秘密★启用前
理科数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， 则 M N=
A. B. (0, 1) C. D.
2.在复平面内，复数 ( 为复数单位)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限
3.若随机变量 x～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则 P(0
2 3 2
4
2 3
3 2 3
AD =
37
3
97
9
4 3
9
4 3
3
{ }na 1 1a = ,m n N ∗∈
14m na a a= 1 9
m n
+
2
3
4
3
8
3
11
4
5
6
8
3
16
3
2 21 2cos( )2 cos 2
x xx x e x ef x x
−+ −+ = +
1 2 2019( ) ( ) ( )2020 2020 2020f f f+ + + =
xy e= lny x=
minPQ PQ
min 2PQ =
min
3 2 5
2 2PQ< <
min
3 22 2PQ< <
min 3PQ >
2 2 ( 0)y px p= >角形.下面关于∆PAB 的描述:
①P 点必在抛物线的准线上; ②AP⊥PB;
③设 A(x1，y1), B(x2, y2),则∆PAB 的面积 S 的最小值为
④PF⊥AB; ⑤PM 平行于 x 轴.
其中正确的个数是
A. 2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)
13.设实数 x, y 满足 ,则 z=x+y 的最小值为_________
14.在 的展开式中，则 x2 的系数为_____________
15.已知 P 是直线 l: 上一动点，过点 P 作圆 C: 的两条
切线，切点分别为 A、B.则四边形 PACB 面积的最小值为___________。
16.已知有两个半径为 2 的球记为 O1, O2，两个半径为 3 的球记为 O3，O4 这四个球彼此相外
切，现有一个球 O 与这四个球 O1，O2，O3，O4 都相内切,则球 O 的半径为______。
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,
已知
(1)求角 C;
(2)若 , 且 ,求∆ABC 的面积.
18. (本小题满分 12 分)
某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情
况，从全市高二学生中随机抽取了 20 名学生，对他
们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图 4.
(1)求 x 的值和数学成绩在 90 分以上的人数;
(2)用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有
的中学生(人数很多)中随机选取 4 人,用 ξ 表示所选
4 人中成绩在 110 以上的人数，试写出 ξ 的分布列，
并求出 ξ 的数学期望
2
2
p
0
2 1 0
2 1 0
x y
y x
x y
− ≤
− − ≤
+ − ≥
93( )x
x
+
2 6 0x y+ + = 2 2 2 3 0x y x+ + − =
(sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = −
5c = sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + =19. (本小题满分 12 分)
如图 5,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB⊥AC, A1B⊥平面 ABC, AB=AC=1, AA1 =2
(1) 证明:平面 AA1B⊥平面 AA1C1C;
(2)求二面角 B-AC1-C 的正弦值.
20. (本小题满分 12 分)已知点 P 是椭圆 C: 上一点，F1、 F2
分别是椭圆的左、右焦点，
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A, B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为 1,
问:直线 l 是否过定点?证明你的结论
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2) 当 a>2 时，若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, B 两点，设线段 AB 中点的横坐标为 x0，
证明: .
3( 1, )2
−
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1 2 4PF PF+ =
2( ) (1 2 ) ln ( 0)f x x a x a x a R a= + − − ∈ ≠且
' ( ) 0f x >请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多
做，则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4: 坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程: ，曲线 C2 的普通方程:
y2=8x， 以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立
极坐标系
(1)分别求曲线 C1、曲线 C2 的极坐标方程;
(2)射线 与曲线 C1、曲线 C2 的交点分别为 P, Q(均异于 O 点)，C,(1, 0)，求∆PQC,的面
积
23. (本小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
(1)求函数 的最大值 m;
(2) 若 a>1, b>1, c>1, a+b+c=m， 求 的最小值.
