秘密★启用前
文科数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， 则 M N=
A. B. (0, 1) C. D.
2.在复平面内，复数 ( 为复数单位)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限
3.函数 的零点所在的区间为
A. B. C. D.
4.已知 ,则
A. B. C. D.
5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女
一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字 13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从
小到大排列，就成为 1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第 3 个数字起，任何一个数字都是前面
两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的
logo(如图 1 乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲
的矩形 ABCD 中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是
{ } { }2 21 , ( , ) 1M x y x N x y y x= = + = = − +
{ }1 φ { }(0,1)
2
1
i
i
−
+ i
( ) 2 7xf x e x= + −
(0,1) (1,2) (2,3) (3,4)
tan 2α = sin(2 )2
πα + =
3
5
4
5
3
5
− 4
5
−A. B. C . D.
6.双曲线 C: 的右焦点为 F(3, 0)，且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线
的距离为 1,则双曲线 C 的离心率为
A. B. C D.
7.如图 2，在∆ABC 中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点，
则
A. B. C. D.
8.在正项等比数列 中, ,前三项的和为 7,若存在 使得
,则 的最小值为
A. B. C. D.
9.如图 3,某几何体的三视图均为边长为 2 的正方形，则该几何体的体积
是
A. B. C.1 D.
10.设动直线 x=t 与曲线 以及曲线 分别交于 P, Q 两点，
表示 的最小值, 则下列描述正确的是
A. B.
C. D.
11.过抛物线 的焦点 F 作抛物线的弦，与抛物线交于 A, B 两点，分别过 A,
B 两点作抛物线的切线 l1，l2 相交于点 P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.∆PAB 的面积
S 的最小值为:
A. B. C. D.
73
1092
π 89
1092
π 162
1092
π 16
1092
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 3 2
4
2 3
3 2 3
AD =
37
3
97
9
4 3
9
4 3
3
{ }na 1 1a = ,m n N ∗∈
14m na a a= 1 9
m n
+
2
3
4
3
8
3
11
4
5
6
8
3
16
3
xy e= lny x=
minPQ PQ
min 2PQ =
min
3 2 5
2 2PQ< <
min
3 22 2PQ< <
min 3PQ >
2 2 ( 0)y px p= >
2
3
p 2
2
p 2p 22p12.已知函数 ，
则
A.2019 B.2020 C.4038 D.4040
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)
13.设实数 x, y 满足 ,则 z=x+y 的最小值为_________
14.过原点于曲线 相切的切线方程为为_____________
15.已知 P 是直线 l: 上一动点，过点 P 作圆 C: 的两条
切线，切点分别为 A、B.则四边形 PACB 面积的最小值为___________。
16.已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD， ，球
O 与四棱锥 P-ABCD 的每个面都相切，则球 O 的半径为______。
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,
已知
(1)求角 C;
(2)若 , 且 ,求∆ABC 的面积.
18. (本小题满分 12 分)
某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情
况，从全市高二学生中随机抽取了 20 名学生，对他
们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图
4.
(1)求 x 的值和数学成绩在 110 分以上的人数;
(2)从成绩大于 110 的人中，任选 2 人，求恰好有 1
人成绩大于 130 分的概率。
2 21 2cos( )2 cos 2
x xx x e x ef x x
−+ −+ = +
1 2 2019( ) ( ) ( )2020 2020 2020f f f+ + + =
0
2 1 0
2 1 0
x y
y x
x y
− ≤
− − ≤
+ − ≥
lny x=
2 6 0x y+ + = 2 2 2 3 0x y x+ + − =
2 3, 2PA BC= =
(sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = −
5c = sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + =19. (本小题满分 12 分)
如图 5,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC, A1B⊥平面 ABC, AB=AC=1, AA1 =2
(1) 证明:平面 AA1B⊥平面 AA1C1C;
(2)求二面角 B1-A1BC1 的体积.
