2021届高考数学（理）一轮复习讲练测 专题13.1 椭圆（精讲精析篇）（解析版）

1 / 25 专题 13.1 椭圆（精讲精析篇） 提纲挈领 点点突破 热门考点 01 椭圆的定义 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两 定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 ①若 ，则集合 P 为椭圆； ②若 ，则集合 P 为线段； ③若 ，则集合 P 为空集． 2.椭圆的标准方程：焦点在 轴时， ；焦点在 轴时， 【典例 1】（上海高考真题（文））设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，则 等于( ) A.4 B.5 C.8 D.10 【答案】D 1 2 1 2P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.} a c> a c= a c< x 2 2 2 2 =1(a>b>0)x y a b + y 2 2 2 2 =1(a>b>0)y x a b + p 2 2 125 16 x y+ = 1 2F F， 1 2PF PF+ 2 / 25 【解析】 因为椭圆的方程为 ，所以 ，由椭圆的的定义知 ， 故选 D． 【典例 2】（2020·重庆高三其他（理））已知椭圆 C 的焦点为 F1（﹣c，0），F2（c，0），其中 c＞0，C 的长 轴长为 2a，过 F1 的直线与 C 交于 A，B 两点.若|AF1|＝3|F1B|，4|BF2|＝5|AB|，则|AF2|＝（ ） A． B． a C． D．a 【答案】D 【解析】 设 ，则∵|AF1|＝3|F1B|，∴ ，又 4|BF2|＝5|AB|，∴ ， ∴ ， ，∴ ． 故选：D． 【总结提升】 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点 M 的轨迹是椭圆． (2)若点 M 在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. 热门考点 02 椭圆的焦点三角形 【典例 3】（2020·湖南益阳 高三三模（理））如图，已知 ， 为椭圆 ： （ ）的 左、右焦点，过原点 的直线 与椭圆 交于 两点（ ），若 ， ，则 （ ） 2 2 5 116 2 x y+ = 2 25a = 1 2 =2 10PF PF a+ = 5 4 a 4 3 2 3 a 1F B x= 1 3AF x= 2 5BF x= 1 2 6 2BF BF x a+ = = 3a x= 2 12AF a AF a= − = 1F 2F C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > O l C ,A B 2 2AF BF> 1 2 1 2= =4AF AF AF AF+ −    1 2 4AF BFS = 2tan BAF∠ = 3 / 25 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由 两边平方得 ，所以 ， 由椭圆的对称性知四边形 为矩形， 又因为 ，所以 ， 又因为 ， 由矩形的面积公式与椭圆的定义得 ， 解得： ， 所以 ，即 是方程 的实数根， 又因为 ，所以 所以 ， 所以 . 故选：D. 1 4 1 3 2 3+ 2 3− 1 2 1 2=AF AF AF AF+ −    1 2 =0AF AF⋅  1 2AF AF⊥  1 2AF BF 1 2 1 2= =4AF AF AF AF+ −    1 2= =4AB F F 1 2 4AF BFS = 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 =2 4 AF AF a AF AF AF AF F F  + =  + = 6a = 1 2 1 2 =2 6 4 AF AF AF AF  + = 1 2,AF AF 2 2 6 4 0x x− + = 2 2AF BF> 2 1AF AF> 1 6 2AF = − 2 6 2AF = + 2 1 2 6 2 8 4 3tan 2 346 2 B AAF AF F − −∠ = = = = − + 4 / 25 【典例 4】（2019·全国高考真题（文））已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 ， ，则 C 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 中，由余弦定理推论得 ．在 中，由余弦定理得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选 B． 法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有 ．在 和 中，由余弦定理得 ，又 互补， ， 两式消去 ，得 ，解得 ． 所求椭圆方程为 ，故选 B． 【规律提升】 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(a ＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中 a 是斜边，a2＝b2＋c2. 