沪科版九年级上册数学单元测试题全套（含答案）

1 沪科版九年级上册数学单元测试题全套（含答案） （含期中期末试题，共 6 套） 第 21 章测试题（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分) 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______ 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．二次函数 y＝－3x2－6x＋5 的图象的顶点坐标是 (　B　) A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，2) D．(1，－4) 2．若 p＋q＝0，则抛物线 y＝x2＋p x＋q 必过点 ( D　) A．(－1，1) B．(1，－1) C．(－1，－1) D．(1，1) 3．已知点(3，y1)，(4，y2)，(5，y3)在函数 y＝2x2＋8x＋7 的图象上， 则 y1，y2，y3 的大小关系是 (　D ) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 4．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 y＝－ 1 25 x2.当水面宽度 AB 为 20 m 时，水面与桥拱顶的高度 DO 等于2 (　B　) A．2 m B．4 m C．10 m D．16 m 5．根据下列表格中的对应值，得到二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有一个交点的横坐标 x 的范围是 (　C　) x 3.23 3.24 3.25 3.26 y －0.06 －0.02 0.03 0.09 A.x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 6．已知一个矩形的面积为 24 cm2，其长为 y cm，宽为 x cm，则 y 与 x 之间的函数关系图象大致是 (　D　) 7．二次函数 y＝x2－x－2 的图象如图所示，则不等式 x2－x－2＜0 的 解集是 (　C　) 3 A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜2 D．x＜－1 或 x＞2 8．二次函数 y＝x2＋4x＋3 的图象可以由二次函数 y＝x2 的图象平移而 得到，下列平移正确的是 (　B　) A．先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 B．先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 C．先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位 D．先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位 9．如图，过反比例函数 y＝2 x (x>0)的图象上任意两点 A，B 分别作 x 轴 的垂线，垂足为 A′，B′，连接 OA，OB，设 AA′与 OB 的交点为 P，△ AOP 与梯形 PA′B′B 的面积分别为 S1，S2，则 (　B　) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S10，∴k＝6. (2)∵AB＝2，∴x A＝2，y A＝ 6 2 ＝3， ∴点 A 的坐标为(2，3)．6 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．求满足下列条件的对应的函数的关系式． (1)抛物线经过(4，0)，(0，－4)，和(－2，3)三点； (2)已知二次函数的图象经过点(0，－3)，且顶点坐标为(1，－4)． 解：(1)设抛物线表达式为 y＝ax2＋bx＋c， 将(4，0)，(0，－4)，(－2，3)代入 得{16a＋4b＋c＝0， c＝－4， 4a－2b＋c＝3， 解得{a＝3 4， b＝－2， c＝－4， 则抛物线表达式为 y＝3 4 x2－2x－4. (2)设抛物线表达式为 y＝a(x－1)2－4， 将(0，－3)代入得－3＝a－4，即 a＝1， 则抛物线表达式为 y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3. 18．如图所示，一次函数 y＝k x＋b 的图象与反比例函数 y＝－8 x 的图 象交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是－2，求： (1)一次函数的关系式；7 (2)△AOB 的面积． 解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＝－2，y2＝－2， 把 x1＝y2＝－2 分别代入 y＝－8 x 得 y1＝x2＝4，∴A(－2，4)，B(4，－2)． 把 A(－2，4)和 B(4，－2)分别代入 y＝k x＋b 得{4＝－2k＋b， －2＝4k＋b，解得 {k＝－1， b＝2， ∴一次函数的关系式为 y＝－x＋2. (2)∵y＝－x＋2 与 y 轴交点为 C(0，2)，∴OC＝2， ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC ＝1 2 ×OC×|x1|＋1 2 ×OC×|x2| ＝1 2 ×2×2＋1 2 ×2×48 ＝6. 即△AOB 的面积为 6. 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可 卖出 150 件．市场调查反映：如果每件的售价每涨 1 元(售价每件不能 高于 45 元)，那么每星期少卖 10 件．设每件涨价 x 元(x 为非负整数)， 每星期的销量为 y 件． (1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2)如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期 的最大利润是多少？ 解：(1)由题意，得 y＝150－10x，0≤x≤5 且 x 为非负整数． (2)设每星期的利润为 w 元， 则 w＝(40＋x－30)y ＝(x＋10)(150－10x) ＝－10(x－2.5)2＋1 562.5 ∵x 为非负整数， ∴当 x＝2 或 3 时，利润最大为 1 560 元， 又∵销量较大，9 ∴x＝2，即当售价为 42 元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润 为 1 560 元． 答：当售价为 42 元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期 的最大利润为 1 560 元． 20．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y 2＝k2 x (x＞0)的图象交于点A(2， 1)，B，与 y 轴交于点 C(0，3)． (1)求函数 y1 的表达式和点 B 的坐标； (2)观察图象，指出当 x 取何值时 y1＜y2.(在 x＞0 的范围内) 解：(1)∵函数 y1＝k1x＋b 的图象与函数 y2＝k2 x (x＞0)的图象交于点 A(2，1)， ∴k2 2 ＝1，解得 k2＝2， ∴反比例函数表达式为 y2＝2 x ， ∵函数 y1＝k1x＋b 经过点 A(2，1)，C(0，3)，10 ∴{2k＋b＝1， b＝3， 解得{k＝－1， b＝3， ∴y1＝－x＋3，两表达式联立得{y＝－x＋3， y＝2 x， 解得{x1＝1， y1＝2，{x2＝2， y2＝1， ∴点 B 的坐标为(1，2)． (2)根据图象，当 0＜x＜1 或 x＞2 时，y1＜y2. 六、(本题满分 12 分) 21．二次函数 y＝1 4 x2－5 2 x＋6 的图象与 x 轴从左到右两个交点依次 为 A，B，与 y 轴交于点 C. (1)求 A，B，C 三点的坐标； (2)如果 P(x，y)是线段 BC 之间的动点，O 为坐标原点，试求△POA 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (3)在(2)的条件下，是否存在这样的点 P，使得 PO＝PA？若存在，求 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)A(4，0)，B(6，0)，C(0，6)． (2)设一次函数的表达式为 y＝kx＋b； 将 B(6，0)，C(0，6)代入上式，得{6k＋b＝0， b＝6， 解得{k＝－1， b＝6， ∴y＝－x＋6.根据题意得 S△POA＝1 2 ×4×y＝－2x＋12，∴0≤x＜6.11 (3)存在，理由： ∵|OB|＝|OC|，∠COB＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形． 作 AO 的中垂线交 CB 于 P，根据垂直平分线的性质得出 PO＝PA， 而 OA＝4，∴P 点横坐标为 2，代入直线 BC 表达式即可， ∴y＝－x＋6＝－2＋6＝4，∴P 点坐标为(2，4)， ∴存在这样的点 P(2，4)，使得 OP＝AP. 七、(本题满分 12 分) 22．如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 10 米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x 米， 面积为 S 米 2. (1)求 S 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成面积为 45 米 2 的花圃，那么 AB 的长是多少米？ (3)能围成面积比 45 米 2 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并 说明围法；如果不能，请说明理由． 