江苏省2021届百校联考高三年级第一次试卷数学（word版含解析）

1 江苏省 2021 届百校联考高三年级第一次试卷 数学 2020．9 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设全集 U＝R，集合 A＝{﹣1，0}，B＝ ，则 A ( B)＝ A． B．{﹣1} C． D．{﹣1，0} 2．设复数 ， (i 是虚数单位，a R)，若 ， R，则 a＝ A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 3．2020 年 7 月，我国湖北、江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害．某地连续 7 天降雨 量的平均值为 26.5 厘米，标准差为 6.1 厘米．现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫 米，则标准差变为 A．6.1 毫米 B．32.6 毫米 C．61 毫米 D．610 毫米 4．若函数 (0＜ ＜2)的图像经过点( ，0)，则 ＝ A． B． C． D． 5．某班级 8 位同学分成 A，B，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由 3 人、3 人、2 人组 成．若甲、乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为 A．140 B．160 C．80 D．100 6．某传染病在流行初期，由于大部分人未感染且无防护措施，所以总感染人数以指数形式 增长．假设在该传染病流行初期的感染人数为 P0，且每位已感染者平均一天会传染给 r 位未感染者的前提下，n 天后感染此疾病的总人数 Pn 可以表示为 ，其中 P0 ≥1 且 r＞0．已知某种传染病初期符合上述数学模型，且每隔 16 天感染此病的人数会增 加为原来的 64 倍，则 的值是 A．2 B．4 C．8 D．16 7．若函数 是定义在 R 上的偶函数，在( ，0]上是增函数，且 ，则使得 ＜0 的 x 的取值范围是 A． B．( ，﹣1) (1， ) C．( ，﹣1) (﹣1，1) (1， ) D．R { }0x x ≥  U { }0x x ≥ { }1x x ≤ − 1 1 iz = − 2 3iz a= + ∈ 1z 2z ∈ ( ) sin( )4f x x πω= − + ω 3 16 π− ( )8f π 2 6 4 − 2 6 4 −− 2 6 4 + 2 6 4 +− 0P P (1 )n n r= + 20 8 12 18 5 9 P P P P P P ⋅ ⋅ ( )f x −∞ (1) 0f = 2( 1)x − ( )f x ∅ −∞  +∞ −∞   +∞ 2 8．假设地球是半径为 r 的球体，现将空间直角坐标系的原 点置于球心，赤道位于 xOy 平面上，z 轴的正方向为球心 指向正北极方向，本初子午线(弧 )是 0 度经线，位 于 xOz 平面上，且交 x 轴于点 S(r，0，0)，如图所示．已 知赤道上一点 E( ， ，0)位于东经 60 度，则地球 上位于东经 30 度、北纬 60 度的空间点 P 的坐标为 第 8 题 A．( ， ， ) B．( ， ， ) C．( ， ， ) D．( ， ， ) 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分．在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知曲线 E 的方程为 (a，b R)，则下列选项正确的是 A．当 ab＝1 时，E 一定是椭圆 B．当 ab＝﹣1 时，E 是双曲线 C．当 a＝b＞0 时，E 是圆 D．当 ab＝0 且 a2＋b2≠0 时，E 是直线 10．设 O，A，B 是平面内不共线的三点，若 (n＝1，2，3)，则下列选项 正确的是 A．点 C1，C2，C3 在同一直线上 B． C． D． 11．若 ， ，则下列选项正确的是 A． B． C． D． 12．在直角坐标系内，由 A，B，C，D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数 (a≠0)，其图象过 A，D 两点，且 的图像在点 A 处的切线经过 点 B，在点 D 处的切线经过点 C．若将由 A(0，0)，B(1，4)，C(3，2)，D(4，0)四点所 确定的“N 型函数”记为 ，则下列选项正确的是 A．曲线 在点 D 处的切线方程为 B． C．曲线 关于点(4，0)对称 ASB 1 2 r 3 2 r 3 4 r 1 4 r 3 2 r 3 2 r 1 2 r 3 2 r 1 2 r 3 2 r 1 2 r 1 4 r 3 4 r 3 2 r 2 2ax by ab+ = ∈ OC OA OBn n= +   1 2 3OC OC OC= =   1 2 3OC OB OC OB OC OB⋅ < ⋅ < ⋅      1 2 3OC OA OC OA OC OA⋅ < ⋅ < ⋅      2 3x = 3 4y = 3 2y > x y> 2xy = 2 2x y+ > ( )f x = 3 2ax bx cx d+ + + ( )f x ( )y f x= ( )y f x= 2 8y x= − + 1( ) ( 4)( 8)8f x x x x= − − ( )y f x= 3 D．