1 21,0 1,0F F−( ) ， ( ) 2 22AF F B=│ │ │ │ 1AB BF=│ ││ │ 2 2 12 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 15 4 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1AF B△ 2 2 2 1 4 9 9 1cos 2 2 3 3 n n nF AB n n + −∠ = =⋅ ⋅ 1 2AF F△ 2 2 14 4 2 2 2 43n n n n+ − ⋅ ⋅ ⋅ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 2F B n= 2 12 , 3AF n BF AB n= = = 1 2 1 22 4 , 2 2a BF BF n AF a AF n= + = ∴ = − = 1 2AF F△ 1 2BF F△ 2 2 2 1 2 2 2 1 4 4 2 2 2 cos 4 , 4 2 2 cos 9 n n AF F n n n BF F n  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ =  + − ⋅ ⋅ ⋅ ∠ = 2 1 2 1,AF F BF F∠ ∠ 2 1 2 1cos cos 0AF F BF F∴ ∠ + ∠ = 2 1 2 1cos cosAF F BF F∠ ∠, 2 23 6 11n n+ = 3 2n = 2 2 22 4 2 3 , 3 , 3 1 2 ,a n a b a c∴ = = ∴ = ∴ = − = − = ∴ 2 2 13 2 x y+ = 5 / 25 2.对焦点三角形 的处理方法，通常是运用 . 热门考点 03 椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴， ； （2）焦点在 轴， . 2．满足条件： 【典例 5】（山西省大同市与阳泉市 2018 届二测）已知椭圆 的左焦点为 ，过 点 作倾斜角为 的直线与圆 相交的弦长为 ，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由左焦点为 ，可得 ，即 ， 过点 作倾斜角为 的直线的方程为 ， 圆心 到直线的距离 ， 由直线与圆 相交的弦长为 ， 可得 ，解得 ， 则椭圆方程为 ，故选 B. 【典例 6】（2020·全国高三其他（理））设 、 为椭圆 的左、右焦点，经过 1 2F PF△    定义式的平方 余弦定理 面积公式 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (2a) 2 1 2S θ θ∆   =  = − ⋅   = ⋅ ⇔ （| PF| +| PF| ） ( 2c) | PF| +| PF| | PF|| PF| cos | PF|| PF| si n x 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b y 2 2 2 2 y + =1(a>b>0)x a b 2 2 22 2 0 0 0a c a b c a b c＞ ， ＝ ＋ ， ＞ ， ＞ ， ＞ 1F 2F ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1F 6 / 25 的直线交椭圆 于 、 两点，若 的面积为 的等边三角形，则椭圆 的方程为______________. 【答案】 【解析】 设椭圆 的焦距为 ，如下图所示： 由于 是面积为 的等边三角形，则 ， 得 ，即 是边长为 的等边三角形， 该三角形的周长为 ，可得 ， 由椭圆的对称性可知，点 、 关于 轴对称，则 且 轴， 所以， ， ， ， ，则 ，因此，椭圆 的标准方程为 . 故答案为： . 【总结提升】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于 的方程组． (4)求解，得方程． 2 2 1mx ny＋ ＝ ( 0 )0m n m n≠＞ ， ＞ 且 a b c m n、 、 或 、 C A B 2F AB∆ 4 3 C 2 2 19 6 x y+ = C ( )2 0c c > 2F AB∆ 4 3 2 21 3sin 4 32 3 4AB AB π× = = AB 4= 2F AB∆ 4 1 2 1 212 4AF AF BF BF a= + + + = 3a = A B x 2 1 6AF F π∠ = AB x⊥ 2 12 4AF AF= = 1 2AF∴ = 2 2 1 2 2 12 2 3c F F AF AF∴ = = − = 3c∴ = 2 2 6b a c= − = C 2 2 19 6 x y+ = 2 2 19 6 x y+ = 7 / 25 2．(1)方程 与 有相同的离心率． (2)与椭圆 共焦点的椭圆系方程为 ，恰当运用椭圆 系方程，可使运算简便． 3．椭圆的其他方程形式 　 (1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)． 方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况，方程可变形为 x2 1 A ＋ y2 1 B ＝1.①当1 A>1 B ，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②当1 A0)有公共焦点的椭圆方程为 x2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝1(a>b>0，λ>－ b2)；与椭圆y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为 y2 a2＋λ ＋ x2 b2＋λ ＝1(a>b>0，λ>－b2)． 