专题2.3 函数的奇偶性与周期性（重难点突破）（解析版）突破满分数学之2021高考数学（文）总复习导与学

1 / 13 专题 2.3 函数的奇偶性与周期性重难点突破（文科） 一、考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性； 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 4.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考情分析 三、考点梳理 【基础知识梳理】 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是偶函数 图象关于 轴对称 ( )f x x ( ) ( )f x f x− = ( )f x y 2 / 13 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数 是奇函数 图象关于原点对称 判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ， 则函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也 在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2） ， 在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括 ，则 ． （4）若函数 是偶函数，则 ． （5）定义在 上的任意函数 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数 的定义域关于原点对称，则 为偶函数， 为奇函数， 为偶函数． ( )f x x ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )f x− ( )f x ( ) 0( )f x f x− − = ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x − = ≠ ( )f x ( ) 0( )f x f x− + = ( ) 1( ( ) 0)( ) f x f xf x − = − ≠ ( )f x x− ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x+ ( ) ( )f x g x− ( ) ( )f x g x ( ( ))f g x 0 ( )0 0f = ( )f x ( ) ( ) ( )f x f x f x− = = ( ),−∞ +∞ ( )f x ( )y f x= ( ) ( )f x f x+ − ( ) ( )f x f x− − ( ) ( )f x f x⋅ − 3 / 13 （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数 为偶函数，函数 为奇函数． ②函数 （ 且 ）为奇函数． ③函数 （ 且 ）为奇函数． ④函数 （ 且 ）为奇函数． 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ， 那么就称函数 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小正周期 （若不特别说明， 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数 ， . ①若 ，则函数的周期为 ； ②若 ，则函数的周期为 ； ③若 ，则函数的周期为 ； ④若 ，则函数的周期为 ； ⑤函数 关于直线 与 对称，那么函数 的周期为 ； ⑥若函数 关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ； ( ) x xf x a a−= + ( ) x xf x a a−= − ( ) 2 2 1 1 x x x x x x a a af x a a a − − − −= =+ + 0a > 1a ≠ ( ) 1log 1a xf x x −= + 0a > 1a ≠ ( ) ( )2log 1af x x x= + + 0a > 1a ≠ ( )y f x= ( ) ( )f x T f x+ = ( )y f x= ( )f x ( )f x T ( )y f x= 0x a∈ >R， ( ) ( )f x a f x a=+ − 2a ( )( )f x a f x+ = − 2a 1( ) ( )a xf x f =+ 2a 1( ) ( )f a xx f = −+ 2a ( )f x x a= x b= ( )f x 2 | |b a− ( )f x ( ),0a ( ),0b ( )f x 2 | |b a− 4 / 13 ⑦若函数 关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期是 ； ⑧若函数 是偶函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 ； ⑨若函数 是奇函数，其图象关于直线 对称，则其周期为 四、题型分析 (一)、判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图象法： （3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断. 注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据 x 的范围相 应地化简解析式，判断 与 的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程. 例 1．（1）（2020·北京四中模拟）下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋1　　　 B．