20. (本小题满分 12 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2) 当 时，若函数 对任意 恒成立，求 的取值范
围
21. (本小题满分 12 分)已知点 P 是椭圆 C: 上一点，F1、 F2
分别是椭圆的左、右焦点，
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A, B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1,
问:直线 l 是否过定点?证明你的结论
2( ) (1 2 ) ln ( 0)f x x a x a x a R a= + − − ∈ ≠且
1
3a > 2( ) (1 2 ) lnf x x a x a x= + − − 0x > a
3( 1, )2
−
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1 2 4PF PF+ =请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多
做，则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4: 坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程: ，曲线 C2 的普通方程:
y2=8x， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立
极坐标系
(1)分别求曲线 C1、曲线 C2 的极坐标方程;
(2)射线 与曲线 C1、曲线 C2 的交点分别为 P, Q(均异于 O 点)，C,(1, 0)，求∆PQC,的面
积
23. (本小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
(1)求函数 的最大值 m;
(2) 若 a>1, b>1, c>1, a+b+c=m， 求 的最小值.
1 cos (sin
x
y
θ θθ
= +
=
为参数）
= 3
πθ
( ) 2 1 2 3f x x x= − − +
1 1 1
1 1 1a b c
+ +− − −云南师大附中 2021 届高考适应性月考卷（一）
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B C A B A A D B C C
【解析】
1．M 是数集，N 是点集，故选 C．
2． ，故选 D．
3．函数 单调递增，由零点存在定理 ， ，故选 B．
4． ，故选 C．
5． ，故选 A．
6 ． 双 曲 线 右 焦 点 ， 即 ， 点 F 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 b ， 即 ， ∴
， ，故选 B．
7．由题意， ．所以
， ，故选 A．
8 ． 由 ， 解 得 ( 舍 负 ) ， 又 由 ， 得 ， 所 以
，当且仅当 时，等号成立，故选 A．
9．由题意三视图对应的几何体如图 1 所示，所以几何体的体积为正方
体 的 体 积 减 去 2 个 三 棱 锥 的 体 积 ， 即
，故选 D．
10．令 ，则 ，则存在 ，使得 ，
2 i 1 3 i1 i 2 2
− = −+
( )f x (1) e 5 0f = − < 2(2) e 3 0f = − >
2
2
1 tan 3cos2 1 tan 5
αα α
−= = −+
2 2π 8 π 3 73π
(26 16) (16 10) 1092P
+= =+ +
(3 0)F ， 3c = 1b =
2 2 2 2a c b= − = 3 2
4
ce a
= =
1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BC AB AC AB AB AC= + = + − = + 2
2 2 1| | 3 3AD AB AC = +
37
9
= 37| | 3AD =
2 6 0q q+ − = 2q = 14m na a a= 6m n+ = 1 1
m n
+ =
1 1 1 2( )6 3m nm n
+ + ≥ 3m n= =
3 1 1 162 2 2 2 23 2 3V = − × × × × × =
( ) e lnxF x x= − 1( ) exF x x
′ = − 0
1 2
2 2x
∈
， 0
0
0
1( ) e 0xF x x
′ = − =
图 1所以 在 取得最小值， ，在 上单调递减，所以
有 ，故选 B．
11．设 ， ，则过 A，B 的切线方程分别为 ， ，
联 立 解 得 ， 设 AB 的 中 点 为 M ， 则 PM 平 行 于 x 轴 ， 则
，故选 C．
12． ，令 ，则 为奇函数，
所以 关于坐标原点对称，则 关于 成中心对称，则有 ，所
以
，
故选 C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案 2
【解析】
13 ．不等式组表示的可行域如图 2 所示，当 x ，y 为直线
与 的交点 时， 的最
小值为 .
