1 / 20
专题 14.6 数列综合问题（专题训练卷）
一、单选题
1．（2020·四川眉山 高一期末）等差数列 中， ，公差 ， 为其前 项和，对任意自然数
，若点 在以下 4 条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由等差数列的前 和公式可知： ， 则 是定义在 上的二
次函数，
所以，当 ，公差 时，对称轴在 轴右侧，且有最大值，C 符合要求.
故选：C.
2．（2020·定远县育才学校高一期末）已知等差数列 的公差为 3,若 成等比数列, 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ 成等比数列，
∴ ，
{ }na 1 0a > 0d < nS n
n ( ), nn S
n
( ) 2
1 1
1
2 2 2n
n n d d dS na n a n
− = + = + − nS *n N∈
1 0a > 0d < x
{ }na 1 3 4, ,a a a 2a =
9− 6− 8− 10−
1 3 4, ,a a a
2
3 1 4a a a= ⋅ 2 / 20
∴ ，
解得 ．
∴ ．选 A．
3．（2020·安徽黄山 高一期末）在等差数列 中， ，数列 是等比数列，且
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
根据等差数列的性质得： ，
变为： ，
解得 ， （舍去），
所以 ，
则 ．所以
故选：C．
4．（2020·陕西省洛南中学高二月考）已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
∵ 时适合 ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，又∵ ，∴ ，
故选：B
2
1 1 1( 6) ( 9)a a a+ = ⋅ +
1 12a = −
2 12 3 9a = − + = −
{ }na 2
6 7 82 2 0a a a− + = { }nb
7 7a b= ( )2 6 8log b b =
76 8 2a a a+ =
2
6 7 82 2 0a a a− + = 2
7 74a a=
7 4a = 7 0a =
7 7 4b a= =
2
6 8 7 16b b b= = ( )2 6 8 2log log 16 4b b = =
{ }na n 2 8nS n n= − k 4 7ka< <
k =
( )
( )
( )
( )1
1
1 7 1
2 9 2 2n
n n
S n na S S n n n−
= − = = = − ≥ − + ≥
1n = 2 9na n= − 2 9na n= −
4 7ka< < 4 2 9 7k< − <
13 82 k< < k ∗∈N 7k = 3 / 20
5．（2020·校高一期末（文））定义：在数列 中， ，且 ，若 为
定值，则称数列 为“等幂数列”.已知数列 为“等幂数列”，且 为数列 的前 项
和，则 为（ ）
A．6026 B．6024 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
．
故选：A．
6．（2020·高三其他）已知数列 ， ，其中 ，且 ， 是方程
的实数根，则 等于（ ）
A．24 B．32 C．48 D．64
【答案】D
【解析】
因为 ， 是方程 的实数根，
所以 ， ，
又 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
因此 ，
所以 .
故选：D.
7．（2020·全国高三其他（文））在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 成等差数列，
{ }na 0na > 1na ≠ 1na
na +
{ }na { }na 1 22, 4, na a S= = { }na n
2009S
1 22, 4a a= = 3 3 4
2 4 2a aa = = 3 2a = 42 16a = 4 4a =
2 1 2na − = 2 4na = *n N∈
2009 (2 4) 1004 2 6026S = + × + =
{ }na { }nb 1 1a = na 1na +
2 2 0n
nx b x− + = 10b
na 1na +
2 2 0n
nx b x− + =
1n n na a b++ = 1 2n
n na a + =
1 1a = 2 2a =
2n ≥ 1
1 2n
n na a −
− = 1 1
1 1
2n n n
n n n
a a a
a a a
+ +
− −
= =
4
10 2 2 32a a= ⋅ = 5
11 1 2 32a a= ⋅ =
10 10 11 32 32 64b a a= + = + =
ABC A B C a b c 4 / 20
， 的面积为 ，那么 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ， ， 成等差数列，所以 ．
因为 的面积为 ， ，所以 ，
所以 ．又 ，
所以 ，
即 ，所以 ．
故选：B．
8．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）对于正项数列 ，定义 为数列
的“匀称”值，已知数列 的“匀称”值为 ，则该数列中的 等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
由题意， ，
即 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ，
显然 也满足 ，所以 ， ，
因此 .