热门考点 04 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 2 2 2 2 y+ =1x a b 2 2 2 2 y+ = ( >0)x a b λ λ 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 2 2 2 2 2+ =1(a>b>0, 0)x y b ka k b k + >+ + 2 2 22 2 0 0 0a c a b c a b c＞ ， ＝ ＋ ， ＞ ， ＞ ， ＞ 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 2 2 2 2 y + =1(a>b>0)x a b 8 / 25 范围 对称性 曲线关于 轴、原点对称 曲线关于 轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 【典例 7】（2020·山东泰安 高三其他）【多选题】已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 上，且圆 上的所有点均在椭圆 外，若 的 最小值为 ，且椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆 的焦距为 B．椭圆 的短轴长为 C． 的最小值为 D．过点 的圆 的切线斜率为 【答案】AD 【解析】 圆 的圆心为 ，半径长为 ， 由于椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，则 ，可得 ， x a y b≤ ≤, x b y a≤ ≤, ,x y ,x y ( ),0a± ( )0, b± ( )0, a± ( ),0b± ( ),0c± ( )0, c± 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b−＝ ＝ ( )0,1ce a ∈＝ c＝ 2 2a b− 22b a ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > F P C Q ( ) ( )2 2: 3 4 4E x y+ + − = E C PQ PF− 2 5 6− C E C 2 C 3 PQ PF+ 2 5 F E 4 7 3 − ± E ( )3,4E − 2 C E 2 4a = 2a = 9 / 25 设椭圆的左焦点为点 ，由椭圆的定义可得 ， ， 所以， ， 当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立， 则 ， ，解得 ， 所以，椭圆 的焦距为 ，A 选项正确； 椭圆 的短轴长为 ，B 选项错误； ， 当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，C 选项错误； 若所求切线的斜率不存在，则直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为 ，则直线 与 圆 相离，不合乎题意； 若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为 ，即 ， 由题意可得 ，整理得 ，解得 . D 选项正确. 故选：AD. 1F 1 2 4PF PF a+ = = 14PF PF∴ = − ( )1 1 1 14 4 2 4 6 2 5 6PQ PF PQ PF PF PQ PF PE EF− = − − = + − ≥ + − − ≥ − = − P Q E 1F P Q 1EF C E ( ) ( ) ( )2 2 2 1 3 4 0 3 16 2 5EF c c= − + + − = − + = 0 2c a< < = 1c = C 2 2c = C 2 22 2 2 3b a c= − = ( ) ( )2 22 2 3 1 4 0 2 4 2 2PQ PF PE PF EF+ ≥ + − ≥ − = − − + − − = − P Q E F P Q EF C E 1x = E 3 1 4 2− − = > 1x = E ( )1y k x= − kx y k 0− − = 2 2 3 4 4 1 2 1 1 k k k k k − − − += = + + 23 8 3 0k k+ + = 4 7 3k − ±= 10 / 25 【典例 8】（2018·全国高考真题（文））已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在 中， 设 ，则 ， 又由椭圆定义可知 则离心率 ， 故选 D. 【典例 9】（2018·全国高考真题（理））已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 为等腰三角形， ，所以 PF2=F1F2=2c, 由 斜率为 得， ， 由正弦定理得 , 1F 2F C P C 1 2PF PF⊥ 2 1 60PF F∠ = ° C 31 2 − 2 3− 3 1 2 − 3 1− 1 2F PF∆ 1 2 2 190 , 60F PF PF F∠ = ∠ = ° 2PF m= 1 2 12 2 , 3c F F m PF m= = = 1 22 ( 3 1)a PF PF m= + = + 2 2 3 12 ( 3 1) c c me a a m = = = = − + 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x yC a ba b + = > >： A C P A 3 6 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° C 2 3 1 2 1 3 1 4 1 2PF F△ 1 2 120F F P∠ = ° AP 3 6 2 2 2 3 1 12tan , sin cos6 13 13 PAF PAF PAF∠ = ∴ ∠ = ∠ =， 2 2 2 2 sin sin PF PAF AF APF ∠= ∠ 11 / 25 所以 ，故选 D. 