14 ． 设 切 点 坐 标 为 ， 切 线 方 程 为 ， 则 有
， ， ，联立解得 ．
15 ． 圆 C ： 的 圆 心 为 ， 四 边 形 PACB 的 面 积
，所以当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小．代入点到
直线的距离公式， ，故四边形 PACB 面积的最小值为 2．
( )F x 0x 0
0 0 0
0
1( ) e lnxF x x xx
= − = + 1 2
2 2
，
min
3 2 5| |2 2PQ< <
1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 1yy px px= + 2 2yy px px= +
1 2
2 2
y ypP
+−
，
1 2
1| || |2PABS PM y y= − =△
2 2
21 2
1 2
1 | |2 4 2
y y p y y pp
+ + −
≥
2 2 2cos e e 2 (e e )( ) 1+cos 2 cos 2
x x x xx x x xf x x x
− −+ − + −= =+ +
2 (e e )( ) cos 2
x xxh x x
−−= + ( )h x
( )h x ( )f x ( 1)0， ( ) ( ) 2f x f x+ − =
1 2 2019 2019 2018 1 40382020 2020 2020 2020 2020 2020f f f f f f + + + + − + − + + − = … …
2
3 e
xy = 3 1−
0x y− = 2 1 0x y+ − = 1 1
3 3
， z x y= +
2
3
0 0( )x y， y kx=
0 0lny x= 0 0y kx=
0
1k x
=
e
xy =
2 2 2 3 0x y x+ + − = ( 1 0)− ， S PA AC= =
2 2 22 4PC AC AC PC− = −
min| | 5PC =
图 216 ． 四 棱 锥 的 表 面 积 ， 则 有
，解得 ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）已知 ，
由正弦定理， ，
整理得 ，
由余弦定理： ，又 ，
所以 ． ………………………………………………………………（4 分）
（2）已知 ，
整理得 ，
，
即 ．
因为△ABC 为锐角三角形，所以 ，
即 ，
所以 ， 为等边三角形， ．
……………………………………………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）x 的值： ，
数学成绩在 110 分以上的人数： ．
………………………………………………………（4 分）
（2）由（1）知，数学成绩在 110 分以上的人数有 6 人，其中 ，
其中成绩在 110~130 的有 4 人，记为 ， ， ， ，
成绩大于 130 的有 2 人，记为 ， ．
P ABCD− 1 12 2 2 3 2 2 4 4 12 4 32 2S = × × × + × × × + = +
1
3 S R =
1 4 2 33
× × 3 1R = −
(sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = −
( )( ) ( )a c a c a b b+ − = −
2 2 2ab a b c= + −
1cos 2C = π0 2C< <
π
3C =
sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + =
sin( ) sin(π ) sin 2A B B A A+ + − + =
sin( ) sin( ) sin 2A B B A A+ + − =
2sin cos 2sin cosB A A A=
cos 0A ≠
sin sinB A=
a b= ABC△ 5 3
4ABCS =△
1 0.05 0.1 0.2 0.25 0.0220x
− − − −= =
20 (0.2 0.1) 6× + =
20 (0.2 0.1) 6× + =
1a 2a 3a 4a
1b 2b任取 2 人，共有 15 种取法， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
，
恰好有 1 人的成绩大于 130 的取法共有 8 种取法， ， ， ，
， ， ， ， ，
所以恰好有 1 人的成绩大于 130 的概率 ． …………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明：如图 3，∵ 平面 ABC， 平面 ABC，
∴ ．
又∵ ，∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴平面 平面 ． ……………………………………………（6 分）
（2）解： ．
………………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（1）函数 的定义域为 ，
，
解得 (舍去)， ．
当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增；
当 时，在 上 ，函数 单调递减，
在 上 ，函数 单调递增． ………………………………（6 分）
（2）由（1）知，当 时，在 上 ，函数 单调递减；
1 1( )a b， 1 2( )a b， 2 1( )a b， 2 2( )a b， 3 1( )a b， 3 2( )a b，
4 1( )a b， 4 2( )a b， 1 2( )a a， 1 3( )a a， 1 4( )a a， 2 3( )a a， 2 4( )a a， 3 4( )a a，
1 2( )b b，
1 1( )a b， 1 2( )a b， 2 1( )a b，
2 2( )a b， 3 1( )a b， 3 2( )a b， 4 1( )a b， 4 2( )a b，