6C
π= ABC
3
2
c =
3 1− 3 1+
3 2 3 1+
a c b 2c a b= +
ABC
3
2 6C
π= 1 3sin2 6 2ab
π =
6ab = 2 2 2 2 cos 6c a b ab
π= + −
2 24 12 6 3c c= − −
2 4 2 3c = + 3 1c = +
{ }na 1 2 22 3 n
n
a a a naG n
+ + +⋅⋅⋅+=
{ }na { }na 2nG n= + 10a
21
10
4
5 2 3
1 2 22 3 2n
n
a a a naG nn
+ + +⋅⋅⋅+= = +
2
1 2 22 3 2na a a na n n+ + +⋅⋅⋅+ = +
1n = 1 1 2 3a = + =
2n ≥ ( ) [ ]1 2 2 1 2 2 12 3 2 3 ( 1) 2 1n n nna a a a na a a a n a n−= + + +⋅⋅⋅+ − + + +⋅⋅⋅+ − = +
12na n
= +
1 3a = 12na n
= + 12na n
= + *n N∈
10
21
10a = 5 / 20
故选：A.
9．（2020·黑龙江松北 哈九中高一月考）如图，已知点 为 的边 上一点， ，
（ ）为 边上的一列点，满足 ，其中实数列 中， ，
，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ， ，
为边 的一列点，
，
化为： ，即 ，
数列 是等比数列，首项为 2，公比为 3．
，即 ，
故选： ．
10.（2020·四川眉山 高一期末）已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ，
，数列 满足 ，且当 时，有 （其中 为 的前 项和，且
）.则 （ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】
D ABC∆ BC 3BD DC=
nE
*n N∈ AC 1
1 (3 2)4n n n n nE A a E B a E D+= − + { }na 0na >
1 1a = { }na
13 2 1n−⋅ − 2 1n − 3 2n − 12 3 1n−⋅ −
1
1 (3 2)4n n n n nE A a E B a E D+= − + 3
4n n nE D BD BE BC BE= − = −
nEnA BA BE= −
1
1 9 3( 3 3) ( )4 4 2n n n na a BE BA a BC+∴ − + + = + +
( )nE n N+∈ AC
1
1 9 33 3 14 4 2n n na a a+∴− + + = + +
1 3 2n na a+ = + 1 1 3( 1)n na a+ + = +
∴ { 1}na +
11 2 3n
na −∴ + = × 12 3 1n
na −= × −
D
R ( )f x (3 ) ( )f x f x+ =
( 2) 3f − = − { }na 1 1a = 2n ≥ 22 n n n na a S S= − nS { }na n
0nS ≠
5 9
1 1f fS S
+ =
2− 3− 6 / 20
当 时， 代入 得 ，
整理得 ，
所以数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 ， ，
因为定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故选：A.
二、多选题
11.（2020·江苏省镇江中学高二期末）对于数列 ，若存在正整数 ，使得 ， ，
则称 是数列 的“谷值”，k 是数列 的“谷值点”，在数列 中，若 ，下面哪些数
不能作为数列 的“谷值点”？（ ）
A．3 B．2 C．7 D．5
【答案】AD
【解析】
，故 ， ， ， ， ， ， ， .