【总结提升】 1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． 2.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立 关于参数 c、a、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用 解题. 热门考点 05 椭圆的主要几何量 【典例 10】（2019·高二月考（理））方程 （ ， 且 ）与方程 表示的椭圆，那么它们（ ） A．有相同的离心率 B．有共同的焦点 C．有等长的短轴、长轴 D．有相同的顶点 【答案】A 【解析】 对于椭圆 （ ， 且 ）， ， ， ， 则椭圆 的离心率为 ，焦点坐标为 ，短 轴长为 ，长轴长为 ，顶点坐标为 和 ； 2 2, 1c be ea a = −＝ 2 1 1 2 2 113 13= = 4 ,π 5 43 12 1 1sin( )3 2 213 13 c a c ea c PAF = ∴ = =+ − ∠ ⋅ − ⋅ 2 2 2 2 1x y ka kb + = 0a b> > 0k > 1k ≠ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1x y ka kb + = 0a b> > 0k > 1k ≠ 2a ka ka′ = = 2b kb kb′ = = ( )2 2 2 2c ka kb k a b′ = − = − 2 2 2 2 1x y ka kb + = ( )2 2 2 2k a bc a be a aka −′ −′ = = =′ ( )( )2 2 ,0k a b± − 2 kb 2 ka ( ),0ka± ( )0, kb± 12 / 25 对于椭圆 ，离心率为 ，焦点坐标为 ， 短轴长为 ，长轴长为 ，顶点坐标为 和 . 因此，两椭圆有相同的离心率. 故选：A. 【典例 11】（2020·上海高三专题练习）已知椭圆 ， 长轴的一个端点，弦 过椭圆的中心 ，且 ， ，则椭圆的焦距为________. 【答案】 【解析】 如图所示： 因为 ，所以 . 又因为 ，所以 . 即 为等腰直角三角形. 因为 ，所以 . 又因为 在椭圆 上，所以 . 因为 ，解得 . 所以 ，焦距为 . 故答案为： ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2c a be a a −= = ( )2 2 ,0a b± − 2b 2a ( ),0a± ( )0, b± ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2,0A BC O 0AC BC⋅ =  | | 2 | |OC OB BC BA− = −    4 63 0AC BC⋅ =  AC BC⊥  | | 2 | |OC OB BC BA− = −    | | 2 | |BC AC=  AOC△ ( )2,0A ( )1,1C ( )1,1C 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 1 1 1a b + = 2a = 2 4 3b = 4 2 64 3 3c = − = 4 63 4 63 13 / 25 【总结提升】 1.由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求 a、b、c，写出其几何性质． 2．椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置； (2)椭圆的范围决定椭圆的大小； (3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度； (4)对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆上的重要的特殊点，在画图 时应先确定这些点． 3.求椭圆离心率的值或取值范围问题，先将已知条件转化为 a、b、c 的方程或不等式，再求解． (1)若已知 a、c 可直接代入 e＝c a 求得； (2)若已知 a、b 则使用 e＝ 1－b2 a2 求解； (3)若已知 b、c，则求 a，再利用(1)求解； (4)若已知 a、b、c 的关系，可转化为关于离心率 e 的方程(不等式)求值(范围)． (5)给出图形的问题，先由图形和条件找到 a、b、c 的关系，再列方程(不等式)求解． 由于 a、b、c 之间是平方关系，所以在求 e 时，常常先平方再求解． 热门考点 06 椭圆几何性质的应用 【典例 12】（2020·广东茂名 高三其他（文））过点 作圆 的切线 ，已知 ， 分别为 切点，直线 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线 方程为___________；椭圆的标准方程是 __________． 