2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第36讲 数列求和（讲）（解析版）

1 / 10 第 36 讲 数列求和（讲） 思维导图 知识梳理 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝n(a1＋an) 2 ＝na1＋n(n－1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝Error! 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前 n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可 用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项 和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求 这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个 数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解． 2 / 10 [常用结论] 常见的裂项技巧 ① 1 n(n＋1)＝1 n－ 1 n＋1. ② 1 n(n＋2)＝1 2(1 n－ 1 n＋2). ③ 1 (2n－1)(2n＋1)＝1 2( 1 2n－1－ 1 2n＋1). ④ 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n. ⑤ 1 n(n＋1)(n＋2)＝1 2( 1 n(n＋1)－ 1 (n＋1)(n＋2)). 题型归纳 题型 1 分组转化求和 【例 1-1】（2020 春•昆明期末）已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数 列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【分析】本题第（1）题先设等差数列 的公差为 ，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的 性质列出关于公差 的一元二次方程，解出 的值，则可计算出数列 的通项公式； 第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用分组求和法计算出前 项和 ． 【解答】解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，则 ， ， ， ， 成等比数列， ，即 ， 整理，得 ， 解得 （舍去），或 ， ， ． （2）由（1）知，设 ， { }na 1 2a = 1a 2a 4a { }na 2 na n nb a= − { }nb n nS { }na ( 0)d d ≠ d d { }na { }nb n nS { }na ( 0)d d ≠ 2 2a d= + 4 2 3a d= + 1a 2a 4a 2 2 1 4a a a∴ =  2(2 ) 2(2 3 )d d+ = + 2 2 0d d− = 0d = 2d = 2 2( 1) 2na n n∴ = + − = *n N∈ 22 2 2 2 4na n n n nb a n n= − = − = − 3 / 10 故 ． 【跟踪训练1-1】（2020春•保定期末）已知数列 、 满足： ， 为等比数列，且 ， ， ． （1）试判断数列 是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列 的前 项和 ． 【分析】（1）由已知数列递推式求出 ，结合数列 为等比数列，求得首项与公比，得到 ，进 一步求出 ，验证即可得到数列 不是等差数列； （2）由（1）中的等比数列列出 的表达式，然后累加得数列 的通项，再由数列的分组求和及等差数 列与等比数列的前 项和公式求解． 【解答】解：（1）数列 不是等差数列． 理由如下： 由 ，且 ， ， ，得 ， 又 数列 为等比数列， 数列 的首项为 4，公比为 2． ，得 ， 显然 ． 故数列 不是等差数列； （2）结合（1）知，等比数列 的首项为 4，公比为 2． 故 ， ． ， ， ， ， ． 令 ， ， ． 1 2n nS b b b= + +…+ 1 2(2 1 4 ) (2 2 4 ) (2 4 )nn= × − + × − +…+ − 1 22 (1 2 ) (4 4 4 )nn= × + +…+ − + +…+ ( 1) 4(1 4 )2 2 1 4 nn n + −= × − − 1 2 4 4 3 3 n n n + = + + − { }na { }nb 1n n na a b+ = + { 2}nb + 1 2b = 2 4a = 3 10a = { }nb { }na n nS 2b { 2}nb + 3 2b + 3b { }nb na { }na n { }nb 1n n na a b+ − = 2 4a = 3 10a = 1 2b = 2 3 2 6b a a= − =  { 2}nb + ∴ { 2}nb + ∴ 2 3 2 4 2 16b + = × = 3 14b = 2 1 32 12 16b b b= ≠ + = { }nb { 2}nb + 1 12 4 2 2n n nb − ++ = = ∴ 12 2n nb += − 1n n na a b+ − = 1 2b = 2 4a = 1 2a∴ = ∴ 1 2 2( 2)n n na a n−− = −  2n = … ( 1)n − 4 / 10 得 ， ， ， 累加得 ． ． 又 满足上式， ． ． 【跟踪训练 1-2】（2020 春•永州期末）已知等差数列 ，等比数列 满足： ， ． （1）求数列 与 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【分析】（1）利用已知条件求出等差数列 的公差为 ，求出通项公式．求出等比数列 的公比为 ， 然后求解通项公式． （2）写出 ，利用分组求和求解即可． 【解答】解：（1）由 ， ， 设等差数列 的公差为 ，则 ，所以 ， 所以 ， 设等比数列 的公比为 ，由题 ，所以 ． 