解：(1)由题可知，花圃的宽 AB 为 x 米，则 BC 为(24－3x)米， ∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.12 (2)当 S＝45 时，－3x2＋24x＝45， ∴x2－8x＋15＝0，解得 x1＝5，x2＝3， ∵0＜24－3x≤10 得14 3 ≤x＜8， ∴x＝3 不合题意，舍去，∴要围成面积为 45 米 2 的花圃，AB 的长为 5 米． (3)S＝－3x2＋24x＝－3(x2－8x)＝－3(x－4)2＋48(14 3 ≤ x＜8)， ∴当 x＝14 3 时，S 有最大值 48－3(14 3 －4)2 ＝462 3 . ∴能围成面积比 45 米 2 更大的花圃． 围法：花圃的长为 10 米，宽为 4 2 3 米，这时有最大面积 46 2 3 米 2. 八、(本题满分 14 分) 23．已知抛物线 y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n 为常数)． (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应 的函数关系式； (2)设 A 是(1)所确定的抛物线上位于 x 轴下方、且在对称轴左侧的一个 动点，过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 D，再作 AB⊥x 轴于 B，DC⊥x 轴于 C. ①当 BC＝1 时，求矩形 ABCD 的周长；13 ②试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最 大值，并指出此时 A 点的坐标．如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知条件，得 n2－1＝0， 解这个方程，得 n1＝1，n2＝－1， 当 n＝1 时，得 y＝x2＋x，此抛物线的顶点不在第四象限． 当 n＝－1 时，得 y＝x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限． ∴所求的函数关系式为 y＝x2－3x. (2)由 y＝x2－3x， 令 y＝0，得 x2－3x＝0，解得 x1＝0，x2＝3， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(3，0)， ∴它的顶点为(3 2，－9 4)，对称轴为直线 x＝3 2 ，其大致位置如图所示， ①∵BC＝1，易知 OB＝1 2 ×(3－1)＝1. ∴B(1，0)，14 ∴点 A 的横坐标 x＝1，又点 A 在抛物线 y＝x2－3x 上， ∴点 A 的纵坐标 y＝12－3×1＝－2. ∴AB＝|y|＝|－2|＝2. ∴矩形 ABCD 的周长为 2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6. ②∵点 A 在抛物线 y＝x2－3x 上，故可设 A 点的坐标为(x，x2－3x)， ∴B 点的坐标为(x，0).(0＜x＜3 2)，∴BC＝3－2x，A 在 x 轴下方， ∴x2－3x＜0，∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2， ∴矩形 ABCD 的周长： C＝2[(3x－x2)＋(3－2x)] ＝－2(x－1 2)2 ＋13 2 ， ∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值， ∴当 x＝1 2 时，矩形 ABCD 的周长 C 最大值为13 2 .此时点 A 的坐标为 A (1 2，－5 4). 沪科版九年级数学上册第 22 章测试题（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分)15 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______ 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的．　 1．观察下列每组图形，相似图形是 (　C　) 2．已知x y ＝3 5 ，那么下列等式中，不一定正确的是(　B　) A．5x＝3y B．x＋y＝8 C.x＋y y ＝8 5 D.x y ＝x＋3 y＋5 3．已知△ABC∽△DEF，其相似比为 1 ∶4，则它们的面积比是 (　D　) A．1 ∶2 B．1 ∶4 C．1 ∶6 D．1 ∶16 4．根据有关测定，当外界气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体 感到最舒适(人体正常体温约为 37 ℃)，这个气温大约为 (　A　) A．23 ℃ B．28 ℃ C．30 ℃ D．37 ℃16 5．如图，已知 AB∥CD∥EF，它们依次交直线 l1，l2 于点 A，D，F 和点 B，C，E，如果 AD ∶DF＝3 ∶1，BE＝10，那么 CE 等于 (　C　) A.10 3 B.20 3 C.5 2 D.15 2 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6．如图，在正△ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且AD AC ＝1 3 ，E 是 AB 的中点，则有 (　B　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 7．如图，△OE′F′与△OEF 关于原点 O 位似，相似比为 1 ∶2，已 知 E(－4，2)，F(－1，－1)，则点 E 的对应点 E′的坐标为 (　C　) A．(2，1) B.(1 2，1 2) C．(2，－1) D.(2，－1 2) 8．如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GE∥17 BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正 确的是 (　A　) A.AE AB ＝CF CD B.AE EB ＝DF FC C.EG BD ＝FG AC D.AE AG ＝AD AB 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里， 木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问 山高几何？”译文如下：如图，今有山 AB 位于树的西面．山高 AB 为 未知数，山与树相距 53 里，树高 CD 为 9 丈 5 尺，人站在离树 3 里的 地方，观察到树梢 C 恰好与山峰 A 处在同一斜线上，人眼离地 7 尺， 则山 AB 的高为(保留到整数，1 丈＝10 尺) (　D　) A．162 丈 B．163 丈 C．164 丈 D．165 丈 10．如图，在△ABC 中，BM⊥AC 于点 M，CN⊥AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，MN，则下列结论：①PM＝PN；②AM AB ＝ AN AC ；③若∠ABC＝60°，则△PMN 为等边三角形；④若∠ABC＝45°， 则 BN＝ 2PC.其中正确的(　B　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④18 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．在比例尺为 1∶25 000 000 的地图上，2 cm 所表示的实际长度是 500 千米． 12．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一 面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此 时小明与镜子的距离是 2 m，镜子与建筑物的距离是 20 m．他的眼睛 距地面 1.5 m，那么该建筑物的高是 15 m . 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 13．★如图，△ABC 与△DEA 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠D＝90°，BC 分别与 AD，AE 相交于点 F，G，则图中共有 4 对 相似三角形． 14．★在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC 的一 角沿着 MN 折叠，点 B 落在 AC 上的点 D 处，如图，若△ABC 与△DMC 相似，则 BM 的长度为 3 2 或12 7 . 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m 表示已知数．试 分别确定α，x 的值．19 解：(1)如图中，∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ x 18 ＝ m 2m ，α＝40°， ∴x＝9. (2)如图中，∠D＝180°－65°－70°＝45°， ∵△ABO∽△CDO， ∴α＝∠D＝45°.∴AO OC ＝AB CD ， 即3 5 ＝ x m ，∴x＝3 5 m. 16．如图，△ABC 在坐标平面内三顶点的坐标分别为 A(1，1)，B(3， 3)，C(3，0)． (1)根据题意，请你在图中画出△ABC； (2)以B为位似中心，在如图的格子中画出一个与△ABC相似的△BA′C′， 且△BA′C′与△BAC 相似比是 2 ∶1，并分别写出顶点 A′和 C′的坐 标．20 解：(1)如图，△ABC 为所作． (2)顶点 A′的坐标为(－1，－1)，C′的坐标为(3，－3)． 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．如图，P 为△ABC 边 BC 上的中线 AD 上的一点，且 BD2＝ PD·AD，求证：△ADC∽△CDP. 证明：∵AD 是△ABC 边 BC 上的中线， ∴BD＝CD， ∴CD2＝PD·AD，即CD PD ＝AD CD ， 又∠CDP＝∠ADC， ∴△ADC∽△CDP. 18．如图，为了测量一池塘的宽 AB，在岸边找到了一点 C，使 AC⊥AB，在 AC 上找到一点 D，在 BC 上找到一点 E，使 DE⊥AC，21 测出 AD＝30 m，DC＝25 m，DE＝30 m，那么你能算出池塘的宽 AB 吗？ 