2n ≥ 1n n na S S −= − 22 n n n na a S S= − 2
1 12( ) ( )n n n n n nS S S S S S− −− = − −
1
1 1 1 ( 2)2n n
nS S −
− = ≥
1
nS
1 1
1 1 1S a
= = 1
2
1 1 11 ( 1) 2 2n
nnS
+= + − × =
5
1 5 1 32S
+= =
9
1 9 1 52S
+= =
R ( )f x (3 ) ( )f x f x+ = ( 2) 3f − = −
(0) 0f = (3) (3 0) (0) 0f f f= + = =
(5) (3 2) (2) ( 2) ( 3) 3f f f f= + = = − − = − − =
5
1( ) (3)f fS
= 0=
9
1( ) (5) 3f fS
= =
5 9
1 1( ) ( ) 0 3 3f fS S
+ = + =
{ }na ( )2k k ≥ 1k ka a −< 1k ka a +<
ka { }na { }na { }na 9 8na n n
= + −
{ }na
9 8na n n
= + − 1 2a = 2
3
2a = 3 2a = 4
7
4a = 5
6
5a = 6
1
2a = 7
2
7a = 8
9
8a = 7 / 20
故 ， 不是“谷值点”； ， ，故 是“谷值点”；
， ，故 是“谷值点”； ， 不是“谷值点”.
故选： .
12.（2020·河北省盐山中学高一开学考试）在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，
若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为 2 的等差数列
【答案】ABC
【解析】
∵ ， 且公比 为整数，
∴ ， ，
∴ ， 或 （舍去）故 A 正确，
，∴ ，故 C 正确；
∴ ，故数列 是等比数列，故 B 正确；
而 ，故数列 是公差为 lg2 的等差数列，故 D 错误．
故选：ABC.
13.（2020·山东新校高三月考）已知数列 满足
给出下列四个命题，其中的真命题是（ ）
A．数列 单调递增； B．数列 单调递增；
C．数 从某项以后单调递增； D．数列 从某项以后单调递增.
【答案】BCD
【解析】
2 3a a< 3 1 2a a> 3 2a a> 2
6 7a a> 8 7a a> 7 6 5a a< 5
AD
q { }na nS { }na n
1 4 18a a+ = 2 3 12a a+ =
2q = { }2nS +
8 510S = { }lg na
1 4 18a a+ = 2 3 12a a+ = q
3
1 1 18a a q+ = 2
1 1 12a q a q+ =
1 2a = 2q =
1
2q =
( ) 12 1 2
2 21 2
n
n
nS +
−
= = −− 8 510S =
12 2n
nS ++ = { }2nS +
lg lg 2 lg 2n
na n= = { }lg na
{ } { },n na b
1 1 1 13
12 , 2 ln ( ), 0n n n n n n
na a b b a b n N a bn
∗
+ +
+= + = + + ∈ + >
{ }n na b− { }n na b+
{ }na { }nb 8 / 20
因为 ，所以 ，
当 时, ,所以 ，所以 A 错误；
， ，
所以 是等比数列， ，所以 B 正确；
，故 ，C 正确；
因为 ，所以 ，
根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以 D 正确.
故选： .
14.（2020·广东省佛山市三水区三水中学高一月考）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度
和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 满足： ，
， .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为
1，记前 项所占的格子的面积之和为 ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
对于 A 选项，因为斐波那契数列总满足 ，
所以 ，
，
1 1
12 , 2 lnn n n n n n
na a b b a b n+ +
+= + = + + 1 1 3
1lnn n n n
na b a b n+ +
+− = − −
1n = 2 2 1 1 ln 2a b a b− = − − 2 2 1 1
− < −a b a b
1 1 3
13( ) lnn n n n
na b a b n+ +
++ = + + 1 1 ln( 1) 3( ln )n n n na b n a b n+ ++ − + = − −
{ ln }n na b n+ − ( ) 1
1 1 3 ln−+ = + ⋅ +n
n na b a b n
1
1 1 12 ln ( )3n
n n n na a b a n a b −
+ = + = + + + 1
1 1 1ln ( )3 0n
n na a n a b −
+ − = + + >
1 3
1lnn n n n
nb b a b n+
+= + + + 1
1 1 1ln( 1) 2ln ( )3n
n nb b n n a b −
+ − = + − + +
BCD
{ }na 1 1a =
2 1a = ( )*
1 2 3,n n na a a n n N− −= + ≥ ∈
n nS nc
2
1 1 1n n n nS a a a+ + += + ⋅ 1 2 3 2 1n na a a a a ++ + + + = −
1 3 5 2 1 2 1n na a a a a−+ + + + = − ( )1 2 14 n n n nc c a aπ− − +− = ⋅
( )*
1 2 3,n n na a a n n N− −= + ≥ ∈
2
1 2 1a a a=
( )2
2 2 2 2 3 1 2 3 2 1a a a a a a a a a a= = − = − 9 / 20
，
类似的有， ，
累加得 ，
由题知 ，
故选项 A 正确，
对于 B 选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项 B 正确，
对于 C 选项，因为 ， ， ，
类似的有 ，
累加得 ，
故选项 C 错误，
对于 D 选项，可知扇形面积 ，
故 ，
故选项 D 正确，
故选：ABD.