当 4≤x≤6 时， 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知点 A(m，1)是抛物线 x2＝2py(p＞0)上一点，F 为抛物线的焦点，且|AF|＝3，则 p＝ ． 14．已知一圆锥的母线长为 5，高为 4，则该圆锥的体积为 ． 15．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比 明”描述的是敦煌八景之一的月牙 泉．某中学开展暑期社会实践活动， 学生通过测量绘制出月牙泉的平面 图，如图所示．图中，圆弧 QRT 是 一个以 O 点为圆心、QT 为直径的半 圆，QT＝ 米．圆弧 QST 的圆 心为 P 点，PQ＝60 米，圆弧 QRT 与 第 15 题 圆弧 QST 所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为 平方米． 16．假设苏州肯帝亚球从在某賽季的任一场比赛中输球的概率都等于 p，其中 0＜p＜1，且 各场比赛互不影响．令 X 表示连续 9 场比赛中出现输球的场数，且令 代表 9 场比赛 中恰有 k 场出现输球的概率 P(X＝k)．已知 ，则该球队在这连续 9 场比 赛中出现输球场数的期望为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 在① ，② ，③△ ABC的面积为 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中， 并加以解答． 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ． （1）求角 C； （2）若 D 为 AB 的中点，且 c＝2，CD＝ ，求 a，b 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ( ) 0f x ≥ 60 3 kp 4 5 6 45 8p p p+ = ( )(sin A sin C) (sin A sin B)a c b− + = − 2 cosC cosB cosAc a b= + 1 ( sin A sin B sin C)2 c a b c+ − 3 4 18．（本小题满分 12 分） 在数列 中，已知 ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列 的前 50 项和 ． 19．（本小题满分 12 分） 王老师组织甲、乙、丙三位学生参与摸球实验，已知盒中共有 3 个红球、7 个白球．摸 球方法如下：当王老师掷出的骰子为 1 点时，甲从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为 2 或 3 点时，乙从盒中摸一球；当王老师掷出的骰子为其他点时，丙从盒中摸一球．该三位学 生摸球后均不放回．假定学生从盒中摸到任何一球的可能性相等． 本实验王老师共掷骰子 2 次．请解答下面的问题： （1）求学生甲恰好得到 2 个红球的概率； （2）求学生乙至少得到 1 个红球的概率． 20．（本小题满分 12 分） 如图，已知 AC⊥BC，DB⊥平面 ABC，EA⊥平面 ABC，过点 D 且垂直于 DB 的平面 与平面 BCD 的交线为 l，AC＝BD＝1，BC＝ ，AE＝2． （1）证明：l⊥平面 AEC； （2）设点 P 是 l 上任意一点，求平面 PAE 与平面 ACD 所成锐二面角的最小值． { }na 1 2a = 2 2 1 14 4 0n n n na a a a+ +− + = 1 2 1n n n nT a a a+ −= + + + { }nT 2 2( 1) log (4 )n n n nb n T= − ⋅ + − { }nb 50S α 3 5 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）当 a＝1 时，求 在(0， )上的单调性； （2）若 (0， )， ，求 a 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： (a＞b＞0)过点( ， )，且离心率为 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 A 的坐标是(2，1)，M，N 是椭圆 C 上的两点，满足 AM⊥AN，证明：直 线 MN 过定点． ( ) cos (e 1)xf x x a= + − ( )f x π 0x∃ ∈ +∞ 0 0 0( ) cosf x x x< + 2 2 2 2 1x y a b + = 6 2 3 2 2 2 6 7 8 9 10 11