f(x)＝ln 1－x 1＋x C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x ( )f x x a= ( ),0b ( )f x 4 | |b a− ( )f x x a= 2a ( )f x x a= 4a ( )f x ( )f x− 5 / 13 【答案】B　 【解析】对于 A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B，f(－x)＝ln 1＋x 1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)， 所以其是奇函数；对于 C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝ f(x)，所以其不是奇函数．故选 B. （2）.（2020·河北模拟）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是(　　) A．y＝ex B．y＝tan x C．y＝x3－x D．y＝ln 2＋x 2－x 【答案】D　 【解析】函数 y＝ex 不是奇函数，不满足题意；函数 y＝tan x 是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，不 满足题意；函数 y＝x3－x 是奇函数，当 x∈(－ 3 3 ， 3 3 )时，y′＝3x2－1 >       ( )f x R ( 5) ( 3)f x f x+ = − [0,4)x∈ 2( ) log ( 2)f x x= + (766)f = ( ) ( )5 3f x f x+ = − ( ) ( )8f x f x+ = ( )f x [ )0,4x∈ ( ) ( )2log 2f x x= + ( ) ( ) ( )766 96 8 2 2f f f= × − = − ( )f x ( ) ( ) 22 2 log 4 2f f− = = = ( )( )( ) 0f x T f x T=+ ≠ (kT k ∈Z 0k ≠ ( )f x ( +1)f x R [ ]0,1x∈ 1( ) ( )2 xf x = 1 5. ( ) ( )3 2A f f− > 1 5. ( ) ( )3 2B f f− < 1 5. ( ) ( )3 2C f f− = 1 9D. ( ) ( )3 2f f− < ( ) ( +1) Rf x f x 、 都是 上的偶函数， ( +1)= (- +1)= ( -1)f x f x f x∴ ( ) 2.f x则 周期为 [ ]1 1 1 5 1( ) ( ) 0,1 ( )= ( ) ( )= ( )2 3 3 2 2 xf x x f f f f= ∈ −又 在 时为减函数， ， ， 1 5( ) ( )3 2f f∴ − > R ( )f x ( +1)f x [ ]0,1x∈ ( )= (3-2 )f x x x 31( )2f = 1. 2A 1. 2B − . 1C − .1D 9 / 13 【答案】： C 【 解 析 】 ： 由 题 意 ， ， 则 ， ， . 【变式训练 1】（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1 的正方形 ABCD，其中边 DA 在 x 轴上， 点 D 与坐标原点重合，若正方形沿 x 轴正向滚动，先以 A 为中心顺时针旋转，当 B 落在 x 轴上时，再以 B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形 ABCD 的某个顶点落在 x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋 转．设顶点 C（x，y）滚动时形成的曲线为 y＝f（x），则 f（2019）＝________． 【答案】0 【解析】由题可得： 是周期为 的函数， 所以 . 由题可得：当 时，点 恰好在 轴上， 所以 ，所以 . (四)、函数性质的综合应用 例 7.已知 是定义域为 的偶函数，且 ，若 时， ，则 （ ） 【答案】： A 【解析】：由题意， ，则 ， ， . 例 8 设函数 是定义在 上的偶函数，且 ,当 时， ， 若在区间 内关于 的方程 且 有且只有 4 个不同的根，则实数 ( +1)= ( +1) ( -1)f x f x f x− = − ( )= ( +4)f x f x T 4= 31 1 1( ) ( ) ( ) 12 2 2f f f= − = − = − ( )f x 4 ( ) ( ) ( )2019 4 504 3 3f f f= × + = 3x = C x ( )3 0f = ( )2019 0f = ( )f x R (1 )= (1 )f x f x− − + [ ]0,1x∈ ( )2( )= 1f x x − (2018)=f .-1A .0B .1C .2018D (1 )= (1 ) ( -1)f x f x f x− − + = ( )= ( +4)f x f x T 4= (2018) (2) (0) 1f f f= = − = − ( )f x R ( ) ( )2 2f x f x+ = - [ ]2,0x Î - ( ) 2 12 x f x æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø ( )2,6- x ( ) ( )log 2 0af x x- + = ( 0a > )1a ¹ 10 / 13 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】因为当 时， ，所以 在 内单调递减，且 ， . 因 为 函 数 是 偶 函 数 ， 所 以 在 内 单 调 递 增 ， 且 . 因 为 知函数 关于 对称，所以 ，且函数在 的图像如 下图. 