三、单空题
15．（2020·全国高三课时练习（理））我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如
数列 就是二阶等差数列，数列 的前 3 项和是________．
【答案】
【解析】
( )2
3 3 3 3 4 2 3 4 3 2a a a a a a a a a a= = − = −
( )2
1 1 1 1n n n n n n n n n na a a a a a a a a a+ − + −= = − = −
2 2 2 2
1 2 3 1n n na a a a a a ++ + + + = ⋅
2 2 2 2 2 2
1 1 2 3 1 1 2 1 1n n n n n n n nS a a a a a a a a a a+ + + + + += + + + + + = ⋅ = + ⋅
1 1a a= 2 3 1a aa= − 3 4 2a a a= −
1 1n n na aa + −= −
1 2 3 1 2 2+ + 1n n n na a a a a a aa + ++ + = + − = −
1 1a a= 3 4 2a a a= − 5 6 4a a a= −
2 1 2 2 2n n na a a− −= −
1 3 2 1 1 2 2 2+ + n n na a aa a aa −+ = + − =
2
4
n
n
ac
π ⋅=
( ) ( )2 2
2 2
1 1
1
1 24 44 4n n n n
n n
n nc c a aa a a a
π π π π +− −
−
−
− = − = − = ⋅
⋅ ⋅
( 1)
2
n n +
( 1)
2
n n + ( N )n ∗∈
10 10 / 20
因为 ，所以 ．
即 ．
故答案为： .
16.（2020·安徽庐江 高一月考）已知数列 满足 ， 且 ，则该数
列的前 9 项之和为__________.
【答案】34
【解析】
，
当 为奇数时， ，
则数列 是常数列， ；
当 为偶数时， ，
则数列 是以 为首项， 的等差数列，
.
故答案为：34.
17.（2020·四川眉山 高一期末）已知实数 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值是
_________.
【答案】32
【解析】
由题意，实数 ， ， 是 与 的等比中项，
可得 ，解得 ，
所以 ，
( )1
2n
n na
+= 1 2 31, 3, 6a a a= = =
3 1 2 3 1 3 6 10S a a a= + + = + + =
10
{ }na 1 2a = 2 3a = *
2 1 ( 1) ,n
n na a n N+ − = + − ∈
*
2 1 ( 1) ,n
n na a n N+ − = + − ∈
∴ n 2 1 2 1 0n na a+ −− =
2 1{ }na − 2 1 1 2na a− = =
n 2 2 2 2n na a+ − =
2{ }na 2 3a = 2
1 2 9 1 3 9 2 4 8( ) ( )a a a a a a a a a∴ + + + = + + + + + + +
4 32 5 (3 4 2)2
×= × + × + ×
34=
0a > 0b > 2 8a 2b 6 2
a b
+
0a > 0b > 2 8a 2b
2 3( 2) 2 28a b a b+= × = 3 1a b+ =
6 2 6 2 6 6 6 6( )(3 ) 20 20 2 32b a b aa ba b a b a b a b
+ = + + = + + ≥ + ⋅ = 11 / 20
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
四、双空题
18.（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数
列”，斐波那契数列 满足以下关系： ， ， ，记其前 项和
为 ，设 ( 为常数)，则 ______； ______.