所以 ； （2） ， 所以 的前 项和为 2 2 1 2 2a a− = − 3 3 2 2 2a a− = − … 1 2 2( 2)n n na a n−− = −  2 32 (2 2 2 ) 2( 1)( 2)n na n n− = + +…+ − −  ∴ 2 3 12(2 1)(2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 ( 2)2 1 n n n na n n n n+−= + + +…+ − + = − + = −−  1 2a = ∴ 12 2n na n+= − ∴ 2 3 1(2 2 1) (2 2 2) (2 2 )n nS n+= − × + − × +…+ − 2 3 1 2 24(2 1) ( 1)(2 2 2 ) 2(1 2 ) 2 2 42 1 2 n n nn nn n n+ +− += + +…+ − + +…+ = − × = − − −− { }na { }nb 1 1 3a b= = 4 2 12a b= = { }na { }nb { }n na b+ n nS { }na d { }nb q 13 3 4n n na b n −+ = + × 1 1 3a b= = 4 2 12a b= = { }na d 4 1 3 12a a d= + = 3d = 3 3( 1) 3na n n= + − = { }nb q 2 1 12b b q= = 4q = 13 4n nb −= × 13 3 4n n na b n −+ = + × { }n na b+ n 1 2 1 2( ) ( )n n nS a a a b b b= + +…+ + + +…+ 1(3 6 3 ) 3(1 4 16 4 )nn −= + +…+ + + + +…+ (3 3 ) (1 4 )32 1 4 nn n+ −= + × − 5 / 10 ． 【名师指导】 1．分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列 或可求前 n 项和的数列求和． 2．分组转化法求和的常见类型 题型 2 裂项相消法求和 【例 2-1】（2020 春•黔南州期末）已知等差数列 满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式． （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和． 【解答】解：（1）设首项为 ，公差为 的等差数列，满足 ， ． 所以 ，解得 ， 所以 ． （2）由（1）得 ， 所以 ． 【跟踪训练 2-1】（2020•安宁区校级模拟）已知 是一个等差数列的前 项和，对于函数 ，若数列 的前 项和为 ，则 的值为 　　 A． B． C． D． 3 ( 1) 4 12 nn n= + + − { }na 3 10a = 1 4 17a a+ = { }na 1 3 n n n b a a + = { }nb n nS 1a d 3 10a = 1 4 17a a+ = 3 1 4 10 17 a a a =  + = 1 4 3 a d =  = 4 3( 1) 3 1na n n= + − = + 1 3 1 1 3 1 3 4n n n b a a n n+ = = −+ + 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 7 7 10 3 1 3 4 4 3 4n nS b b b n n n = + +…+ = − + − +…+ − = −+ + + 2 1nS n n a= + + + n 2( )f x x ax= − 1 ( )f n       n nT 2020T ( ) 2021 2022 2018 2019 2019 2020 2020 2021 6 / 10 【分析】利用等差数列的前 项和，求出 ，化简数列的通项公式，然后利用裂项消项法求解数列的和即 可． 【解答】解： 是一个等差数列的前 项和， 可得 ，解得 ， 所以函数 ， 数列 即 ， ， 所以数列 的前 项和为 ， 则 ． 故选： ． 【跟踪训练 2-2】（2020 春•成都期末）数列 的前 项和为 ，若 ，则 　　 A．1 B． C． D． 【分析】利用数列的递推关系式，通过裂项相消法求解数列的和即可． 【解答】解：数列 的前 项和为 ， ， 所以： ． 故选： ． 【名师指导】 1.基本步骤 2.裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. 3.消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. n a 2 1nS n n a= + + + n 1 0a + = 1a = − 2( )f x x x= + 1 ( )f n       2 1{ }n n+ 2 1 1 1 1n n n n = −+ + 2 1{ }n n+ n 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1nT n n n = − + − + − +…+ − = −+ + 2020 1 20201 2021 2021T = − = D { }na n nS 1 ( 1)na n n = + 99 (S = ) 1 100 98 99 99 100 { }na n nS 1 1 1 ( 1) 1na n n n n = = −+ + 99 1 1 1 1 1 1 991 12 2 3 99 100 100 100S = − + − +…+ − = − = D 7 / 10 题型 3 错位相减法求和 【例 3-1】（2020 春•柳林县期末）已知数列 的前 项和为 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【分析】（1）根据数列递推公式，即可求出通项公式； （2）根据错位相减法即可求出前 项和． 【解答】解：（1）由 ，得：当 时， ； 当 时， ． 经检验当 时，也成立，所以 ， （2）由（1）知 ，故 ． 所以 ． ，① ，② 由① ②，得 ， 所以 ． 【跟踪训练 3-1】（2020 春•黄冈期末）已知数列 满足 ， ，已知数列 的前 项和为 ，且满足 ． （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和． 