1 cos (sin
x
y
θ θθ
= +
=
为参数）
= 3
πθ
( ) 2 1 2 3f x x x= − − +
1 1 1
1 1 1a b c
+ +− − −云南师大附中 2021 届高考适应性月考卷（一）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C A B A D D C B C
【解析】
1．M 是数集，N 是点集，故选 C．
2． ，故选 D．
3．随机变量 x~ ，正态曲线的对称轴 ，所以 ，故选 A．
4． ，故选 C．
5． ，故选 A．
6 ． 双 曲 线 右 焦 点 ， 即 ， 点 F 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 b ， 即 ， ∴
， ，故选 B．
7．由题意， ．所以
， ，故选 A．
8 ． 由 ， 解 得 ( 舍 负 ) ， 又 由 ， 得 ， 所 以
，当且仅当 ， 时，等号成立，但是 m， ，故
， 时，最小值为 ，故选 D．
9．由题意三视图对应的几何体如图 1 所示，所以几何体的体积为正方
体 的 体 积 减 去 2 个 三 棱 锥 的 体 积 ， 即
，故选 D．
2 i 1 3 i1 i 2 2
− = −+
(1 4)N ， 1x = (0 2) 0.6P x< < =
2
2
1 tan 3cos2 1 tan 5
αα α
−= = −+
2 2π 8 π 3 73π
(26 16) (16 10) 1092P
+= =+ +
(3 0)F ， 3c = 1b =
2 2 2 2a c b= − = 3 2
4
ce a
= =
1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BC AB AC AB AB AC= + = + − = + 2
2 2 1| | 3 3AD AB AC = +
37
9
= 37| | 3AD =
2 6 0q q+ − = 2q = 14m na a a= 6m n+ = 1 9
m n
+ =
1 1 9 8( )6 3m nm n
+ + ≥ 3
2m = 9
2n = *n∈N
2m = 4n = 11
4
3 1 1 162 2 2 2 23 2 3V = − × × × × × = 图 110． ，令 ，则 为
奇函数，所以 关于坐标原点对称，则 关于 成中心对称，则有
，所以 ，故选 C．
11．令 ，则 ，则存在 ，使得 ，
所以 在 取得最小值， ，在 上单调递减，所以
有 ，故选 B．
12．设 ， ，则过 A，B 的切线方程分别为 ， ，
联立解得 ，所以 P 点必在抛物线的准线上，且 PM 平行于 x 轴，所
以①⑤正确；两条切线的斜率 ，所以 ，②正确；设 AB 的
中点 M，则 PM 平行于 x 轴，则 ，
当 轴时，取等号，所以③错误； ，所以 ，④
正确，故选 C．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
答案 2 6
【解析】
13 ．不等式组表示的可行域如图 2 所示，当 x ，y 为直线
与 的交点 时， 的
最小值为 .
14． 的展开式的通项公式 ，令 ，解得 ，所以 的系
数为 10206．
2 2 21 2cos e e 4 (e e )22 cos 2 cos 2
x x x xx x x xf x x x
− −+ − + − + = = + + +
2 (e e )( ) cos 2
x xxh x x
−−= + ( )h x
( )h x ( )f x 1 22
， ( )f x +
(1 ) 4f x− = 1 2 2019+ + + 40382020 2020 2020f f f = …
( ) e lnxF x x= − 1( ) exF x x
′ = − 0
1 2
2 2x
∈
， 0
0
0
1( ) e 0xF x x
′ = − =
( )F x 0x 0
0 0 0
0
1( ) e lnxF x x xx
= − = + 1 2
2 2
，
min
3 2 5| |2 2PQ< <
1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 1yy px px= + 2 2yy px px= +
1 2
2 2
y ypP
+−
，
1 2
1 2
1p pk k y y
= = − AP PB⊥
2 2
21 2
1 2 1 2
1 1| || | | |2 2 4 2PAB
y y pS PM y y y y pp
+= − = + −
△ ≥
AB x⊥ 1 2
1 2
2 12PF AB
y y pk k p y y
+= = −− + PF AB⊥
2
3 10206
0x y− = 2 1 0x y+ − = 1 1
3 3
， z x y= +
2
3
93x
x
+
39 2
1 9C 3
r
r r
rT x
−
+ = 39 32
r− = 4r = 3x
图 215 ． 圆 C ： 的 圆 心 为 ， 四 边 形 PACB 的 面 积
，所以当 PC 最小时，四边形 PACB 面积最小．代入点到
直线的距离公式， ，故四边形 PACB 面积的最小值为 2．
16．如图 3，由对称性知，球 O 的球心在中垂线 MN 上，设球 O 的半径为 R，
在 中，由勾股定理可得 在 中，由勾股
定理可得 ，
，由 ，联立解得 ．
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）已知 ，
由正弦定理， ，
整理得 ，
由余弦定理： ，又 ，
所以 ． ………………………………………………………………（4 分）
（2）已知 ，
整理得 ，