解：由题意可得：AB∥DE， 则△DCE∽△ACB，故CD AC ＝DE AB ， ∵AD＝30 m，DC＝25 m，DE＝30 m， ∴25 55 ＝ 30 AB ，解得 AB＝66. 答：池塘的宽 AB 为 66 m. 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB＝90°，点 A 在反比例函数 y ＝1 x (x＞0)的图象上，点 B 在反比例函数 y＝－4 x (x＜0)的图象上，求OA OB 的值． 22 解：过点 A，B 作 AC⊥x 轴，BD⊥x 轴， 垂足分别为 C，D. 易证△OCA∽△BDO. ∵点 A 在反比例函数 y＝1 x (x＞0)的图象上， 点 B 在反比例函数 y＝－4 x (x＜0)的图象上， ∴S△AOC ∶S△OBD＝1 2 ∶2＝1 ∶4， ∴OA OB ＝ 1 2 . 20．如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E，BD2＝ BC·BE. (1)求证：△BCD∽△BDE； (2)如果 BC＝10，AD＝6，求 AE 的值． (1)证明：∵BD⊥AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E， ∴∠BDC＝90°，∠BED＝90°， ∵BD2＝BC·BE，23 ∴BC BD ＝BD BE ，∴△BCD∽△BDE. (2)解：易证△BDE∽△BAD，∴BD2＝BE·BA， ∵BD2＝BC·BE，∴BA＝BC＝10， 易证△ADE∽△ABD，∴AD2＝AE·AB， ∴AE＝62 10 ＝3.6. 六、(本题满分 12 分) 21．如图，小华在晚上由路灯 A 走向路灯 B.当他走到点 P 时，发现他 身后影子的顶部刚好接触到路灯 A 的底部；当他向前再步行 12 m 到 达点 Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部．已知小 华的身高是 1.6 m，两个路灯的高度都是 9.6 m，且 AP＝QB. (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯 B 的底部时，他在路灯 A 下的影长是多少？ 题图 　答图 解：(1)如题图，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD， AP AB ＝PM BD ，即AP AB ＝1.6 9.6 ，∴AP＝1 6 AB，24 同理可得 BQ＝1 6 AB， 而 AP＋PQ＋BQ＝AB，∴1 6 AB＋12＋1 6 AB＝AB，∴AB＝18. 答：两路灯的距离为 18 m. (2)如答图，他在路灯 A 下的影子为 BN， ∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BN AN ＝BM AC ，即 BN BN＋18 ＝1.6 9.6 ， 解得 BN＝3.6 m. 答：当他走到路灯 B 时，他在路灯 A 下的影长是 3.6 m. 七、(本题满分 12 分) 22．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点 P 由点 A 出发沿 AB 方向向终点点 B 匀速移动，速度为 1 cm/s，点 Q 由 点 B 出发沿 BC 方向向终点点 C 匀速移动，速度为 2 cm/s.如果动点 P，Q 同时从 A，B 出发，当 P 或 Q 到达终点时运动停止．几秒后，以 Q， B，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 解：设 t 秒后，以 Q，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相似， 则 PB＝(6－t)cm，BQ＝2t cm，25 ∵∠B＝90°，∴分两种情况： ①当PB AB ＝BQ BC 时，即6－t 6 ＝2t 8 ，解得 t＝2.4； ②当PB BC ＝BQ AB 时，即6－t 8 ＝2t 6 ，解得 t＝18 11 ； 综上所述，2.4 秒或18 11 秒后，以 Q，B，P 为顶点的三角形与△ABC 相 似． 八、(本题满分 14 分) 23．在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在射线 BC 上． 猜想：如图①，点 D 在 BC 边上，BD ∶BC＝2 ∶3，AD 与 BE 相交 于点 P，过点 A 作 AF∥BC，交 BE 的延长线于点 F，则AP PD 的值为 ______． 探究：如图②，点 D 在 BC 的延长线上，AD 与 BE 的延长线交于点 P，CD ∶BC＝1 ∶2，求AP PD 的值． 应用：在探究的条件下，若 CD＝2，AC＝6，则 BP＝______．26 解：猜想：如图①， ∵BE 是 AC 边上的中线， ∴AE＝CE， ∵AF∥BC， ∴AF BC ＝AE CE ＝EF BE ＝1， ∵BD ∶BC＝2 ∶3， ∴BD ∶AF＝2 ∶3， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴AP PD ＝AF BD ＝3 2 ； 探究：过点 A 作 AF∥BC，交 BE 的延长线于点 F，如图②， 设 DC＝k，则 BC＝2k， ∵AF∥BC，27 ∴AF BC ＝AE CE ＝1，即 AF＝BC＝2k， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB，∴AP PD ＝AF BD ＝2k 3k ＝2 3 ； 应用：CE＝1 2 AC＝3，BC＝2CD＝4， 在 Rt△BCE 中，BE＝ 32＋42＝5， ∴BF＝2BE＝10， ∵AF∥BD， ∴△APF∽△DPB， ∴PF BP ＝AP PD ＝2 3 ， ∴BP＝ 3 5 BF＝3 5 ×10＝6. 沪科版九年级数学上册期中测试题（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分) 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______ 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的．28 1．二次函数 y＝－2(x＋1)2＋5 的顶点坐标是 (　D　) A．－1 B．5 C．(1，5) D．(－1，5) 2．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放 a 个垃圾 桶，计划第三个月投放垃圾桶 y 个，设该公司第二、三两个月投放垃 圾桶数量的月平均增长率为 x，那么 y 与 x 的函数关系是 (　A　) A．y＝a(1＋x)2 B．y＝a(1－x)2 C．y＝(1－x)2＋a D．y＝x2＋a 3．若△ABC∽△DEF，相似比为 9 ∶4，则△ABC 与△DEF 对应中线 的比为 (　A　) A．9 ∶4 B．4 ∶9 C．81 ∶16 D．3 ∶2 4．在同一时刻，身高 1.6 m 的小强，在太阳光线下影长是 1.2 m，旗 杆的影长是 6 m，则旗杆高为 (　C　) A．4.5 m B．6 m C．8 m D．9 m 5．已知点 A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数 y＝4 x 的 图象上，则 (　D　) A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y329 6．下面四组图形中，必是相似三角形的为 (　D　) A．两个直角三角形 B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形 C．有一个角为 40°的两个等腰三角形 D．有一个角为 100°的两个等腰三角形 7．在平面直角坐标系中，点 P(1，－2)是线段 AB 上一点，以原点 O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点 P 对应点的坐标为 (　B　) A．(2，－4) B．(2，－4)或(－2，4) C.(1 2，－1) D.(1 2，－1)或(－1 2，1) 8．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y＝ax＋c(a≠0)在同一直角坐标系中 的图象可能是 (　D　) 9．已知：正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝k2 x(x＞0)的图象 交于点 M(a，1)，MN⊥x 轴于点 N(如图)，若△OMN 的面积等于 2， 则 (　A　)30 A．k1＝1 4 ，k2＝4 B．k1＝4，k2＝1 4 C．k1＝1 4 ，k2＝－4 D．k1＝－1 4 ，k2＝4 　 　 第 9 题图 第 10 题图 第 13 题图 10．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①a b c＞0；②2a＋b＝0；③m 为任意实数，则 a＋b＞am2＋b m；④a－b＋ c＞0；⑤若 ax21＋bx1＝ax22＋bx2，且 x1≠x2，则 x1＋x2＝2.其中正确的 有 (　C　) A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．若 y＝(m－1)xm2＋2m－1 是二次函数，则 m 的值是－3 . 12．反比例函数 y＝k x 图象上的一点到 x 轴距离为 2，到 y 轴距离为 3， 且当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的值是 －6 . 13．★如图，抛物线 y＝ax2＋c 与直线 y＝3 相交于点 A，B，与 y 轴 交于点 C(0，－1)，若∠ACB 为直角，则当 ax2＋c＜0 时，自变量 x 的31 取值范围是 －2＜x＜2 . 14．在△ABC 中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D 为 AC 上一点，其 中 DC＝2 3 AC，在 AB 上取一点 E 得△ADE，若△ABC 与△ADE 相似， 则 DE＝ 6 或 8 . 