【答案】
【解析】
因为斐波那契数列 满足 ， ， ，
∴ ； ； ； …
；
所以 ，
因为
．
故答案为： ， ．
19．（2020·黑龙江高二期末（文））某生物病毒繁殖规则如图，现有一个这种生物病毒，初始状态为 t＝0（t
表示时间，单位：小时），请写出 4 小时后此病毒的个数_____，由此推测 n 小时后此病毒的个数为_____.
【答案】
【解析】
根据图分析可知，
6 6b a
a b
+ 1
4a b= =
6 2
a b
+ 32
32
{ }na 1 1a = 2 1a = ( )1 2 3− −= + ≥ ∈ ∗n n na a a n ,n N n
nS 2020a m= m 2018 2020
− =S S 1 3 5 2019
+ + +⋅⋅⋅+ =a a a a
1− m
{ }na 1 1a = 2 1a = 1 2n n na a a− −= +
3 1 2a a a= + 4 2 3 1 2 1a a a a a= + = + + 5 3 4 1 2 3 1a a a a a a= + = + + +
2 1 1 2 3 1 1n n n n na a a a a a a S+ + += + = + + +… = +
2018 2020 1S a− = −
1 3 5 2019 1 1 2 3 4 2017 2018 1 2018 1 1a a a a a a a a a a a a S m m+ + +…+ = + + + + …+ + = + = + − =
1− m
61 22 3n+ − 12 / 20
，病毒的个数是 1 个；
，病毒的个数是 5 个；
，病毒的个数是 13 个；
，病毒的个数是 29 个；
可推出 ，病毒的个数是 个；
可得 ， ， ， ，可得
所以 小时后病毒的个数：
故答案为： ；
20．（2020·浙江金华 高二期末）已知数列 满足： ， 的前 项
和为 ，则当 时， ________；当 时，数列 的通项公式为 ________.
【答案】
【解析】
当 时， ，即 ，
所以 ，
时， ，
所以有 ，
所以 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
故答案为：① ；② .
0t =
1t =
2t =
3t =
4t = ( )29 29 13 2 61+ − × =
25 1 4 2− = = 313 5 8 2− = = 429 13 16 2− = = 1
1 2n
n na a +
+ − =
( )2n n ≥ ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1n n na a a a a a a a −= + − + − + + −
( )1
2 3 24 1 2
1 2 2 2 1 2 31 2
n n
−
+
−
= + + + + = + = −−
61 22 3n+ −
{ }na
( )
( ) ( )1
1 , 12
1 2 1 2 2
n
n
n
a
a nλ
−
==
+ ⋅ − + ≥
{ }na n
nS 1λ = 11S = 2λ = { }na na =
21
2
3 12
n
na = −
1λ = 1 2n na a −= − + 1 2n na a −+ =
11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 21( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) 2 5 2 2S a a a a a a a a a a a= + + + + + + + + + = × + =
2λ = 13 2n na a −= +
11 3( 1)n na a −+ = +
{ }1na + 1
31 2a + =
131 32
n
na −+ = ⋅ 3 12
n
na = −
21
2
3 12
n
na = − 13 / 20
21. 38．（2019·天津河西 高二期中）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ，且满足
，则数列 中的最大项是第________项，最大项是________.