，
即 ．
①当 时， 为直角三角形， ；
②当 时， ，
所以 ， 为等边三角形， ． ……………………（12 分）
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）x 的值为 ，
2 2 2 3 0x y x+ + − = ( 1 0)− ， S PA AC= =
2 2 22 4PC AC AC PC− = −
min| | 5PC =
2Rt O MN△ 2 3MN = 1Rt O MO△
2 2
1 1MO OO MO= − = 2 2( 2) 2R − − 2 2
4 4NO OO NO= −
2 2( 3) 3R= − − MO NO MN+ = 6R =
(sin sin )(sin sin ) (sin sin )sinA C A C A B B+ − = −
( )( ) ( )a c a c a b b+ − = −
2 2 2ab a b c= + −
1cos 2C = 0 πC< <
π
3C =
sin sin( 2 ) sin 2C C A A+ + =
sin( ) sin(π ) sin 2A B B A A+ + − + =
sin( ) sin( ) sin 2A B B A A+ + − =
2sin cos 2sin cosB A A A=
cos 0A = ABC△ 1 15 5 352 3 6ABCS = × × =△
cos 0A ≠ sin sinB A=
a b= ABC△ 5 3
4ABCS =△
1 0.05 0.1 0.15 0.3 0.0220x
− − − −= =
图 3数学成绩在 90 分以上的人数： ．
…………………………………………………………（4 分）
（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，
成绩在 110 以上的概率 ，
所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取 4 人，
所选 4 人中成绩在 110 以上的人数 ，
随机变量 的取值可能为 0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
随机变量 的分布列
0 1 2 3 4
P 0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
随机变量 数学期望 ． ……………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明：如图 4，
∵ 平面 ABC， 平面 ABC，
∴ ．
又∵ ，∵ ，
∴ ．
又∵ ，
20 (0.4 0.15 0.05) 12× + + =
0.15 0.05 0.2P = + =
(4 0.2)Bξ ，
ξ
4( 0) 0.8 0.4096P ξ = = =
1 3
4( 1) C 0.2 0.8 0.4096P ξ = = × × =
2 2 2
4( 2) C 0.2 0.8 0.1536P ξ = = × × =
3 3
4( 3) C 0.2 0.8 0.0256P ξ = = × × =
4( 4) 0.2 0.0016P ξ = = =
ξ
ξ
ξ ( ) 4 0.2 0.8E ξ = × =
1A B ⊥ AC ⊂
1A B AC⊥
AB AC⊥ 1AB A B B=
1AC A AB⊥ 平面
1 1AC A ACC⊂ 平面
图 4∴平面 平面 ． ………………………………………………（4 分）
（2）解：过点 A 作平面 ABC 的垂线作为 z 轴，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，建立如图 5 所示
的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，
则有 令 ， ，
设平面 的法向量 ，
则有 令 ， ，
向量 ， 所成角的余弦值： ．
∴ ，
∴二面角 的正弦值为 ． ……………………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
（1）解：由 ，得 ，
又 在椭圆上，
代入椭圆方程有 ，解得 ，
所以椭圆 C 的标准方程为 ． ………………………………………（4 分）
（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时， ， ，
，解得 ，不符合题意；
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 ， ， ，
1AA B ⊥ 1 1AAC C
(0 0 0)A ， ， (1 0 0)B ， ， (0 1 0)C ，， 1(1 0 3)A ， ，
1(1 1 3)C ，，
1ACC 1 1 1 1( )n x y z= ， ，
1
1 1 1
0
3 0
y
x y z
= + + =
，
， 1 1z = 1 ( 3 0 1)n = − ， ，
1ABC 2 2 2 2( )n x y z= ， ，
2
2 2 2
0
3 0
x
x y z
= + + =
，
， 2 1z = 2 (0 3 1)n = − ， ，
1n
2n 1 2
1 2
1cos 4| | | |
n n
n n
θ = =
2 15sin 1 cos 4
θ θ= − =
1B AC C− − 15
4
1 2| | | | 4PF PF+ = 2a =
31 2P − ，
2 2
1 9 14a b
+ = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
1 1( )A x y， 1 1( )B x y−，
