1
第十五章检测题
(时间：100 分钟 满分：120 分)
一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)
1．分式
2
3x，
x＋1
－2x2，
2x－1
4x3 的最简公分母是( D )
A．12 B．24x6 C．12x6 D．12x3
2．下列各分式与
b
a相等的是( C )
A．
b2
a2 B．
b＋2
a＋2 C．
ab
a2 D．
a＋b
2a
3．(2019·海南)分式方程
1
x＋2＝1 的解是( B )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
4．(2019·济南)化简
4
x2－4＋
1
x＋2的结果是( B )
A．x－2 B．
1
x－2 C．
2
x－2 D．
2
x＋2
5．已知 a＝－0.32，b＝－3－2，c＝(－
1
3)－2，d＝(－
1
3)0，比较 a，b，c，d 的大小关系，
则有( C )
A．a＜b＜c＜d B．a＜d＜c＜b C．b＜a＜d＜c D．c＜a＜d＜b
6．(北京中考)如果 a－b＝2 3，那么代数式(
a2＋b2
2a －b)·
a
a－b的值为( A )
A． 3 B．2 3 C．3 3 D．4 3
7．(2019·白银)下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误( B )
A．① B．② C．③ D．④
8．(2019·辽阳)某施工队承接了 60 公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的
工作效率比原计划提高了 25%，结果提前 60 天完成了这项任务．设原计划每天修路 x 公里，
根据题意列出的方程正确的是( D )
A．
60 × （1＋25%）
x －
60
x ＝60 B．
60
x －
60 × （1＋25%）
x ＝60
C．
60
（1＋25%）x－
60
x ＝60 D．
60
x －
60
（1＋25%）x＝60
9．(2019·深圳)定义一种新运算ʃ
a
b n·xn－1dx＝an－bn，例如ʃ
k
n 2xdx＝k2－n2，若ʃ
m
5m－
x－2dx＝－2，则 m＝( B )
A．－2 B．－
2
5 C．2 D．
2
5
2
10．(2019·重庆)若数a 使关于 x 的不等式组{x
3－2 ≤
1
4（x－7），
6x－2a＞5（1－x）
有且仅有三个整数
解，且使关于 y 的分式方程
1－2y
y－1 －
a
1－y＝－3 的解为正数，则所有满足条件的整数 a 的值
之和是( A )
A．－3 B．－2 C．－1 D．1
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11．成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克，数据“0.0000046”用科学记数法
表示为__4.6×10－6__．
12．(2019·永州)方程
2
x－1＝
1
x的解为 x＝__－1__．
13．(2019·内江)若
1
m＋
1
n＝2，则分式
5m＋5n－2mn
－m－n 的值为__－4__．
14．(2019·盘锦)某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆 15 km，一部
分学生骑自行车先走，过了 15 min 后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已
知公交车的速度是自行车速度的 1.5 倍，那么学生骑自行车的速度是__20__km/h.
15．(2019·随州市曾都区期末)若关于 x 的分式方程
x
x－4＋
4m
4－x＝2m 无解，则 m 的值
为__
1
2或 1__．
三、解答题(共 75 分)
16．(8 分)计算或化简：
(1)
2x
x2－4－
1
x－2； (2)(2019·陕西)(
a－2
a＋2＋
8a
a2－4)÷
a＋2
a2－2a.
解：
1
x＋2 解：a
17．(9 分)解分式方程：
(1)(2019·宁夏)
2
x＋2＋1＝
x
x－1；
解：x＝4
(2)(2019·玉林)
x
x－1－
3
（x－1）（x＋2）＝1.
解：x＝1 是方程的增根，原方程无解
18．(9 分)化简求值：
(1)(2019·葫芦岛)先化简，再求值：
a2＋a
a2－2a＋1÷(
2
a－1－
1
a)，其中 a＝(
1
3)－1－(－2)0；
3
解：原式＝
a（a＋1）
（a－1）2÷
2a－（a－1）
a（a－1） ＝
a（a＋1）
（a－1）2·
a（a－1）
2a－a＋1 ＝
a（a＋1）
a－1 ·
a
a＋1＝
a2
a－1，∵a＝(
1
3)－1－(－2)0＝3－1＝2 时，∴原式＝
22
2－1＝4
(2)(2019·遵义)化简式子(
a2－2a
a2－4a＋4＋1)÷
a2－1
a2＋a，并在－2，－1，0，1，2 中选取一
个合适的数作为 a 的值代入求值．
解 ： 原 式 ＝ [
a（a－2）
（a－2）2＋ 1] ·
a（a＋1）
（a＋1）（a－1）＝ (
a
a－2＋ 1) ·
a
（a－1）＝
a＋a－2
a－2 ·
a
（a－1）＝
2（a－1）
a－2 ·
a
（a－1）＝
2a
a－2，当 a＝－2 时，原式＝
2 × （－2）
－2－2 ＝1
19．(9 分)(2019·滨州)先化简，再求值：(
x2
x－1－
x2
x2－1)÷
x2－x
x2－2x＋1，其中 x 是不等
式组{x－3（x－2） ≤ 4，
2x－3
3 ＜
5－x
2
的整数解．
解 ： 原 式 ＝ [
x3＋x2
（x＋1）（x－1）－
x2
（x＋1）（x－1）] ·
（x－1）2
x（x－1）＝
x3
（x＋1）（x－1）·
（x－1）2
x（x－1）＝
x2
x＋1，解不等式组{x－3（x－2） ≤ 4，
2x－3
3 ＜
5－x
2
得 1≤x＜3，则
不等式组的整数解为 1，2，又 x≠±1 且 x≠0，∴x＝2，∴原式＝
4
3
20．(9 分)(2019·湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完
全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)
立方差公式：x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)
根据材料和已学知识，先化简，再求值：
3x
x2－2x－
x2＋2x＋4
x3－8 ，其中 x＝3.