【答案】 【解析】 ①当过点 的直线 斜率不存在时，直线方程为 ，切点的坐标 ； ②当直线 斜率存在时，设 方程为 ，即 ， 1(1, )2P − 2 2 1x y+ = l A B AB AB 2 2 0x y− − = 2 2 15 4 x y+ = 1(1, )2 − l 1x = (1,0)A l l 1( 1) 2y k x= − − 1 02kx y k− − − = 14 / 25 根据直线与圆相切，圆心 到切线的距离等于半径 ，得 可以得到切线斜率 ，即 ， 直线 方程与圆方程的联立 可以得切点的坐标 ， 根据 、 两点坐标可以得到直线 方程为 ，（或利用过圆 上一点 作 圆的两条切线，则过两切点的直线方程为 ） 依题意， 与 轴的交点 即为椭圆右焦点，得 ， 与 轴的交点 即为椭圆下顶点坐标，所以 ， 根据公式得 ， 因此，椭圆方程为 ． 【典例 13】有一个椭圆形溜冰场，长轴长 100 m，短轴长 60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在 溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长 是多少？ 【答案】在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴相距 25 2 m 的直线，这两条直线与椭圆的交 点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为 160 2 m． 【解析】 分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，设矩形 ABCD 的 各顶点都在椭圆上． 因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直于其一边的直线为对称 轴的轴对称图形，所以矩形 ABCD 关于原点 O 及 x 轴，y 轴都对称． (0,0) 1 ( )22 1 2 1 1 k k − − = + − 3 4k = 3 5: 4 4l y x= − l 2 2 1 3 5 4 4 x y y x  + = = − 3 4( , )5 5B − A B AB 2 2 0x y− − = 2 2 2x y r+ = 0 0( , )x y 2 0 0x x y y r+ = AB x (1,0) 1c = y (0, 2)− 2b = 2 2 2 5a b c= + = 2 2 15 4 x y+ = 15 / 25 已知椭圆的长轴长 2a＝100，短轴长 2b＝60， 则椭圆的方程为 x2 502 ＋ y2 302 ＝1． 设顶点 A 的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0， 则 x20 502 ＋ y20 302 ＝1，得 y20＝302 502(502－x20)． 根据矩形 ABCD 的对称性，可知它的面积 S＝4x0y0． 由于 x20y20＝x20·302 502(502－x20) ＝(30 50)2[－(x20－502 2 )2＋504 4 ]， 因此当 x20＝502 2 时，x20y 20取得最大值，此时 S 也取得最大值． 这时 x0＝25 2，y0＝15 2． 矩形 ABCD 的周长为 4(x0＋y0)＝4(25 2＋15 2) ＝160 2(m)． 因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴相距 25 2 m 的直线，这两条直线与椭圆的交点 就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为 160 2 m． 【规律总结】 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定 椭圆标准方程的形式；(2)确立关于 a、b、c 的方程(组)，求出参数 a、b、c；(3)写出标准方程． 2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有 焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距． 3.解决与椭圆相关的应用题的基本策略： ①通过求解椭圆的方程来研究它们的性质．②应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关 系，再结合代数知识来求解． 4.利用椭圆解决实际问题的基本步骤： ①建立适当的坐标系； ②求出椭圆的标准方程(待定系数法)； ③根据椭圆的方程及性质解决实际问题． 热门考点 07 椭圆中的最值（范围）问题 16 / 25 【典例 14】（2019·山东高考模拟（文））已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端 点为 ，直线 与椭圆相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ， 则椭圆离心率的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示： 由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则 又 四边形 为平行四边形 又 ，解得： 点 到直线 距离： ，解得： ，即 本题正确选项： 【典例 15】（2018 年浙江卷）已知点 P(0，1)，椭圆 +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到 A,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得 B 的纵坐标，即得 B 的横坐标关于 m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设 ，由 得 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F P : 4 3 0l x y− = A B | | | | 6AF BF+ = P l 6 5 9(0, ]5 3(0, ]2 5(0, ]3 1 3( , ]3 2 F′ P ,AF BF′ ′ ,A B OA OB= OF OF′ = ∴ AFBF′ AF BF′∴ = 2 6AF BF BF BF a′+ = + = = 3a = P l 3 6 5 5 bd −= ≥ 2b ≥ 2 2 29 2a c c− = − ≥ 0 5c∴ < ≤ 50, 3 ce a  ∴ = ∈   C 17 / 25 因为 A,B 在椭圆上,所以 ， 与 对应相减得 ，当且仅当 时取最大值. 