2020届高三（4月份）高考数学模拟试题（解析版）

2020 年高考数学模拟试卷（4 月份） 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1. 已知复数 z＝a+i（a∈R），则下面结论正确的是（ ） A. B. |z|≥1 C. z 一定不是纯虚数 D. 在复平面上，z 对应的点可能在第三象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解： ， ，故 错误； ，故 正确； 当 时， 为纯虚数，故 错误； 虚部为 1 大于 0， 在复平面上， 对应的点不可能在第三象限，故 错误． 故选： ． 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 2. 已知集合 ，且 ，则集合 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 可知， ，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可. 【详解】由 可知， ， 对于 A： ＝ ，符合题意. 对于 B： ＝ ，没有元素 1，所以不包含 A； 对于 C： ＝ ，不合题意； D 显然不合题意， z a i= − + ( )z a i a R= + ∈ ∴ z a i= − A 2| | 1 1z a= +  B 0a = z C  ∴ z D B { }1,2,3,4,5A = A B A= B { }| 2 1xx > { }2 1x x { }2log 1x x { }1,2,3 A B A= A B⊆ A B A= A B⊆ 0{ | 2 1 2 }xx > = { | 0}x x A⊇＞ { }2 1x x { | 1 1}x x x< − >或 2 2{ | log 1 log 2}x x > = { | 2}x x > 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能 力. 3. 已知函数 ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , 故选 A； 4. 已知定义域为 R 偶函数 f（x）在[0，+∞）上是增函数，且 f（ ）＝0，则“不等式 f（log4x）＞0 的 解集”是“{x|0＜x＜ }”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分且必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 结合奇偶性，先解对数不等式，再根据包含关系判断充分性与必要性． 【详解】解：因为定义域为 的偶函数 在 ， 上是增函数，且 ， ，即 ，即 ，即 ， 即 ，或 ， 解之得 或 ， 或 是 的必要不充分条件， 故选： ． 【点睛】本题考查简易逻辑、充分条件与必要条件，以及解对数不等式，属于基础题． 5. 过直线 y＝x 上的一点作圆 的两条切线 l1，l2，当直线 l1，l2 关于 y＝x 对称时，它们 之间的夹角为（ ） 的 ( )2 , 2( ) 2 , 2x f x xf x x−  + 4 1(log ) ( )2f x f> 4 1(| log |) ( )2f x f> 4 1| log | 2x > 4 1log 2x > 4 1log 2x < − 2x > 10 2x< < { | 2x x∴ > 10 }2x< < 1{ | 0 }2x x< < C 2 2( 5) ( 1) 2x y− + − = A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】 如图所示，过圆心 作 垂直直线 于点 ，根据几何性质可知，直线 也关于直线 对称，解 三角形可以求出 ，即可求出 ． 【详解】如图所示，过圆心 作 垂直直线 于点 ，直线 分别与圆 相切，切点分别为 ，根据几何知识可知，直线 也关于直线 对称，所以直线 的夹角为 （或其补角）． 在 中， ， ，所以 ，而 为锐角，即有 ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，直线与直线之间的夹角的计算，意在考查学生的转化 能力和数学运算能力，属于中档题． 6. 关于函数 有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增 ③f(x)在 有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】 C CP y x= P 1 2,l l CP BPC∠ APB∠ C CP y x= P ,PA PB :C 2 2( 5) ( 1) 2x y− + − = ,A B 1 2,l l CP 1 2,l l APB∠ Rt CBP 2BC = 5 1 2 2 2 CP −= = 1sin 2BPC∠ = BPC∠ 30BPC∠ =  60APB∠ =  ( ) sin | | | sin |f x x x= + 2 π π [ , ]−π π 化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案． 【 详 解 】 为 偶 函 数 ， 故 ① 正 确 ． 当 时， ，它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ， 它有两个零点： ；当 时， ，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当 时， ； 当 时， ，又 为偶函数， 的最大值 为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选 C． 【点睛】画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选 C． 7. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 ），则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】由三视图可知，在棱长为 2 的正方体中，其对应的几何体为棱锥 ， ( ) sin sinf x x x= + ( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x− = − + − = + = ∴ 2 x π π< < ( ) 2sinf x x= ,2 π π   0 x π≤ ≤ ( ) 2sinf x x= 0 , π 0xπ− ≤ < ( ) ( )sin sin 2sinf x x x x= − − = − π− ( )f x [ ],−π π 3 0−π , , π [ ]( )2 , 2x k k k ∗∈ π π + π ∈N ( ) 2sinf x x= [ ]( )2 , 2 2x k k k ∗∈ π + π π + π ∈N ( ) sin sin 0f x x x= − = ( )f x ( )f x∴ 2 ( ) sin sinf x x x= + 1 4 2 8 3 4 3 1 1D BCB− 该棱锥的体积： . 本题选择 D 选项. 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 8. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长是 1，点 P 在该正方体的棱上.若|PA|+|PC1|＝ ，则点 P 的个数为 （ ） A. 6 B. 12 C. 8 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，由椭圆的定义分析可得 的轨迹是以 、 为焦点，长轴 ，焦距 的椭圆，结 合正方体的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，正方体 的棱长是 1，则 ， 又由 ， 则 的轨迹是以 、 为焦点，长轴 ，焦距 的椭圆， 1 1 1 1 1 1 1 42 2 23 3 3 2 3BCBV Sh S C D  = = × × = × × × × =  △ 5 P A 1C 2 5a = 2 3c = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1| | 3AC = 1| | | | 5PA PC+ = P A 1C 2 5a = 2 3c = 该椭圆的中心为体对角线 的中点，短轴长 ， 而 在正方体的棱上，则 应是各个平面上的椭圆与正方体的棱的交点， 则在满足条件的点应该在正方体的 12 条棱上各有一点满足条件，即有 12 个符合条件的点； 故选： ． 【点睛】本题考查椭圆定义以及应用，涉及正方体的几何结构，注意灵活应用椭圆的定义． 9. 已知数列 ， ，其中 ，且 ， 是方程 的实数根，则 等于（ ） A. 24 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，得到 ， ，求得 ，推出 ，进而可求出 ， ，从而可求 出结果. 【详解】因为 ， 是方程 的实数根， 所以 ， ， 又 ，所以 ； 当 时， ，所以 ， 因此 ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项，属于常考题型. 10. 高二一班共有学生 50 人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门 课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少 20 人，这三门课程都不选的有 10 人，这三门课 程都选的有 10 人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有 13 人，物理、化学只选一科的学生都至 少 6 人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】C 1AC 2 2 22 2b a c= − = P P B { }na { }nb 1 1a = na 1na + 2 2 0n nx b x− + = 10b 1n n na a b++ = 1 2n n na a + = 2 2a = 1 1 2n n a a + − = 10a 11a na 1na + 2 2 0n nx b x− + = 1n n na a b++ = 1 2n n na a + = 1 1a = 2 2a = 2n ≥ 1 1 2n n na a − − = 1 1 1 1 2n n n n n n a a a a a a + + − − = = 4 10 2 2 32a a= ⋅ = 5 11 1 2 32a a= ⋅ = 10 10 11 32 32 64b a a= + = + = 【解析】 【分析】 把学生 50 人看出一个集合 ，选择物理科的人数组成为集合 ，选择化学科的人数组成集合 ，选择生 物颗的人数组成集合 ，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】把学生 50 人看出一个集合 ，选择物理科的人数组成为集合 ， 选择化学科的人数组成集合 ，选择生物颗的人数组成集合 ， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选 有 10 人，这三门课程都选的有 10 人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少 6 人， 单选化学 最少 6 人，单选化学、生物的最少 3 人， 单选物理、生物的最少 3 人，单选生物的最少 4 人， 以上人数最少 42 人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多 8 人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多 人. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键， 着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分） 11. 设 ， 为双曲线 的两个焦点，若双曲线 的两个顶点恰好将线段 三 等分，则双曲线 的离心率为____． 【答案】3 【解析】 【分析】 根据双曲线几何条件列方程解得离心率. 的 的 U A B C U A B C 10 8 18+ = 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x yC a ba b − = > >： C 1 2F F C 【详解】依题意，得：2a＝c－a，即 a＝ ，所以，离心率 故答案为 3 【点睛】本题考查双曲线离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 12. 已知向量 ，同时满足条件① ，② 的一个向量 的坐标为_____ . 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】 设 ＝（x，y），由 ∥ 得：y＝－2x，结合 ，可得 x 的范围，进而可得结果. 【详解】解：设 ＝（x，y），由 ∥ 得：y＝－2x， ＋ ＝（1＋x，－2＋y），由 ，得： ，把 y＝－2x 代入，得： ，化简，得： ，解得： ， 取 x＝－1，得 y＝2，所以， ＝（－1,2）（答案不唯一） 故答案为 ＝（－1,2）（答案不唯一） 【点睛】本题考查向量共线的性质，考查平面向量的坐标运算，属于基础题. 13. 已知直线 l 过抛物线 y2＝8x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于点 C.若点 F 是 AC 的中 点，则线段 BC 的长为_____. 【答案】 ； 【解析】 【分析】 由抛物线的方程可得焦点 的坐标及准线方程，再由 是 的中点可得 的坐标，求出 的方程，求 出 的坐标进而求出 的长度 【详解】解 1 3 c 3ce a = = ( )1, 2a = − / /a b  a b a+ a b c+ > 1q 2a qa q a+ > 2 1 0q q− − < 2 1 0q q− − = 1 5 1 5 2 2 − +， 1 5 1 5 2 2q − +< < 1q 1 51 2q + 2 1 0q q+ − > 解之得 或 且 即 综合（1）（2），得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属基础题． 15. 设函数 f（x）的定义域为 R，满足 f（x+1）＝2f（x），且当 x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意 x∈ （﹣∞，m]，都有 f（x）≥﹣ ，则 m 的取值范围是_____. 【答案】（﹣∞， ]； 【解析】 【分析】 因为 ，可得 ，分段求解析式，结合图象可得结论． 【详解】解：因为 ， ， ， 时， ， ， ， 时， ， ， ， ； 当 ， 时，由 解得 或 ， 若对任意 ， ，都有 ，则 ． 故答案为： ， ． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题． 三、解答题 16. 在 中，角 的对边分别为 ， ， ， ． 5 1 2q −> 1 5 2q +< − 0q > 5 1 2q −> 5 1 1 5( , )2 2q − +∈ 5 1 1 5( , )2 2 − + 8 9 4 3 ( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x= − ( 1) 2 ( )f x f x+ = ( ) 2 ( 1)f x f x∴ = − (0x∈ 1] 1( ) 2 ( 1) [ 2f x x x= − ∈ − 0] (1x∴ ∈ 2] 1 (0x − ∈ 1] ( ) 2 ( 1) 4( 1)( 2) [ 1f x f x x x= − = − − ∈ − 0] (1x∈ 2] 84( 1)( 2) 9x x− − = − 4 3x = 5 3x = (x∈ −∞ ]m 8( ) 9f x − 4 3m (−∞ 4]3 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 3b = 3c = 1 3cosB = − （1）求 的值； （2）求 的面积． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 分析】 （1）先由 求出 ，再由正弦定理，即可求出结果； （2）先由余弦定理求出 ，再由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）在 中， ， ∴ ， ∵ ， ， 由正弦定理 得 ， ∴ ． （2）由余弦定理 得 ， ∴ ， 解得 或 （舍） ∴ ． 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 17. 如图，在多面体 中，梯形 与平行四边形 所在平面互相垂直， ， ， ， ， . 