【答案】4 ．
【解析】
因为 （1）， 时， ，（2），（1）－（2）得 ，
又 ，所以 ，所以数列 的奇数项与偶数项分别成等差数列，
由 ， 得 ，
又 ， ，又 ，所以 ，
综上， ， ，
则 ，
，
由于勾形函数 在 上是减函数，在 上是增函数，又 时， ， 时，
，
所以 在 时取得最小值 ，所以 的最大项是第四项，最大项为
．
故答案为：4； ．
五、解答题
22．（2020·高二开学考试（理））已知数列 中， ，
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明．
{ }na n nS 1 1a =
1 2n n na a S+ =
2 15
n
n
a
S
+
4
35
1 2n n na a S+ = 2n ≥ 1 12n n na a S− −= 1 1 2n n n n na a a a a+ −− =
0na ≠ 1 1 2n na a+ −− = { }na
1 1a = 2 1 2 1 2n na a+ −− = 2 1 1 2( 1) 2 1na n n− = + − = −
1 2 1 12 2a a S a= = 2 2a = 2 2 2 2n na a+ − = 2 2 2( 1) 2na n n= + − =
na n= *n N∈
( 1)
2n
n nS
+=
2
1
152 15 15 1
n
n
a n
S n n n n
= =+ + + + +
15y x x
= + (0, 15) ( 15, )+∞ 3x = 8y = 4x =
31
4y =
15y n n
= + 4n = min
31
4y =
2 15
n
n
a
S +
1 4
31 3514
=
+
4
35
{ }na 1 11, 2 1n na a a+= = +
2 3 4 5, , ,a a a a
na 14 / 20
【答案】(I） ；（II）见解析.
【解析】
(1） ；
（2）猜想：
证明：①当 n=1 时， ，猜想成立.
②假设 n=k 时成立，即 ，
则当 n=k+1 时，由 得
所以 n=k+1 时，等式成立.
所以由①②知猜想 成立.
23．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足 a1=3， ．
（1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2 为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
2 3 4 53, 7, 15, 31a a a a= = = =
2 3 4 53, 7, 15, 31a a a a= = = =
2 1n
na = −
1
1 2 1 1a = − =
2 1k
ka = −
1 2 1n na a+ = +
( ) 1
1 2 1 2 2 1 1 2 1k k
k ka a +
+ = + = − + = −
2 1n
na = −
1 3 4n na a n+ = −
2 5a = 3 7a = 2 1na n= + 1(2 1) 2 2n
nS n += − ⋅ +
2 13 4 9 4 5a a= − = − = 3 23 8 15 8 7a a= − = − =
{ }na { }na 3 2 1na n= +
1n = 1 3a =
n k= 2 1ka k= +
1n k= + 1 3 4 3(2 1) 4 2 3 2( 1) 1k ka a k k k k k+ = − = + − = + = + +
*n N∈ 2 1na n= +
2 (2 1) 2n n
na n⋅ = + ⋅ 15 / 20
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
24.（2020·四川三台中学实验学校高一月考）已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ，
且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为公差 不为 的等差数列 的前 项和为 ，
且 成等比数列．
∴ ，即 ，即
， 即
联立解得：
∴
（2）由（1）可得： ，
∴
∴
2 3 13 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n−= × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n
nS n n += × + × + × + + − ⋅ + + ⋅
− ( )2 3 16 2 2 2 2 (2 1) 2n n
nS n +− = + × + + + − + ⋅
( )2 1
12 1 2
6 2 (2 1) 21 2
n
nn
−
+
−
= + × − + ⋅
×
−
1(1 2 ) 2 2nn += − ⋅ −
1(2 1) 2 2n
nS n += − ⋅ +
0 { }na n nS 7 70S =
1 2 6, ,a a a
{ }na
2 n
n
Sb n
=
1
1
n nb b +
n nT
3 2na n= −
6 4n
nT n
= +
d 0 { }na n nS 7 70S =
1 2 6, ,a a a
2
2 1 6a a a= ( ) ( )2
1 1 1 5a d a a d+ = + 13d a=
1
7 67 702a d
×+ = 1 3 10a d+ =
1 1, 3= =a d
( )1 3 1 3 2na n n= + − = −
( ) ( )3 2 1 3 1
2 2n
n n n nS
− + −= =
2 3 1n
n
Sb nn
= = −
( )( )1
1 1 1 1 1=3 1 3 2 3 3 3 2n nb b n n n n+
= − − + −1 + 16 / 20
∴数列 的前 项和
24．（2020·四川武侯 成都七中高一月考）已知数列 满足 ，且 （ 且
），
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和．
【答案】（1）证明见解析（2） .