【典例 16】设 P 为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 上任意一点，F1 为它的一个焦点，求|PF1|的最大值和最小值. 【答案】 【解析】设 F2 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a， ∵||PF1|－|PF2||≤2c，∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c， ∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－c． 【规律提升】 椭圆几何性质的拓展： (1)设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上的任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|PO|有最小值，这时 P 在短轴端点处；当 x＝a 时，|PO|有最大值，这时 P 在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形，其周长为 2(a＋ c)． (3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式 a2＝b2＋c2． (4)椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点． 巩固提升 1．（2019·浙江高三学业考试）椭圆 右焦点的坐标为( ) A.（1，0） B. C. D.（2，0） 【答案】A 【解析】 由题意： ， 2 2 12 x y+ = ( 2,0) ( 3,0) 2 2a = 2 1b = 2 2 1c a b⇒ = − = 18 / 25 椭圆右焦点坐标为 本题正确选项： 2.（2017 浙江，2）椭圆 的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，选 B． 3.（2019·北京高考真题（理））已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则( ) A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b 【答案】B 【解析】 椭圆的离心率 ,化简得 , 故选 B. 4．（2018 年上海卷）设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 椭圆 =1 的焦点坐标在 x 轴，a= ， P 是椭圆 =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 ． 故选：C． 5.（2018 年新课标 I 卷文）已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2 2 19 4 x y+ = 13 3 5 3 2 3 5 9 9 4 5 3 3e −= = ∴ ( )1,0 A 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2 2 2 21 ,2 ce c a ba = = = − 2 23 4a b= 19 / 25 根据题意，可知 ，因为 ，所以 ，即 ，所以椭圆 的离心率为 ， 故选 C. 6.（2020·四川双流 棠湖中学高二月考（文））已知点 在离心率为 的椭圆 上， 是椭圆 的一个焦点， 是以 为直径的圆 上的动点， 是半径为 2 的圆 上的动点，圆 与圆 相离且 圆心距 ，若 的最小值为 1，则椭圆 的焦距的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为 是以 为直径的圆 上的动点， 是半径为 2 的圆 上的动点，圆 与圆 相离且圆心距 ，又 的最小值为 1，所以 ，解得 ， 又因 在椭圆 上，所以 ，因为离心率为 ，所以 , 所以 ，故 ，所以 . 故选 C 7．（2020·山东省高密市第一中学高三月考）【多选题】某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 为 一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 （离地面最近的点）距地面 千米，远地点 （离地面最 远的点）距地面 千米，并且 三点在同一直线上，地球半径约为 千米，设该椭圈的长轴长、短 轴长、焦距分别为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 因为地球的中心是椭圆的一个焦点， P 1 2 2 2 2 2 x y a b E: + =1 F M PF 1C N 2C 1C 2C 1 2 9 2C C = MN E [ ]1,3 [ ]2,4 [ ]2,6 [ ]3,6 M PF 1C N 2C 1C 2C 1 2 9 2C C = MN 1 2 92 1 2 2 PFC C = + + = 3PF = P E a c a cPF− ≤ ≤ + 1 2 a 2c= c 3 3c≤ ≤ 1 c 3≤ ≤ 2 2c 6≤ ≤ F A m B n F A B、 、 R 2 2 2a b c、 、 a c m R− = + a c n R+ = + 2a m n= + ( )( )b m R n R= + + 20 / 25 并且根据图象可得 ，（*） ，故 A 正确； ，故 B 正确； （*）两式相加 ，可得 ，故 C 不正确； 由（*）可得 ，两式相乘可得 ， ，故 D 正确. 