【 sinC ABC∆ 6 3 2 1cos 3B= − sin B a ABC∆ 1 3cosB = − 2 21 2 21 1 ( )3 3sinB cos B= − = − = 2 3b = 3c = sin sin b c B C= 2 3 3 2 2 3 sinC = 6sin 3C = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 112 9 2 3 3a a  = + − × × −   2 2 3 0a a+ − = 1a = 3a = − 1 1 2 21 3 22 2 3ABCS acsinB∆ = = × × × = ABCDEF ADEF ABCD //AF DE DE AD⊥ AD BE⊥ 1 12AF AD DE= = = 2AB = （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）判断线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求 出 的值，若不存在， 说明理由． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据线线平行得线面平行 平面 ， 平面 ，再根据线面平行得面面平行平面 平面 ，最后由面面平行性质得结论，（Ⅱ）先根据面面垂直得线面垂直 平面 ， 再得线线垂直 ，类似可得 进而建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解 得平面 法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果， （Ⅲ）先设 ，再利用方程组解得平面 法向量，最后根据两法向量数量积为零解得 结果. 【详解】（Ⅰ）由底面 为平行四边形，知 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 同理 平面 ，又因为 ，所以平面 平面 . 又因为 平面 ，所以 平面 （Ⅱ）连接 ,因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 所以 平面 . 则 . 又因为 ， ， ， 所以 平面 ，则 . //BF CDE B EF D− − BE Q CDQ ⊥ BEF BQ BE 6 3 1 7 BQ BE = / /AB CDE / /AF CDE / /ABF CDE DE ⊥ ABCD DE DB⊥ AD BD⊥ ， BEF的一个 BQ BEλ=  CDQ的一个 ABCD / /AB CD AB ⊄ CDE CD ⊂ CDE / /AB CDE / /AF CDE AB AF A∩ = //ABF CDE BF ⊂ ABF //BF CDE BD ADEF ⊥ ABCD ADEF ∩ ABCD AD= DE AD⊥ DE ⊥ ABCD DE DB⊥ DE AD⊥ AD BE⊥ DE BE E∩ = AD ⊥ BDE AD BD⊥ 故 两两垂直，所以以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，如图建立空间直角 坐标系，则 ， ， ， ， ， ， 所以 , ， 为平面 的一个法向量. 设平面 的一个法向量为 ， 由 ， ，得 令 ，得 . 所以 . 如图可得二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . （Ⅲ）结论：线段 上存在点 ，使得平面 平面 . 证明如下：设 ，所以 . 设平面 的法向量为 ，又因为 ，所以 ， ，即 令 ，得 . 若平面 平面 ，则 ，即 ， 解得 . 所以线段 上存在点 ，使得平面 平面 ，且此时 . 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； , ,DA DB DE , ,DA DB DE x y z ( )0,0,0D ( )1,0,0A ( )0,1,0B ( )1,1,0C − ( )0,0,2E ( )1,0,1F ( )0, 1,2BE = − ( )1,0, 1EF = − ( )0,1,0 n → = DEF BEF ( ), , m x y z→ = 0 m BE→⋅ = 0 m EF→⋅ = 2 0, 0, y z x z − + =  − = 1z = ( )1,2,1 m → = 6cos , 3 m n m n m n →⋅→ → → = = → → B EF D− − B EF D− − 6 3 BE Q CDQ ⊥ BEF ( ) [ ]( )0, ,2 0,1BQ BEλ λ λ λ= = − ∈  ， ( )0,1 ,2DQ DB BQ λ λ= + = −   CDQ ( ), , u a b c→ = ( )1,1,0DC = − 0 u DQ→⋅ = 0 u DC→⋅ = ( )1 2 0, 0, b c a b λ λ − + =  − + = 1b = 11,1, 2m λ λ − → =    CDQ ⊥ BEF 0 m u →⋅→ = 11 2 02 λ λ −+ + = [ ]1 0,17 λ = ∈ BE Q CDQ ⊥ BEF 1 7 BQ BE = 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应 用公式关”. 18. 2020 年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积 30 平方米. 下表为 2007 年—2016 年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米. 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 城 镇 18.66 20.25 22.79 25 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农 村 23.3 24.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8 （Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米的 概率； （Ⅱ）在给出的 10 年数据中，随机抽取三年，记 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑 面积 4 平方米的年数，求 的分布列和数学期望 ； （Ⅲ）将城镇和农村的人均住房建筑面积经四舍五入取整后作为样本数据．