2021届高考数学（理）一轮复习讲练测 专题3.3 函数与导数的综合应用（精练）（解析版）

第 1 页 共 8 页 专题 3.3 函数与导数的综合应用 （精练） 1.(2020·江西南昌调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0， 都有 2f(x)＋xf′(x)>0 成立，则(　　) A．4f(－2)9f(3) C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)0，都有 2f(x)＋xf′(x)>0 成立，则当 x>0 时，有 g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0 恒成立，即函数 g(x)在(0，＋∞)上为增函数．又由函数 f(x)是 定义在 R 上的偶函数，则 f(－x)＝f(x)，则有 g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数 g(x)也为偶函数，则 有 g(－2)＝g(2)，且 g(2)0，φ(2)＝ 5－7ln 2>0，φ(e)＝－e2＋4 e0 时，易 知 y1＝|ln x|与 y2＝ax 的图象在区间(0，1)上有一个交点，所以只需要 y1＝|ln x|与 y2＝ax 的图象在区间(1，4) 上有两个交点即可，此时|ln x|＝ln x，由 ln x＝ax，得 a＝ln x x .令 h(x)＝ln x x ，x∈(1，4)，则 h′(x)＝1－ln x x2 ， 故函数 h(x)在(1，e)上单调递增，在(e，4)上单调递减，h(e)＝ln e e ＝1 e，h(1)＝0，h(4)＝ln 4 4 ＝ln 2 2 ，所以ln 2 2 3 2a. 13.（2020·河北承德一中模拟）已知函数 . （1）若 ， ，求 的最大值； （2）当 时，讨论 极值点的个数. 【答案】（1） （2） 时， 极值点的个数为 0 个； 时， 极值点的个数为 2 个 【解析】（1）当 ， 时， ， 此时，函数 定义域为 ， ， 由 得： ；由 得： ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 所以 . （2）当 时，函数 定义域为 ， ， ①当 时， 对任意的 恒成立， 在 上单调递减，所以此时 极值点的个数为 0 个； ②当 时，设 ， （i）当 ，即 时， 对任意的 恒成立，即 在 上单调递减， 所以此时 极值点的个数为 0 个； ( ) ( )lnf x a x b x= + − 1a = 0b = ( )f x 0b > ( )f x ( )max 2ln 2 2f x = − a b≤ ( )f x a b> ( )f x 1a = 0b = ( ) lnf x x x= − ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 1 1 2 22 xf x x xx −′ = − = ( ) 0f x′ > 0 4x< < ( ) 0f x′ < 4x > ( )f x ( )0,4 ( )4,+∞ ( ) ( )max 4 2ln 2 2f x f= = − 0b > ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( ) 1 2 2 2 a x a x bf x x b x x x b − + −′ = − =+ + 0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )0,x∈ +∞ ( )f x ( )0,+∞ ( )f x 0a > ( ) 2h x x a x b= − + − 24 4 0a b− ≤ 0 a b< ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )0,x∈ +∞ ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x第 8 页 共 8 页 （ii）当 ，即 时，记方程 的两根分别为 ， ， 则 ， ，所以 ， 都大于 0， 即 在 上有 2 个左右异号的零点， 所以此时 极值点的个数为 2. 综上所述 时， 极值点的个数为 0 个； 时， 极值点的个数为 2 个. 24 4 0a b− > a b> ( ) 0h x = 1x 2x 1 2 0x x a+ = > 1 2 0x x b= > 1x 2x ( )f x′ ( )0, ∞+ ( )f x a b≤ ( )f x a b> ( )f x