【解析】
（1）
数列 为等差数列
（2）由（1）知 ,
1
1
n nb b +
n 1 1 1 1 1 1 1= + + +3 2 5 5 8 3 3 2nT n n
− − … − −1 +
1 1 1
3 2 3 2n
= − +
6 4
n
n
= +
{ }na 1 1a = 12 2n
n na a −= + 2,n
*n N∈
2
n
n
a
( )1 3 (2 1)23
n
n
n nb a n = − + +
{ }nb
1 21 ( 1) (2 1) 3
n
n n+ − − − +
12 2n
n na a −= +
1
1 12 2
n n
n n
a a −
−∴ = +
1
1 12 2
n n
n n
a a −
−∴ − =
∴
2
n
n
a
1 ( 1) 12 2
n
n
a a n′= + − ⋅ 1
2n= −
1 22
n
na n ∴ = −
1(2 1)2nn −= −
( )11( 1) 3(2 1)2 (2 1)23
n n n
n nb n n−= − − + +
12 2( 1) (2 1) (2 1)3 3
n n
n n n
− = − − + +
1
12 2( 1) (2 1) ( 1) (2 1)3 3
n n
n nn n
−
+ = − − − − + 17 / 20
为方便设 ，
则
∴
25．（2020·校高一期末（理））已知数列 的前 项和为 ，
，且 ， 为等比数列， ， ．
求 和 的通项公式；
设 ， ，数列 的前 项和为 ，若对 均满足 ，求整数 的最
大值．
【答案】（1） ， ；（2）1345.
【解析】
，且 ，
当 时， ，
即为 ，
即有 ，
上式对 也成立，
则 ， ；
12( ) ( 1) (2 1) 3
n
nf n n
− = − −
( ) ( 1)nb f n f n= − +
1 2 nb b b+ + +L
(1) (2) (2) (3) ( ) ( 1)f f f f f n f n= − + − + + − +
(1) ( 1)f f n= − +
1 21 ( 1) (2 1) 3
n
n n+ = − − − +
{ }na n ( )*NnS n∈
2
3n n
nS a
+= 1 1a = { }nb 1 3 4b a= − 4 5 1b a= +
( )1 { }na { }nb
( )2
1
n
n
n
n bc a +
⋅= *Nn∈ { }nc n nT *Nn∀ ∈
2019n
mT > m
( )1
2n
n na
+= 2n
nb =
( ) 21 3n n
nS a
+= 1 1a =
2n ≥ 1 1
2 1
3 3n n n n n
n na S S a a− −
+ += − = −
( )
1
1 21
n
n
a n na n−
+= ≥−
( )32
1
1 2 1
13 4 11 1 2 2 1 2
n
n
n
n na aa n na a a a a n n−
++= ⋅ ⋅ … = ⋅ ⋅ … ⋅ =− −
1n =
( )1
2n
n na
+= *n N∈ 18 / 20
为公比设为 q 的等比数列， ， ．
可得 ， ，则 ，即 ，
， ；
，
前 n 项和为 ，
，
即 ，可得 递增，则 的最小值为 ，
可得 ，即 ，
则 m 的最大值为 1345．
26. （2020·浙江省高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求 q 与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
【答案】（I） ；（II）证明见解析.
【解析】
（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以
.
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以
.
所以 （ ）.