记 2012—2016 年中城镇人均住 房面积的方差为 ，农村人均住房面积的方差为 ，判断 与 的大小．（只需写出结论）. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（Ⅲ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共 9 次，两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米：共 5 次，代 入公式即可求概率． （Ⅱ）表中同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积 4 平方米的年数，共有 6 次，则 可 取：0，1，2，3，即可求 x 的分布列和期望． X X ( )E X 2 1s 2 2s 2 1s 2 2s 5( ) 9P A = 2 1s < 2 2s X （Ⅲ）根据表中的数据的离散程度，可得 【详解】（Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共 9 次． 两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米：共 5 次． 设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于 2 平方米”为事件 ， 因此 （Ⅱ） 所有可能的取值为：0，1，2，3 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 （Ⅲ） 【点睛】本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列，数学期望的求法，考查分析，计算能力，属基 础题． 19. 设函数 f（x）＝mex﹣x2+3，其中 m∈R. （1）如果 f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调 递减.指出这两个条件，并求函数 h（x）＝xf（x）的极值； （2）若函数 f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求 m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） ， 2 1s < 2 2s A ( ) 5 9P A = X ( ) 0 3 6 4 3 10 10 30 C CP X C = = = ( ) 1 2 6 4 3 10 31 10 C CP X C = = = ( ) 2 1 6 4 3 10 12 2 C CP X C = = = ( ) 3 0 6 4 3 10 13 6 C CP X C = = = X X P 1 30 3 10 1 2 1 6 ( ) 1 3 1 1 90 1 2 330 10 2 6 5E X = × + × + × + × = 2 1s < 2 2s 4 13[e 3 6 )e 【解析】 【分析】 （1）若 为偶函数，根据 可得 ，此时函数 ，在 单调递减，满 足条件③，此时 ，再利用导数即可求得函数 极值； 若 不是偶函数，则 ， ，分析在 的单调性，不满足条件，所以只满足其中 之一，不合题意； （2）令 ，则有 ，函数 在区间 ， 上有三个零点，等价于直线 与曲线 在区间 ， 上有三个交点，对函数 进行求导，画出其在区间 ， 上的大 致图象，利用数形结合法即可求得 的取值范围． 【详解】解：（1）若满足条件① 是偶函数，则 ， 且函数 的定义域为 ， ， 对 恒成立， ， 此时函数 ，在 单调递减， 满足条件③ 在 单调递减； 若 不满足①，则 ， ， 所以 f（x）在（0，1）不可能单调递减，即不满足③， 同时满足条件：① 是偶函数；③ 在 单调递减， 此时 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减， 时，函数 取到极大值，极大值为 （1） ， 时，函数 取到极小值，极小值为 ； 的 ( )f x ( ) ( )f x f x− = 0m = 2( ) 3f x x= − + (0,1) 3( ) 3h x x x= − + ( )h x ( )f x 1m = 2( ) 3xf x e x= − + (0,1) 2( ) 3 0xf x me x= − + = 2 3 x xm e −= ( )f x [ 2− 4] y m= 2 3( ) x xg x e −= [ 2− 4] ( )g x [ 2− 4] m ( )f x f ( ) ( )x f x− = ( )f x R 2 23 3x xme x me x−∴ − + = − + x xme me−∴ = x∈R 0m∴ = 2( ) 3f x x= − + (0,1) ( )f x (0,1) ( )f x 2 31, ( ) xm f x e x−= = + 1( ) 2 , ( ) 12 xf x e x f e′ = − ′ = − ( )f x∴ ( )f x ( )f x (0,1) 3( ) 3h x x x= − + 2( ) 3 3 3(1 )(1 )h x x x x′ = − + = + − ∴ ( , 1)x∈ −∞ − ( ) 0h x′ < ( )h x ( 1,1)x∈ − ( ) 0h x′ > ( )h x (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x 1x∴ = ( )h x h 2= 1x = − ( )h x ( 1) 2h − = − （2）令 ，则有 ， 函数 在区间 ， 上有三个零点， 等价于直线 与曲线 在区间 ， 上有三个交点， ， ， ， 令 ，则 或 ， 令 ，则 ， 令 ，则 或 ， 函数 在区间 ， 上单调递增；在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 又 ， ， （3） ， （4） ， 画出函数 在 ， 上的大致图象，如图所示： ， 由图可知，当 时， 直线 与曲线 在区间 ， 上有三个交点， 即函数 在区间 ， 上有三个零点， 的取值范围为： ， ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值与零点，考查了数形结 合思想、函数与方程的关系，属于中档题． 