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．已知：a ∶b ∶c＝2 ∶3 ∶5，求代数式 3a－b＋c 2a＋3b－c 的值． 解：∵a ∶b ∶c＝2 ∶3 ∶5， ∴设 a＝2k，b＝3k，c＝5k(k≠0)， 则 3a－b＋c 2a＋3b－c ＝6k－3k＋5k 4k＋9k－5k ＝1. 16.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点 A(1，5)，B(－1，9)， C(0，8)．求这个二次函数的表达式，开口方向，对称轴和顶点坐 标． 解：由题意得，{a＋b＋c＝5， a－b＋c＝9， c＝8， 解得{a＝－1， b＝－2， c＝8， ∴二次函数表达式为 y＝－x2－2x＋8， ∵y＝－x2－2x＋8＝－(x＋1)2＋9， ∴这个二次函数的抛物线开口向下，对称轴为 x＝－1，顶点坐标为(－ 1，9)．32 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．在如图所示的网格中，已知△ABC 和点 M(1，2)． (1)以点 M 为位似中心把三角形放大，位似比为 2，画出△ABC 的位似 图形△A′B′C′； (2)写出△A′B′C′的各顶点坐标． 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求． (2)△A′B′C′的各顶点坐标分别为 A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)． 18．某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了 一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(k Pa)是气体体 积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示． (1)求这个函数的表达式； (2)当气球内的气压大于 150 k Pa 时，气球将会爆炸，为了安全起见， 气体的体积应至少是多少？33 解：(1)设 p＝k V ，将 A(0.5，120)代入求出 k＝60，∴p＝60 V . (2)当 p＞150 kPa 时，气球将爆炸， ∴p≤150，即 p＝60 V ≤150， 解得 V≥ 60 150 ＝0.4. 故为了安全起见，气体的体积应不小于 0.4 m3. 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选 择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择 了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延 长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E，C，A 共线．已知： CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝7 m(测量示意 图如图所示)．请根据相关测量信息，求河宽 AB 的长．34 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠ABC＝∠ADE. 又∵∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE， ∴BC DE ＝AB AD ， ∴ 1 1.5 ＝ AB AB＋7 ， 解得 AB＝14 m， 经检验：AB＝14 是分式方程的解． 答：河宽 AB 的长为 14 米． 20．如图，一次函数 y1＝k x＋b 的图象与反比例函数 y2＝6 x 的图象交 于 A(m，3)，B(－3，n)两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察函数图象，直接写出关于 x 的不等式6 x ＞k x＋b 的解集．35 解：(1)∵A(m，3)，B(－3，n)两点在反比例函数 y2＝6 x 的图象上， ∴m＝2，n＝－2. ∴A(2，3)，B(－3，－2)． 根据题意得{2k＋b＝3， －3k＋b＝－2，解得{k＝1， b＝1， ∴一次函数的表达式是 y1＝x＋1. (2)根据图象得 0＜x＜2 或 x＜－3. 六、(本题满分 12 分) 21．已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，点 E 在 AB 上，且 BD2＝BE·BC. (1)求证：∠BDE＝∠C； (2)求证：AD2＝AE·AB. 36 证明：(1)∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，∵BD2＝BE·BC， ∴BD BE ＝BC BD ，∴△EBD∽△DBC， ∴∠BDE＝∠C. (2)∵∠BDE＝∠C， ∠DBC＋∠C＝∠BDE＋∠ADE，∴∠DBC＝∠ADE， ∵∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADE，∴△ADE∽△ABD， ∴AD AB ＝AE AD ，即 AD2＝AE·AB. 七、(本题满分 12 分) 22．某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件 60 元，售价每件 130 元，每天销售 30 件，每销售一件需缴纳网络平台管理费 4 元．未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天起每 天的单价均比前一天降 1 元，通过市场调查发现，该时装单价每降 1 元，每天销售量增加 5 件，设第 x 天(1≤x≤30 且 x 为整数)的销量为 y 件． (1)直接写出 y 与 x 的函数关系式； (2)在这 30 天内，哪一天的利润是 6 300 元？ (3)设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出37 哪一天的利润最大，最大利润是多少． 解：(1)由题意可知 y＝5x＋30. (2)根据题意可得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6 300， 即 x2－60x＋864＝0， 解得 x＝24 或 36(舍)， ∴在这 30 天内，第 24 天的利润是 6 300 元． (3)根据题意可得 w＝(130－x－60－4)(5x＋30) ＝－5x2＋300x＋1 980 ＝－5(x－30)2＋6 480， ∵a＝－5＜0， ∴函数有最大值， ∴当 x＝30 时，w 有最大值为 6 480 元， ∴第 30 天的利润最大，最大利润是 6 480 元． 八、(本题满分 14 分) 23．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为 B，D，P， 且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”． (1)求证：AB·CD＝PB·PD；38 (2)如图乙也是一个“三垂图”，上述结论还成立吗？请说明理由； (3)已知抛物线交 x 轴于 A(－1，0)，B(3，0)两点，交 y 轴于点(0，－ 3)，顶点为 P，如图丙所示，若 Q 是抛物线上异于 A，B，P 的点，设 AQ 与 y 轴相交于 D，且∠QAP＝90°，利用上述结论求 Q 点坐标． (1)证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°， ∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°， ∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴AB PD ＝PB CD ，∴AB·CD＝PB·PD. (2)解：AB·CD＝PB·PD 仍然成立． 理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠CDP＝90°， ∴∠A＋∠APB＝90°，∵AP⊥PC，∴∠APB＋∠CPD＝90°， ∴∠A＝∠CPD，∴△ABP∽△PDC，∴AB PD ＝PB CD ， ∴AB·CD＝PB·PD. (3)解：设抛物线表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点(0，－3)，39 ∴{a－b＋c＝0， 9a＋3b＋c＝0， c＝－3， 解得{a＝1， b＝－2， c＝－3， ∴y＝x2－2x－3， ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点 P 的坐标为(1，－4)， 过点 P 作 PC⊥x 轴于 C，∵AQ 与 y 轴相交于 D， ∴AO＝1，AC＝1＋1＝2，PC＝4，由(2)得，AO·AC＝OD·PC， ∴1×2＝OD·4，解得 OD＝1 2 ，∴点 D 的坐标为(0， 1 2)， 设直线 AD 的表达式为 y＝kx＋b(k≠0)，则 {－k＋b＝0， b＝1 2， 解得{k＝1 2， b＝1 2， ∴y＝1 2 x＋1 2 ， 联立{y＝1 2x＋1 2， y＝x2－2x－3， 解得{x1＝7 2， y1＝9 4， {x2＝－1， y2＝0. (与 A 重合，舍去) ∴点 Q 的坐标为(7 2， 9 4). 沪科版九年级数学上册第 23 章测试题（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分) 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______40 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．计算：2sin 30°＝ (　A　) A．1 B. 2 C．2 D．2 2 2．在 Rt△ABC，∠C＝90°，sin B＝3 5 ，则 sin A 的值是 (　B　) A.3 5 B.4 5 C.5 3 D.5 4 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝α，若 BC＝m，则 AB 的长为 (　A　) A. m cos α B．