ， ，则 ．………………6 分 设 ，则 ，因此 在 时递增，因 此 恒成立． 从而可知 在 时递增，因此 ，且等号只在 成立． 因此当 时， ，即 ． ………………8 分 （3）当 时， ． 由（2）可知，当 时， 恒成立，因此只需证明当 时， 即可． ………………10 分 设 ， ，则 ， 因此当 ， 递增； ， 递减． ………………11 分 又因为 ， ，而且 ． 又因为 ， ，所以 ， 从而 ，因此 ，从而 ． 因此可知，当 ， 恒成立， 即 ． ………………12 分 3 ( ) sin 6 xg x x x= − + 0x ≥ 2 ( ) cos 1 2 xg x x′ = − + 2 ( ) cos 1 2 xh x x= − + ( ) sin 0h x x x′ = − ≥ ( )h x 0x ≥ ( ) (0) 0h x h≥ = ( )g x 0x ≥ ( ) (0) 0g x g≥ = 0x = 0x > 3 sin 06 xx x− + > 2sin 1 6 x x x > − 0 1.1x< ≤ ln(1 ) sin ln(1 )( ) sin ln(1 )x x xf x x xx x x + +> ⇔ > ⇔ > + 0 1.1x< ≤ 3 sin 6 xx x> − 0 1.1x< ≤ 3 ln(1 )6 xx x− > + 3 ( ) ln(1 )6 xg x x x= − − + 0 1.1x≤ ≤ 2 2 21 (2 ) (1 )(2 )( ) 1 2 1 1 2 2(1 ) 2(1 ) x x x x x x x x xg x x x x x − − − +′ = − − = − = =+ + + + 0 1x≤ ≤ ( )g x 1 1.1x≤ ≤ ( )g x (0) 0g = 31.1(1.1) 1.1 ln 2.16g = − − 3 31.1 1.11.1 1.1 0.83386 5 − > − = 42.1 19.4481= 32.7 19.683= 4 3 32.1 2.7 e< < 3 42.1 e< 3ln 2.1 0.754 < = (1.1) 0.8338 0.75 0g > − > 0 1.1x< ≤ ( ) 0g x > 3 ln(1 )6 xx x− > +