2018-2020年高考数学（理）真题命题规律专题 09 三角恒等变换与求值（解析版）

1 / 6 三年高考+解题规律 专题 09 三角函数恒等变换与求值 命题规律 内 容 典 型 １ 已知角的范围求三角函数式的符号 2020 年高考全国Ⅱ卷理数 2 ２ 已知某角的三角函数关系式求该角的某个三角函 数值 2020 年高考全国Ⅰ卷理数 9 ３ 给出三角函数式的值求三角函数式的值 2018 年高考全国Ⅱ理数 ４ 已知一个角的某个三角函数值求三角函数式的值 2018 年高考全国Ⅲ卷理数 ５ 已知角的终边上的点的坐标求该角的三角函数 2018 年高考浙江卷 命题规律一 已知角的范围求三角函数式的符号 【解决之道】利用有关三角公式将三角函数式化为该角的单角的三角函数，利用已知角的范围，判断出该 角单角的三角函数符号，利用符号运算法则即可判断出该式的符号. 【三年高考】 1.【2020 年高考全国Ⅱ卷理数 2】若 为第四象限角，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时， ，选项 B 错误；当 时， ，选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，则 ，选项 C 错误，选项 D 正确，故选：D． 命题规律二 已知某角的三角函数关系式求该角的某个三角函数值 【解决之道】将所给式子化为关于该角某个三角函数的方程，解出该角的这一三角函数值，再利用同角三 角函数基本关系求出所求的三角函数值. 【三年高考】 1.【2020 年高考全国Ⅰ卷理数 9】已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． α 02cos >α 02cos α 02sin    3 πα = − 2cos2 cos 03 πα  = − sin 2 2sin cos 0α α α= < ( )0 , πα∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα = 5 3 2 3 1 3 5 9 2 / 6 三年高考+解题规律 【答案】A 【解析】 ，得 ，即 ，解得 或 （舍去），又 ，故选 A． 2.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 9】已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ，令 ，则 ，整 理得 ，解得 ，即 ．故选 D． 3.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0， )，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 ， ， ，又 ， ，又 ， ，故 选 B． 命题规律三 给出三角函数式的值求三角函数式的值 【解决之道】解决此类问题有两种思路：①分析已知角与所求角的关系，用已知角将位置角表示出来，再 利用已知条件和有关公式计算出所求式子的值；②析已知角与所求角的关系，用未知角将已知角表示出来， 化为关于未知角的方程，利用相关公式通过解方程求出求出未知角的三角函数. 【三年高考】 3cos2 8cos 5α α− = 26cos 8cos 8 0α α− − = 23cos 4cos 4 0α α− − = 2cos 3 α = − cos 2α = ( ) 2 50 , , sin 1 cos 3 α π α α∈ ∴ = − = 2tan tan 74 θ θ π − + =   tanθ = 2− 1− 1 2 2tan tan 74 πθ θ − + =   tan 12tan 71 tan θθ θ +∴ − =− tan , 1t tθ= ≠ 12 71 tt t +− =− 2 4 4 0t t− + = 2t = tan 2θ = 2 π 1 5 5 5 3 3 2 5 5 2sin 2 cos2 1α α= + 24sin cos 2cos . 0, , cos 02α α α α α π ∴ ⋅ = ∈ ∴ >   sin 0,α > 2sin cosα α∴ = 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1,sin 5α α∴ = = sin 0α > 5sin 5 α∴ = 3 / 6 三年高考+解题规律 1.【2020 年高考江苏卷 8】已知 ，则 的值是________． 【答案】 【解析】∵ ，由 ，解得 ． 2.【2019 年高考江苏卷】已知 ，则 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】由 ，得 ， 解得 ，或 ， ， 当 时，上式 当 时，上式= 综上， 3.【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知 ， ，则 __________． 