m·cos α C．m·sin α D．m·tan α 4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i＝1 ∶ 3，坝外斜 坡的坡度 i＝1 ∶1，则两个坡角的和为 ( C 　) A．90° B．60° C．75° D．105° 5．如图，要测量小河两岸相对的 A，B 两点之间的距离，可以在小河 边取 AB 的垂线 BC 上的一点 D，若测得 BD＝60 米，∠ADB＝40°， 则 AB 等于 (　A　) A．60tan 40° 米 B．60tan 50° 米 C．60sin 40° 米 D．60sin 50° 米41 　 　 第 5 题图 第 6 题图 第 8 题图 6．如图，已知在平面直角坐标系 x Oy 内有一点 A(2，3)，那么 OA 与 x 轴正半轴的夹角 α 的余弦值是 (　D　) A.3 2 B.2 3 C.3 13 13 D.2 13 13 7．在△ABC 中，cos B＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC 是 (　B　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA＝4 km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即 OB 的长)为 (　C　) A．4 3 km B．( 3＋1)km C．2( 3＋1)km D．( 3＋2)km 9．在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，则 cos A 的值等于(　C　) A.3 5 B. 7 4 C.4 5 或 7 4 D.4 5 或2 7 742 10．★如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上一点，连接 DE，并过点 D 作 FD⊥ED，垂足为 D，交 BC 于点 F. 若 AC＝BC＝14，AE ∶EC＝4 ∶3，则 tan∠EFC 的值为 (　D　) A.2 3 B.3 2 C.4 3 D.3 4 　 第 10 题图 第 13 题图 第 14 题图 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知：tan α＝ 3 3 ，则锐角 α＝ 30° . 12．比较大小：cos 35° ＜ sin 65°. 13．如图，河流两岸 a，b 互相平行，点 A，B 是河岸 a 上的两座建筑 物，点 C，D 是河岸 b 上的两点，A，B 的距离约为 200 米．某人在河 岸 b 上的点 P 处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 100 米． 14．★如图，点 D 在钝角△ABC 的边 BC 上，连接 AD，∠B＝45°，∠ CAD＝∠CDA，CA ∶CB＝5 ∶7，则∠BAD 的余弦值为 2 5 5 .43 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．计算： (1)cos245°＋sin 60°·tan 30°－tan 30°； 解：原式＝1 2 ＋1 2 － 3 3 ＝1－ 3 3 . (2) sin 60°＋tan 45° cos 30°－2sin 30°. 解：原式＝ 3 2 ＋1 3 2 －1 ＝－7－4 3. 16.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°. (1)已知∠A＝60°，b＝10 3，求 a，c； (2)已知 c＝2 3，b＝3，求 a，∠A. 解：(1)a＝b tan 60°＝30； c＝ b cos 60° ＝20 3. (2)a＝ c2－b2＝ 3.44 ∵sin A＝a c ＝1 2 ， ∴∠A＝30°. 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．如图，△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝3 2，AD⊥BC 于 D，求 CD. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在 Rt△ADB 中，∵∠B＝45°， ∴AD＝BD＝AB sin B＝3. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝60°， ∴CD＝ AD tan C ＝ 3. 18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造 成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯 AB 长为 10 m，坡 角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改 造后的斜坡 AC 的长度．(结果精确到 0.01，参考数据：sin 9°≈ 0.156，cos 9°≈0.988，tan 9°≈0.158)45 解：在 Rt△ABD 中， ∠ABD＝30°，AB＝10 m， ∴AD＝AB sin∠ABD ＝10×sin 30° ＝5(m)， 在 Rt△ACD 中， ∠ACD＝9°，sin 9°＝AD AC ， ∴AC＝ 5 sin 9° ＝ 5 0.156 ≈32.05(m)， 答：改造后的斜坡 AC 的长度为 32.05 米． 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A，C 两点测得该塔顶端 F 的仰角分别为 α 和 β，矩形建筑物宽度 AD＝20 m，高度 DC＝33 m. (1)试用 α 和 β 的三角比表示线段 CG 的长； (2)如果 α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度 FG 的46 值．(结果精确到1 m，参考数据：sin 48°＝0.7，cos 48°＝0.7，tan 48° ＝1.1，sin 65°＝0.9，cos 65°＝0.4，tan 65°＝2.1) 解：(1)过 D 作 DE⊥FG 于 E，设 CG＝x m， 由图可知 EF＝(x＋20)·tan α， FG＝x·tan β， 则(x＋20)tan α＋33＝xtan β， 解得 x＝ 33＋20tan α tan β－tan α. ∴CG＝ 33＋20tan α tan β－tan α m. (2)x＝ 33＋20tan α tan β－tan α ＝33＋20 × 1.1 2.1－1.1 ＝55， 则 FG＝x·tan β＝55×2.1＝115.5≈116. 答：该信号发射塔顶端到地面的高度 FG 约是 116 m. 20．如图，一艘轮船自西向东航行，在 A 处测得东偏北 21.3°方向有 一座小岛 C，继续向东航行 60 海里到达 B 处，测得小岛 C 此时在轮 船的东偏北 63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小47 岛 C 最近？ (参考数据：sin 21.3° ≈ 9 25，tan 21.3° ≈ 2 5，sin 63.5° ≈ 9 10，tan 63.5° ≈ 2) 解：过 C 作 AB 的垂线，交直线 AB 于点 D， 得到 Rt△ACD 与 Rt△BCD. 设 CD＝x 海里，在 Rt△BCD 中， tan∠CBD＝CD BD ， ∴BD＝ x tan 63.5°， 在 Rt△ACD 中，tan A＝CD AD ， ∴AD＝ x tan 21.3°， ∴AD－BD＝AB，即 x tan 21.3° － x tan 63.5° ＝60，解得 x＝30. BD＝ 30 tan 63.5° ＝15. 答：轮船继续向东航行 15 海里，距离小岛 C 最近．48 六、(本题满分 12 分) 21．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图①的滑板车 或图②的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30 cm，CE ＝40 cm，车杆 AB 与 BC 所成的∠ABC＝53°，图①中 B，E，C 三点 共线，图②中的座板 DE 与地面保持平行．问变形前后两轴心 BC 的 长度有没有发生变化？若不变，请写出 BC 的长度；若变化，请求出 变化量．(参考数据：sin 53°≈4 5 ，cos 53°≈3 5 ，tan 53°≈4 5 ) 解：如图①，过点 D 作 DF⊥BE 于点 F， 由题意知 BD＝DE＝30 cm， ∴BF＝BD cos∠ABC＝30×3 5 ＝18(cm)，∴BE＝2BF＝36 cm， 则 BC＝BE＋CE＝76 cm， 如图②，过点 D 作 DM⊥BC 于 M，过点 E 作 EN⊥BC 于点 N， 由题意知四边形 DENM 是矩形，∴MN＝DE＝30 cm， 在 Rt△DBM 中，BM＝BD cos∠ABC＝30×3 5 ＝18(cm)， EN＝DM＝BD sin∠ABC＝30×4 5 ＝24(cm)，49 在 Rt△CEN 中，∵CE＝40 cm，∴由勾股定理可得 CN＝32 cm， 则 BC＝18＋30＋32＝80 cm，80－76＝4 cm. 答：BC 的长度发生了改变，增加了 4 cm. 七、(本题满分 12 分) 22．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，sin B＝3 5 ，点 D 在边 AB 上，若 AD＝AC，求 tan∠BCD 的值． 解：作 DH⊥BC 于 H.∵∠A＝90°， sin B＝AC BC ＝3 5 ，设 AC＝3k，BC＝5k， 则 AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k. ∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A， ∴△BHD∽△BAC，BD BC ＝DH AC ＝BH AB ， ∴DH＝3 5 k，BH＝4 5 k， ∵CH＝BC－BH＝21 5 k，∴tan∠BCD＝DH CH ＝1 7 . 