【分析】（Ⅰ）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和． 【解答】解：（Ⅰ）数列 满足 ， ， 所以 （常数）， 当 时，解得 ， { }na n nS 4 1( *)3 n nS n N −= ∈ { }na 2 1logn nb a += 1{ }n nb a + n nT n 4 1 3 n nS −= 1n = 1 1 1a S= = 2n 1 1 1 4 1 4 1( ) ( ) 43 3 n n n n n na S S − − − − −= − = − = 1n = 14n na −= 14n na −= 2 1 2log log 2n n nb a n+= = = 1 4n n nb a n+ =  1 2 3 41 4 2 4 3 4 4 4 4n nT n= × + × + × + × +…+ × 2 3 4 14 1 4 2 4 3 4 ( 1) 4 4n n nT n n += × + × + × +…+ − × + × − 1 2 3 1 14(4 1)3 4 4 4 4 4 44 1 n n n n nT n n+ +−− = + + +…+ − × = − ×− 1(3 1) 4 4 9 n n nT +− +=  { }na 2 4a = 1 2( 2)n na a n−= +  { }nb n nS 1n nS b= − { }na { }nb { }n na b n { }na 2 4a = 1 2( 2)n na a n−= +  1 2n na a −− = 2n = 1 2a = 8 / 10 所以数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列． 所以 ． 数列 的前 项和为 ，且满足 ① 当 时，解得 ． 当 时， ② ① ②得 ，整理得 （常数）， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． 所以 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ， 所以 ③， ④， ③ ④得： ， 整理得 ． 【跟踪训练 3-2】（2020 春•成都期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ；各项均为正 数的等比数列 满足 ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【分析】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公 差，则等差数列的通项公式可求．设等比数列 的公比为 ，由已知列首项与公比的方程组，求得 首项与公比，则等比数列的通项公式可求； （2）把数列 和 的通项公式代入数列 ，再由错位相减法求数列 的前 项和 ． 【解答】解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由 ， ，得 ，解得 ． ； { }na 2na n= { }nb n nS 1n nS b= − 1n = 1 1 2b = 2n 1 11n nS b− −= − − 1n n nb b b−= − 1 1 2 n n b b − = { }nb 1 2 1 2 1 2n nb = 12 ( )2 n n na b n=  21 1 12 [1 2 ( ) ( ) ]2 2 2 n nT n= × × + × +…+  2 3 11 1 1 12 [1 ( ) 2 ( ) ( ) ]2 2 2 2 n nT n += × × + × +…+  − 2 1 1 1 1 1 12 [ ]2 2 2 2 2n n nT n += × + +…+ −  14 (2 4) 2n nT n= − +  { }na n nS 5 30S = 7 56S = { }nb 1 2 1 3b b = 2 3 1 27b b = { }na { }nb { }n na b n nT { }na 1a d { }nb ( 0)q q > { }na { }nb { }n na b { }n na b n nT { }na 1a d 5 30S = 7 56S = 1 1 5 45 302 7 67 562 da da × + = × + = 1 2 2 a d =  = 2 2( 1) 2na n n∴ = + − = 9 / 10 设等比数列 的公比为 ， 由 ， ，得 ，解得 ． ； （2） ． 令 的前 项和为 ， 则 ， 两式作差可得： ， ．则 ． 【名师指导】 错位相减法求数列{an}的前 n 项和 (1)适用条件 若{an}是公差为 d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为 q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和 Sn. (2)基本步骤 (3)注意事项 { }nb ( 0)q q > 1 2 1 3b b = 2 3 1 27b b = 2 1 2 3 1 1 3 1 27 b q b q  =  = 1 1 1 3 b q = = ∴ 11( )3 n nb −= 1 1 2 23 3n n n n n na b − −= =  1{ }3n n − n nR 0 1 2 1 1 2 3 3 3 3 3n n nR −= + + +…+ 2 3 1 1 1 2 3 1 3 3 3 3 3 3n n n n nR − −= + + +…+ + 2 1 2 1 1 113 3 3 3 3n n n nR −= + + +…+ − 11 (1 ) 3 2 33 1 3 2 2 31 3 n n n n n× − += − = − −  ∴ 1 9 2 3 4 4 3n n nR − += −  1 9 2 32 2 2 3n n n nT R − += = −  10 / 10 ①在写出 Sn 与 qSn 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出 Sn－qSn； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．