20. 已知点 M（x0，y0）为椭圆 C： +y2＝1 上任意一点，直线 l：x0x+2y0y＝2 与圆（x﹣1）2+y2＝6 交于 A，B 两点，记线段 AB 中点为 N，点 F 为椭圆 C 的左焦点. （Ⅰ）求椭圆 C 的离心率及左焦点 F 的坐标； （Ⅱ）证明：|FN|＝|AN|. 2( ) 3 0xf x me x= − + = 2 3 x xm e −= ( )f x [ 2− 4] y m= 2 3( ) x xg x e −= [ 2− 4] 2 2 2 2 ( 3) 2 3 ( 3)( 1)( ) ( ) x x x x x x e x e x x x xg x e e e − − − + − − +′ = = = [ 2x∈ − 4] ( ) 0g x′ = 3x = 1x = − ( ) 0g x′ < 1 3x- < < ( ) 0g x′ > 2 1x− < − 3 4x<  ∴ ( )g x [ 2− 1)− ( 1,3)− (3 4] 2( 2)g e− = ( 1) 2g e− = − g 3 6 e = g 4 13 e = ( )g x [ 2− 4] 4 3 13 6me e { }na ( )3 1a 2a k { }na k ( )1 2019 0a = 2020 1a = 2021 1a = ( )2 ( )3 ( )1 1 5a = 2 3a = 2 1n n na a a+ += − n ∗∈N 2019a 2020a 2021a ( )2 i ∗∀ ∈N 0ia ≠ 2 1n n na a a+ += − n m> { }na ( )3 { }na " "k { }na k ( )1 1 5a = 2 3a = 2 1n n na a a+ += − n ∗∈N 2 13 3 5 2a a a= − = − = 3 24 2 3 1a a a= − = − = 4 35 1 2 1a a a= − = − = 5 46 1 1 0a a a= − = − = 6 57 0 1 1a a a= − = − = 7 68 1 0 1a a a= − = − = 8 79 1 1 0a a a= − = − = 810 9 0 1 1a a a= − = − =  3 1 3 2 1k ka a+ += = 3 3 0ka + = k ∗∈N 2019 0a = 2020 1a = 2021 1a = ( )2 i ∗∀ ∈N 0ia ≠ 2 1n n na a a+ += − { }1 2max ,m a a= 1a m≤ 2a m≤ 3 2 10 1a a a m< = − ≤ − 4 3 20 1a a a m< = − ≤ − 5 4 30 2a a a m< = − ≤ − 6 5 40 2a a a m< = − ≤ − 7 6 50 3a a a m< = − ≤ − 8 7 60 3a a a m< = − ≤ −  2 1na m n+ ≤ − n ∗∈N n m> 2 1 0na + < 2 1 0na + > i 0ia = { }na 0 故存在 ，当 时，数列 中的项呈周期变化. 证明：①先证数列 中必有 （反证法）： 假设数列 中没有 ，由 知数列 中必有 项， 设第一个 项是 ，令 ， ， ， 则必有 ，于是由 ，则 ， 因此 是 的因数， 由 ，则 或 ， 因此 是 的因数， 依次递推，可得 是 ， 的因数，因为 ，所以这与 ， 的最大公约数是 矛盾， 所以数列 中必有 ； ②再证数列 中必有无穷多项为 ： 假设数列 中第一个 项为 ，令 ， ， ， 则 ， 若 ，则数列中的项从 开始依次为“ ， ， ”的无限循环，故有无穷多项为 ； 若 ，则 ， ， 若 ，则进入“ ， ， ”的无限循环，故有无穷多项为 ； 若 ，则从 开始的项依次为 ， ， ， ， ， ， ，必出现连续 两个 ，从而进入“ ， ， ”的无限循环，故有无穷多项为 ； 综合①②可知，数列 中必有无穷多项为 . 【点睛】本题主要考查递推数列，合情推理及数列有关的证明，考查分析问题能力，综合性很强，属于难 题. m N ∗∈ n m> { }na ( )3 { }na " "k { }na " "k ( )2 { }na "0" "0" ( )3ma m ≥ 1ma p− = p k> p N ∗∈ 2ma p− = 1 2 3 3m m m mp a a a p a− − − −= = − = − 3 2ma p− = p 3ma − 2 3 4 42m m m mp a a a p a− − − −= = − = − 4ma p− = 4 3ma p− = p 4ma − p 1a 2a p k> 1a 2a k { }na " "k { }na k { }na " "k ta 1ta q− = q k> q N ∗∈ 1 1t t ta a a q k+ −= − = − 1ta q k k+ = − = ta k k 0 k 1ta q k k+ = − > 2 1 2t t ta a a q k+ += − = − 3 2 1t t ta a a k+ + += − = 2 2ta q k k+ = − = k k 0 k 2 2ta q k k+ = − > ta k q k− 2q k− k 3q k− 4q k− k " "k k k 0 k { }na k