1 1
1 2
1
3 3
2 2 11
y y
k k x
− − −
+ = =+ 1 4x = −
y kx m= + 1 1( )A x y， 2 2( )B x y，
图 5由 整理得 ，
， ， ．
由 ，整理得 ，
即 ．
当 时，此时，直线 l 过 P 点，不符合题意；
当 时， 有解，此时直线 l： 过定点 ．
……………………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
（1）解：函数 的定义域为 ，
，解得 (舍去)， ．
当 时， 在 上恒成立，所以函数 单调递增；
当 时，在 上 ，函数 单调递减，
在 上 ，函数 单调递增． ……………………………（4 分）
（2）证明：由（1）知，当 时，在 上 ，函数 单调递减；
在 上 ，函数 单调递增，
当 时， ，当 时， ，
而当 时， ，
所以函数 的图象与 x 轴有两个交点．
设 ， ，则有 ，
要证 ，只需证 ，
设 ，令 ，
则有 ，
2 23 4 12 0
y kx m
x y
= +
+ − =
，
，
2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
3 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
−= +
2 24 3 0k m∆ = − + >
1 2 1k k+ = 1 2 1 2
5(2 1) ( ) 2 4 02k x x k m x x m − + + − + + − =
( 4 )(2 2 3) 0m k m k− − − =
3
2m k= +
4m k= 2 24 3 0k m∆ = − + > ( 4)y k x= + ( 4 0)− ，
( )f x { | 0}x x >
22 (1 2 ) (2 1)( )( ) 0x a x a x x af x x x
+ − − + −′ = = = 1
1
2x = − 2x a=
0a < ( ) 0f x′ > (0 + )∞， ( )f x
0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x
( )a + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > (0 )a， ( ) 0f x′ < ( )f x
( )a + ∞， ( ) 0f x′ > ( )f x
x → +∞ ( ) +f x → ∞ 0x → ( ) +f x → ∞
2a > 2( ) ln 0f a a a a a= − − <
( )y f x=
1( 0)A x， 2( 0)B x ， 1 20 x a x< < <
0( ) 0f x′ > 1 2 2x x a+ >
0 x a< < ( ) ( ) (2 )F x f x f a x= − −
( ) 0F a =，
在 上单调递减，又 ，
所以 ，即 ，
又 ，则有 ，
而由已知 ，所以 ．
又 ， ，函数 在 上 单调递增，
所以 ，即 ，命题得证． ……………………………（12 分）
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)，
消参得曲线 的直角坐标方程为 ，
由 得曲线 的极坐标方程为 ．
曲线 的极坐标方程为 ， ………………………………（5 分）
（2） ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ． ………………………………………（10 分）
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
解：（1）由绝对值不等式 ，
所以 ． ………………………………………………………………（5 分）
（2）由（1）知： ，即 ，所以 ，
由柯西不等式：
，
当且仅当 ，等号成立． …………………………………………（10 分）
22( )( ) ( ) (2 ) 0(2 )
x aF x f x f a x x a x
− −′ ′ ′= + − = ( ) (2 )f x f a x> −
10 x a< < 1 1( ) (2 )f x f a x> −
1 2( ) ( ) 0f x f x= = 2 1( ) (2 )f x f a x> −
12a a x< − 2a x< ( )f x ( )a + ∞， ( )f x
2 12x a x> − 1 2 2x x a+ >
1C 1 cos
sin
x
y
θ
θ
= +
=
，
，
θ
1C 2 2( 1) 1x y− + =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
，
， 1C 2cosρ θ=
2C 2sin 8cosρ θ θ=
1 2 2
8cos 13| | | | 2cossin 3PQ
θρ ρ θθ= − = − =
1C | |PQ 3
2d =
1
1 13 3| |2 12PQCS PQ d= =△
( ) | 2 1| | 2 3| | 2 1 2 3| 4f x x x x x= − − + − − − =≤
4m =
4m = 4a b c+ + = 1 1 1 1a b c− + − + − =
21 1 1 1 1 1 ( 1 1 1) (1 1 1) 91 1 1 1 1 1 a b ca b c a b c
+ + = + + − + − + − + + = − − − − − − ≥
4
3a b c= = =
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