八、(本题满分 14 分)50 23．【阅读新知】 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们 的夹角的余弦的积的两倍． 即：如图①，在△ABC 中，已知 AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有： a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C. 利用这个结论可求解下列问题： 例：在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝2 2，c＝ 6＋ 2，求∠A. 解：∵a2＝b2＋c2－2bccos A， cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝（2 2）2＋（ 6＋ 2）2－（2 3）2 2 × 2 2 × （ 6＋ 2） ＝1 2 . ∴∠A＝60°. 【应用新知】 (1)在△ABC 中，已知 b＝c cos A，a＝c sin B，试判断△ABC 的形状； (2)如图②，某客轮在 A 处看港口 D 在客轮的北偏东 50°，A 处看灯塔 B 在客轮的北偏西 30°，距离为 2 3 海里，客轮由 A 处向正北方向航 行到 C 处时，再看港口 D 在客轮的南偏东 80°，距离为 6 海里．求此 时 C 处到灯塔 B 的距离．51 解：(1)∵b＝c cos A，a＝c sin B， ∴cos A＝b c ，sin B＝a c ， ∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bc×b c ＝c2－b2， ∴a2＋b2＝c2， ∴△ABC 是直角三角形，∠C＝90°， ∴a＝c sin B＝b， ∴△ABC 是等腰直角三角形． (2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°， ∴CA＝CD＝6， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝(2 3)2＋62－2×2 3×6× 3 2 ＝12， ∴BC＝2 3. 答：C 处到灯塔 B 的距离为 2 3 海里．52 沪科版九年级数学上册期末测试题 1（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分) 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______ 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．下列四组图形中，不是相似图形的是 (　D　) 2．反比例函数 y＝－ 4 3x 的比例系数是 (　B　) A．－3 4 B．－4 3 C.4 3 D．－4 3．如图，Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则 cos A＝ (　D　) A.3 2 B.2 3 C.2 13 13 D.3 13 13 第 3 题图第 5 题图第 7 题图53 4．若△ABC∽△DEF，且△ABC 与△DEF 的面积比是9 4 ，则△ABC 与 △DEF 的对应边的比为 (　D　) A.2 3 B.81 16 C.9 4 D.3 2 5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，4)，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B.将△AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的1 2 ，得到 △COD，则 CD 的长度是 (　B　) A．1 B．2 C．2 5 D. 5 6．已知反比例函数 y＝k x 的图象如图所示，则二次函数 y＝k2x2＋x－2k 的图象大致为 (　A　) 7．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图，下列结论中正确的是 (　C　) A．A b c＞0 B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0 8．在平面直角坐标系 x Oy 中，将一块含有 45°角的直角三角板如图放 置，直角顶点 C 的坐标为(1，0)，顶点 A 的坐标(0，2)，顶点 B 恰好 落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿 x 轴正方向平移，当顶 点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 C 的对应点 C′的坐标54 为 (　A　) A.(5 2，0) B．(2，0) C.(3 2，0) D．(3，0) 第 8 题图 第 9 题图 9．如图，有一块直角三角形余料 ABC，∠BAC＝90°，G，D 分别是 AB，AC 边上的一点，现从中切出一条矩形纸条 DEFG，其中 E，F 在 BC 上，若 BF＝4.5 cm，CE＝2 cm，则 GF 的长为 (　A　) A．3 cm B．2 2 cm C．2.5 cm D．3.5 cm 10．★如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝6 厘米，BC＝ 12 厘米，点 P，Q 同时从 顶点 A 出发，点 P 沿 A→B→C→D 方向以 2 厘米/秒的速度前进，点 Q 沿 A→D 方向以 1 厘米/秒的速度前进，当 Q 到达点 D 时，两个点随之停止运动．设运动时间为 x 秒，P，Q 经过 的路径与线段 PQ 围成的图形的面积为 y(cm2)，则 y 与 x 的函数图象 大致是(　A　) 　　55 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知点P在线段AB上，且满足BP2＝AB·AP，则BP AB 的值等于 5－1 2 . 12．抛物线 y＝2x2－4x＋m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二 次方程 2x2－4x＋m＝0 的解是 x1＝－1，x2＝3 . 第 12 题图 第 13 题图 13．周末，张三、李四两人在磁湖游玩，张三在湖心岛 P 处观看李四 在湖中划船(如图)，小船从 P 处出发，沿北偏东 60°方向划行 200 米到 A 处，接着小船向正南方向划行一段时间到 B 处．在 B 处李四观测张 三所在的 P 处在北偏西 45°方向上，这时张三与李四相距 100 6 米．(保留根号) 14．★矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8.点 P 在矩形 ABCD 的内部， 点 E 在边 BC 上，满足△PBE∽△DBC，若△APD 是等腰三角形，则 PE 的长为 6 5 或 3 . 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．计算：| 2－ 3|＋( 3)0＋2cos 45°－3tan 30°. 解：原式＝ 3－ 2＋1＋2× 2 2 －3× 3 3 ＝1.56 16．如图，在线段 AB 上取一点 D，使△DBO 与等腰 Rt△ABC 位似， 作出点 D 及求△DBO 与△ABC 的相似比． 解：∵△DBO 与等腰 Rt△ABC 位似， ∴位似中心为点 B， ∵点 O 为 BC 的中点， ∴点 D 为 BA 的中点，即 D(－2，6)， ∴点 D 如图所示， △DBO 与△ABC 的相似比＝1 ∶2. 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．如图为一座桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线．当水面宽为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m. (1)建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式； (2)若水面上升 1 m，水面宽度将减少多少？ 57 解：(1)以 C 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 A(－6，－4)，B(6，－ 4)，C(0，0)， 设 y＝ax2，把 B(6，－4)代入上式，得 36a＋4＝0，解得 a＝－1 9 ，∴y＝－1 9 x2. (2)令 y＝－3，得－1 9 x2＝－3，解得 x＝±3 3， ∴若水面上升 1 m，水面宽度将减少(12－6 3)m. 18．如图，AB·AE＝AD·AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE. 证明：∵AB·AE＝AD·AC， ∴AB AD ＝AC AE . 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠BAE， 即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE. 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．如图，一正方体包装箱沿斜面坡角为 30°的电梯上行，已知正方58 体包装箱的棱长为 2 米，电梯 AB 长为 16 米，当正方体包装箱的一个 顶点到达电梯上端 B 时，求另一顶点 C 离地面的高度．(参考数据： 3 ≈1.73) 解：过点 C 作 CM⊥AE，交 AB 于点 D，交 AE 于点 M，作 BF⊥AE 于点 F， 由题意可得，∠A＝30°，AB＝16，BC＝2， 则∠DCB＝30°， ∴BD＝BC·tan 30°＝2× 3 3 ＝2 3 3 ， CD＝ BC cos 30° ＝ 2 3 2 ＝4 3 3 ， ∴AD＝AB－BD＝16－2 3 3 ， ∴DM＝AD·sin 30°＝(16－2 3 3 )×1 2 ＝8－ 3 3 ， ∴CM＝CD＋DM＝4 3 3 ＋8－ 3 3 ＝8＋ 3，59 即另一顶点 C 离地面的高度是(8＋ 3)米． 