2020年高考数学（理）真题命题规律专题11 解三角形（解析版）

1 / 14 三年高考+解题规律 专题 11 解三角形 命题规律 内 容 典 型 １ 已知三角形中的边角求其余边角或面积 2020 年高考全国Ⅲ卷理数 7 ２ 利用正余弦定理解平面图形 2018 年高考全国Ⅰ理数 ３ 已知三角形的边角关系或三角形的面积解三角形 2018 年高考全国Ⅲ理数 ４ 以解答题形式考查利用正余弦定理解决三角形问 题 2019 年高考全国Ⅰ卷理数 ５ 正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用 2020 年高考山东卷 15 命题规律一 已知三角形中的边角求其余边角或面积 【解决之道】画出对应于的图形，标出已知条件，分析已知与未知，选择合适的正弦定理或余弦定理或面 积公式，计算出需要计算得量. 【三年高考】 1.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 7】在 中， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 在 中， ， ， ， 根据余弦定理： ， ， 可得 ，即 ， ，故 ，故选 A． 2.【2018 年高考全国Ⅱ理数】在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ABC△ 2cos , 4 , 33C AC BC= = = cos B = 1 9 1 3 1 2 2 3  ABC 2cos 3C = 4AC = 3BC = 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 2 2 24 3 2 24 3 3AB = + − × × × 2 9AB = 3AB =  2 2 2 9 9 16 1cos 2 2 3 3 9 AB BC ACB AB BC + − + −= = =⋅ × × 1cos 9B = ABC△ 5cos 2 5 C = 1BC = 5AC = AB = 4 2 30 29 2 5 2 2 5 3cos 2cos 1 2 1 ,2 5 5 CC  = − = × − = −    2 / 14 三年高考+解题规律 所以 ，故选 A. 3.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】 的内角 的对边分别为 .若 ，则 的面积为_________． 【答案】 【解析】由余弦定理得 ，所以 ，即 ， 解得 （舍去）， 所以 ， 4.【2018 年高考浙江卷】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 ，b=2，A=60°，则 sin B=___________，c=___________． 【答案】 ，3 【解析】由正弦定理得 ，所以 由余弦定理得 （负值舍去）. 命题规律二 利用正余弦定理解平面图形 【解决之道】求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形 中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成 若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用 公共条件，求出结果． 【三年高考】 1.【2019 年高考浙江卷】在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则 ___________， ___________． 【答案】 ， 2 2 2 32 cos 1 25 2 1 5 32 4 25AB BC AC BC AC C AB = + − ⋅ = + − × × × − = =   ，则 ABC△ , ,A B C , ,a b c π6, 2 , 3b a c B= = = ABC△ 6 3 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 21(2 ) 2 2 62c c c c+ − × × × = 2 12c = 2 3, 2 3c c= = − 2 4 3a c= = 1 1 3sin 4 3 2 3 6 3.2 2 2ABCS ac B= = × × × =△ 7a = 21 7 sin sin a A b B = 2 π 21sin sin ,3 77 B = × = 2 2 2 22 cos , 7 4 2 , 3a b c bc A c c c= + − ∴ = + − ∴ = ABC△ 90ABC∠ = ° 4AB = 3BC = D AC 45BDC∠ = ° BD = cos ABD∠ = 12 2 5 7 2 10 3 / 14 三年高考+解题规律 【解析】如图，在 中，由正弦定理有： ，而 ， ， ，所以 . . 2.【2018 年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形 中， ， ， ， . （1）求 ； （2）若 ，求 . 【答案】（1） ；（2）5. 【解析】（1）在 中，由正弦定理得 . 由题设知， ，所以 . 由题设知， ， 所以 . （2）由题设及（1）知， . 