故选：ABD 8．（2020·海南高三零模）【多选题】已知 P 是椭圆 上的动点，Q 是圆 上 的动点，则( ) A．C 的焦距为 B．C 的离心率为 C．圆 D 在 C 的内部 D． 的最小值为 【答案】BC 【解析】 依题意可得 ，则 C 的焦距为 ， . 设 ， 则 ， 所以圆 D 在 C 的内部，且 的最小值为 . 故选：BC. 9.（2019·校高一期末）椭圆过点（3，0），离心率 ，椭圆的方程为________． m a c R n a c R = − −  = + − a c m R∴ − = + a c n R+ = + 2 2m n a R+ = − 2 2a m n R= + + m R a c n R a c + = −  + = + ( )( ) 2 2m R n R a c+ + = − 2 2 2a c b− = ( )( ) ( )( )2b m R n R b m R n R∴ = + + ⇒ = + + 2 2: 16 xC y+ = 2 2( 5 1: 1)D x y+ + = 5 30 6 PQ 2 5 5 6 1 5c = − = 2 5 5 30 66 e = = ( , )( 6 6)P x y x− ≤ ≤ 22 2 2 2 2 5 6 4 4 1| | ( 1) ( 1) 1 6 6 5 5 5 5 xPD x y x x = + + = + + − = + + ≥ >   | |PQ 4 1 5 5 5 5 − = 6 3e = 21 / 25 【答案】 或 【解析】 当椭圆的焦点在 轴时，设椭圆方程为： ，则 ，所以 ， 所以椭圆方程为： ； 当椭圆的焦点在 轴时，设椭圆方程为： ，则 ，所以 ，所以椭圆方程为： ， 故答案为： 或 . 10.（2020·四川眉山 高三其他（理））如图，已知椭圆 的左顶点为 ，左焦点为 ， 上顶点为 ，若 ，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【解析】 11．（2019·福建高二月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，点 P 是椭圆上的一点，若 PF1 ⊥PF2 ，则△F1PF2 的面积是___________． 【答案】5. 【解析】 2 2 19 5 x y+ = 2 2 19 3 x y+ = 2 2 127 9 y x+ = x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 63, 3 ca e a = = = 26, 3c b= = 2 2 19 3 x y+ = y 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > 63, 3 cb e a = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 , 273 c a b be aa a a −= = = − = = 2 2 127 9 y x+ = 2 2 19 3 x y+ = 2 2 127 9 y x+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A F B 90BAO BFO∠ + ∠ = ° 5 1 2 − 90 , 90 ,BAO BFO BAO BFO∠ + ∠ = ° ∴∠ = °− ∠ 2 2 sin cos , b cBAO BFO aa b ∴ ∠ = ∠ ∴ = + 2 2 2 4 2, 3 1 0b c a e e+ = ∴ − + = ( ) ( )2 2 3 5 5 10,1 , , 0,1 ,2 2e e e e − −∈ ∴ = ∈ ∴ =  22 / 25 根据椭圆方程可知 ，设 ，依题意有 ，所以 ，所以三角形 的面积为 . 故答案为： 12．（2019·浙江高三一模）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点 关于直 线 对称的点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过 且斜率为 的直线与椭圆相交于 AB 两点，且 ，则 ___. 【答案】 【解析】 由于点 关于直线 对称的点 Q 在椭圆上，由于 的倾斜角为 ,画出图像如下图所示，由于 是 坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知 为等腰直角三角形，且 为短轴的端点，故离心率 .不妨设 ，则椭圆方程化为 ，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程并化简得 .设 ，则 ①， ②.由于 ，故 ③.解由①②③组成的方程组得 ，即 . 故填：（1） ；（2） . 