解：原式＝
3x
x（x－2）－
x2＋2x＋4
（x－2）（x2＋2x＋4）＝
3
x－2－
1
x－2＝
2
x－2，当 x＝3 时，原
式＝
2
3－2＝2
4
21．(10 分)(2019·眉山)在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为 3600 m2 的
区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队
每天能完成绿化面积的 2 倍，如果两队各自独立完成面积为 600m2 区域的绿化时，甲队比乙
队少用 6 天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是 1.2 万元，乙队每天绿化费用为 0.5 万元，社区要使这次绿
化的总费用不超过 40 万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x m2，根据题意得：
600
x －
600
2x ＝6，解得：
x＝50，经检验， x＝50 是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2＝
100(m2)，答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100 m2，50 m2 (2)设甲工程队
施工 a 天，乙工程队施工 b 天刚好完成绿化任务，由题意得：100a＋50b＝3600，则 a＝
72－b
2
＝－
1
2b＋36，根据题意得：1.2×
72－b
2 ＋0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程
队绿化 32 天
22．(10 分)(2019·衡阳)某商店购进 A，B 两种商品，购买 1 个 A 商品比购买 1 个 B 商
品多花 10 元，并且花费 300 元购买 A 商品和花费 100 元购买 B 商品的数量相等．
(1)求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元；
(2)商店准备购买 A，B 两种商品共 80 个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4 倍，
并且购买 A，B 商品的总费用不低于 1000 元且不高于 1050 元，那么商店有哪几种购买方案？
解：(1)设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要(x＋10)元，依题意，得：
300
x＋10＝
100
x ，解得：x＝5，经检验，x＝5 是原方程的解，且符合题意，∴x＋10＝15.答：
购买一个 A 商品需要 15 元，购买一个 B 商品需要 5 元 (2)设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商
品(80－m)个，依题意，得：{80－m ≥ 4m，
15（80－m）＋5m ≥ 1000，
15（80－m）＋5m ≤ 1050，
解得：15≤m≤16.∵m 为整数，∴
m＝15 或 16.∴商店有 2 种购买方案，方案①：购进 A 商品 65 个，B 商品 15 个；方案②：
购进 A 商品 64 个，B 商品 16 个
5
23．(11 分)(2019·盐城)【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙
习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次：
菜价 3 元/千克
质量 金额
甲 1 千克 3 元
乙 1 千克 3 元
第二次：
菜价 2 元/千克
质量 金额
甲 1 千克 __2__元
乙 __1.5__千克 3 元
(1)完成上表；
(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；(均价＝总金额÷总质量)
【数学思考】设甲每次买质量为 m 千克的菜，乙每次买金额为 n 元的菜，两次的单价分
别是 a 元/千克、b 元/千克，用含有 m，n，a，b 的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均
价 x 甲、x 乙，比较 x 甲、x 乙的大小，并说明理由；
【知识迁移】某船在相距为 s 的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速
度为 v，所需时间为 t1；如果水流速度为 p 时(p＜v)，船顺水航行速度为(v＋p)，逆水航行
速度为(v－p)，所需时间为 t2.请借鉴上面的研究经验，比较 t1，t2 的大小，并说明理
由．
解：(1)2×1＝2(元)，3÷2＝1.5(千克)，故答案为 2；1.5 (2)甲两次买菜的均价为：
(3＋2)÷2＝2.5(元/千克)，乙两次买菜的均价为：(3＋3)÷(1＋1.5)＝2.4(元/千克)，∴
甲两次买菜的均价为 2.5 元/千克，乙两次买菜的均价为 2.4 元/千克 【数学思考】x 甲＝
ma＋mb
2m ＝
a＋b
2 ，x 乙＝
2n
n
a＋
n
b
＝
2ab
a＋b，∴x 甲－x 乙＝
a＋b
2 －
2ab
a＋b＝
（a－b）2
2（a＋b）≥0，∴x 甲≥x 乙
【知识迁移】t1＝
2s
v ，t2＝
s
v＋p＋
s
v－p＝
2sv
v2－p2，∴t1－t2＝
2s
v －
2sv
v2－p2＝
－2sp2
v（v2－p2），∵0＜
p＜v，∴t1－t2＜0，∴t1＜t2
微信/支付宝扫码支付