20．如图，一次函数 y＝－x＋5 的图象与反比例函数 y＝k x (k≠0)在第 一象限的图象交于 A(1，n)和 B 两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)在第一象限内，当一次函数 y＝－x＋5 的值大于反比例函数 y＝k x (k≠0)的值时，写出自变量 x 的取值范围． 解：(1)∵一次函数 y＝－x＋5 的图象过点 A(1，n)，∴n＝－1＋5＝4，∴ 点 A 坐标为(1，4)， ∵反比例函数 y＝k x (k≠0)过点 A(1，4)， ∴k＝4，∴反比例函数的表达式为 y＝4 x . (2)联立{y＝－x＋5， y＝4 x， 解得{x1＝1， y1＝4，{x2＝4， y2＝1，即点 B 的坐标为(4，1)， 当一次函数 y＝－x＋5 的值大于反比例函数 y＝k x (k≠0)的值时， x 的取值范围为 1＜x＜4.60 六、(本题满分 12 分) 21．设二次函数 y1，y2 的图象的顶点坐标分别为(a，b)，(c，d)，若 a＝－ 2c，b＝－2d，且开口方向相同，则称 y1 是 y2 的“反倍顶二次函 数”． (1)请写出二次函数 y＝x2－x＋1 的一个“反倍顶二次函数”； (2)已知关于 x 的二次函数 y1＝x2＋n x 和二次函数 y2＝2x2－n x＋1， 若函数 y1 恰是 y2 的“反倍顶二次函数”，求 n 的值． 解：(1)∵y2＝x2－x＋1＝(x－1 2)2 ＋3 4 ，顶点(1 2， 3 4)， ∴y1 的顶点坐标为(－1，－3 2)，∴y1＝(x＋1)2－3 2 . (2)∵y1＝x2＋n x＝(x＋n 2)2 －n2 4 ， y2＝2x2－n x＋1＝2(x－n 4)2 －n2－8 8 ， 由题意得－n2 4 ＝2×n2－8 8 ，解得 n＝±2. 七、(本题满分 12 分) 22．某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于 成本，且不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克 售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：61 售价 x(元/千克) 50 60 70 销售量 y(千克) 100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)要使商品每天的总利润为 1 600 元，则每千克售价 x 为多少元？(3) 设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式，并指出 售价为多少元时获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝收入－成 本) 解：(1)设 y＝kx＋b，将(50，100)，(60，80)代入，得 {50k＋b＝100， 60k＋b＝80， 解得{k＝－2， b＝200， ∴y＝－2x＋200 (40≤x≤80)． (2)由题意可得 1 600＝(x－40)(－2x＋200)， 解得 x1＝60，x2＝80，则每千克售价 x 为 60 元或 80 元． (3)由题意可得 W＝(x－40)(－2x＋200) ＝－2x2＋280x－8 000 ＝－2(x－70)2＋1 800， ∴当 x＝70 时，W 取得最大值为 1 800，62 ∴W 与 x 之间的函数表达式为 W＝－2x2＋280x－8 000，售价为 70 元 时获得最大利润，最大利润是 1 800 元． 八、(本题满分 14 分) 23．已知正方形 ABCD，点 M 是边 AB 的中点． (1)如图①，点 G 为线段 CM 上一点，且∠AGB＝90°，延长 AG，BG 分别与边 BC，CD 交于点 E，F. ①求证：BE＝CF＝CG； ②求证：BE2＝BC·CE； (2)如图②，若点 E 为边 BC 的黄金分割点(BE＞CE)，连接 BG 并延长 交 CD 于点 F，求 tan∠CBF 的值． (1)证明：①∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°， ∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE≌△BCF， ∴BE＝CF，∵∠AGB＝90°，点 M 为 AB 的中点， ∴MG＝MA＝MB，∴∠MGB＝∠MBG，63 ∵∠MGB＝∠CGF，∠MBG＝∠CFG，∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG，故 BE＝CF＝CG. ②由①知 MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM， 又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG，∴∠CGE＝∠CBG， 又∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG， ∴CE CG ＝CG CB ，即 CG2＝BC·CE， 由①知 BE＝CG，∴BE2＝BC·CE. (2)解：延长 AE，DC 交于点 N， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥CD，∴∠N＝∠EAB， 又∵∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA，∴CE BE ＝CN BA ， 即 BE·CN＝AB·CE， ∵AB＝BC，BE2＝BC·CE，∴CN＝BE， ∵AB∥DN，∴CN AM ＝CG GM ＝CF BM ， ∵AM＝MB，∴FC＝CN＝BE， 不妨设正方形的边长为 1，BE＝x， 由 BE2＝BC·CE 可得 x2＝1·(1－x)，64 解得 x1＝ 5－1 2 ，x2＝－ 5－1 2 (舍去)， ∴BE BC ＝ 5－1 2 ， 则 tan∠CBF＝CF BC ＝BE BC ＝ 5－1 2 . 沪科版九年级数学上册期末测试题 2（含答案） (考试时间：120 分钟　　　满分：150 分) 姓名：______　　　班级：______　　　分数：______ 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的． 1．cos 45°的值等于 (　D　) A. 3 3 B. 3 C.1 2 D. 2 2 2．将抛物线 y＝x2 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 后，抛物线的表达式为 (　B　) A．y＝(x＋2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋3 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3 3．反比例函数 y＝－4 x (x＞0)的图象位于 (　D　)65 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，点 P 在反比例函数 y＝k x (k≠0)的图象上，PA⊥x 轴于点 A，△ PAO 的面积为 2，则 k 的值为 (　C　) A．1 B．2 C．4 D．6 第 4 题图 第 7 题图 5．在△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别为∠A，∠B，∠C 的对边， 下列各式成立的是 (　D　) A．sin B＝b a B．cos B＝a b C．tan B＝a b D．tan B＝b a 6．点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC＞BC)，且 AB＝6 cm，则 BC 的 长为 (　A　) A．(9－3 5)cm B．(9＋3 5)cm C．(3 5－3)cm D．(6 5－6)cm 7．如图，已知在△ABC 中，P 为 AB 上一点，连接 CP，以下条件中 不能判定△ACP∽△ABC 的是 (　C　) A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB66 C.AC AB ＝CP BC D.AC AP ＝AB AC 8．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝2x2＋k x 与 y＝k x＋k(k≠0)的 图象大致是 (　C　) 9．如图，已知：正方形 ABCD 边长为 1，E，F，G，H 分别为各边上 的点，且 AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形 EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是(　B　) 第 9 题图 第 10 题图 10．★如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平 分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC， 连接 OE.下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC ∶BD＝ 21 ∶7；④FB2＝OF·DF.其中正确的(　B　)67 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．若a 5 ＝b 7 ，且 a－b＝－2，则 a＋b 的值是 12 . 12．如图，传送带把物体从地面送到离地面 5 米高的地方，如果传送 带与地面所成的斜坡的坡度 i＝1 ∶2.4，那么物体所经过的路程 AB 为 13 米． 第 12 题图 第 13 题图 13．已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 与一次函数 y＝x 的图象如图所示， 则不等式 ax2＋(b－1)x＋c＜0 的解集为 1＜x＜3 . 14．