3, 2a c= = 1 2,PF m PF n= = ( )22 2 2 6 2 16 m n a m n c + = = + = = ( )2 22 16,6 2 16, 10m n mn mn mn+ − = − = = 1 2F PF 1 52 mn = 5 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2F y x= 1F ( 0)k k > 1 13AF F B=  k = 2 2 1 2F y x= y x= π 4 O 1 2QF F∆ Q π 2cos 4 2 c a = = 2 ,a t b c t= = = 2 2 22 2 0x y t+ − = AB 1 0x my t m k  = − = >   ( )2 2 22 2 0m y mty t+ − − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 2 2 2 mty y m + = + 2 1 2 2 2 ty y m −⋅ = + 1 13AF F B=  1 23y y= − 1m = 1 1, 1kk = = 2 2 1 23 / 25 13.（2019·全国高考真题（文））设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限. 若 为等腰三角形，则 的坐标为___________. 【答案】 【解析】 由已知可得 ， ．∴ ． 设点 的坐标为 ，则 ， 又 ，解得 ， ，解得 （ 舍去）， 的坐标为 ． 14.已知 、 是椭圆 ： 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为 9，则 ____________. 【答案】 1F 2F C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P C 1 2PF PF⊥  1 2PF F∆ b = 3 1 2F F， 2 2 : + 136 20 x yC = M C 1 2MF F△ M ( )3, 15 2 2 2 2 236 , 20 , 16 , 4a b c a b c= = ∴ = − = ∴ = 1 1 2 2 8MF F F c∴ = = = 2 4MF = M ( )( )0 0 0 0, 0 , 0x y x y> > 1 2 1 2 0 0 1 42MF FS F F y y= ⋅ ⋅ =△ 1 2 2 2 0 1 4 8 2 4 15 , 4 4 152MF FS y= × × − = ∴ =△ 0 15y = ( )2 2 0 15 136 20 x∴ + = 0 3x = 0 3x = − M\ ( )3, 15 24 / 25 【解析】由 知 ，则由题意，得 ，可得 ，即 ，所以 ,应填 . 15．（2019·吉林朝阳 高二期中（文））已知 ， 是椭圆 的两 个焦点， 为椭圆 上的一点，若 且 的面积为 9． （1）求 ； （2）若 的周长为 18，求该椭圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）设 ，则 ， 又因为 ，即有 ，也即 ， 所以 ， 又因为 ， ∴ ． （2） ，又 ，所以 ，解得 ， 故椭圆方程为 ． 16．设椭圆 C： ，的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 A，过点 A 与 AF2 垂直的 直线交 轴负半轴于点 Q，且 0, （1）求椭圆 C 的离心率 (2)若过 A、Q、F2 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 C 的方程 1 2PF PF⊥  0 1 2 90F PF∠ = 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 92 4 PF PF a PF PF PF PF c  =  ⋅ =   = ＋ ＋ 2 24 36 4c a+ = 2 2 9a c− = 3b = 3 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > P C 1 2PF PF⊥  1 2PF F△ b 1 2PF F△ 3b = 2 2 125 9 x y+ = 1 1 2 2| | | |PF r PF r＝ ， ＝ 1 2 2r r a+ ＝ 1 2PF PF⊥  2 2 2 1 2 1 2PF PF FF+ = 2 2 2 1 2 4r r c+ ＝ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 22 4 4 4rr r r r r a c b= + − + = − = 1 2 2 1 2 1 92PF FS rr b= = =  3b = 2 2 2 9b a c= − = 2 2 18a c+ = 1a c− = 5a = 2 2 125 9 x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > x 1 2 22F F F Q+ =  : 3 3 0l x y− − = 25 / 25 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）设 Q（x0，0），由 （c，0），A（0，b） 知 ， 由于 即 为 中点． 故 ， 故椭圆的离心率 ……6 分 （2）由⑴知 得 于是 （ ，0） Q ， △AQF 的外接圆圆心为 F1（- ，0），半径 r= |FQ|= 所以 ，解得 =2，∴c =1，b= ， 所求椭圆方程为 ……12 分 1 2e = 2 2 14 3 x y+ = 1F 2F Q 2 2 14 3 x y+ =