{ }nb 1 3 4b a= − 4 5 1b a= +
1 6 4 2b = − = 4 15 1 16b = + = 3 8q = 2q =
2n
nb = *n N∈
( ) ( )( )
1 2 1
1
2 2 22 1 2 2 1
n n n
n
n
n
n b nc a n n n n
+ + +
+
⋅ ⋅= = = −+ + + +
3 2 4 3 2 1 22 2 2 2 2 2 2 23 2 4 3 2 1 2
n n n
nT n n n
+ + +
= − + − +…+ − = −+ + +
( )
( )( )
2
1 1
1 2 02 3
n
n n n
nT T c n n
+
+ +
+ ⋅− = = >+ +
1n nT T+ > nT nT 1
2
3T =
2
3 2019
m> 1346m <
1 1 1 1 1
2
1, , ( )n
n n n n n
n
ba b c c a a c c nb+ +
+
= = = = − = ⋅ ∈ *N
0q > 1 2 36b b b+ =
0d > 1 2
11nc c c d
+ + + < + *( )n N∈
11 4 2, .2 3
n
nq a
− += =
2
1 2 31, ,b b q b q= = = 1 2 36b b b+ = 21 6q q+ = 0q > 1
2q =
1
1
2n nb −=
2 1
1
2n nb + += 1
1
1
1
2 41
2
n
n n n
n
c c c
−
+
+
= ⋅ = ⋅ { }nc 1 4
14n
nc −=
1
1 4n n n
na a c −
+ = =− *2,n n N≥ ∈ 19 / 20
所以
（II）依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
.
所以
.
由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
27.（2019·江西新余 高二期末（文））已知数列 是各项均为正数的等差数列，其中 ，且
成等比数列；数列 的前 项和为 ，满足 .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）如果 ，设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成立，若存在，求出
的最小值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ， ；（2）存在； ．
【解析】
（1）设数列 的公差为 ，依条件有 ，即 ，
解得 （舍）或 ， ，由 得 ，
1
2
1
4 21 4 4 .3
n
n
na a
−
− += + + +⋅⋅⋅+ =
( )1 1 1nb n d dn d= + − = + − 1
2
n n
n n
c b
c b
+
+
=
1
1 1
n n
n n
c b
c b
−
− +
= ( )*2,n n N≥ ∈
1 3 2
1
1 2 2 1
n n
n
n n
c c c cc cc c c c
−
− −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 3 2 1
1
1 1 4 3
n n n
n n n
b b b b b cb b b b b
− − −
+ −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 11
n n n n n n
b b d
b b d b b d b b+ + +
+ = = − = + −
1 2
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 11n
n n
c c c d b b b b b b +
+ + + = + − + − + + −
1
1 11 1
nd b +
= + −
10, 1d b> = 1 0nb + >
1
1 1 11 1 1
nd b d+
+ − < +
1 2
11nc c c d
+ +…+ < + *n N∈
{ }na 1 1a = 2 4 6, , 2a a a +
{ }nb n nS 2 1n nS b+ =
{ }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT n n nT S> n
na n= 1
3n nb = 2
{ }na d 2
4 2 6( 2)a a a= + 2
1 1 1( 3 ) ( )( 5 2)a d a d a d+ = + + +
1
2d = − 1d = 1 ( 1)na n n∴ = + − = 2 1,n nS b+ = 1 (1 )2n nS b= − 20 / 20
当 时， ，解得 ，当 时， ，
， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ；
（2）由（1）知： ，
①，
②，
① —②得
又 ， ，当 时， ，
当 时， ， ，故所求的正整数 存在，其最小值为 2．
1n = 1 12 1S b+ = 1
1
3b = 2n ≥ 1 1
1 1
2 2n n n n nb S S b b− −= − = − +
1
1
3n nb b −∴ = ∴ { }nb 1
3
1
3
1
3n nb =
3n n n n
nc a b= =
2 3
1 1 1 11 2 33 3 3 3n nT n∴ = × + × + × +⋅⋅⋅+ ×
2 3 4 1
1 1 1 1 11 2 33 3 3 3 3n nT n += × + × + × +⋅⋅⋅+ ×
3 3 1 1 3 2 3 1
4 4 3 2 3 4 4 3n n n n
n nT
+= − × − × = − ×
1 1(1 ) 1 13 3
1 2 2 31 3
n
n nS
−
= = − ×−
1 2 1 1
4 4 3n n n
nT S
+∴ − = − × 1n = 1 1T S=
2n ≥ 1 2 1 1 04 4 3n
n +− × > n nT S∴ > n
微信/支付宝扫码支付