8
15P =
1A B ⊥ AC ⊂
1A B AC⊥
AB AC⊥ 1AB A B B=
1AC A AB⊥ 平面
1 1AC A ACC⊂ 平面
1AA B ⊥ 1 1AAC C
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 31 1 33 3 2 6B A BC B A B C A B CV V S A B− −= = = × × × × =△
( )f x { | 0}x x >
22 (1 2 ) (2 1)( )( ) 0x a x a x x af x x x
+ − − + −′ = = =
1
1
2x = − 2x a=
0a < ( ) 0f x′ > (0 + )∞， ( )f x
0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x
( + )a ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x
图 3在 上 ，函数 单调递增， ．
令 ，则 ，则 单调递减，
而 ， ，
所以存在 ，使得 ，所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
又 ， ，所以 ． …………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
（1）解：由 ，得 ，
又 在椭圆上，
代入椭圆方程有 ，解得 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 ． ………………………………………（4 分）
（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时， ， ，
，解得 ，不符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 ， ， ，
由 整理得 ，
， ， ．
由 ，整理得 ，
即 ．
当 时，此时，直线 l 过 P 点，不符合题意；
当 时， 有解，此时直线 l： 过定点 ．
……………………………………………………（12 分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】
( + )a ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x 2
min( ) ( ) (1 2 ) lnf x f a a a a a a= = + − −
2( ) (1 2 ) lnh a a a a a a= + − − ( ) 2 lnh a a a′ = − − ( )h a′
1 2 ln3 03 3h ′ = − + >
1 1 ln 2 02h ′ = − +
1 13 a< ≤
1 2| | | | 4PF PF+ = 2a =
31 2P − ，
2 2
1 9 14a b
+ = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
1 1( )A x y， 1 1( )B x y−，
1 1
1 2
1
3 3
2 2 11
y y
k k x
− − −
+ = =+ 1 4x = −
y kx m= + 1 1( )A x y， 2 2( )B x y，
2 23 4 12 0
y kx m
x y
= +
+ − =
，
，
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
2 24 3 0k m∆ = − + >
1 2 1k k+ = 1 2 1 2
5(2 1) ( ) 2 4 02k x x k m x x m − + + − + + − =
( 4 )(2 2 3) 0m k m k− − − =
3
2m k= +
4m k= 2 24 3 0k m∆ = − + > ( 4)y k x= + ( 4 0)− ，解：（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)，
消参得曲线 的直角坐标方程为 ，
由 得曲线 的极坐标方程为 ．
曲线 的极坐标方程为 ， ………………………………（5 分）
（2） ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ． ………………………………………（10 分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
解：（1）由绝对值不等式 ，
所以 ． ………………………………………………………………（5 分）
（2）由（1）知： ，即 ，所以 ，
由柯西不等式：
，
当且仅当 ，等号成立． …………………………………………（1
1C 1 cos
sin
x
y
θ
θ
= +
=
，
，
θ
1C 2 2( 1) 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
，
， 1C 2cosρ θ=
2C 2sin 8cosρ θ θ=
1 2 2
8cos 13| | | | 2cossin 3PQ
θρ ρ θθ= − = − =
1C | |PQ 3
2d =
1
1 13 3| |2 12PQCS PQ d= =△
( ) | 2 1| | 2 3| | 2 1 2 3| 4f x x x x x= − − + − − − =≤
4m =
4m = 4a b c+ + = 1 1 1 1a b c− + − + − =
21 1 1 1 1 1 ( 1 1 1) (1 1 1) 91 1 1 1 1 1 a b ca b c a b c
+ + = + + − + − + − + + = − − − − − − ≥
4
3a b c= = =
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