【答案】 2 2sin ( )4 3 π α+ = sin2α 1 3 2 2sin ( )4 3 π α+ = 2 1 1 2sin ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin2 )4 2 2 2 3 π πα α α+ = − + = + = 1sin2 3 α = tan 2 π 3tan 4 α α = − +   πsin 2 4 α +   2 10 ( )tan 1 tantan tan 2 tan 1π tan 1 3tan 1 tan4 α αα α α αα α −= = = −+ + +  −  23tan 5tan 2 0α α− − = tan 2α = 1tan 3 α = − π π πsin 2 sin 2 cos cos2 sin4 4 4 α α α + = +   ( ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos cos sinsin 2 cos2 =2 2 sin cos α α α αα α α α  + −= +  +  2 2 2 2tan 1 tan= 2 tan 1 α α α  + −  +  tan 2α = 2 2 2 2 2 1 2 2= =2 2 1 10  × + −× +  ； 1tan 3 α = − 2 2 1 12 ( ) 1 ( )2 23 3[ ]=12 10( ) 13 × − + − − × − + . π 2sin 2 .4 10 α + =   sin cos 1α β+ = cos sin 0α β+ = sin( )α β+ = 1 2 − 4 / 6 三年高考+解题规律 【解析】因为 ， ，所以 所以 ，因此 4.【2018 年高考江苏卷】已知 为锐角， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ． 因为 ， 所以 ， 因此， ． （2）因为 为锐角，所以 ． 又因为 ， 所以 ， 因此 ． 因为 ，所以 ， 因此， ． 命题规律四 已知一个角的某个三角函数值求式子的值 【解决之道】将所求式子化为关于已知角单角的三角函数，利用同角三角函数基本关系与已知条件求出相 关的三角函数值，即可求出式子的值. sin cos 1+ =α β cos sin 0+ =α β ( ) ( )2 21 sin cos 1,− + − =α α 1 1sin ,cos2 2 = =α β ( ) 2 21 1 1 1 1 1sin sin cos cos sin cos 1 sin 1 .2 2 4 4 4 2 + = + = × − = − + = − + = −α β α β α β α α ,α β 4tan 3 =α 5cos( ) 5 + = −α β cos2α tan( )−α β 7 25 − 2 11 − 4tan 3 =α sintan cos = αα α 4sin cos3 =α α 2 2sin cos 1+ =α α 2 9cos 25 =α 2 7cos2 2cos 1 25 = − = −α α ,α β (0, )+ ∈ πα β 5cos( ) 5 + = −α β 2 2 5sin( ) 1 cos ( ) 5 + = − + =α β α β tan( ) 2+ = −α β 4tan 3 =α 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 = = −− αα α tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1 tan 2 tan( ) 11 − +− = − + = = −+ + α α βα β α α β α α β 5 / 6 三年高考+解题规律 【三年高考】 1.【2020 年高考浙江卷 13】已知 ，则 ； ． 【答案】 ； 【解析】 ， ，故 答案为： ； ． 2.【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】若 ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，故选 B. 命题规律五 已知角的终边上的点的坐标求该角的三角函数 【解决之道】利用三角函数定义求出该角的三角函数值，结合相关公式求出三角函数式的值 【三年高考】 1.【2018 年高考浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P （ ）． （1）求 sin（α+π）的值； （2）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值． 【解析】（1）由角 的终边过点 得 ， 所以 . （2）由角 的终边过点 得 ， 由 得 . 由 得 ， tan 2θ = cos2θ = πtan 4 θ − =   3 5 − 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin 1 tan 3cos2 cos sin cos sin 1 tan 5 θ θ θθ θ θ θ θ θ − −= − = = = −+ + tan 1 1tan 4 1 tan 3 π θθ θ − − = =  +  3 5 − 1 3 1sin 3 α = cos2α = 8 9 7 9 7 9 − 8 9 − 2 21 7cos2 1 2sin 1 2 ( )3 9 α α= − = − × = 3 4 5 5 − ，- 5 13 α 3 4( , )5 5P − − 4sin 5 α = − 4sin( π) sin 5 α α+ = − = α 3 4( , )5 5P − − 3cos 5 α = − 5sin( ) 13 α β+ = 12cos( ) 13 α β+ = ± ( )β α β α= + − cos cos( )cos sin( )sinβ α β α α β α= + + + 6 / 6 三年高考+解题规律 所以 或 .56cos 65 β = − 16cos 65 β = −