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 上的一点(D，E 与端点不重合)，如果△CDE 与△ABC 相似， 那么 CD 的长是 5 2 或12 5 . 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．计算：2cos 45°－tan 60°＋sin 30°－|－1 2|. 解：原式＝2× 2 2 － 3＋1 2 －1 268 ＝ 2－ 3. 16．如图，△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(0，3)，B(1，0)，C(3， 1)． (1)以原点 O 为位似中心，在 y 轴左侧画出△A1B1C1，使得△A1B1C1 与△ABC 的位似比为 2 ∶1； (2)△ABC 的内部一点 M 的坐标为(a，b)，则点 M 在△A1B1C1 中的对 应点 M1 的坐标是多少？ 解：(1)如图所示，△A1B1C1 即为所求． (2)△ABC 的内部一点 M 的坐标为(a，b)，则点 M 在△A1B1C1 中的对 应点 M1 的坐标是(－2a，－2b)． 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 BC，AB 上，且∠ADE ＝60°.求证：△ADC∽△DEB.69 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°， ∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠BDE＋60°， ∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB. 18．若二次函数图象经过点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，5)三点，求该 二次函数表达式． 解：设二次函数表达式为 y＝a(x＋1)(x－3)， 把(0，5)代入得－3a＝5， 解得 a＝－5 3 ， 则二次函数表达式为 y＝－5 3 (x＋1)(x－3)＝－5 3 x2＋10 3 x＋5 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．某商场为缓解某市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是 该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝ 18°，C 在 BD 上，BC＝0.5 m．根据规定，地下停车库坡道入口上方70 要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为 CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以 CE 的长作为限制的高 度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(参考数据：sin 18°＝0.31，cos 18°＝0.95，tan 18°＝0.325)(结果精确到 0.1 m) 解：在△ABD 中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10 m， ∵tan∠BAD＝BD BA ， ∴BD＝10×tan 18°， ∴CD＝BD－BC ＝10×tan 18°－0.5 ＝2.75 m. 在△ABD 中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°， ∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝CE CD ， ∴CE＝sin∠CDE×CD ＝sin 72°×2.75 ＝cos 18°×2.75＝0.95×2.75＝2.612 5≈2.6 m，71 ∵2.6 m＜2.75 m，且 CE⊥AE，∴小亮说的对． 答：小亮说的对，CE 的长为 2.6 m. 20．如图，已知 A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数 y＝k x＋b 的图象 与反比例函数 y＝m x (m≠0)的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的 x 的 取值范围． 解：(1)把 A(－4，2)代入 y＝m x 得 m＝－8，则反比例函数的表达式是 y ＝－8 x ； 把 y＝－4 代入 y＝－8 x ，得 x＝n＝2， 则 B 的坐标是(2，－4)． 根据题意得{－4k＋b＝2， 2k＋b＝－4，解得{k＝－1， b＝－2， 则一次函数的表达式是 y＝－x－2.72 (2)由图象可知，使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的 x 的 取值范围是－4＜x＜0 或 x＞2. 六、(本题满分 12 分) 21．某公司投入研发费用 80 万元(80 万元只计入第一年成本)，成功研 发出一种产品．公司按订单生产(产量＝销售量)，第一年该产品正式 投产后，生产成本为 6 元/件，此产品年销售量 y(万件)与售价 x(元/件) 之间满足一次函数关系，其函数图象如图所示． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)该产品第一年的利润为 20 万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润 20 万元再次投入研发(20 万元只计 入第二年成本)，以降低产品的生产成本，预计第二年的年销售量与售 价仍存在(1)中的函数关系．为保持市场占有率，公司规定第二年产品 售价为 14 元/件，若想实现第二年利润不低于 88 万元的目标，该产品 的生产成本单价应控制在不超过多少元？ 解：(1)y 与 x 之间的函数关系式 y＝－x＋26. (2)根据题意(x－6)(－x＋26)－80＝20，解得 x＝16，73 故该产品第一年的售价是 16 元． (3)设若想实现第二年利润不低于 88 万元的目标，该产品的生产成本 单价应控制在不超过 a 元． 根据题意，当售价为 14 元时，销售量为－14＋26＝12 万件， 12(14－a)－20≥88，解得 a≤5， 故若想实现第二年利润不低于 88 万元的目标，该产品的生产成本单价 应控制在不超过 5 元． 七、(本题满分 12 分) 22．如图，平行四边形 ABCD 中，∠B＝30°，过点 A 作 AE⊥BC 于 点 E，现将△ABE 沿直线 AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与 CD 交于点 G. (1)求证：CG·BF＝CD·CF； (2)若 AB＝4 3，AD＝8，求 DG 的长． (1)证明：∵在平行四边形 ABCD 中， AB＝CD，AB∥DC， ∴△CGF∽△BAF，∴CG AB ＝CF BF ，74 ∴CG CD ＝CF BF ，∴CG·BF＝CD·CF. (2)解：∵∠B＝30°，AE⊥BC，AB＝4 3， ∴AE＝1 2 AB＝2 3，∴BE＝ AB2－AE2＝ 48－12＝6， ∵△ABE 沿直线 AE 翻折至△AFE 的位置，∴EF＝BE＝6， ∴BF＝12，∵在平行四边形 ABCD 中，AD＝BC，AB＝CD，且 AD＝ 8， AB＝4 3，∴BC＝8，CD＝4 3，∴CF＝BF－BC＝12－8＝4， ∵CG AB ＝CF BF ，∴CG 4 3 ＝ 4 12 ，∴CG＝4 3 3 ， ∴DG＝CD－CG＝4 3－4 3 3 ＝8 3 3. 八、(本题满分 14 分) 23．定义：由两条与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物 线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线 C1 与抛物线 C2 组 成一个开口向上的“月牙线”，抛物线 C1 与抛物线 C2 与 x 轴有相同的 交点 M，N(点 M 在点 N 的左侧)，与 y 轴的交点分别为 A，B 且点 A 的坐标为(0，－3)，抛物线 C2 的表达式为 y＝mx2＋4mx－12m(m＞ 0)． (1)请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直 接写出两条抛物线的表达式；75 (2)求 M，N 两点的坐标； (3)在第三象限内的抛物线 C1 上是否存在一点 P，使得△PAM 的面积 最大？若存在，求出△PAM 的面积的最大值；若不存在，说明理 由． 题图 答图 解：(1)如图①，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与抛物线 y＝－1 3 x2＋2 3 x＋1 所 围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”． (2)在抛物线 C2 的表达式 y＝mx2＋4mx－12m 中， 当 y＝0 时，mx2＋4mx－12m＝0， ∵m≠0，∴x2＋4x－12＝0，解得 x1＝－6，x2＝2， ∵点 M 在点 N 的左边，∴M(－6，0)，N(2，0)． (3)在第三象限内的抛物线 C1 上存在一点 P，使得△PAM 的面积最 大．如图②，连接 AM，PO，PM，PA， ∵抛物线 C1和抛物线 C2与 x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同，∴ 可设抛物线 C1 的表达式 y＝nx2＋4nx－12n(n＞0)， ∵抛物线 C1 与 y 轴的交点为 A(0，－3)，∴－12n＝－3，∴n＝1 4 ，76 ∴抛物线 C1 的表达式为 y＝1 4 x2＋x－3， ∴可设点 P 的坐标为(t， 1 4t2＋t－3)， ∴S△PAM＝S△PMO＋S△PAO－S△AOM ＝1 2 ×6×(－1 4t2－t＋3)＋1 2 ×3×(－t)－1 2 ×6×3 ＝－3 4 t2－9 2 t＝－3 4 (t＋3)2＋27 4 ， ∵－3 4 ＜0，－6＜t＜0， ∴根据二次函数的图象和性质知，当 t＝－3 时，即点 P 的坐标为 (－3，－15 4 )时，△PAM 的面积有最大值，最大值为27 4 .