因为方程 且 在区间 内有且只有 4 个不同的根，等价于 找函数 与 在 有且只有四个交点. 结合图像知 且 ，即 ，由于不包含端点，所以解得 .故选 C. 【点评】根据已知条件及对称性画出函数图像，将方程的根问题转化为求函数交点问题。 例 9．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数 对于任意实数 ，都 与 成立，并且当 时， .则方程 的根的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意实数 x 都有 f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x）， 由于 f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x） ∴函数 f（x）是以 2 为周期的周期函数，且值域为 ． 方程 的根的个数即函数 图象与直线 的交点个数， 当 时， ，当 时，函数 图象与直线 无交点， a 1 ,14 æ ö÷ç- ÷ç ÷çè ø ( )1,4 ( )1,8 ( )8,+¥ [ ]2,0x Î - ( ) 2 12 x f x æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø ( )f x [ ]2,0- ( )2 1f - = ( )0 0f = ( )f x ( )f x [ ]0,2 ( )2 1f = ( ) ( )2 2f x f x+ = - ( )f x 2x = ( ) ( )6 2 1f f= - = ( )2,6- ( ) ( )log 2 0af x x- + = ( 0a > )1a ¹ ( )2,6- ( )f x ( ) ( )log 2ag x x= + ( )2,6- 1a > ( ) ( )6 6g f£ ( )log 6 2 1a + £ 1 8a< < ( )f x x ( ) ( )f x f x− = (1 ) (1 )f x f x− = + 0 1x≤ ≤ ( ) 2f x x= ( ) 02019 xf x − = 2020 2019 1010 1009 [ ]0,1 ( ) 02019 xf x − = ( )f x y 2019 x= 2019x = y 12019 x= = x 2019> ( )f x y 2019 x= 11 / 13 由图像可得二者的交点个数为 2020 个，故选 A 例 10．（利用奇偶性周期性求字母范围）设 是定义在R 上的偶函数，对任意的 ，都有 ，且当 时， ，若关于 的方程 在区间 内恰有三个不同实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，故 ，所以 ， 故 是函数且周期为 ，因 时， ，故 在 上的图像如图所示： 因为 有 3 个不同的解，所以 的图像与 的图像有 3 个不同的交 点，故 即 ，解得 ，故选 B． ( )f x x∈R ( ) ( )2 2f x f x− = + [ ]2,0x∈ − ( ) 1 12 x f x  = −   x ( ) ( )log 2 0( 1)af x x a− + = > ( ]2,6− a ( )4 43, 8 ( )3 4,2 ( 4 3,2 ( 3 4,2 ( )f x ( ) ( )2 2f x f x− = − ( ) ( )2 2f x f x+ = − ( )f x 4 [ ]2,0x∈ − ( ) 1 12 x f x  = −   ( )f x ( ]2,6− ( ) ( )log 2 0af x x− + = ( )f x ( )log 2ay x= + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 log 2 2 6 log 6 2 a a f f  > + < + 3 log 4 3 log 8 a a >  − x 13 / 13 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：由 可知 是偶函数,且在 是增函数, 所以 ,故选 A. 解法二：把 代入 ,得 ,这显然不成立,所以 不满足 , 由此可排除 D；又 , , ,所以 不满足 , 由此 可排除 B,C,故选 A. 5.已知实数 ,对于定义在 R 上的函数 ,有下述命题： ①“ 是奇函数”的充要条件是“函数 的图像关于点 对称”； ②“ 是偶函数”的充要条件是“函数 的图像关于直线 对称”； ③“ 是 的一个周期”的充要条件是“对任意的 ,都有 ”； ④ “函数 与 的图像关于 轴对称”的充要条件是“ ” 其中正确命题的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 0, 0a b> > )(xf )(xf ( )f x a− ( ,0)A a )(xf ( )f x a− x a= 2a ( )f x ( ) ( )f x a f x− = − ( )y f x a= − ( )y f b x= − y a b= 1 ,13      ( )1, 1,3  −∞ +∞   1 1,3 3  −   1 1, ,3 3    −∞ − +∞       2 1( ) ln(1 | |) 1f x x x = + − + ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 22 1 2 1 2 1 2 1 3 4 +1 0f x f x f x f x x x x x x x> − ⇔ > − ⇔ > − ⇔ > − ⇔ − < 1 13 x⇔ < < 1x = ( ) (2 1)f x f x> − ( ) ( )1 1f f> 1x = ( ) (2 1)f x f x> − ( )0 1f = − ( ) 11 ln 2 2f − = − ( ) ( )0 1f f< − 0x = ( ) (2 1)f x f x> − x∈R