在 中，由余弦定理得 . ABD△ sin sin AB BD ADB BAC =∠ ∠ 3π4, 4AB ADB= ∠ = 2 2 5AC = AB + BC = 3 4sin ,cos5 5 BC ABBAC BACAC AC ∠ = = ∠ = = 12 2 5BD = π π 7 2cos cos( ) cos cos sin sin4 4 10ABD BDC BAC BAC BAC∠ = ∠ − ∠ = ∠ + ∠ = ABCD 90ADC∠ =  45A∠ =  2AB = 5BD = cos ADB∠ 2 2DC = BC 23 5 ABD△ sin sin BD AB A ADB =∠ ∠ 5 2 sin 45 sin ADB =° ∠ 2sin 5ADB∠ = 90ADB∠ < ° 2 23cos 1 25 5ADB∠ = − = 2cos sin 5BDC ADB∠ = ∠ = BCD△ 2 2 2 2 cosBC BD DC BD DC BDC= + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ 225 8 2 5 2 2 5 = + − × × × 25= 4 / 14 三年高考+解题规律 所以 . 命题规律三已知三角形的边角关系或面积解三角形 【解决之道】解决此类问题，若已知三角形面积，利用面积公式化为关于边角的方程式，若已知边角关系， 可以利用正弦定理或余弦定理将给出的边角关系化为纯边或纯角关系，通过解方程求出边或角. 【三年高考】 1.【2018 年高考全国Ⅲ理数】 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知 ，所以 ， 由余弦定理 ，得 ，因为 ，所以 ，故选 C. 命题规律四以解答题形式考查利用正余弦定理解决三角形问题 【解决之道】画出对应于的图形，标出已知条件，分析已知与未知，若已知边角关系，利用正弦定理或余 弦定理将其化为纯边或纯角的条件，通过解方程解出边或角，涉及到面积，利用面积公式转化条件或计算 面积，遇到周长或面积问题的最值（范围）问题，通常利用正弦定理或余弦定理化为某个角或边的函数问 题，利用三角函数或解不等式求解，注意角或边的范围.. 【三年高考】 1. 【 2019 年 高 考 全 国 Ⅰ 卷 理 数 】 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 ． （1）求 A； （2）若 ，求 sinC． 【解析】（1）由已知得 ， 故由正弦定理得 ． 5BC = ABC△ A B C， ， a b c ABC△ 2 2 2 4 a b c+ − C = π 2 π 3 π 4 π 6 2 2 21 sin2 4ABC a b cS ab C + −= =△ 2 2 2 2 sinCa b c ab+ − = 2 2 2 2 cosa b c ab C+ − = sin cosC C= ( )0,πC ∈ π 4C = ABC△ 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − 2 2a b c+ = 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − = 2 2 2b c a bc+ − = 5 / 14 三年高考+解题规律 由余弦定理得 ． 因为 ，所以 ． （2）由（1）知 ， 由题设及正弦定理得 ， 即 ，可得 ． 由于 ，所以 ，故 ． 2. 【 2019 年 高 考 全 国 Ⅲ 卷 理 数 】 △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 ． （1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ． 因为sinA 0，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ， 因此B=60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积 ． 由正弦定理得 ． 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 0 180A° °< < 60A °= 120B C°= − ( )2 sin sin 120 2sinA C C°+ − = 6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C+ + = ( ) 2cos 60 2C °+ = − 0 120C° °< < ( ) 2sin 60 2C °+ = ( )sin sin 60 60C C ° °= + − ( ) ( )sin 60 cos60 cos 60 sin 60C C° ° ° °= + − + 6 2 4 += sin sin2 A Ca b A + = sin sin sin sin2 A CA B A + = ≠ sin sin2 A C B + = 180A B C °+ + = sin cos2 2 A C B+ = cos 2sin cos2 2 2 B B B= cos 02 B ≠ 1sin 2 2 B = 3 4ABCS a=△ ( )sin 120sin 3 1 sin sin 2tan 2 Cc Aa C C C ° − = = = + 6 / 14 三年高考+解题规律 由于△ABC为锐角三角形，故0°